LKS Matematika Kelas X Semester 1

Created by Mukhlisah Zulfa Nadiya 1

NAMA : ……………………………………

KELAS : ……………………………………

Matematika itumudah dan

menyenangkan!

Lembar Kerja Siswa 1

A. EKSPONEN a. Menemukan Konsep Eksponen

Seorang peneliti bidang mikrobiologi disebuah lembaga penelitian sedang mengamati pertumbuhan suatu bakteri di sebuah laboratorium mikrobiologi. Pada kultur bakteri tersebut, satu bakteri membelah menjadi r bakteri setiap jam. Hasil pengamatan menunjukkan bahwa jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian, jumlah bakteri tersebut menjadi 40.000 bakteri. Peneliti tersebut ingin mengetahui banyak bakteri sebagai hasil pembelahan dan mencari tahu banyak bakteri dalam waktu 8jam.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pangkat/eksponen dan bentuk akar diharapkan pesertadidik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu daribeberapa sumber referensi / media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti dian- tara beberapa pola berikut ini:Masalah 11 . Tentukan dan jabarkan bentuk : a. 35 b. 56 c. 104

Penyelesaian :a. 35 = 3 x …. x ….. x ….. x ….. = 243b. 56 = …. x …. x ….. x ….. x ….. x …… = …….c. 104 = …. x ….. x ….. x ….. = ………


SELAMAT BELAJAR!

an = …. x ….. x ….. x …… x ….. x a , di mana : an dibaca a pangkat n n factor a disebut bilangan pokok atau basis. n disebut pangkat atau eksponen an disebut bilangan berpangkat.Apa yang dapat kalian simpulkan dari beberapa penyelesaian di atas? ....................................................................................................................................................b. Sifat-Sifat Pangkat Bulat PositifDiskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti di antara beberapa pola berikut ini:Masalah 2 : Tentukan nilai dari: a. 43 x 42 b. 24 x 25

Penyelesaian : a. 43 x 42 = ( 4 x …. x 4 ) x ( 4 x ….. ) = ( 4 x ….. x ….. x ….. x ….) = 43 + 2 = 4….. 3 faktor 2 faktor (3 + 2) factorb. 24 x 25 = ( 2 x …. x …. x …. ) x ( 2 x …. x …. x …. x 2 ) = ( …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. x ….) = 2…..

Penarikan kesimpulan: ap . aq = ( a x a x a x … x a ) ( a x a x a x … x a) = ( a x a x a x .. x a ) = a … + ….

…. Factor …. Factor ( … + …. ) factorApa yang dapat kalian simpulkan dari uraian penyelesaian masalah di atas?....................................................................................................................................................Buktikan bahwa sifat 1 berlaku untuk : ap . aq = a …. + ……

Masalah 3 :


Tentukan nilai dari: a5 : a3 Penyelesaian : a5 : a3 = ( a x... x... x … x a ) : ( a x... x...) 5 faktor 3 faktor =(a x...x...x...x... ) : (a x...x...) = 1 x ( a x….. ) = a2 = a5 - 3

5 faktor 3 faktor 2aktor Penarikan kesimpulan: ap : aq = (a x...x...x...) : (a x...x...x...) p faktor q faktor = 1 x ( a x …..x…..x a ) = a x a x …. x a = a…. - …

(p - …. ) faktor

Apakah benar bahwa dalam sifat ke-2 dari bilangan bulat positif adalah ap : aq = a…-…

Apa yang dapat kalian simpulkan dari urain di atas?........................................................................................................................................................................................................................................................................................................Masalah 4 : Tentukan nilai dari: ( 2 x 5 )3 Penyelesaian : ( 2 x 5 )3 = ( 2 x 5 ) x ( … x … ) x ( …x 5 ) = ( 2 x … x 2 ) x( 5 x …x … ) = 2 … . 5 ….

3 faktor 3 faktor 3 faktorPenarikan kesimpulan: ( a . b )p = ( a x b ) x ( … x … )x … x ( … x b ) = ( a x … x …x a ) x ( b x .…x … x b) p factor p factor p factor = a…. b….

Sifat 3 : ( a . b )p = a… . bp

Masalah 5 : Tentukan nilai dari: (53)4 Penyelesaian :


(53)4 = 53 x 5… x … x 53 = ( 5 x ….x 5 ) x ( 5 x ….x …. ) x ( 5 x ….x …. ) x ( 5 x ….x …. ) 4 faktor 4 faktor = 5 x …. x …. x ….. x …. x …. x ….. x ….. x ….. x …. x …. x 5 = 5 …. x … = 5…

3 faktor 3 faktor 3 faktor 3 faktorApa yang dapat kalian simpulkan dari uraian di atas?....................................................................................................................................................Sifat 4 : ( ap)q = a… x …

Masalah 6 :

Tentukan nilai dari: (23 )4

Penyelesaian :

(23 )4

= ... x … x ... x ... = .................

4 faktor

Sifat 5 : (ab )n

= .....

c. Pangkat NolBakteri E. Coli membelah diri setiap 12,5 menit. Hal ini berarti jumlah bakteri E. Coli menjadi berlipat .... kali lipat dari sebelumya.Lengkapilah.

Waktu 0 12,5 25 37,5 50 ...Jumlah 1 2 4 ... ... ...

2... 2... 2... ... ... ...

Pada saat 0 menit, banyak bakteri = ....Banyak bakteri = 2 .... = ....Mari kita buktikan bahwa a0 = 1Cara 1: Cara 2:ap : ap = 1 a0 x ap = a 0 + p

a p –p = .... a0 x ap = ....a ... = .... a0 = a ... : x ap

(terbukti) a0 = .... (terbukti)


Kesimpulan:an = ... x ... x ... x ... (n faktor)Sifat 1 : ap . aq = a ….

+ ……

Sifat 2 : ap : aq = a… -

…

Sifat 3 : ( a . b )p = a… . b....

Sifat 4 : ( ap)q = a… x …

Sifat 5 : (ab )n

= .....

Kesimpulan:a0 = ....

d. Pangkat Bulat NegatifLengkapilah

104 103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 10-4 ...10.000

...

Amati pola bilangan tersebut. Dengan pola tersebut, dapat dilihat bahwa:

10 -1 = 110 =

110…… 10 -2 = 1

…………. = 1

10…… 10

-1 = 1………… =

110……

Mari kita buktikan bahwa a –n = 1anBukti:a0 : an = 1 : an

a 0 – ... = 1ana ... = .... (terbukti)

LatihanUbahlah menjadi pangkat positif dan hitunglah hasilnyaNo Pangkat

NegatifPangkat Positif Hasil

1 5-2

2 2a-4

3 14−2

4 15p−1

5 (13 )−3

6 (27 )−4

7 2a−3

p−7

❑

e. Pangkat Pecahan


Kesimpulan:a –n

1) Misalkan n√a=ab Kedua ruas dipangkat n sehingga diperoleh(n√a)n=(ab )n a1 = a ......

1 = b. ...b = ......Jadi, dapat disimpulkan bahwa n√a=ab = a .....

2) amn=(am)

1n=

n√……………

Latihan1. Lengkapi tabel berikut

Bentuk Pangkat Bentuk Akar

y12

s35

(3r )14

5√a24√2b356√h

2. Hitunglah nilainyaa. 4

32 b. 27

23 c. 16

−14 d. 25

−32

3. Nyatakan dalam bentuk pangkat dengan bilangan pokok 2a. 3√4 b. 5√64

4. Sederhanakan bentuk pangkat berikut dan nyatakan dalam bentuk akara. a

12xa

23

b. a12:a

13

c. (a23b

92 )

67

d. (a23

b83 )

34


Kesimpulan:n√a=a…….

amn=

n√……

Selamat Mengerjakan

Lembar Kerja Siswa 2

Topik : Bilangan Rasional, Bilangan Irasional dan Bentuk AkarA. Bilangan Rasional

Bilangan Rasional yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ............ dengan a dan b bilangan bulat danb ≠ 0. Bilangan Rasional dilambangkan dengan ....Bilangan Rasional dibedakan menjadi dua, yakni:a. Bilangan bulat, seperti -3, -2, 0, 5, 8, .....

b. Bilangan pecahan seperti: 12 , 14 ,

35 , .......

Ciri-ciri Bilangan Rasional:

a. Bilangan desimal yang terputus/terbatas, misal: 14 = 0,25

dan 35 = 0,6b. Bilangan desimal yang tidak terputus/terbatas tapi

berulang, misal: 16 = 0,16666... dan 19 = 0,1111...

B. Bilangan IrasionalBilangan Irasional yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk ............ dengan a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0.Ciri: Bilangan desimal yang tidak terputus/terbatas dan tidak berulang, misal: 0,1435486495....Manakah yang termasuk bilangan rasional dan irasional?1. √25 2. √12 3. √6 4. √16 5.

