Θανάσης Στράντζαλος

Δρ Μαθηματικών & ΜΔΕ στη Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο του Πανεπιστημίου Κρήτης

«Όταν τα Μαθηματικά θεωρούνται σαν ένα στερεό, λογικά σωστό κι ενιαίο σώμα γνώσης που ταυτίζεται με το συμβολικό του σύστημα, τότε η μαθηματική επικοινωνία στην τάξη καταντά μια απλή μεταβίβαση συμβόλων»

Πρακτικά του 9ου Διεθνούς Συνεδρίου Μαθηματικής Εκπαίδευσης (ICME 9), 2004

» το ερώτημα που παραμένει προς απάντηση για κάθε δάσκαλο, είναι: «πώς προωθείται η αποτελεσματική, διαρκής κι ευσταθής μάθηση;»

ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (Δ.Ε.Π.Π.Σ.) & ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ (Α.Π.Σ.) ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

» “Οι μαθητές εξερευνούν μία κατάσταση, κατασκευάζουν ερωτήσεις και προβλήματα με βάση συγκεκριμένα δεδομένα, διατυπώνουν διαφορετικά το ίδιο πρόβλημα, αναγνωρίζουν και περιγράφουν ανάλογες καταστάσεις, ερευνούν ανοιχτές προβληματικές καταστάσεις, χρησιμοποιούν τα μαθηματικά στην καθημερινή ζωή και εξοικειώνονται με τις νέες τεχνολογίες…” (στόχοι όλων των τάξεων του Δημοτικού Σχολείου)

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι. ΔΗΜΟΤΙΚΟ

1. Ειδικοί σκοποί: Με τη διδασκαλία των Μαθηματικών στο Δημοτικό Σχολείο επιδιώκεται: » […] Η καλλιέργεια της μαθηματικής γλώσσας ως μέσου

επικοινωνίας » […] Η εξοικείωση με τη διαδικασία παραγωγής

συλλογισμών και την αποδεικτική διαδικασία » […] Η ανάδειξη της δυνατότητας εφαρμογής και πρακτικής

χρήσης των Μαθηματικών » Η ανάδειξη της δυναμικής διάστασης της μαθηματικής

επιστήμης (ιστορική εξέλιξη των μαθηματικών εργαλείων, συμβόλων και εννοιών).

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Ι. ΔΗΜΟΤΙΚΟ: Στ΄ Τάξη

» Να παρουσιάζουν στους συμμαθητές τους με σαφήνεια την απάντησή τους σ’ ένα πρόβλημα, η οποία περιλαμβάνει τη στρατηγική επίλυσης και το αποτέλεσμα.

» Να προβλέπουν την απάντηση του προβλήματος και να διατυπώνουν υποθέσεις σχετικά με την ύπαρξη ή όχι μιας ή περισσότερων λύσεων.

» Να βρίσκουν ενδιάμεσα ερωτήματα που υποβοηθούν την πορεία προς τη λύση.

» Να θέτουν δικά τους ερωτήματα και παρόμοια προβλήματα.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΙ. ΓΥΜΝΑΣΙΟ

1. Ειδικοί σκοποί: Με τη διδασκαλία των Μαθηματικών στο Γυμνάσιο επιδιώκονται οι παρακάτω επιμέρους σκοποί:

» […] Η καλλιέργεια της Μαθηματικής Γλώσσας ως μέσου επικοινωνίας αλλά και περιγραφής πραγματικών φαινομένων και καταστάσεων.

» Η σταδιακή κατανόηση των βασικών χαρακτηριστικών της δομής των Μαθηματικών.

» Η εξοικείωση με τη διαδικασία παραγωγής συλλογισμών και την αποδεικτική διαδικασία.

» Η σταδιακή ανάπτυξη της ικανότητας για επίλυση προβλημάτων και αντιμετώπιση πραγματικών καταστάσεων.

» Η ανάδειξη της εφαρμοσιμότητας και πρακτικής χρήσης των Μαθηματικών από την αρχαιότητα ως της μέρες μας, τόσο στις θετικές όσο και στις ανθρωπιστικές και κοινωνικοοικονομικές επιστήμες.

προβλήματα λεκτικής διατύπωσης: η συμβολική/σύντομη καταγραφή ως «επιλογή μεθόδου»

Δύο δίδυμα αδέρφια, ο Δημήτρης με τον Παναγιώτη, διαφωνούν για το ποιος από τους δύο είναι πιο ψηλός. Και οι δύο πήγαν πριν από δύο

χρόνια να βγάλουν δελτίο για τις αθλητικές δραστηριότητες που συμμετείχε το σχολείο. Το ύψος που είναι γραμμένο στο δελτίο του

Δημήτρη είναι ένα μέτρο και είκοσι τέσσερα εκατοστά. Ο Δημήτρης σε αυτά τα δύο χρόνια ψήλωσε κατά εβδομήντα δύο χιλιοστά. Το ύψος που είναι γραμμένο στο δελτίο του Παναγιώτη είναι ένα μέτρο και είκοσι ένα

εκατοστά. Ο Παναγιώτης σε αυτά τα δύο χρόνια ψήλωσε κατά εννιά εκατοστά. Ποιο από τα δύο αδέρφια είναι σήμερα πιο ψηλό;

» Μέσα από τέτοιες δραστηριότητες αναμένεται να υποστηριχθεί μια ομαλή μετάβαση μεταξύ κλασμάτων και δεκαδικών αριθμών, όταν οι μαθητές συνειδητοποιήσουν ότι η δεκαδική γραφή αρμόζει ευχερέστερα στην επίλυση του προβλήματος. Η επιδίωξη/επίτευξη αυτή θα χάνονταν από τον συμβολισμό!

