L´ımites y continuidad

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DIFERENCIALEINTEGRAL1,UPV/E

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Cap´ıtulo 5Lımites y continuidad

... cuando los sucesivos valores que toma una variable se aproximan indefinidamente a

un valor fijo, de manera que terminan por diferir de el en tan poco como queramos, este

ultimo valor se llama el lımite de todos los demas. Augustin Cauchy (1821)

5.1. Lımites de funciones

Dado un punto x0

2 R, llamamos entorno de centro x0

y radio r al intervalo abiertoEr

(x0

) = (x0

� r, x0

+ r). Por otra parte, llamamos entorno reducido de centro x0

y yradio r al conjunto E⇤

r

(x0

) = (x0

� r, x0

+ r) \ {x0

}.Dado un conjunto A ⇢ R, decimos que x

0

2 R es un punto de acumulacion de Acuando

8" > 0, existe x 2 A tal que 0 < |x� x0

| < ",

lo cual equivale a decir que E⇤"

(x0

) \ A 6= ;.Dada una funcion y = f(x) con dominio D ⇢ R y un punto x

0

de acumulacion de D,decimos que un numero real L es lımite de f en x

0

cuando

8" > 0, existe � > 0 tal que |f(x)� L| < " si x 2 E⇤�

(x0

) \D.

Simbolicamente, escribimos lımx!x0

f(x) = L. Intuitivamente esto significa que los valores

de la funcion se van acercando a L cuando x toma valores cada vez mas proximos a x0

.Debemos tener en cuenta que no importa en este caso el comportamiento de la funcionen el punto x

0

: puede incluso no estar en el dominio.

Por otra parte, decimos que una funcion f tiene lımite infinito en x = x0

, y escribimoslımx!x0

f(x) = 1, cuando

8M > 0, existe � > 0 tal que f(x) > M si x 2 E⇤�

(x0

) \D.

61

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62 5.1. Lımites de funciones

Analogamente, decimos que lımx!x0

f(x) = �1, cuando

8M > 0, existe � > 0 tal que f(x) < �M si x 2 E⇤�

(x0

) \D.

Si unicamente interesa aproximarse a x0

por la derecha de el (es decir, para valoresmayores que x

0

), se hablara de lımite lateral por la derecha, y analogamente de lımitelateral por la izquierda (para valores x < x

0

). Las notaciones que se usaran son las delımx!x

+0

f(x) y lımx!x

�0

f(x), respectivamente.

Un caso particular de lımites laterales son los lımites al infinito, es decir los casos enque x

0

= 1 o x0

= �1. Ası decimos que lımx!1

f(x) = L, cuando

8" > 0, existe k > 0 tal que |f(x)� L| < " si x > k

y que lımx!�1

f(x) = L, cuando

8" > 0, existe k > 0 tal que |f(x)� L| < " si x < �k.

Como aplicacion de los lımites infinitos se pueden definir las asıntotas:

La recta x = h es asıntota vertical de la funcion y = f(x) cuando lımx!h

f(x) = 1o bien lım

x!h

f(x) = �1 (basta algun lımite lateral).

La recta y = k es asıntota horizontal de la funcion y = f(x) cuando lımx!1

f(x) = k

o bien lımx!�1

f(x) = k.

La recta y = mx + b es asıntota oblicua de la funcion y = f(x) cuando existenlos lımites que definen las constantes m y b ası:

m = lımx!1

f(x)

x, b = lım

x!1(f(x)�mx);

o bien

m = lımx!�1

f(x)

x, b = lım

x!�1(f(x)�mx),

y m 6= 0 en ambos casos.

El concepto de lımite de una funcion esta relacionado con el de convergencia de suce-siones como se puede comprobar con la siguiente caracterizacion.

Proposicion 5.1.1. Dada una funcion f : R ! R con dominio D y un punto x0

deacumulacion de D, son equivalentes:

a) Existe lımx!x0

f(x) = L.

b) Dada cualquier sucesion {xn

} ⇢ D \ {x0

}, si lım xn

= x0

, entonces lım f(xn

) = L.

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Capıtulo 5. Lımites y continuidad 63

Propiedades del lımite

Las propiedades basicas del lımite de funciones son analogas a las correspondientespara el lımite de sucesiones. Empezamos por demostrar la propiedad de unicidad dellımite.