π6. 3√4 7. 3√8 8. √0,25Bilangan irasional disebut bilangan bentuk akar karena tidak dapat bisa diperoleh akarnya yang rasional.

C. Bentuk Akar22 = 4 maka √4=¿...23 = ... maka 3√8 = ...24 = ... maka 4√….. = ...Secara umum: Diketahui n bilangan bulat dan n ≥ 2X disebut akar ke – n dari a apabila xn = ....X = ……√….. apabila xn = ....

D. Menyederhanakan Bentuk AkarCreated by Mukhlisah Zulfa Nadiya 8

Untuk setiap a dan b bilangan bulat positif berlakun√axb=

n√ax n√bSederhanakan:1. √8 = √…x…=√…x√… = ... √….2. √48 = √…x…=√…x√… = ... √….3. 3√294 = 3√…x…=√…x√… = ... √….4. 3√16= 3√…x…=

3√…x 3√…=… 3√…5. 3√135= 3√…x…=

3√…x 3√…=… 3√…

E. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar1. a n√c+b n√c = (…+…)

n√…2. a n√c−bn√c = (…−…)

n√…3. a n√cxb n√d = (…x…)

n√…x…

4. an√cbn√d

=…...…..

n√ ………….

5. √a2=√ax√a=……6. √ax√b=√…….7. √a

√b=√…….……

Soal Latihan1. 3√5 + 4√5 = (... + ...)√5 = ...........2. 5√2 - 7√2 = (... - ...) √2 = ...........3. √18+√8 = √…x… + √…x… = .... √…+…√…

= .........4. √12−√27=√…x… - √…x… = .... √…−…√…

= .........5. √6x√3=√…x… = √…. = ..........6. √12

3=√…….……

=………..

7. 5√2 x 4√6 = (... x ...)√…x… = ............................

8. 10√102 √5

=…….…… √…….…… = ............

9. √2 (√6+√3) = √2x√6+√2x√…=√……+√…….. = ...........................

10. (√2+√3)2=¿(√2+√3) (√2+√3) = (√2)2 + 2 .... x.... + (.....)2


Ingat ya...! Penting!

= .... + 2√……. + ... = (..... + .....) + 2√…… =....................

11. (√7−√5 )2=¿(√7−√5) ( ... -…) = (√7)2 – 2 .... x.... + (.....)2

= .... – 2 √……. + ... = (..... + .....) - 2√…… = ....................

12. (√2+√5) (√2−√5) = (√2)2 + ........ - .......... - (.....)2

= .... - ... =....................

F. Menyederhanakan Bentuk √ (a+b)+2√ab dan √ (a+b)−2√ab1. (√a+√b)2 = (√a)2 + 2 .... x.... + (.....)2

= .... + 2√……. + ...= (..... + .....) + 2√…… (tarik akar kedua ruas)

(√a+√b) = √ (…+… )+2√…….

2. (√a−√b )2 = (√a)2 - 2 .... x.... + (.....)2

= .... - 2√……. + ...= (..... + .....) - 2√…… (tarik akar kedua ruas)

(√a−√b ) = √ (…+… )−2√…….

Soal Latihan1. √7+2√10=(√…+√… )

A + b = 7Ab = 10 , maka a = ... dan b = ....Sehingga √7+2√10=(√…+√… )

2. √8−2√7=(√…−√… ) A + b = ...Ab = .... , maka a = ... dan b = ....Sehingga √8−2√7=(√…−√… )

3. √8−√60=√8−√…x…=√8−2√….Created by Mukhlisah Zulfa Nadiya 10

Kesimpulan:√ (a+b)+2√ab=(√…+√… )√ (a+b)−2√ab=(√…−√… )

A + b = ....Ab = ... , maka a = ... dan b = ....Sehingga √8−√60=(√…−√… )

4. √11+√72=√11+√…x…=√11+2√….A + b = ....Ab = ... , maka a = ... dan b = ....Sehingga √11+√72=(√…−√…)

G. Merasionalkan Penyebut

1)Bentuk a√b dikali dengan ...............

Contoh:a) 3

√5= 3

√5x √5

√5=¿..........

b) 14√7=14√7

x √….√….

=¿..........

2)Bentuk ca+√b dikali dengan ...............

a) 53+√2

=5

3+√2x 3−√23−√2 =

5(3−√2)

(3+√2)(3−√2)=

………−……..……………………..…………………

=………−……..…………………

b) 62+√3

= 62+√3

x ………………………… =

6(……………)

(2+√3 )(……………..)= ………−……..……………………..…………………

=………−……..…………………

3)Bentuk ca−√b dikali dengan ...............

a) √53−√3

= √53−√3

x 3+√3………… =

√5(3+√3)

(3−√3)(………………)= ………+……..……………………..…………………

=………+……..…………………

b) 45−√2

=4

5−√2x …………………… =

4(…………….)

(5−√2)(………………)= ………+……..……………………..…………………

=………+……..…………………

4)Bentuk c√a+√b dikali dengan ...............


a) 6√2+√5

=6

√2+√5x ……………….

√2−√5 =6(………………)

(…………… ) (……………...)=

………−……..…………………………………

=………−……..…………………

b) 10√3+√6

= 10√3+√6

x ………………………… =

10 (……………)

(…………... )(…………..)= ………−……..……………………..…………………

=………−……..…………………

5)Bentuk c√a−√b dikali dengan ...............

a) 12√7−√5

= 12√7−√5

x ……………….√7+√5 =

12(………………)

(…………… ) (……………...)= ………−……..…………………………………

=………−……..…………………

b) 9√3−√6

=9

√3−√6x ………………………… =

9(……………)

(…………... )(…………..)=

………−……..……………………..…………………

=………−……..…………………

Lembar Kerja Siswa 3Topik : Logaritma dan sifat-sifatnyaA. RINGKASAN MATERIAyo pikirkan?Bakteri E. Coli membelah diri setiap 12,5 menit. Hal ini berarti jumlah bakteri E. Coli menjadi berlipat .... kali lipat dari sebelumya. Dapatkah kamu menentukan berapa waktu yang diperlukan agar bakteri itu berjumlah 100?

Logaritma adalah invers (kebalikan) dari perpangkatan. Definisi Logaritma:

a disebut basis (bilangan pokok), y disebut numerus, dan xdinamakan hasil logaritma.Contoh:Created by Mukhlisah Zulfa Nadiya 12

Untuk setiap a > 0 dan a≠ 1

Bentuklogaritma

Bentukpangkat

2log 8 = 3 23 = ......3log 27 = 3 3..... = 2710log 10.000 =4

104 =..............

Untuk basis 10 boleh tidak dituliskan. Misalnya 10log b bolehditulis log b.

Sifat-sifat logaritma:1. alog 1 = 0

Bukti: Misal alog 1 = x , maka ax = 1. Jadi x = ... karena a0 = 1

2. alog a = 1Bukti: Misal alog a = y , maka ay = a. Jadi y = ... karena a1 = a

3. alog (x . y) = alog x + alog yBukti:Misalkan: alog x = m, maka x = ... alog y = n, maka y = ...

xy = a....... x a ....... = a..............

Berdasarkan definisi logaritma, xy = a................. , makaalog xy = ...................

= alog ...+ alog ...

4. alog xy = alog x - alog y

Bukti:Misalkan: alog x = m, maka x = ... alog y = n, maka y = ...

xy = a

....... : a ....... = a..............

Berdasarkan definisi logaritma, xy = a............... , makaalog xy = .........................

= alog ... - alog ...

5. alog xn = n alog x Bukti:


alog xn =

alog (x. x. x. ....x )⏟ada .... faktor (perpangkatan merupakan

perkalian berulang)

= ............+ ............ + ............+..............⏟

............suku (Sifat alog xy = alog x +alog y) = ..... alog x

6. log❑am bn = nm

alog b

7. alog b = log❑c blog❑c a

8. alog b = 1log❑b a

9. alog b x blog c = alog c10. a logb❑

a = b

B. Lembar Kerja Siswa1. Nyatakan bentuk pangkat berikut ke dalam bentuklogaritma dan bentuk logaritma ke

dalam bentuk pangkata) Perhatikan bilangan berpangkat berikut ini

52 = 255 disebut ………….., 2 disebut ……………., 25 disebut ……………Nyatakan bentuk pangkat tersebut dalam bentuk logaritmadengan:Basis adalah … , numerus adalah … , dan hasil logaritmaadalah …Bentuk logaritma dari 52 = 25 adalah … log … = …

b) 10-3 = 0,001 Bentuk logaritmanyaadalah ............................

c) (16 )2

=( 136 ) Bentuk logaritmanya

adalah ............................d) Perhatikan bentuk logaritma berikut

2log 32 = 52 disebut ………….., 32 disebut ……………., 5 disebut ……………Nyatakan bentuk logaritma tersebut ke dalam bentukpangkat dengan:Basis adalah ... , pangkat adalah ... , dan numerusadalah ...Bentuk pangkat dari 2log 32 = 5 adalah …


e) 4log 164 = -3 Bentuk pangkatnya

adalah ..................................f) 8log 1 = 0 Bentuk pangkatnya

adalah ..................................2. Hitunglah

(a) 4log 8 = log❑2….

