SISTEM PARTIKEL ‘Makalah Fisika Dasar’

Disusun oleh :

Devi Adi Nufriana

Agus Novian

Nurshinta

Waluyo Eka Prasetyo

Teknik Informatika

UNIVERSITAS MUHADI SETIABUDI

Brebes, Jawa Tengah, Indonesia

2014/2015

i | P a g e

DAFTAR ISI

HALAMAN

HALAMAN JUDUL .............................. i

DAFTAR ISI .................................. ii

BAB I PENDAHULUAN ................... 1

BAB I I PEMBAHASAN ‘SISTEM PARTIKEL’... 2

A............................ Pusat Massa 2

B. Gerak Pusat Masa .................... 4

C. Momentum Sudut, Tenaga Sinetik Sistem 5

D. Impuls Dan Momentum ................. 7

E. Momentum Dan Tumbukan................ 8

BAB III PENUTUP ............................ 12

A. Kesimpulan ........................ 12

B. Daftar Pustaka ..................... 12

ii | P a g e

BAB I

PENDAHULUAN

Semua benda di bumi ini terdiri dari banyak partikel.

Bahkan debu-pun terdiri dari partikel-partikel. Semua yang

ada di bumi ini dapat ditinjau dengan mekanika newton.

Hukum dasar mekanika terbukti mampu menjelaskan berbagai

fenomena yang berhubungan dengan sistem diskrit (partikel).

Hukum dasar ini tercakup dalam formulasi Hukum Newton

tentang gerak. Pada bagian ini akan dibahas formulasi hukum

mekanika pada sistem partikel dan benda benda yang terdiri

dari partikel yang kontinyu (benda tegar).

Perbedaan mendasar antara partikel dan benda tegar

adalah bahwa suatu partikel hanya dapat mengalami gerak

translasi (gerak lurus) saja, karena secara logika, jika

suatu partikel bergerak rotasi maka partikel itu tidak akan

terlihat bergerak rotasi melainkan akan tetap terlihat

bergerak lurus saja. Hal ini dikarenakan partikel tersebut

sangat kecil. Sedangkan benda tegar selain dapat mengalami

gerak translasi juga dapat bergerak rotasi yaitu gerak

1 | P a g e

mengelilingi suatu poros ataupun mengalami gerak keduanya

secara serempak yaitu translasi-rotasi.

BAB II

PEMBAHASAN ‘SISTEM PARTIKEL’

Sistem Partikel adalah sistem ataupun benda yang

terdiri dari banyak partikel (titik partikel) maupun benda

yang terdiri dari partikel-partikel yang dianggap tersebar

secara kontinyu pada benda.

A. Pusat Massa

Pusat massa adalah lokasi rerata dari semua massa yang

ada di dalam suatu sistem. Istilah pusat massa sering

dipersamakan dengan istilah pusat gravitasi, namun demikian

mereka secara fisika merupakan konsep yang berbeda. Letak

keduanya memang bertepatan dalam kasus medan gravitasi yang

sama, akan tetapi ketika gravitasinya tidak sama maka pusat

2 | P a g e

gravitasi merujuk pada lokasi rerata dari gaya gravitasi

yang bekerja pada suatu benda. Hal ini menghasilkan suatu

torsi gravitasi, yang kecil tetapi dapat terukur dan harus

diperhitungkan dalam pengoperasian satelit-satelit buatan.

Posisi pusat massa sebuah sistem banyak partikel

didefinisikan sebagai berikut

r⃗pm=m1r1+m2

r2+…+¿ mnrn

m1+m2+…+mn=∑i

miri

M¿.........(1)

Dengan r⃗i adalah posisi partikel ke-i di dalam sistem, dan.

M=∑imi.........

(2)

r⃗pm=∑imi (r⃗pm+r⃗i)

M =r⃗pm+∑imir⃗i

M........(4)

sehingga dapat disimpulkan bahwa

∑imir⃗i=0 .......(5)

3 | P a g e

Lihat gambar di samping. Dengan

mengganti

r⃗i = r⃗pm + r⃗i di mana r⃗i

adalah posisi partikel ke-i

relatif terhadap pusat massa,

maka pers. Menjadi

Bila bendanya bersifat kontinyu, maka menjadi fungsi pusat

massa akan menjadi integral :

Jika diuraikan pada komponene x,y,z maka;

xpm=∑i=1

nm1x1

M ,ypm=∑i=1

nm1y1M ,zpm=

∑i=1

nm1z1

M.........(7)

Kecepatan masing-masing partikel penyusunnya;

vpm=∑i

nmivi

M........(8)

4 | P a g e

r⃗pm=∫rdmM =∫ rρ (r )dv

M ....(6)

dengan dm adalah elemen massa pada

posisir⃗i

ρ (r )=rapatmassapadaposisir

dm=ρ (r )dv→elemenmassadalam

B. Gerak Pusat Massa

Gerak pusat massa dapat diperoleh melalui definisi

pusat massa. Kecepatan pusat massa diperoleh dari derivatif

persamaan pusat massa;

v⃗pm=∑imir⃗i

M.......(9)

Dari persamaan ini, setelah dikalikan dengan M, diperoleh

Mv⃗pm=∑imiv⃗i=∑

ip⃗i..........(10)

Besaran Mv⃗pm yang dapat kita anggap sebagai momentum pusat

massa, tidak lain adalah total momentum sistem (jumlahan

seluruh momentum partikel dalam sistem). Dengan

menderivatifkan pers.diatas terhadap waktu, diperoleh

Ma⃗pm=∑i

d p⃗idt

=¿∑iF⃗i ¿ ........(11)

dengan F⃗i adalah total gaya yang bekerja pada partikel ke-

i. Persamaan di atas menunjukkan bahwa gerak pusat massa

ditentukan oleh total gaya yang bekerja pada sistem.