Proposicion 5.1.2 (Unicidad). Si una funcion tiene lımite en un punto, este es unico.

Demostracion. Supondremos que la proposicion es falsa, es decir que L1

= lımx!x0

f(x),

L2

= lımx!x0

f(x) pero L1

6= L2

.

Si elegimos " = |L1

� L2

|/2, sabemos que

existe �1

> 0 tal que |f(x)� L1

| < " si 0 < |x� x0

| < �1

,

existe �2

> 0 tal que |f(x)� L2

| < " si 0 < |x� x0

| < �2

.

Si llamamos � = mın{�1

, �2

}, para todo x tal que 0 < |x� x0

| < �, por la desigualdadtriangular, resulta que

|L1

� L2

| = |L1

� f(x) + f(x)� L2

| |L1

� f(x)|+ |f(x)� L2

| < 2" = |L1

� L2

|

lo cual es absurdo.

Son tambien importantes las propiedades de lımite que corresponden a las operacionesaritmeticas de funciones.

Proposicion 5.1.3. Si x0

es un punto de acumulacion de D(f) \D(g), entonces

a) lımx!x0

(f + g)(x) = lımx!x0

f(x) + lımx!x0

g(x).

b) lımx!x0

(f · g)(x) = lımx!x0

f(x) · lımx!x0

g(x).

c) lımx!x0

(f/g)(x) = lımx!x0

f(x)/ lımx!x0

g(x) si lımx!x0

g(x) 6= 0.

Enunciamos a continuacion otras propiedades interesantes del lımite de funciones.

Proposicion 5.1.4 (Acotacion). Si una funcion tiene lımite finito en un punto, estaacotada en un entorno reducido del punto.

Demostracion. Por hipotesis, si L = lımx!x0

f(x) y L es finito, sabemos que, dado " > 0,

existe � > 0 tal que |f(x)�L| < " para todo x 2 E⇤�

(x0

). Como |f(x)�L| < " equivalea �" + L < f(x) < " + L, deducimos que, en el entorno reducido E⇤

�

(x0

), la funcionesta acotada inferiromente por �"+ L y superiormente por "+ L.

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Corolario 5.1.5. Si lımx!x0

f(x) = L 6= 0, existe un entorno reducido de x0

donde el

signo de f coincide con el signo de L.

Demostracion. Veamos el caso L > 0 pues la demostracion para el caso L < 0 essimilar.

Si elegimos " = L/2, por la propiedad anterior sabemos que existe � > 0 tal que, six 2 E⇤

�

(x0

), entonces �"+L < f(x) o bien L/2 < f(x). Esto significa que f(x) > 0.

Proposicion 5.1.6. Si f esta acotada en A ⇢ R, x0

es un punto de acumulacion deA y lım

x!x0

g(x) = 0, entonces lımx!x0

(f · g)(x) = 0.

Demostracion. Por una parte, por estar f esta acotada en A, existe M > 0 tal que|f(x)| M , 8x 2 A. Por otra parte, como lım

x!x0

g(x) = 0, dado cualquier " > 0, existe

� > 0 tal quex 2 E⇤

�

(x0

) =) |g(x)| < "/M.

Es evidente entonces que, si x 2 E⇤�

(x0

)\A, |f(x)g(x)| = |f(x)| · |g(x)| < M · "/M = ",es decir que lım

x!x0

(f · g)(x) = 0.

Proposicion 5.1.7. Si f(x) g(x), para todo x en algun entorno reducido de x0

,entonces lım

x!x0

f(x) lımx!x0

g(x).

Demostracion. Si llamamos L1

= lımx!x0

f(x) y L2

= lımx!x0

g(x), supongamos por el con-

trario que L1

> L2

. Como lımx!x0

(f � g)(x) = L1

� L2

> 0, podemos aplicar el corolario

5.1.5 y deducir que existe un entorno reducido E⇤r

(x0

) tal que, si x 2 E⇤r

(x0

), entonces(f � g)(x) > 0, lo cual contradice la hipotesis.

Proposicion 5.1.8 (teorema de la funcion intermedia). Si x0

es un punto de acumu-lacion de D(f) \ D(g) \ D(h), con f(x) g(x) h(x), 8x 2 E⇤

r

(x0

) y lımx!x0

f(x) =

lımx!x0

h(x) = L, entonces lımx!x0

g(x) = L.