2…. = ….…..

2log 2 = .............

(b) 216log 136 = log❑

6….

6…. = ….…..

6log 6 = .............

(c) 2 3log 2 + 3 3log 3 – 3log 36 = 3log 22 + 3log 3........... –3log 36

= 3log 4 + 3log .......... – 3log 36

= 3log 4x…..…………= 3log .......... = ..............

(d) 2 3log 4 - 12 3log 25 + 3log 10 – 3log 32

= 3log 4........... - 3log 2512 + 3log 10 – 3log 32

= 3log .......... - 3log ........... + 3log 10 – 3log 32

= 3log (……x……….)(…………x………..)

= 3log ...........= .............

(e) 5 log7❑5 =

(f) log 30 - 1log❑

48 10+ 1

log❑16 10 = log 30 – log ... +

log ...= log 30x…..………… = log ........

= ...........(g) Diketahui 2log 3 = a dan 3log 5 = b. Nyatakan logaritmaberikut dalam bentuk a dan b

1) 5log 2 2) 4log 10 3) 15log 6Penyelesaian:1) Diketahui 2log 3 = a maka 3log 2 = .........

5log 2 = log❑3 …log❑3 … =

……….………. = ...............


2) 4log 10 = 4log (... x ...) = 4log ... + 4log ... =1

log❑2 …. +

log❑3 ….log❑3 ….

= 1….. +

….2 log❑

3 …. = 1

….. + ….

2x…. =1

….. + .........

3) 15log 6 = log❑3 6log❑

….. …. = log❑3 (…x….)

log❑3 (…x….)

=log❑

3 …+ log❑3 ….

log❑….. ….+ log….❑

…. =……+1….+1 =

……….……….

LEMBAR KERJA SISWA 1

Topik: Memahami dan Menemukan Konsep Nilai MutlakMenggambar Grafik Nilai Mutlak

Masalah:Seorang anak bermain di halaman rumah. Dia melompat ke depan 1langkah, lalu ke belakang 2 langkah, ke depan 3 langkah dan kebelakang 4 langkah.a. Gambarkan sketssa lompatan anak itu dalam garis bilangan

real


BAB 2.Persamaan

danPertidaksamaanLinier

b. Hitung berapa banyak langkah yang dilakukan anak tersebutBanyak langkah adalah konsep nilai mutlak karena hanyamenghitung banyak langkah, bukan arahnya. Banyak langkahselalu dinyataakan dengan bilangan bulat .......Ke depan 1 langkah = │1│ = ... Ke belakang 2 langkah

= │-2│ = ...Ke depan 3 langkah = │3│ = ... Ke belakang 4 langkah

= │-4│ = ...Banyak langkah seluruhnya = │1│ + │-2│ + │3│+ │-4│= ..........................................

Kesimpulan:Nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilang tersebut dengan ..... pada garis bilangan real.Definisi:x ∈R

|x|={…,jikax≥0…,jikax<0

Menggambar Grafik Nilai Mutlak1) f(x) = |x|

Lengkapi tabel berikutx -3 -2 -1 0 1 2 3y =f(x)

3

(x, y) (-3,3)

Gambarkan titik (x, y) pada koordinat Cartesius

2) f(x) = |x−3|Lengkapi tabel berikut


X

Y

0

0

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9y =f(x)

3

(x,y)

(-3,3)

Gambarkan titik (x, y) pada koordinat Cartesius

Hubungan |x|dengan √x2

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x2

|x|√x2

Kesimpulan: .....................


Topik: Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Masalah 1:1) Tuti mempunyai sejumlah uang, kemudian Ayay memberikan uang

pada Tuti sebanyak 13 dari uang Tuti semula. Uang Tuti

sekarang Rp 12.000,00. Berapa uang Tuti semula?Penyelesaian:a. Nyatakan hal yang diketahui menjadi suatu variabel

Misal: Uang Tuti semula = xb. Buat model matematika dari masalah

Uang Tuti semula + 13 Uang Tuti semula = 12.000


X

Y

0

..... + 13 ..... = 12.000

c. Selesaikan model matematika tersebut

..... + 13 ..... = 12.000

... x = 12.000

X = 12.000………… = ...............

Jadi. Uang Tuti semula adalah ..........

2) Empat tahun yang lalu usia Iwan adalah 12 dari usianya

sekarang. Sedangkan 5 tahun lagi, usia Iwan sama dengan usia kakak sekarang. Berapakan usia Iwan dan kakak sekarang?Penyelesaian:a. Misal: Usia Iwan skarang = x

Usia kakak sekarang = yUsia Iwan 4 tahun yang lalu = ...........Usia Iwan 5 tahun lagi = ...........

b. Model matematika dan penyelesaiannya:

Empat tahun yang lalu usia Iwan adalah 12 dari usianya

sekarang : x - ... = .......x - ...... = 4... x = 4

X = 4………… = ............... Jadi, usia Iwan

sekarang adalah ...

5 tahun lagi, usia Iwan sama dengan usia kakak sekarang:X + ... = ...... + ... = yY = ... Jadi, usia kakak sekarang adalah

...

Definisi:Bentuk umum Persamaan Linier Satu Variabel: ax + b = 0a, b ∈R dan a ≠ 0 di mana a : ..................... x : ....................

b : ....................


Bentuk umum Persamaan Linier Dua Variabel: ax + by + c = 0a, b ∈R dan a , b ≠ 0 di mana x, y : ..................... a : .....................b : .................... c : ....................

Menentukan Himpunan Penyelesaian Persamaan Linier Satu Variabel dan Dua Variabel serta Menggambar GrafiknyaContoh:1) x = 3

a) Lengkapilan tabel berikutx ... ... ... ... ... ...y -2 -1 0 1 2 3

(x, y)b) Gambarkan titik (x, y) pada koordinat Cartesius

c) HP = {.....................................................................................................................}

2) y = -2a) Lengkapilan tabel berikut

x -2 -1 0 1 2 ...y



X

Y

X

Y

0

c) HP = {............................................................................................................................}

3) x + 2y = 4a) Lengkapilan tabel berikut

x -2 -1 0 1 2 ...y


c) HP = {........................................................


X

Y

0

X0

.........................................................

...........}

Himpunan penyelesaian persamaan linier ax + by = c adalah himpunan semua pasangan (x, y) yang memenuhi persamaan linier tersebut.

Masalah 2:Uang Adi lebih banyak dari uang Bayu, tetapi lebih sedikit dari uang Cici. Uang Cici lebih sedikit Rp 3000 dari uang Dina dan uang Dina lebih banyak Rp 5.000 dari uang Adi.Urutkan dari jumlah uang yang paling banyak!Penyelesaian:Misalkan:Uang Adi = AUang Bayu = BUang Cici = CUang Dina = Da) Uang Adi lebih banyak dari uang Bayu : A ... Bb) Uang Adi lebih sedikit dari uang Cici : A .... Cc) Uang Cici lebih sedikit Rp 3000 dari uang Dina : C

+ ........... = D , maka C .... Dd) Uang Dina lebih banyak Rp 5.000 dari uang Adi : D = A

+ ............. , maka A .... DJadi, urutannya dari yang terbesar adalah ....................................

Menggambar Daerah Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel1) x < 2

2) x > -4

3) 1 < x < 3

4) x ≤ 4

5) x ≥ -1


0

0

0

0

6) -2 ≤ x ≤ 4


Topik : Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. Dona membeli tiga buah jeruk dan sebuah apelseharga Rp. 5.000,- sedangkan Doni membeli duabuah jeruk dan dua buah apel seharga Rp.6.000,- Berapa harga sebuah jeruk dan apel?Cara Substitusi:Misalkan x = jeruk dan y = apel...x + y = 5.000 (1)...x + ...y = 6.000 (2)Diselesaikan dengan substitusi.... x + y = 5.000 y = 5.000 – ....x (1) substiusikan ke persamaan (2)... x + ... y = 6.000 (2).... x + ... (5.000 – 3x) = 6.000.... x + ............... – .... x = 6.000.......x =...............X = ...................Jadi harga sebuah jeruk adalah ...........................


BAB 3.Sistem

Persamaandan

PertidaksamaanLinier

0

0

... x + ... y = 6.000 (2)... x = 6.000 - ... yx = ............................... substitusikan kepersamaan (1).... x + y = 5.000 ......................... + y = 5000.... y = ....................Y = .....................Jadi harga sebuah apel adalah ...........................