Gaya yang bekerja pada sistem dapat dikelompokkan

menjadi dua jenis, gaya internal yaitu gaya antar partikel

5 | P a g e

di dalam sistem, dan gaya eksternal yaitu gaya yang berasal

dari luar sistem. Untuk gaya internal, antara sembarang dua

partikel dalam sistem, i dan j misalnya, akan ada gaya pada

i oleh j dan sebaliknya (karena aksi-reaksi), tetapi

F⃗ij+F⃗ji=F⃗ij−F⃗ij=0 .........(12)

Sehingga jumlah total gaya internal pada sistem akan

lenyap, dan

Ma⃗pm=∑iF⃗ieks=F⃗eks .........(13)

Jadi gerak pusat massa sistem hanya ditentukan oleh total

gaya eksternal yang bekerja pada sisem. Ketika tidak ada

gaya eksternal yang bekerja pada suatu sistem, maka

ddt∑i

p⃗i=0........(14)

Atau berarti total momentum seluruh partikel dalam system

konstan,

C. Momentum Sudut, Tenaga Kinetik Sistem

Vektor posisi dan kecepatan partikel ke- i dalam sistem

banyak dapat dinyatakan sebagai;

6 | P a g e

r⃗i=r⃗pm+r⃗ipm

dan

v⃗i=v⃗pm+v⃗ipm

Dimana dan masing- masing adalah vektor posisi dan

kecepataan partikel ke- i terhadaap pusat massa. Dari

persamaan- persamaan (1), (5), (14) diperoleh

∑mir⃗i=0⃗ ..........(15)

Dan

∑miv⃗i=0 ...........(16)

Persamaan (15) dan (16) menyatakan bahwaa vektor posisi

dan kecepatan sistem terhadap pusat massanya ( terhadap

dirinya sendiri) adalah nol.

Momentum sudut sistem banyak partikel dirumuskan sebagai,

L⃗=∑ r⃗ixmi v⃗i ........................(17)

L⃗=r⃗ipmxMv⃗pm+∑ r⃗ipmxmi v⃗ipm......(18)

Suku pertama ruas kanan persamaan berasal dari gerak pusat

massanya, sering disebut momentum sudut orbital atau

lintasan, dan suku keduanya berasal dari gerak partikel-

7 | P a g e

partikel penyusun terhadap pusat massanya, sering disebut

momentum sudut spin.

Apabila ada torsi ( moment gaya) eksternal yang bekerja

pada sistem makaa berlaku persamaan,

τeks=∑ τ⃗i=˙⃗L ...............(19)

Yang berarti pula jika resultan torsi eksternal nol, maka

momentum sudutnya kekal, sebagai hukum kekekalan momentum

sudut.

Tenaga kinetik sistem banyak partikel didefinisikan

sebagai,

K=∑Ki=∑ 12mi(v⃗j.v⃗i) .................(20)

Dengan persamaan (13) (14) (16) tenaga kinetik sistem

dirumuskan menjadi,

K=12Mvpm+∑

12mivipm ................(21)

Atau

K=Kpm+K(pm) ...................(22)

8 | P a g e

Merupakan penjumlahan dari tenaga kinetik pusat massa dan

tenaga kinetik partikel- partikel penyusun terhadap pusat

massanya.

D. Impuls dan Momentum

Dalam suatu tumbukan, misalnya bola yang dihantamtongkat pemukul, tongkat bersentuhan dengan bola hanyadalam waktu yang sangat singkat, sedangkan pada waktutersebut tongkat memberikan gaya yang sangat besar padabola. Gaya yang cukup besar dan terjadi dalam waktu yangrelatif singkat ini disebut gaya impulsif.

Dari hukum ke-2 Newton diperoleh

F=dpdt

∫ti

tf

Fdt=∫pi

pf

dp

I=∫ti

tf

Fdt=∆P=impuls

Dilihat dari grafik tersebut, impuls dapat dicari dengan

menghitung luas daerah di bawah kurva F(t) (yang diarsir).

9 | P a g e

Bila dibuat pendekatan bahwa gaya tersebut konstan, yaitu

dari harga rata-ratanya, Fr , maka

I=Fr∆t=∆p

Fr=I∆t

=∆p∆t

“ Impuls dari sebuah gaya sama dengan perubahan momentum partikel“.