Demostracion. Por hipotesis, dado " > 0,

existe �1

> 0 tal que |f(x)� L| < "/3 si 0 < |x� x0

| < �1

,

existe �2

> 0 tal que |h(x)� L| < "/3 si 0 < |x� x0

| < �2

.

Por tanto, si x 2 E⇤�1(x

0

) \ E⇤�2(x

0

), entonces

|g(x)� L| = |g(x)� f(x) + f(x)� L| |g(x)� f(x)|+ |f(x)� L| |h(x)� f(x)|+ |f(x)� L| |h(x)� L|+ |L� f(x)|+ |f(x)� L| < ",

de modo que lımx!x0

g(x) = L.

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Ejemplos.

1) Si f(x) = sen1

x, entonces lım

x!0

f(x) no existe.

Debido a la proposicion 5.1.1, si existiera L = lımx!0

f(x), dada cualquier sucesion {xn

}tal que lım x

n

= 0, entonces lım f(xn

) = L. Ahora bien, la sucesion xn

= 2

(2n+1)⇡

verifica que lım xn

= 0 pero f(xn

) = (�1)n, la cual no tiene lımite.

2) Si f(x) = x sen1

x, entonces lım

x!0

f(x) = 0.

Como la funcion dada es producto de g(x) = x, que tiene lımite cero, y h(x) =sen(1/x), que esta acotada, por la proposicion 5.1.6, su lımite es cero.

3) Si f(x) =

(

0 si x 62 Q1 si x 2 Q,

entonces lımx!0

f(x) no existe.

4) Si f(x) =

(

0 si x 62 Qx si x 2 Q,

entonces lımx!0

f(x) = 0.

5) Es facil comprobar que, si x 2 E⇤r

(0), entonces cos x <sen x

x< 1. Como lım

x!0

cos x =

lımx!0

1 = 1, entonces lımx!0

sen x

x= 1.

Infinitesimos e infinitos

Decimos que una funcion f es un infinitesimo en un punto x = x0

cuandolımx!x0

f(x) = 0. Del mismo modo, si lımx!x0

f(x) = 1, decimos que f es un infi-

nito en x = x0

.

Dados dos infinitesimos f y g en x = x0

, decimos que son equivalentes cuando

lımx!x0

f(x)

g(x)= 1 y decimos que f es de orden superior a g cuando lım

x!x0

f(x)

g(x)= 0.

Diremos que f es un infinitesimo de orden n en x0

cuando existe un valor finito

L = lımx!x0

f(x)

(x� x0

)ny L 6= 0.

Si f es un infinitesimo de orden n en x0

, se llama parte principal de f en x0

alvalor L(x� x

0

)n, que es un infinitesimo equivalente a f en x0

.

Un metodo comun para calcular lımites consiste en sustituir infinitesimos por otrosequivalentes de modo que el calculo resulte mas sencillo. A continuacion damos unalista de las equivalencias mas comunes entre infinitesimos y dejamos como ejercicio la

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comprobacion de su equivalencia.

Equivalencias entre infinitesimos

1) n

p

1 + f(x)� 1 ⇠ f(x)/n, cuando f(x) ! 0.

2) sen f(x) ⇠ f(x), cuando f(x) ! 0.

3) 1� cos f(x) ⇠ [f(x)]2/2, cuando f(x) ! 0.

4) tg f(x) ⇠ f(x), cuando f(x) ! 0.

5) ln(1 + f(x)) ⇠ f(x), cuando f(x) ! 0 (de otra forma ln f(x) ⇠ f(x) � 1, cuandof(x) ! 1).

6) af(x) � 1 ⇠ f(x) ln a, cuando f(x) ! 0 (en particular ef(x) � 1 ⇠ f(x)).

Estas formulas solo se pueden aplicar cuando los infinitesimos aparezcan como factoren la funcion cuyo lımite se quiere calcular. En otras palabras, la siguiente propiedades valida: Si f y g son infinitesimos equivalentes en x = c y h es cualquier funcion que

tiene lımite finito c, entonces f · h es un infinitesimo equivalente a g · h.

Ejemplo.