Cara eliminasi:Misalkan x = jeruk dan y = apel3x + y = 5.000 (1)2x + 2y = 6.000 (2)Eliminasi x : (kalikan dengan suatu bilangan agar koefisien x pada

persamaan (1) dan (2) sama 3x + y = 5.000 x .... ....x + ....y = ......... 2x + 2y = 6.000 x .... ....x + ....y = ......... - .....x = ............. x = ............... Jadi harga sebuah jeruk adalah ........................

Eliminasi y : (kalikan dengan suatu bilangan agar koefisien y pada

persamaan (1) dan (2) sama 3x + y = 5.000 x .... ....x + ....y = ......... 2x + 2y = 6.000 x .... ....x + ....y = ......... - .....y = ............. y = ...............


Jadi harga sebuah apel adalah ........................

Cara Gabungan Eliminasi dan Substitusi:Misalkan x = jeruk dan y = apel3x + y = 5.000 (1)2x + 2y = 6.000 (2)Eliminasi x : (kalikan dengan suatu bilangan agar koefisien x pada

persamaan (1) dan (2) sama 3x + y = 5.000 x .... ....x + ....y = ......... 2x + 2y = 6.000 x .... ....x + ....y = ......... - .....x = ............. x = ............... Jadi harga sebuah jeruk adalah ........................

Substitusi x = ............... ke salah satu persamaan (1) atau (2)Misal ke persamaan (1)3x + y = 5.0003 (.............) + y = ................................. + y = .................Y = .....................Jadi harga sebuah apel adalah ........................

2. Ani membeli makanan camilan yang terdiri 4 bungkus waferdan satu bungkus kripik di toko Serba Enak harus membayarRp. 13.000,-. Anisa ditoko yang sama membeli sebungkuswafer dan 3 bungkus kripik membayar Rp. 17.000,-. Anitaditoko yang sama membeli 2 bungkus wafer dan 2 bungkiskripik membayar dengan uang Rp. 20.000,-. Berapa uangkembalian yang akan diterima Anita? Silahkan dijawab dengan cara yang menurutmu paling mudah!



Topik : Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel1. Tentukan penyelesaian permasalah berikut

Ada tiga orang siswa berbelanja ke toko. Siswa pertamamembeli 1 buku, 1 pensil dan 1 panggaris membayar uangsebesar Rp 1.800,- , siswa kedua membeli 2 buku dan 1pensil membayar uang sebesar Rp 25.000,- dan siswa ketigabeli 1 penggaris membayar uang sebesar Rp3.000,- Penyelesaian:Misalkan:Buku = x, pensil = y danpenggaris = zModel matematika dari permasalah:x + y + z = …….. (1)

2 x + y = ......... (2)

Z = ......... (3)Menggunakan cara campuran:Dari persamaan (1) dan (2) eliminasi y x + y + z = 1800 2 x + y = 25000 - ..... + .... = .......... (4)Dari persaman (3) disubtitusikan ke persamaan (4) -x + 3000 = ............. -x =.............. x =................ (5)dari persamaan (3) dan (5) kepersamaan (1)x + y + z = 1800 .............. + y +............. = 1800 y = 1800 - .............. y = ................Jadi harga 1 buku = ......................

1 pensil = ...................... 1 penggaris = ......................

2. Ada orang ibu namanya Dewi, Anggun dan Melinda pergibersama-sama kepasar Ramadhan, pada salah satu tempat ibu-ibu membeli makan untuk persiapan berbuka puasa. Ibu Dewi


beli dua kotak kurma, satu kue bingka dan satu gelas esbuah, ibu Anggun beli satu kotak kurma, dua kue bingka dansatu gelas es buah, dan Ibu Melinda beli tiga kotak kurma,dua kue bingka dan satu gelas es buah. Dari belanjaanmereka masing-masing mengaluarkan uang. Ibu Dewi sebesarRp125.000, ibu Anggun sebesar Rp 120.000 dan ibu Melindasebesar Rp200.000. Dari permasalah diatas berapa harga darimasing-masing makanan tersebut ?

a. Penyelesaian cara subtitusi:Langkah pertama : Dengan memisalkan kurma = x, bingka= y dan es buah = z buat permasalah diatas dalam bentuk model matematika. …. x + ….y + …. z = ….. (1) …. x + ….y + …. z = ….. (2) …. x + ….y + …. z = ….. (3)

Langkah kedua : Pilih satu persamaan sederhana dari persamaan (1), (2) atau (3), kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atauz sebagai fungsi x dan y.Misal kita pakai persamaan (1) diproleh fungsi y = …....... - .... x - … z

Langkah ketiga : subtitusikan y atau x atau z yang diperoleh dari langkah kedua persamaan lainnya sehinggga didapat persamaan dua variabel.y = …....... - .... x - … z masukan ke persamaan(2) diperoleh ….x + ( …....... - .... x - … z) + … z = …...... (5)

...........................................................

..... = ...........y = …....... - .... x - … z masukan ke persamaan(3) diperoleh ….x + (-..x - … z + …) + … z = …. (6)


...........................................................

..... = ...........Persamaan (5) dan (6) adalah persamaan linear dua variabel maka selesaikan cara sistem persamaan linear dua variabel (5) …………………………………………= …………(6) …………………………………………= …………

Didapat x = ….. z = …..Langkah keempat : Subtitusikan x = … dan z = … ke salah satu persamaan (1) atau (2) atau (3) didapat y = ….Langkah kelima: Buat kesimpulan Harga satu kotak korma = Rp …Harga satu biji bingka = Rp …Harga satu gelas es buah = Rp …

b. Penyelesaian cara Eliminasi:Langkah pertama : Dengan memisalkan kurma = x, bingka= y dan es buah = z buat permasalah diatas dalam bentuk model matematika. …. x + ….y + …. z = ….. (1) …. x + ….y + …. z = ….. (2) …. x + ….y + …. z = ….. (3)

Langkah kedua : eliminasi salah satu variabel x atau y atau z dari persamaan (1), (2) dan (3) dengan mengkombinasikan persamaan (1), (2) dan (2), (3) atau lainnyaMisal eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) serta (2) dan (3) …. x + ….y + ….z = ….. (1)


…. x + ….y + …. z = ….. (2) _______________________ … x + … y = ….

(4)

…. x + ….y + …. z = ….. (2) …. x + ….y + …. z = ….. (3) _______________________ … x + … y = ….

(5)

Langkah ketiga : dari langkah dua didapat persamaan lineardua variabel (4) dan (5) … x + … y = …. (4) … x + … y = …. (5) ______________ eliminasi y

x = ….

… x + … y = …. (4) … x + … y = …. (5) ______________ eliminasi x

y = ….Langkah keempat : Dari hasil langkah tiga masukan x dan y ke salah persamaan(1), (2) atau (3)Misal ke persamaan (1): …. x + ….y + …. z = ............….. (1)

....................... + ..................... + ... z = ...................

z = ………........ - .................... = ................

Langkah kelima : Buat kesimpulan


Jadi harga satu kotak korma= Rp …

Harga satu biji bingka = Rp … Harga satu gelas esbuah = Rp …

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaanlinear berikut.x + 3y - z = 3 (1)x + 2y + 3z = -2 (2)x + y - z = 1 (3)Penyelesaian: Cara CampuranEliminasi x dari persamaan (1) dan (2)x + 3y - z = 3x + 2y + 3z = -2 - ..... - ..... =5 ..... ( 4 )

Eliminasi x dari persamaan (2) dan (3x + 2y + 3z = -2 .......(2) x + y - z = 1 ....(3) - .... + ..... = -3 .........(5)

Eliminasi y dari persamaan (4) dan (5) .... - .... = 5 ..... + .... = - 3

- - 8 z = .... Z = ........

Untuk z = .... maka y - 4z = 5 y - 4(..... ) = 5 y + ...... =5 y= ......Untuk z = ..... dan y = ..... , maka x + 3y - z =3 X + 3(..... ) - ( ..... ) = 3


X+ .... + .... = 3 X+ ..... = 3 X =.....Jadi , Himpunan penyelesaiannya adalah{ ( .... , .... , ....) }

BAB 4. MATRIKSLEMBAR KERJA SISWA 1

Topik : Pengertian Matriks, Jenis Matriks, Kesamaan DuaMatriks dan Transpos Matriks

A. Pengertian MatriksMatriks adalah susunan beberapa bilangan dalam bentuk .......................................................yang diatur menurut .................... dan .....................Setiap bilangan disebut .......................

A=(a11 a12 … a1na21 a22 … a2n… … … …am1 am2 … amn

)aij adalah elemen pada baris ke..... dan kolom ke ........Ordo matriks adalah banyak baris dan banyak kolomMatriks A punya ...... baris dan ..... kolom. Ordo matriks A =... x ... ditulis A…x…

Banyak elemen matriks = … x …Contoh:


baris ke ….baris ke ….

kolomke ….

kolomke ….

kolomke ….

baris ke ….