E. Kekekalan Momentum dalam Tumbukan

10 | P a g e

m 1 m 2

V 2

V

Dua buah partikel saling bertumbukan. Pada saat

bertumbukan kedua partikel saling memberikan gaya (aksi-

reaksi), F12 pada partikel 1 oleh partikel 2 dan F21 pada

partikel 2 oleh partikel 1.

Perubahan momentum pada partikel 1 :

∆p1=∫ti

tf

F12dt=Fr12∆t

Perubahan momentum pada partikel 2 :

∆p2=∫ti

tf

F21dt=Fr21∆t

Karena F21 = - F12 maka Fr21 = - Fr12 oleh karena itu p1

= - p2

Momentum total sistem : P = p1 + p2 dan perubahanmomentum total sistem :

∆P=∆P1+∆P2

11 | P a g e

F F 21

v2'v1'

m 1

m 2

bertumbuka

“Jika tidak ada gaya eksternal yang bekerja, maka tumbukan tidakmengubah momentum total sistem”.

selama tumbukan gaya eksternal (gaya grvitasi, gayagesek) sangat kecil dibandingkan dengan gaya impulsif,sehingga gaya eksternal tersebut dapat diabaikan.

Tumbukan Satu Dimensi

a) Tumbukan Lenting Sempurna

Tumbukan biasanya dibedakan dari kekal-tidaknya tenaga

kinetik selama proses. Bila tenaga kinetiknya kekal,

tumbukannya bersifat elastik. Sedangkan bila tenaga

kinetiknya tidak kekal tumbukannya tidak elastik. Dalam kondisi

setelah tumbukan kedua benda menempel dan bergerak bersama-

sama, tumbukannya tidak elastik sempurna.

Sebelum Tumbukan SesudahTumbukan

m1 m2 m1

m2

v1 v2 v’1

v’2

Dari Kekekalan Momentum :

m1.v1 + m2.v2 = m1v’1 + m2v’2

12 | P a g e

Dari kekekalan tenaga kinetik :

12 m1 v1

2+ 12m2 v22 = 12m1v’1

2 + 12m2v2’2

Koefisien restitusi e=1

e=−(v'

1❑−v'

2❑)

(v1−v2❑)

b) Tumbukan Tidak Lenting Sama Sekali

Dari kekekalan momentum :

m 1 m 2 m 1+m 2

v1 v2

v'

m1 v1 + m2 v2 =( m1+ m2 ) v’

dengan koefisien restitusi e = 0. Kekekalan tenaga mekanik

tidak berlaku, berkurang/bertambahnya tenaga mekanik ini

berubah/berasal dari tenaga potensial deformasi (perubahan

bentuk).

c) Tumbukan Lenting Sebagian

13 | P a g e

V1 > v2

Setelah tumbukan kedua benda berpisah, energi

kinetik hilang dan momentum tetap. Dari kekekalan

momentum :

m1 v1 + m2 v2 = m1v’1 + m2v’2

dengan koefisien restitusi 0 ≤ e ≤1

Tumbukan Dua Dimensi

y sesudah

sebelum bertumbukan

m1 v’1

θ1

14 | P a g e

m 1

θ2 x

Dari kekekalan momentum , untuk komponen gerak dalam arah

x : m2 v’2

m1v1 + m2v2 = m1(v’1 cos 1)+ m2(v’2 cos 2)

untuk komponen gerak dalam komponen y :

0 = m1v’1 sin 1- m2v’2 sin 2

Dalam tumbukan dua dimensi juga terdapat tumbukan lenting

sempurna,lenting sebagian, dan tidak lenting sama

sekali.Bila dianggap tumbukannya lenting :

12m1 v1

2 + 12m2 v22 = 12m1v’1

2 + 12 m2v2’2

15 | P a g e

BAB III

KESIMPULAN

Sistem banyak partikel adalah sistem ataupun benda

yang terdiri dari banyak partikel (titik partikel)

maupun benda yang terdiri dari partikel-partikel yang

dianggap tersebar secara kontinyu pada benda.

Posisi pusat massa sebuah sistem banyak partikel

didefinisikan sebagai berikut

r⃗pm=m1r1+m2

r2+…+¿ mnrn

m1+m2+…+mn=∑i

miri

M¿

Momentum sudut sistem banyak partikel dirumuskan

sebagai,

o L⃗=∑ r⃗ixmi v⃗i , L⃗=r⃗ipmxMv⃗pm+∑ r⃗ipmxmi v⃗ipm

Impuls dari sebuah gaya sama dengan perubahan momentum

partikel

I=Fr∆t=∆p, Fr=I∆t

=∆p∆t

Tumbukan dapat dibagi menjadi tiga yaitu tumbukan

lenting sempurna, tumbukna lenting sebagian, dan

tumbukan tidak lenting sama sekali.

16 | P a g e

DAFTAR PUSTAKA

o Riyanto.http//riyanto.wordpress.com. diakses padatanggal 19 november 2010

o Supliyadi.2009.Fisika program IPA.jakarta: Grasindoo Sistem partikel pdf.www.google.com. diakses pada

tanggal 19 november 2010

17 | P a g e