La funcion f(x) =ln(1 + x)

3px

es un infinitesimo de orden 2/3 en x = 0 porque

lımx!0

f(x)

x2/3

= lımx!0

ln(1 + x)

x= 1.

La siguiente propiedad caracteriza la equivalencia de dos infinitesimos:

Proposicion 5.1.9. Una condicion necesaria y suficiente para que dos infinitesimossean equivalentes es que su diferencia sea un infinitesimo de orden superior.

Demostracion. Supongamos que f y g son dos infinitesimos equivalentes en x0

. Enton-ces

lımx!x0

f(x)

g(x)= 1 =) lım

x!x0

✓

f(x)

g(x)� 1

◆

= 0 =) lımx!x0

f(x)� g(x)

g(x)= 0.

Esto significa que f � g es un infinitesimo de orden superior a g.

Recıprocamente, si f � g es un infinitesimo de orden superior a f y g en x0

, entonces

lımx!x0

f(x)� g(x)

g(x)= 0. De aquı deducimos que lım

x!x0

f(x)

g(x)= 1, de modo que f y g son

infinitesimos equivalentes en x0

.

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5.2. Continuidad de funciones

a) Una funcion y = f(x) con dominio D(f) es continua en un punto x0

2 D(f) silımx!x0

f(x) = f(x0

), es decir,

8" > 0, 9� > 0 : |x� x0

| < � =) |f(x)� f(x0

)| < ".

b) Una funcion y = f(x) es continua en un intervalo abierto (a, b) si lımx!x0

f(x) = f(x0

),

8x0

2 (a, b), es decir, si es continua en todos los puntos del intervalo.

c) Una funcion y = f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continuaen (a, b) y ademas lım

x!a

+f(x) = f(a) y lım

x!b

�f(x) = f(b).

Ejemplos.

1) f(x) =

(

sen(1/x) si x 6= 0

0 si x = 0,no es continua en x

0

= 0.

2) f(x) =

(

x si x 2 Q0 si x 62 Q,

es continua unicamente en x0

= 0.

3) f(x) =

(

1/q si x = p/q irreducible

0 si x 62 Q,es continua en todos los irracionales.

Operaciones con funciones continuas

1) Si f y g son funciones continuas en x0

, entonces las funciones f + g y f · g soncontinuas en x

0

.

2) Si f y g son funciones continuas en x0

y g(x0

) 6= 0, entonces la funcion f/g escontinua en x

0

.

3) Si f es continua en x0

y g es continua en f(x0

), entonces la funcion compuesta g � fes continua en x

0

.

Clasificacion de las discontinuidades

a) Evitable: existe lımx!x0

f(x) = L pero L 6= f(x0

).

b) Salto finito: existen lımx!x

+0

f(x) = L1

y lımx!x

�0

f(x) = L2

y son finitos pero L1

6= L2

.

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68 5.2. Continuidad de funciones

c) Salto infinito: existen los dos lımites laterales pero alguno de ellos es infinito.

d) Esencial: uno (o ambos) lımites laterales no existe.

Ejemplos

1. Si f(x) = [x2], entonces f tiene discontinuidad de salto en todo x = ±pn, n 2 N.

2. Si f(x) = [px], entonces f tiene discontinuidad de salto en todo x = n2, n 2 N.

3. Si f(x) = [x] + [�x], entonces f tiene discontinuidad evitable en todo x 2 Z.

Propiedades de las funciones continuas

Proposicion 5.2.1. Si una funcion f es continua en un intervalo cerrado [a, b], estaacotada en [a, b].

Demostracion. Sea A = {x 2 [a, b] : f esta acotada superiormente en [a, x]}. Es evi-dente que A 6= ; (porque a 2 A) y que A esta acotado superiormente (porque b es unacota superior). Por tanto, existe ↵ = supA.

Si fuera ↵ < b, como f es continua en ↵, existe � > 0 tal que f esta acotada en(↵� �,↵+ �). Por una parte, f esta acotada superiormente en [a, x

0

], para todo x0

< ↵y, por otra parte, f esta acotada superiormente en [x

0

, x1

], para todo x1

2 (↵,↵ + �).En conclusion, f esta acotada superiormente en [a, x

1

] lo que es absurdo.