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ, Βιβλίο η΄ (αριθμητική θεμελίωση)

Ἀριθμὸς ἀριθμὸν πολλαπλασιάζειν λέγεται, ὅταν, ὅσαι εἰσὶν ἐν αὐτῷ μονάδες, τοσαυτάκις συντεθῇ ὁ πολλαπλασιαζόμενος, καὶ γένηταί τις

A number is said to multiply a(nother) number when the (number being) multiplied is added (to itself) as many times as there are units in the former (number), and (thereby) some (other number) is produced. A number is said to multiply a number when that which is multiplied is added to itself as many times as there are units in the other, and thus some number is produced.

The verb συντεθῇ in the above Greek means PLACED or PUT TOGETHER. Euclid's definition was CHANGED by Henry Billingsley, in 1570, from "ab = a placed (or put together) b times" to ”ab = a added to itself b times”! Therefore for almost four and a half centuries, children have been taught multiplication via repeated addition, very often with the 'added to itself' error include with the pedagogy.

Ευγενική παροχή του μαθηματικού-ερευνητή Jonathan Grabtree, από την Αυστραλία, στον «Όμιλο Μαθηματικών – Μαθηματικό Περίπλου» του ΠΠΓΠΚ!

Το κείμενο πιο κάτω είναι σπάραγμα αυτού που συζητήθηκε και αναγνώσθηκε στον Όμιλο, για λόγους επιστημονικής ευπρέπειας (αφού η σχετική έρευνα του J. Crabtree δεν έχει ακόμα δημοσιευθεί). Η αρίθμηση των Προτάσεων αποτελεί μέρος της συμβολής μας στη σχετική διερεύνηση.

» Η γνώση και η ορθολογικότητα αναπτύσσονται με την ίδια διαδικασία με την οποία αναδύεται και το κοινωνικό πρόσωπο του ανθρώπου.

» Η ενδυνάμωση συμπεριλαμβάνει το δικαίωμα στη διαφορά, την ενδυνάμωση της ταυτότητας και της αυτοστοχαστικής συνείδησης.

»η «κοινωνική πίεση»

»να γίνουν οι γονείς συμμέτοχοι: μερική, μόνον, επιτυχία

»Βοήθεια στο σπίτι / υποστήριξη:

«…καθήστε στον καναπέ και κάντε… μαθηματικό κουτσομπολιό! …»

» «γράφω το δικό μου βιβλίο των Μαθηματικών»

Η ανάκληση της διδακτικής ώρας καθίσταται τόσο ισχυρή, ώστε οι μαθητές… αναπαράγουν (με άφθονο χιούμορ…) ή δημιουργούν δικούς τους διαλόγους με τον διδάσκοντα!

ΑΣΥΓΧΡΟΝΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΤΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΩΡΑΣ!!!!!!

«…έλα να σε οδηγήσω μέσα από το σκοτεινό κι επικίνδυνο μονοπάτι των Μαθηματικών…»

«…δεν θα σου δείξω τις τρομακτικές κι επικίνδυνες εξισώσεις, γιατί δεν τις κάναμε ακόμη, αλλά θα σου δείξω πώς να κάνεις τις πράξεις! …»

ΞΕΠΕΡΑΣΜΑ ΤΗΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΦΟΒΙΑΣ»

» «γράφω το δικό μου βιβλίο των Μαθηματικών»

«…Γιατί έχουμε δύο λέξεις: ‘διαίρεση’ και ‘κλάσμα’; …»

ΤΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

Οι μαθητές «αποκαλύπτουν», αλλά κι «ανακαλύπτουν» ότι ξέρουν

» «γράφω το δικό μου βιβλίο των Μαθηματικών»

ΑΥΤΕΝΕΡΓΕΙΑ, ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ,

ΑΝΑΣΤΟΧΑΣΜΟΣ, ΑΥΤΟΒΕΛΤΙΩΣΗ, «ΜΑΘΑΙΝΩ ΝΑ

ΜΑΘΑΙΝΩ, ΞΕΡΩ ΤΙ ΕΜΑΘΑ»

Η έκθεση των σκέψεων της/ου μαθήτριας/ή βοηθά στην αυτεπίγνωση, αλλά και στην λεπτομερειακή και διαφοροποιημένη διδακτική παρέμβαση. Η «λάθος» ή «σωστή» λύση θα οδηγούσε, μάλλον, στη «διόρθωση» και την «αξιολόγηση»

Όταν οι μαθητές γίνονται κοινωνοί και συμμέτοχοι στη διαμόρφωση της δομής του μαθήματος και της διδασκαλίας, τότε δεν αναφέρονται μόνο στους «άλλους», αλλά αυτό-αξιολογούνται κιόλας! Και, μάλιστα, αναλυτικότατα!