A=( 1−232 6 −34 0 75 8 −6)

a. Banyak baris = … e. a11 = … i. a22 = …b. Banyak kolom = … f. a23 = … j. a33 = …c. Ordo matriks A = … g. a31 = …d. Banyak elemen = … h. a14 = …

B. Jenis-Jenis Matriks1. Matriks baris, jika hanya ada … baris. Ordo = 1 x n

A1 x 3 = ( 1 2 3)2. Matriks kolom, jika hanya ada … kolom. Ordo = m x 1

B2 x1 = ( 4−2)3. Matriks persegi, jika banyak baris .... banyak kolom. Ordo =

n x n

C2 x 2 = (1 23 4)

C. Transpos MatriksTranspos matriks ditulis AT yang diperoleh dengan cara mengubahsusunan ............... menjadi .................. dan sebaliknya.

Contoh:

A=(1 −23 06 −1) AT=(… … …

… … …)D. Kesamaan Dua MatriksA = B jika kedua matriks berordo ............ dan elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) juga ................

A = ( 1 2−3 0) B = (

22

63

−124

0) Apakah A = B?Latihan!Tentukan nalai a dan b jika:

1. (2 31 a)=(b 3

1 −2) a = ..... b = ....


2. (a+2 6−5 9)=( 4 6

−5 2b−1)a + 2 = ... 2b – 1 = ...a = ... b = ...

3. (a+ba−b)=(46)a + b = ...a – b = ...dengan eliminasi atau substitusi didapatkan a = .... dan b = ....


Topik : Operasi Aljabar Matriks

1. PENJUMLAHAN MATRIKSJika A dan B berordo .........., A + B diperoleh dengan menjumlah elemen A dan B yang ........................

A = (1 −24 6 ) B = ( 3 0

−1 5) A + B = (… …

… …) + (… …… …)=(… …

… …)- Matriks Nol = matriks yang semua elemennya ....

O2 x 2 = (… …… …)

- Lawan matriksb = -A, B adalah ............. matriks A

LENGKAPILAH!

A = (−4 23 1) B = (−5 4

−1 0) C = (6 3

0 −2)a) A + B = (… …

… …) + (… …… …)=(… …

… …)


B + A = (… …… …) + (… …

… …)=(… …… …)

B + C = (… …… …) + (… …

… …)=(… …… …)

b) Dari hasil (a)

(A + B) + C = (… …… …) + (… …

… …)=(… …… …)

A + (B + C) = (… …… …) + (… …

… …)=(… …… …)

c) A + O = (… …… …) + (… …

… …)=(… …… …)

O + A = (… …… …) + (… …

… …)=(… …… …)

d) A + (-A) = (… …… …) + (… …

… …)=(… …… …)

2. PENGURANGAN MATRIKSJika A dan B berordo .........., maka pengurangan A dengan Bdinyatakan

A – B = A + (-B)Contoh:

A = (−4 23 1) B = (−5 4

−1 0)A – B = (… …

… …) - (… …… …)=(… …

… …) + (… …… …)=(… …

… …)B – A = (… …

… …) - (… …… …)=(… …

… …) + (… …… …)=(… …

… …)Apakah A – B = B – A ?


KESIMPULAN:1) A + B = ... + ...

(sifat ..................................)2) (A + B) + C = ... + (... + ...)

(sifat ....................................)

3. PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REALJika k bilangan reak, maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan k dengan .......................

A = (a bc d) kA = k (… …

… …)=(… …… …)

LENGKAPILAH!

A = (1 23 4) B = (2 3

5 −1) p = -1q = 2 dan r = 4

a) (q + r) A = (…+…)(… …… …) = ...(… …

… …)=(… …… …)

b) qA + rA = …(… …… …)+…(… …

… …)=(… …… …)+(… …

… …)=(… …… …)

c) r(A + B) = …[(… …… …)+(… …

… …)] = …(… …… …)=(… …

… …)d) rA + rB = …(… …

… …)+…(… …… …)=(… …

… …)+(… …… …)=(… …

… …)e) p(qA) = …[…(… …

… …)] = …(… …… …)=(… …

… …)f) (pq) A = (…x…)(… …

… …) = ...(… …… …)=(… …

… …)

LEMBAR KEGIATAN SISWA 3

Topik : Perkalian Dua Matriks

Misalkan ada dua matriks A dan B masing-masing berordo m x r dan r x n. Hasil kalinya:


KESIMPULAN:1) (q + r) A

= ... + …2) r (A + B) = …

Am x r x Br x n = C… x … Untuk mendapat elemen matriks C (cij) ikuti langkah berikut:1. Pilih baris ...... dari matriks A dan kolom ..... dari

matriks B2. Kalikan elemen yang bersesuaian dan jumlahkan

A.B = (a bc d).(p q

r s)=(……+…… ……+…………+…… ……+……)

LENGKAPILAH!

1)(2 14 −2).(3 6

5 7)=(……+…… ……+…………+…… ……+……)=(…+… …+…

…+… …+…)=(… …… …)

2) A=( 3 −2 10 1 5

−4 3 2) B=( 2 4−1 10 3)

Ordo A = ... Ordo B = .... Ordo AB = …

AB = ( 3 −2 10 1 5

−4 3 2)( 2 4−1 10 3)

= (……+…… ……+…………+…… ……+…………+…… ……+……)

= (…+… …+……+… …+……+… …+…)

= (… …… …… …)

Hitunglah BA? Apakah AB = BA?

MENEMUKAN SIFAT PERKALIAN MATRIKS

A=(0 31 2) B=(−1 2

1 3) C=( 2 3−1 −4)

Tentukan:a) AB dan BC


A.B = (… …… …).(… …

… …)=(……+…… ……+…………+…… ……+……)=(… …

… …)B.C = ( … …

... …).(… …… …)=(……+…… ……+……

……+…… ……+……)=(… …… …)

b) Dari jawaban (a) hitunglah (AB)C dan A(BC)

(AB).C = (… …… …).(… …

… …)=(……+…… ……+…………+…… ……+……)=(… …

… …)A.(BC) = ( … …

... …).(… …… …)=(……+…… ……+……

……+…… ……+……)=(… …… …)

Dari jawaban bagian (b), apakah hasilnya sama? Apa kesimpulanmu?.........................................................

.........................................................c) B + C dan AC

B + C = (… …… …)+(… …

… …)=(……+…… ……+…………+…… ……+……)=(… …

… …)A.C = ( … …

... …).(… …… …)=(……+…… ……+……

……+…… ……+……)=(… …… …)

d) Dari jawaban (a) dan (c) hitunglah A(B + C) dan AB + AC

A.(B + C) = (… …… …).(… …

… …)=(……+…… ……+…………+…… ……+……)=(… …

… …)AB + AC = ( … …

... …)+(… …… …)=(……+…… ……+……

……+…… ……+……)=(… …… …)

Dari jawaban (d), apakah hasilnya sama? Apa kesimpulanmu?.....................................................................................................................

e) BA dan CA

BA = (… …… …).(… …

… …)=(……+…… ……+…………+…… ……+……)=(… …

… …)CA = ( … …

... …).(… …… …)=(……+…… ……+……

……+…… ……+……)=(… …… …)

f) Dari jawaban (c) dan (e), hitunglah (B + C)A dan BA + CA


(B + C).A = (… …… …).(… …

… …)=(……+…… ……+…………+…… ……+……)=(… …

… …)BA + CA = ( … …

... …).(… …… …)=(……+…… ……+……

……+…… ……+……)=(… …… …)

Dari jawaban (f), apakah hasilnya sama? Apa kesimpulanmu?.....................................................................................................................

g) 3(BC) , (3B)C dan B(3C)

3(BC) = 3.(… …… …)=(3x… 3x…

3x… 3x…)=(… …… …)

(3B)C = [3( … …... …)].(… …

… …)=( … …... …).(… …

… …)¿(……+…… ……+…………+…… ……+……)=(… …

… …)B(3C) = (… …

… …).[3( … …... …)]=(… …

… …).(… …… …)

¿(……+…… ……+…………+…… ……+……)=(… …

… …)Apakah hasilnya sama? Apa kesimpulanmu?.....................................................................................................................

h) Dari jawaban (a), tentukan (AB)T

AB = (… …… …) maka (AB)T = (… …

… …)i) BT dan AT serta hasil kali BTAT

A=(0 31 2) B=(−1 2

1 3)Maka AT = (… …

… …) dan BT = (… …… …)

BTAT = (… …… …).(… …

… …)=(……+…… ……+…………+…… ……+……)=(… …

… …)


Dari jawaban (h) dan (i), apakah hasilnya sama? Apa kesimpulanmu?.......................................................................................................................

j) 2A, (2A)T, AT, dan 2AT

2A = 2 (… …… …)=(… …

… …)(2A)T = (… …

… …)AT = (… …

… …)2 AT = 2 (… …

… …)=(… …… …)

Apakah (2A)T = 2AT ?Apa kesimpulanmu?........................................................................................................................