Entonces ↵ = b, de modo que f esta acotada superiormente en [a, x], para todo x < b.Pero tambien lo esta en [x, b], por la continuidad de f en b por la izquierda.

Analogamente se prueba que f esta acotada inferiormente.

Observemos la importancia de que f sea continua en un intervalo cerrado; por ejemplo,la funcion f(x) = 1/x es continua en el intervalo (0, 1) pero no esta acotada.

Proposicion 5.2.2 (teorema de Weierstrass). Si una funcion f es continua en unintervalo cerrado [a, b], alcanza sus valores maximo y mınimo en [a, b].

Demostracion. Sea A = {f(x) : x 2 [a, b]}. Por el teorema anterior, existe ↵ = supA.

Si ↵ 6= f(x), 8x 2 [a, b], entonces la funcion g(x) =1

↵� f(x)es continua en [a, b] y,

por tanto, acotada. Ası pues, existe k > 0 tal que, 8x 2 [a, b],1

↵� f(x)< k de donde

f(x) < ↵� 1/k < ↵, lo cual es absurdo.

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Proposicion 5.2.3 (teorema de Bolzano). Si una funcion f es continua en un intervalocerrado [a, b] y en los extremos toma valores de distinto signo, existe algun c 2 (a, b)tal que f(c) = 0.

Demostracion. Supongamos que f(a) < 0 < f(b). Sea

A = {x 2 [a, b] : f es negativa en [a, x]}.Claramente, A esta acotado superiormente y A 6= ;. Si llamamos ↵ = supA, entonces↵ 2 (a, b).

Si fuera f(↵) < 0, entonces existe � > 0 tal que f(x) < 0 para todo x 2 (↵� �,↵+ �).Ası pues, dados x

0

2 (↵ � �,↵) y x1

2 (↵,↵ + �), f(x) < 0 para todo x 2 [a, x0

] yf(x) < 0 para todo x 2 [x

0

, x1

]. Esto implica que f(x) < 0 en [a, x1

] lo que es absurdo.

Si fuera f(↵) > 0, entonces existe � > 0 tal que f(x0

) > 0 para x0

2 (↵ � �,↵). Estocontradice el hecho de que f(x) < 0 para todo x 2 [a, x

0

].

En definitiva, debe ser f(↵) = 0.

Notas historicas. Bernardus Bolzano (1781-1848) fue acusado de hereje y expulsadode la Universidad de Praga por sus ideas pacifistas, nacionalistas y cientifistas de lafilosofıa. Tenıa prohibido publicar sus trabajos de modo que su obra no fue conocidahasta un siglo despues.

Ejemplo. Dados un entero positivo n y un numero real positivo a, la ecuacion f(x) = asolo tiene una solucion positiva.

Para demostrarlo, se define la funcion f(x) = xn�a, la cual es continua en R. Ademas,f(0) = �a < 0 y, si elegimos b > a y b > 1, entonces f(b) = bn � a > 0. Por el teoremade Bolzano, existe c 2 (0, b) tal que f(c) = 0, es decir cn = a.

Por otra parte, si existiera otra solucion distinta c 2 (0, b), necesariamente cn = cn = a.Sin embargo, si c < c, entonces cn < cn y, si c > c, entonces cn > cn, lo cual es imposible.

Proposicion 5.2.4 (teorema de Darboux). Si una funcion f es continua en un inter-valo cerrado [a, b], alcanza todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b).

Proposicion 5.2.5. Si una funcion f es continua y estrictamente creciente en unintervalo cerrado [a, b], entonces f : [a, b] ! [f(a), f(b)] es biyectiva.

Proposicion 5.2.6. Si una funcion f es continua e inyectiva en un intervalo cerrado[a, b], es monotona estrictamente.

Proposicion 5.2.7 (teorema de funcion inversa). Si una funcion f es continua yestrictamente creciente en un intervalo cerrado [a, b], entonces su funcion inversa f�1

es continua y estrictamente creciente en [f(a), f(b)].

Observacion. El recıproco de esta propiedad no es cierto: en el ejercicio 5.15 se muestraun ejemplo de funcion discontinua que tiene inversa continua.