» «γράφω το δικό μου βιβλίο των Μαθηματικών»

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ, ΑΥΤΕΝΕΡΓΕΙΑ,

ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ, ΑΝΑΣΤΟΧΑΣΜΟΣ,

ΑΥΤΟΒΕΛΤΙΩΣΗ, «ΜΑΘΑΙΝΩ ΝΑ

ΜΑΘΑΙΝΩ, ΞΕΡΩ ΤΙ ΕΜΑΘΑ»?

» «γράφω το δικό μου βιβλίο των Μαθηματικών»

ΕΝΤΑΞΗ ΣΤΗΝ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΟΤΗΤΑ

» διαδικτυακοί διάλογοι στην ομάδα του μαθήματος στο edmodo

ΕΝΤΑΞΗ ΣΤΗΝ ΟΜΑΔΑ ΜΕΣΩ

ΤΗΣ ΥΙΟΘΕΤΗΣΗΣ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟΥ ΓΙΑ

ΧΡΗΣΗ ΣΕ…

ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ ΔΙΑΛΟΓΟ!

» διαδικτυακά εργαλεία στην ομάδα του μαθήματος στο edmodo

ΕΚΦΡΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΕΝΝΟΙΩΝ ΜΕ ΣΥΜΒΟΛΑ:

Το αίτημα για «υιοθέτηση της

μαθηματικής γλώσσας και του

συμβολισμού από τους μαθητές»

Εφαρμογές στη διαδικτυακή πλατφόρμα επικοινωνίας της τάξης edmodo, που συνδυάζουν το λόγο και τον μαθηματικό συμβολισμό, με παιγνιώδη χαρακτήρα. Η ενασχόληση με αυτές τις εφαρμογές (μπορεί να) γίνεται στο σπίτι…

» εργασίες λόγου…!

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ & ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ,

ΜΑΘΗΣΙΑΚΕΣ ΕΠΙΛΟΓΕΣ, ΕΠΙΓΝΩΣΗ

ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑΣ, ΣΥΝΕΙΔΗΤΟΠΟΙΗΣΗ

ΚΑΙ ΑΥΤΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ

Ο διδάσκων, βέβαια, δεν θα βάλει τη συγκεκριμένη μαθήτρια σε ομάδα… αγοριών χωρίς να προσέχει ιδιαιτέρως! Η ελεύθερη έκφραση των μαθητών μας ως εργαλείο για την «οργάνωση της σχολικής τάξης και των δραστηριοτήτων μέσα σε αυτήν», αλλά και…

…ως καταγραφή των εντυπώσεων των μαθητριών/ών για την ομαδοσυνεργατική διδασκαλία και τις απαιτήσεις της!

» ό,τι εκτέθηκε εδώ δεν αποτελεί, βέβαια, το σύνολο των διδακτικών στοχεύσεων και εργαλείων

» Υποδεικνύεται, για τον εκπαιδευτικό, ένας διδακτικός ρόλος πολυσύνθετος, πέραν και της εξειδίκευσης στο αντικείμενο, αλλά και της «διδακτικής επάρκειας» (με την τρέχουσα σημασία)

» επιτρέπει, αν δεν ενισχύει κιόλας, «εναλλακτική» αξιολόγηση σε βάθος

και της διδασκαλίας

και των γνωσιακών κατακτήσεων των μαθητών

και της προόδου που κάθε φορά επιτυγχάνεται και στις δύο αυτές παραμέτρους της «συνομωσίας της τάξης»

» υποδεικνύονται διδακτικές στοχεύσεις που ξεπερνούν την «συμπεριφοριστική» εκτέλεση διαδικασιών και προτρέπουν προς ορθολογική & κριτική διερεύνηση και απόφανση

» εμπεριέχεται η συνειδητοποίηση της αναγκαιότητας τα Μαθηματικά να αφεθούν να λειτουργήσουν και στο πολιτισμικό επίπεδο που αποδεικνύει η Ιστορία τους και η συνάφειά τους με τον Πολιτισμό, ειδικά στις ποιοτικές του αιχμές!

» τι έχουν να κερδίσουν τα Μαθηματικά από τη χρήση της Γλώσσας: εγκυρότητα & πιστοποίηση σε κοινωνικό πλαίσιο, συνεπώς το βάρος φεύγει από το «δύσκολο-εύκολο» και μεταφέρεται στο «αξίζει-δεν αξίζει τον κόπο» και στο «ξέρω τι κάνω και γιατί»

» τι έχει να κερδίσει η Γλώσσα από τη χρήση της στο μάθημα των Μαθηματικών: ο μαθηματικός συμβολισμός, ως «γλωσσική οικονομία» και ως «λόγος της ευσταθούς έννοιας», υποβάλει την αντίστοιχη γλωσσική του απόδοση