KESIMPULAN:a. Asosiatif : (AB)C = A(.......)b. Distributif Kiri : A(B + C) = AB + .......

A(B – C) = ....... - ACc. Distributif Kanan : (B + C) A = ....... + CA

(B – C) A = BA - ........d. k (BC) = (k.....)C = B(k.......)e. (AB)T = ...T ...T

f. (kA)T = k........

LEMBAR KEGIATAN SISWA 4

Topik : Determinan dan Invers Matriks, Persamaan Matriks

1. DeterminanMatriks 2 x 2

A = (a bc d)

det A = |A|=|a bc d|=¿…….………


Matriks 3 x 3

A=(a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33)

Metode Sarrus

|A|=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|… …… …… …

det A = |A|=¿………………………………………………………………………………

- Matriks Singular jika det A = 0- Matriks nonsingular jika det A ≠ 0

LENGKAPILAH!

1) A = (2 −15 3 )

det A = |A|=|… …… …|=¿…x ... - ... x ... = ... - … = …

2) A = (4 3 12 5 43 2 1)

|A|=|4 3 12 5 43 2 1|

… …… …… …

= ................. + ...................+ .................. – ................... – .................... – ...................

= ... + ... + ... - ... - ... - ... = ...SOAL:1) Tentukn determinan matriks berikut

a) A = ( 7 −5−4 3 ) b) B = ( 3 2 4

0 1 −3−1 2 2 )


2) C = (x 51 x−2) dan D = (2 3x−2

x −5 )Jika |C|=|D|, maka tentukan nilai x yang memenuhi!

2. Invers MatriksInvers Matriks 2 x 2

A = (a bc d) I adalah matriks identitas

AB = BA = I I2 x 2 = (1 00 1)

A adalah invers B A. A-1 = A-1 . A = I

A-1 = 1

|A|.AdjA Matriks persegi yang punya

invers disebut …

= 1|A|(… …

… …) Syarat punya

invers: .......................................

LENGKAPILAH!

1) A = (4 21 1)

|A|=|… …… …|=¿…x ... - ... x ... = ... - …

= …

A-1 = 1

|A|.AdjA= 1… (… …

… …) = (… …… …)

2) A = ( 5 −10−2 4 )

|A|=|… …… …|=¿…x ... - ... x ... = ... - … = …

A-1 = 1

|A|.AdjA= 1… (… …

… …) = (… …… …)


3. PERSAMAAN MATRIKSJika A, B, dan X matriks persegi, A matriks nonsingular,

maka1) AX = B ⟺ X = ……….2) XA = B ⟺ X = …….....

LENGKAPILAH!

1) A=(4 52 3) B=(2 8

4 −6)AX = B |A|=|… …

… …|=¿…x ... - ... x ...

= ... - … = …

X = ................ A-1 = 1

|A|.AdjA=

1… (… …… …) = (… …

… …)X = 1… (… …

… …)(… …… …)

= 1… (… …… …) = (… …

… …)2) XA = B

X = ……………

= (… …… …) 1… (… …

… …)

= 1… (… …… …)(… …

… …)

= 1… (… …… …)=(… …

… …)


4. PENGGUNAAN MATRIKSMENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

{ax+by=cpx+qy=r

(… …… …)(xy)=(……)a. Dengan Invers Matriks

AX = BX = ...........

b. Determinan (Aturan Cramer)

D=|… …… …|

Dx = |… …… …| x = ……

Dy = |… …… …| y = ……

SOALAni membeli 2 buah pensil dan 1 buku tulis seharga Rp 5750. Sedangkan Iwan membeli 1 buah pensil dan 2 buku tulis seharga Rp 5500Tentukan harga pensil dan buku tulis dengan invers matriks dan aturan Cramer!

BAB 5. RELASI DAN FUNGSILEMBAR KERJA SISWA 1

Topik : Relasi dan FungsiMATERIPengertian Produk CartesiusJika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, makaproduk Cartesius himpunan A dan himpunan B adalah himpunansemua pasangan terurut (x,y) dengan x A dan y B danditulis AxB = {(x,y) | x A dan y B}. Contoh : Misal A : {a, b, c} dan B : {1, 2}, tentukan : Created by Mukhlisah Zulfa Nadiya 43

a. A x B c. A x Ab. B x A d. B x B

Jawab:A x B = {(a,1), (b,1), (c,1), (a,2), (b,2), (c,2)}B x A = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}A x A = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a),(c,b), (c,c)}B x B = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

RelasiMisal : A x B adalah produk Cartesius himpunan A dan B, maka relasiatau hubungan R dari A ke B adalah sembarang himpunan bagiandari produk Cartesius A x B.Pada relasi R = {(x,y)| x A dan x B} dapat disebutkanbahwa :a. Himpunan ordinat pertama dari pasangan terurut (x,y)

disebut daerah asal (domain).b. Himpunan B, disebut daerah kawan (kodomain).c. Himpunan bagian dari B yang bersifat Ry dengan y B

disebut daerah hasil (range) relasi R.Suatu relasi R = {(x,y) | x A dan x B} dapat ditulisdengan menggunakan :

a. Diagram panahb. Grafik pada bidang Cartesius

Contoh :Relasi dari himpunan A : {1,2,3,4} ke himpunan B : {0,1,2,3,4}ditentukan oleh f : {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)} dapatdituliskan rumus fungsi f : {(x,y) | y = x-1, x A, y B}.Fungsi f disajikan dalam diagram panah sebagai berikut :

Domain : Df : {1,2,3,4}Kodomain : Kf : {0,1,2,3,4}Range : Rf : {0,1,2,3}

Fungsi f dapat digambarkan grafik pada bidang kartesius :


12

34

Relasi f

1 2 3 4

0 1 2

3

Fungsi atau PemetaanRelasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi ataupemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan Aberpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B.f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, makafungsi f dilambangkan dengan f : A B


1

1 023

jika x A dan y B, sehingga(x,y) f, maka y disebut petaatau bayangan dari x oleh fungsi fdinyatakan dengan lambang y : f(x)(ditunjukkan dalam gambardisamping)

y = f (x) : rumus untuk fungsi fx disebut variabel bebasy disebut variabel tak bebasContoh :Diketahi f : A B dan dinyatakan oleh rumus f (x) = 2x –1.Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 x 4. x R}a. Tentukan f (0), f (1), f (2), f (3) dan f (4).b. Gambarkan grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1 dalam bidang

kartesius.c. Tentukan daerah hasil dari fungsi f.

Jawab :a. f (x) = 2x – 1, maka :

f (0) = -1f (1) = 1f (2) = 3f (3) = 5f (4) = 7

b. Grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1

y = f (x) = 2x – 1


f : x y = f(x)

BA

Daerah asal

c. Daerah hasil fungsi f Rf = {y | -1 y 7, y R}Jika daerah asal dari suatu fungsi f tidak atau belumditentukan, maka dapat diambil daerah asalnya himpunandari semua bilangan real yang mungkin, sehingga daerahhasilnya merupakan bilangan real. Daerah asal yangditentukan dengan cara seperti itu disebut daerah asalalami (natural domain).Contoh :Tentukan daerah asal dari fungsi berikut :

1. f (x) = 4

x+1Jawab :

f (x) = 4

x+1 , supaya f (x) bernilai real maka x + 1 0 atau x -1Jadi Df : {x | x R, dan x -1}

2. g (x) = √4−x2

Jawab :g (x) = √4−x2 , supaya g (x) bernilai real maka :4 – x2 0x2 – 4 0(x-2) (x+2) 0 -2 x 2Jadi Dg = {x | -2 x 2, x R}

Kerjakan Soal berikut1. Perhatikan himpunan A dan B berikut ini

A = {Rupiah, Rupee, Baht, Ringgit} B = {Indonesia, India,Thailand, Malaysia}

Dapatkah Anda melihat adanya hubungan antara himpunan A dan B?

Jelaskan :


.........................................................

.........................................................

.......................

.........................................................

.........................................................

.......................

.........................................................

.........................................................

.......................2. Perhatikan empat himpunan berikut ini

C={Jakarta, London, Cairo, Beijing} , D={Indonesia, Inggris, Mesir, China}E={Indonesia, Brazil, Nigeria, Swiss},

F={Asia,Amerika,Afrika,Eropa}Tentukan pasangan himpunan yang dapat mempunyai hubungan dan jelaskan hubungannyaJawab:....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

3. Isilah diagram Venn A dengan anggota himpunan A dan diagram venn B dengan anggota himpunan B dai soal no 1

A B


Selanjutnya buatlah hubungan anggota himpunan A dengan menggunakan dengan anggota himpunan B

4. Ulangi kembali seperti no 3 dengan himpunan-himpunan padasoal no 2Jawab : A B

5. Tentukan titik titik pada kordinat kartesius berikut sehingga memperlihatkan hubungan pada jawaban soal no 3

Malaysia

Thailand

India

Indonesia

Rupiah Rupee Bath Ringgit6. Buatlah Himpunan pasangan berurutan dari”Koordinat

kartesius” pada jawaban soal no 5Jawab :...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


.........................................................