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70 5.3. Continuidad uniforme

5.3. Continuidad uniforme

Decimos que una funcion f es uniformemente continua en un conjunto D cuando

8" > 0, 9� > 0 : para cualesquiera x1

, x2

2 D, |x1

� x2

| < � =) |f(x1

)� f(x2

)| < ".

Observemos que, a diferencia del concepto de continuidad, ahora � solo depende de ",no de x.

Se demuestra facilmente que, si f es uniformemente continua enD, entonces es continuaen D. Sin embargo, el recıproco no es cierto. Por ejemplo, si f(x) = 1/x, sabemos que fes continua en (0, 1]. Ahora bien, si elegimos " = 10, dado cualquier � < 1, sean x

1

= �,x2

= �/11. Ası pues, |x1

� x2

| < � pero |1/x1

� 1/x2

| = |1/� � 11/�| = 10/� > 10 = ".

El siguiente resultado proporciona las condiciones para que el recıproco sea cierto.

Teorema (Heine.) Si f es continua en un intervalo cerrado y acotado [a, b], entoncesf es uniformemente continua en [a, b].

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5.4. Ejercicios

Ejercicio 5.1. Calcular los siguientes lımites:

(a) lımx!2

x2 + 3x� 10

3x2 � 5x� 2L = 1 (b) lım

x!a

x2 � (a+ 1)x+ a

x3 � a3L = a�1

3a

2

(c) lımx!�2

x3 + 3x2 + 2x

x2 � x� 6L = �2/5 (d) lım

x!1

3x2 � 2x� 1

x3 + 4L = 0

(e) lımx!1

4x3 � 2x2 + 1

3x3 � 5L = 4/3 (f) lım

x!1

x2 + 2x+ 5

x2 + 1L = 4

(g) lımx!0

|2x� 1|� |2x+ 1|x

L = �4 (h) lımx!3

x2 � 9

|x� 3| L = ±6

(i) lımx!0

p1 + x� 1

xL = 1/2 (j) lım

x!1(px2 + 1�

px2 � 1) L = 0

(k) lımx!0

p

x2 + p2 � pp

x2 + q2 � qL = q/p (l) lım

x!1

px2 � 3

3px3 + 1

L = 1

(m) lımx!1

3px� 1px� 1

L = 2/3 (n) lımx!1

�

(x+ 1)2/3 � (x� 1)2/3�

L = 0

(o) lımx!7

px+ 2� 3

px+ 20

4px+ 9� 2

L = 112

27

(p) lımx!0

1� cos3 x

x3

L = ±1

(q) lımx!0

sen2(x/3)

x2

L = 1/9 (r) lımx!1

sen 4x

xL = 0

(s) lımx!0

+

xp1� cos x

L =p2 (t) lım

x!0

tg x� sen x

x3

L = 1/2

(u) lımx!0

cosmx� cosnx

xL = 0 (v) lım

x!⇡/3

1� 2 cosx

sen(x� ⇡/3)L =

p3

(w) lımx!1

✓

2x+ 3

2x+ 1

◆

x+1

L = e (x) lımx!0

x

q

cospx L = 1/

pe

(y) lımx!1

(cos(1/x)� sen(1/x))x L = 1/e (z) lımx!0

ln tg(ax+ (⇡/4))

sen bxL = 2a/b

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72 5.4. Ejercicios

Ejercicio 5.2. Sean f y g dos funciones para las que existen lımx!a

f(x) y lımx!a

g(x).

Sabiendo que lımx!a

�

f(x) + g(x)�

= 2 y lımx!a

((f(x)� g(x)) = 1, calcular lımx!a

(f(x) · g(x)).

Ejercicio 5.3. Dada la funcion

f(x) =

8

>

<

>

:

�2 senx si x �⇡/2

sen x+ 1 si �⇡/2 < x < ⇡/2

cos x si ⇡/2 x,

calcular lımx!�⇡/2

f(x) y lımx!⇡/2

f(x).

Ejercicio 5.4. Determinar los valores de a y b para que

lımx!0

pax+ b� 2

x= 1.

Ejercicio 5.5. Determinar los valores de x0

para que existan lımx!x

+0

f(x) y lımx!x

�0

f(x) y

especificar en que casos dichos lımites son iguales.

a) f(x) =p

x� [x].

b) f(x) = [x] +p

x� [x].

c) f(x) =1

[1/x].

Ejercicio 5.6. Encontrar las asıntotas de las siguientes funciones.

a) f(x) =x2 � 3

2x� 4. x = 2, y = 1 + x/2.

b) f(x) =2xp

4x2 � 4. x = 1, x = �1, y = 1, y = �1.

c) f(x) =|x+ 1|px2 + 1

. y = 1.

d) f(x) =

px2 + 5� 3

x2 � 4. y = 0.

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Ejercicio 5.7. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

a) f(x) =x2 � 1

x+ 1, f(�1) = �2. b) f(x) =

1

ln(|x|) , f(0) = 0, f(1) = f(�1) = 1.

c) f(x) =2x6 + x5 � x4

cos4 x sen3 2x, f(0) = 0. d) f(x) =

ln(1 + x)� ln(1� x)

x, f(0) = 0.

e) f(x) =5 · 21/x � 7

25 · 21/x + 8. f) f(x) = x · ln x2, f(0) = 0.

g) f(x) = x · [x]. h) f(x) = x · [1/x].

i) f(x) = x+x

|x| . j) f(x) = [x] · sen ⇡x.

k) f(x) =

(

x

|x| si x ⇡/2

tg x si x > ⇡/2.l) f(x) =

(

0 si x es irracional

sen ⇡x si x es racional.

m) f(x) =

8

<

:

1

1 + 2tg xsi x 6= ⇡/2

1/2 si x = ⇡/2.n) f(x) =

8

>

<

>

:

0 si x < 1px� 1 si 1 x 2

(x� 1)2 + 2 si x > 2.

o) f(x) =

8

>

<

>

:

|x� 1| si x < 2

0 si x = 2

x2 � 3 si x > 2.

p) f(x) =

8

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

:

x si x 0

x6 + x3 si 0 < x < 1

(x2 � 1)2 + 2 si 1 x < 2x3

2x+ 4+ 2 si 2 x.

q) f(x) =

(

|x| si |x| 1

1 si |x| > 1.r) f(x) =

8

<

:

x� 2

1 + e1

x�2

si x 6= 2

0 si x = 2.

s) f(x) =

(

(x+ 1)2�1|x|�

1x si x 6= 0

0 si x = 0.t) f(x) =

(

cos x · etg x si x 6= ⇡/2

0 si x = ⇡/2.

Ejercicio 5.8. Clasificar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:

a) f(x) =

(

cos(⇡x/2) si |x| 1

|x� 1| si |x| > 1.

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74 5.4. Ejercicios

b) f(x) =

8

>

<

>

:

e

x�1

x

si x 2 (�1, 0) [ (0, 1]

3 si x = 0

(1 + tg(⇡x))1/ cos(⇡x/2) si x 2 (1, 2).

Ejercicio 5.9. Encontrar los valores de las constantes para que las siguientes funcionessean continuas en su dominio.

a) f(x) =

(

x3 � x si x 1

k2x� 4 si x > 1. b) f(x) =

8

>

<

>

:

bx si x < �1

bx2 � a si �1 x 1

�x si x > 1.

Ejercicio 5.10. Determinar, caso de que sea posible, los valores de las constantes A,B, C, para que la siguiente funcion sea continua en todo R.

f(x) =

8

>

>

>

<

>

>

>

:

x2 + x3 si x 0

Ax+B si 0 < x < 1

(x2 � 1)2 + C si 1 x < 2x

3

2x+4

+B si 2 x.

Ejercicio 5.11. Calcular A y B para que la siguiente funcion sea continua en R.

f(x) =

8

>

<

>

:

�2 senx si x �⇡/2

A sen x+B si �⇡/2 < x < ⇡/2

cos x si ⇡/2 x.

Ejercicio 5.12. Dada la funcion

f(x) =

8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

r

x

2+ p si x < 1

4 si x = 1px+ 2�

p3

x� 1si x > 1,

encontrar el valor de p para que exista lımx!1

f(x). ¿Donde es f continua?

p = �5/12, D(f) = [5/6,1).

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Ejercicio 5.13. Demostrar que, si existe lımx!0

f(x)

x, entonces la funcion

g(x) =

(

f(x) si x 6= 0,

0 si x = 0.es continua en x = 0.