.........................................................

.......................

.........................................................

.........................................................

.......................

.........................................................

.........................................................

.......................7. Ria, Budi, dan Edy gemar bermain bulu tangkis. Eko dan

Andi gemar bermain bola basket. Ali gemar bermain bulu tangkis dan bola basket.

a. Jika A adalah himpunan nama anak dan B adalah himpunan permainan, maka :

Tunjukkanlah relasi di atas dengan diagram panah! b. Nyatakanlah relasi tersebut dengan himpunan pasangan berurutanJawab:

A x B = {(Ria, ..................................... ), (Budi, .....................................), (................. , Bulu tangkis), (............ , .....................), (............. , ..........................), (............., ..........................)}

8. Tuliskan” hubungan” dari setiap diagram panah berikut ini


A B

9. Buatlah kesimpulan bagaimana dapat terjadinya hubungan antara 2 himpunan!...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

10. Perhatikan diagram panah

a. Tentukan hubungan dari setiap diagram panah berikut!b. Diagram panah mana yang semua anggotanya mendapat

pasangan anggota himpunan B?.........................................................

..............................................................

..................


11. Diagram panah yang setiap anggota himpunan A mendapat pasangan tepat satu pada anggota himpunan B dinamakan fungsi atau dengan simbol f . Manakah diagram panah pada soal no 9 yang merupakan fungsi , berikan alasannyaJawab :...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

12. Dalam fungsi himpunan A dinamakan Domain , himpunan B dinamakan kodomain , himpunan anggota himpunan B yang mendapat pasangan dinamakan rangeTentukan Domain, Kodomain dan range dari setiap fungsi pada soal no 10Jawab:......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


.........................................................

.........................................................

.......................

.........................................................

.........................................................

.......................

.........................................................

.........................................................

.......................

.........................................................

.........................................................

....................... .................................

.........................................................

...............................................

.........................................................

.........................................................

.......................

.........................................................

.........................................................

.......................13. Sebuah fungsi aljabar dapat dinyatakan dengan

f(x) = √x atau y = √xa. Isilah tabel berikut untuk fungsi f(x) = √xx 9 8 7f(x) 3b. Berapa nilai x yang berakibat nilai y atau f(x) tidak

dapat ditentukanJawab :..................................................................................................................................................................................................................................................................................

Dalam fungsi aljabar himpunan setiap nilai x yang yang menghasilkan nilai y yang merupakan bilangan riil merupakan daerah asal atau Domain dari fungsi dan himpunan nilai y yang merupakan bilangan riil dinamakan daerah hasil atau Range darifungsi.

14. Perhatikan diagram berikut.


(a) (b) (c)Diagram manakah yang mendefinisikan fungsi? Jelaskan...........................................................

.............................................................

................................................................................

.............................................................

................................................................................

.............................................................

................................................................................

.............................................................

................................................................................

.............................................................

................................................................................

.............................................................

................................................................................

.............................................................

................................................................................

.............................................................

................................................................................

.............................................................

......................

15. Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan aturan x2 - 4x + 3, dengan x ∈ A. Jika diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, tentukan:a. Himpunan pasangan berurutan dalam fb. Daerah asal (domain), daerah kawan (kodomain), dan

daerah hasil (range) dari f


Jawab:x 1 2 3 4f(x)

Df = ........................................Kf = ........................................Rf = ........................................

16. Tentukan domain dan range dari soal no 12Jawab :..................................................................................................................................................................................................................................................................................

17. Diketahui fungsi f = √2x−1 tentukan domain dan rangefungsi tersebut agar fungsi mempunyai nilai (peta).Jawab:Agar f(x) bernilai real maka 2x – 1 ≥ 0 2x ≥ ........x ≥ ........Jadi, D = {x │ .........................}R = {x │ ........................}

18. Diketahui fungsi f = 3x+62x−5 tentukan domain dan range

fungsi tersebut agar fungsi mempunyai nilai (peta).Jawab:Agar f(x) bernilai real maka penyebut dari pecahan tersebut ≠ 0................. ≠ 0 x ≠ ...........Jadi, D = {x │ .........................}R = {x │ ........................}

19. Diberikan fungsi f memetakan x ke y dengan rumus y =2x−1x+3 , x - 3. Tuliskan rumus fungsi g yang memetakan y ke x.Jawab:


y = 2x−1x+3

y (x + 3) = ...............xy + ..... = ................xy - ...... = -3y – 1x (...... - ......) = .................

x = …………………………………… , y ≠ ..........

20. Diketahui fungsi f(x)=3x−2 , hitunglah :a. f(2) b. f(-2) c. f(x+1) d. f(2x+5)Jawab :a. f(2) = 3 (....) – 2 = .... - .... = .....

b. f(-2) = 3 (....) – 2 = .... - .... = .....

c. f(x + 1) = 3 (...........) – 2 = ................

- .... = .....

d. f(2x + 5) = 3 (..............) – 2 = ................ -

.... = .....

21. Diketahui f(2x – 3) = 4x – 7. Hitunglah nilai dari f(7).Jawab:2x – 3 = ....2x = .... + 3 = ....x = ....f(7) = 4 (.....) – 7 = ....................

Latihan 1. Relasi-relasi himpunan A : {a,b,c,d} ke himpunan B :

{1,2,3,4} berikut ini manakah yang merupakan fungsi /pemetaan (gambarkan terlebih dulu diagram panahnya).a. f = {(a,1), (b,2),

(c,3), (d,4)}b. g = {(a,2), (b,2),

(c,3), (d,3)}c. h = {(a,4), (b,1),

(b,3), (c,2), (d,4)}

d. i = {(a,1), (a,2),(a,3), (a,4)}

e. j = {(a,1), (b,1),(c,1), (d,1)}


2. Relasi-relasi yang disajikan dalam bentuk grafik kartesiusmanakah yang merupakan pemetaan atau fungsi ?a. b.

c. d.


0X

Y Y

X0

Y

0X X

Y

0

3. Diketahui fungsi f : R R dinyatakan dengan rumus f (x) =x2 – 1.

Jika daerah asal f adalah Df : {x | -3 x 3, x R}a. Tentukan f (-3), f (-2), f (0), f (1), f (2), f (3).b. Gambarkan grafik fungsi f (x) = x2 – 1 dalam bidang

kartesius.c. Tentukan daerah hasil fungsi f.d. Tentukan nilai a jika diketahui f (a) = 3.

4. Tentukan daerah asal alami pada fungsi berikut !a. f (x) =

√5x−2 b. g (x) =1

4x−3

c. g (x) =1

√x+1

BAB 6. BARISAN DAN DERETLEMBAR KERJA SISWA 1

Topik: Barisan dan Deret Aritmatika

A. MENEMUKAN KONSEP BARISAN ARITMETIKA

Jika tinggi anak tangga pertama adalah20 cm, maka tinggi anak tangga keduabertambah 15 cm sehingga menjadi 35,anak tangga ketiga tingginya adalah 50,dan seterusnya selalu bertambah tinggi15 cm untuk tangga selanjutnya. Jika disusun urutan bilangan tersebut adalah

20, 35, 50, …., . Beda setiap dua bilangan yang berdekatanpada barisan adalah tetap yaitu 15. Dengan demikian barisan tersebut disebut BARISAN.............

Definisi: Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang beda setiap dua sukuyang berurutan adalah ..................B. MENEMUKAN RUMUS SUKU KE-n DARI BARISAN ARITMETIKADari gambar tinggi tiap anak tangga tersebut disusun barisanbilangan:20, 35, 50, …..,Dimana secara umum dituliskan: U1, U2, U3, …, Un.

U1 = a = 20 U2 = 35 U3 = 50


Maka tentukan: U7 dan U10

Alternatif JawabanSusun barisan bilangan : 20, 35, 50, 65, 80, 95, 110, 125,140, 155

U7

U10

Selanjutnya Tentukan U80 = ?Karena terlalu rumit untuk menyusun hingga suku ke 80, temukanrumus untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetikatersebut!Alternatif jawabanDari barisan: 20, 35, 50,…., , dimana : U1 = a = 20, beda = b =15 maka;

n Un Pola1 20 202 35 35 = 20 + 1 x 153 50 50 = 20 + 2 x 154 65 65 = 20 + ... x 15... ... ...7 .... 110 = 20 + ... x

1510 .... 155 = 20 + ... x

15n Un Un = 20 + (...

- ...) x 15

Karena a = 20 dan b = 15 maka diperoleh Un = ... + (.... -1) ....Uji:

1. U7 = 20 + (..... -1) x 15 = 20 + ... x 15 = 20 + ....... =........

2. U10 = 20 + (......-1) x 15 = 20 + ... x 15 = 20 + ....... =........

Jadi U80 = 20 + (... -1) x 15 = 20 + ... x 15 = 20 +............. = ...............