Ejercicio 5.14. Estudiar la continuidad de la funcion compuesta f � g en los casossiguientes:

a) f(x) =px, g(x) = x3 + 3x� 2.

b) f(x) = sign(x), g(x) = x(1� x2).

c) f(x) =

(

x si 0 < x 1

2� x si 1 < x < 2,g(x) =

(

x si x es racional

2� x si x es irracional,en (0, 2).

Ejercicio 5.15. Comprobar que la funcion inversa de la funcion discontinua f(x) =(1 + x2) sign(x) es una funcion continua en su dominio.

Ejercicio 5.16. Sean f y g dos funciones continuas en el intervalo [a, b] con f(a) <g(a) y f(b) > g(b). Demostrar que f(x) = g(x) para algun x 2 (a, b).

Sugerencia. Construir la funcion h(x) = f(x)� g(x).

Ejercicio 5.17. Supongamos que f es una funcion que verifica |f(x)| |x|, en todoslos puntos x 2 R. Probar que f es continua en x = 0.

Ejercicio 5.18. Sea g, h dos funciones que verifican lımx!0

g(x) = g(0) = 0, y |h(x)| |g(x)|, 8x 2 R. Probar que h es continua en x = 0.

Ejercicio 5.19. Sea f una funcion continua en x = 0 y que verifica f(x + y) =f(x) + f(y), 8x, y 2 R. Probar que f es continua en todo R.

Sugerencia. Probar primero que f(0) = 0 y despues calcular el lımite de f(x+y) cuandoy tiende a cero.

Ejercicio 5.20. Sea f una funcion continua en el intervalo [0, 1] y tal que 0 f(x) 1, 8x 2 [0, 1]. Probar que existe un punto c 2 [0, 1] tal que f(c) = c.

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76 5.4. Ejercicios

Sugerencia: Comprobar que la funcion g(x) = f(x)� x verifica el teorema de Bolzanoen el intervalo [0, 1].

Ejercicio 5.21. Sea f(x) = tg x. Comprobar que f(⇡/4) = 1, f(3⇡/4) = �1 y que enel intervalo [⇡/4, 3⇡/4] no hay ningun valor x tal que f(x) = 0. ¿Contradice esto elteorema de Bolzano? ¿Por que?

Ejercicio 5.22. Dada la funcion f(x) = x5 + 5x4 + 2x+ 1, encontrar un entero n talque f(x) = 0 para algun valor x del intervalo (n, n+ 1).

Ejercicio 5.23. Probar que existe un numero real x tal que x5 � 4x+ 1 = 7, 21.

Ejercicio 5.24. Probar que la ecuacion x2x = 1 tiene alguna solucion x 2 (0, 1).

Ejercicio 5.25. Probar que la funcion f(x) = x3 � 3x + 1 tiene alguna raız en elintervalo [1, 2].

Ejercicio 5.26. Demostrar que existe algun numero que sea igual a su cubo menosuno.

Sugerencia: El problema equivale a probar que la funcion f(x) = x3 � x � 1 toma elvalor cero en algun punto.

Ejercicio 5.27. Demostrar que existe algun numero real x tal que sen x = x� 1.

Ejercicio 5.28. Probar que existe x 2 R tal que x179 +163

1 + x2 + sen 2x= 119.

Ejercicio 5.29. Encontrar, en caso de que existan, los maximos y mınimos de lassiguientes funciones en los intervalos indicados.

a) f(x) =

(

x2 si x a

a+ 2 si x > a,en (�a� 1, a+ 1).

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b) f(x) =

(

x si x es racional

0 si x es irracional,en [0, a].

Ejercicio 5.30. Determinar la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones.

a) Si f es continua en x0

y g es discontinua en x0

, entonces f + g es discontinua enx0

.

b) Si f y g son discontinuas en x0

, entonces fg es discontinua en x0

.

c) Si una funcion f esta definida en un intervalo cerrado [a, b] y toma todos los valorescomprendidos entre f(a) y f(b), entonces es continua en [a, b].

d) Toda funcion continua que solo toma valores racionales es constante.

e) Si f es una funcion continua que verifica (f(x))2 = x2, entonces f(x) = x.

f) Si |f | es continua en x0

, entonces f es continua en x0

.

g) Si f y g son continuas en x0

, entonces max{f, g} es continua en x0

.

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