C. MENEMUKAN KONSEP DERET ARITMETIKA


Perhatikan gambar diatas! Untuk membuatsebuah anak tangga paling atas dibutuhkan20 buah batu bata. Jika setiap tingkattangga yang menurun diperlukan tambahanbatu bata sebanyak 20 batu bata, makaberapa banyak batu bata yang dibutuhkan

untuk membuat 20 buah anak tangga?Berdasarkan gambar tersebut susunan banyak batu bata membentukbarisan aritmetika:20, 40, 60, 80, ….,Karena dalam masalah ini adalah banyak batu bata yangdiperlukan untuk membuat 20 anak tangga maka banyak batu bataharus dijumlahkan.20 + 40 + 60 + ………………. + U20

Maka jumlah n suku pertama barisan aritmetika inilan yangdisebut ....................................

D. MENEMUKAN RUMUS DERET ARITMETIKA (Sn)Dari deret: 20 + 40 + 60 + 80 + 100 + …S1 = 20S2 = 20 + 40 = ....S3 = 20 + 40 + 60 = ......S4 = 20 + 40 + 60 + 80 = ........S50 = ?Alternatif JawabanAmbil: S3 maka:S3 = 20 + 40 + 60 S3 = 60 + 40 + 20 +

2S3 = ... + ... + ...

S3 = 3x…….…. = ............ ( terbukti benar )

Sehingga,Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un = a + (a + ...) + (a + ....) + … + (a+ (... - ...)b) maka:Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + ... +... + (a + (n-1)b)Sn = (a + (n-1)b) + … + .... + ... + (a + 2b) + ( a + b) + a +2Sn = n ( .... + (n-1)b )Sn = ………………………


E. MENENTUKAN JUMLAH DERET ARITMETIKA DENGAN RUMUSJadi dengan rumus tersebut dapat ditentukan:

S50 = ……….2 ( 2 x .... + (.... - 1)..... ) = .... ( ... + ... x

.... ) = .... ( .... + ...... ) = .... x ........

= ............

KESIMPULAN1. BARISAN ARITMETIKA ADALAH BARISAN BILANGAN YANG BEDA SETIAP

DUA SUKU YANG BERURUTAN ADALAH .......................2. RUMUS SUKU KE-n DARI BARISAN ARITMETIKA : Un = .... + (

........... ) ...3. DERET ARITMETIKA ADALAH BARISAN JUMLAH n SUKU PERTAMA

BARISAN ARITMETIKA

4. RUMUS DERET ARITMETIKA : Sn = …2 ( .... +

(...........).... )

Latihan

1. Perhatikan masalah berikut! Jika tinggi satu buah anaktangga adalah 20 cm, berapakah tinggi tangga jika terdapat15 buah anak tangga? Tentukanlah pola barisan?Jawab:U1 U2 U3 ... U20

... ... .... ... ?a = .... b = .... n = ...U20 = .... + ( ........... ) ... = .... + ( ........... )... = .... + ..... = ........

2. Bu Eli, seorang pengerajin batik di Gunung Kidul, ia dapatmenyelesaikan 6 helai kain batik berukuran 2,4 m × 1,5 mselama 1 bulan. Permintaan kain batik terus bertambahsehingga Bu Eli harus menyediakan 9 helai kain batik padabulan kedua, dan 12 helai pada bulan ketiga dan seterusnya


bertambah 3 helai pada tiap bulan hingga pada bulan kelimabelas. Dengan pola tersebut, berapakah banyak helai kainbatik pada bulan ke 15 yang dapat diselesaikan?Jawab:Barisan:U1 U2 U3 ... U15

... ... .... ... ?a = .... b = .... n = ...U15 = .... + ( ........... ) ... = .... + ( ........... )... = .... + ..... = ........

3. Sebuah toko buku pada bulan pertama menjual buku sebanyak50 eksemplar, pada bulan kedua 60 eksemplar, dan terusmenambah 10 eksemplar setiap bulannya hingga belan keduabelas. Berapa jumlah buku yag dijual toko tersebut selamasatu tahun itu?U1 + U2 + U3 + ... + U12 = ...... + .... + ... + .... + .... = ... ?a = .... b = .... n = ...

S12 = ……….2 ( 2 x .... + (.... - 1)..... ) = .... ( ...

+ ... x .... )

= .... ( .... + ...... ) = .... x ........

= ............

4. Diketahui Un = 5 – 3n .Hitunglah S20

a = U1 = 5 – 3 (....) = ..... - ..... = .....U2 = 5 – 3 (....) = ..... - ..... = .....

b = U2 – U1 = ..... - .... = ....

S20 = ……….2 ( 2 x .... + (.... - 1)..... ) = .... ( ...

+ ... x .... )

= .... ( .... + ...... ) = .... x ........

= ............



Topik : Barisan dan Deret GeometriA. MENEMUKAN KONSEP BARISAN GEOMETRI

Jika suatu bakteri setiap 1 jam akan membelah menjadi duabagian, maka setelah satu jam, bakteri tersebut menjadi 2.Setelah 2 jam, menjadi 4. Setelah 3 jam, menjadi 8, danseterusnya. Rasio (perbandingan) setiap dua bilangan yangberdekatan pada barisan adalah tetap yaitu.....Dengan demikian barisan tersebut disebutBARISAN ...............................

Waktu

0 1 2 3 4 5 6 7 ...

Bakteri

1 2 4 8 ...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Definisi: Barisan geometri adalah barisan bilangan yang rasio setiap dua suku yangberurutan adalah ..................

B. MENEMUKAN RUMUS SUKU KE- n BARISAN GEOMETRIU1 U2 U3 ... Un-1 Un

a ar ar2 ... arn-.... arn-....

Jadi, suku ke- n = Un = ................Perbandingan (rasio) dua suku yang berurutan:

r = U2U1

=U3

U2=U4

U3=…=

UnU…………….

C. MENEMUKAN RUMUS JUMLAH n SUKU DERET GEOMETRI (Sn)

Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un-1 + Un

Sn = a + ar + ar2 + ... + arn -1

-r Sn = - ar - ar 2 - ... - ar n -1 - ar n -Sn – r Sn = a - ...............Sn (1 - ....) = a(1 - ........)

Sn = a(1−…….)1−……….. , untuk r < 1 Atau Sn = a(…….−1)

………−1 ,

untuk r > 1

D. MENEMUKAN RUMUS SUKU KE- n dari Sn


Sn = a + ar + ar2 + ... + arn -2 + arn -1

Sn - 1 = a + ar + ar 2 + ... + ar n -2 Sn – Sn – 1 = .......................

Jadi, Sn – Sn – 1 = .....

Soal Latihan1. Tentukan suku yang diminta pada setiap barisan geometri

berikut:a. 3, 6, 12, ...( U8)Jawab:a = ... r = .... n = ....U8 = ar..... = .... x ....... = ... x ......... = ...........b. 2, 6, 18, 54, ... (U 10)Jawab:

a = .... r = .... n = ....

U10 = ar..... = .... x ....... = ... x ......... = ...........

2. Tentukan jumlah n suku yang diminta pada setiap barisangeometri berikut:a. 5 + 15 + 45 + .... + 3645

Jawab:a = ....r = ....Un = 3645

arn-1 = 3645

..... x ....n-1 = 3645

....n-1 = 3645 / .... = ........ = 3....

n – 1 = ....

n = .....

5 + 15 + 45 + .... + 3645 = S......

S..... = ….(3….−1)

3−1=…..(……….−1)

…. =….x……..

…. =…………

b. 4 + 8 + 16 + ... + 128a = .... r = .....

Un = 128

arn-1 = 128


.... x ....n-1 = 128

....n-1 = 128 /.... = ....... = 2....

n – 1 = ....

n = ....

4 + 8 + 16 + ... + 128 = S.......

S..... = ….(2….−1)

2−1 =…..(……….−1)

…. =….x……..

…. =…………

3. Diketahui suatu barisan geometri dengan a = 1 dan U7 = 64.Tentukan U10 ?Jawab:a = ...U7 = 64ar..... = 64....r..... = 64r..... = 64r = ....U10 = ar..... = 1 (.....).... = ..................

4. Diketahui barisan geometri dengan suku ketiga 27 dan sukukelima 3. Rasionya bilangan positif. Tentukan S6

Jawab:U3 = 27 U5 = 3ar..... = 27 ar..... = 3

U5U3 = ar

…..

ar….. Substitusi r = ...., misalnya ke U3 =

ar..... = 27327 = r ...... sehingga didapatkan a = .....1

….. = r ......

r = .......

S6 = a(1−r…..)1−r = …….(1−(…….)…..)

1−……… = …….(1−………..)……………


= .........................................................

............................


LKS Matematika Kelas X Semester 1

Documents

Transcript of LKS Matematika Kelas X Semester 1