Grupo 1

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Hipótesis de De Broglie

NOMBRES: Francisco Villacís Katherine Toromoreno Henry Villavicencio Diego Domínguez

Ondas de De BroglieUn gran avance en la comprensión de la estructuraatómica se inició en 1924, con una proposición departe del príncipe Louis De Broglie, un físico ynoble francés. Su razonamiento, interpretadolibremente, fue algo así: la naturaleza ama lasimetría.

La luz tiene naturaleza dual, y en algunos casos secomporta como ondas y en otro como partículas. Si lanaturaleza es simétrica, esa dualidad también debeser válida para la materia. Los electrones y losprotones, que nosotros solemos imaginar comopartículas, en algunos casos se deben comportar comoondas. Esto fue exactamente lo que el príncipe LouisDe Broglie (1892-1987). Un estudiante francés apunto de graduarse de doctorado en ese entonces,propuso en 1923. Su tesis de doctorado, de dospáginas, contenía esta hipótesis. La idea fue tanrevolucionaria, que fue considerada comoinverosímil, y solamente cuando un notable físico,Albert Einstein, notó la enorme importancia de lapublicación, la idea de De Broglie fue tomada enserio; concediéndole su doctorado y posteriormentele haría ganar el premio Nobel de Física de 1929.

Si una partícula actúa como una onda, debería teneruna longitud de onda y una frecuencia. De Brogliepostuló que una partícula libre con una masa enreposo m, que se mueve a una rapidez no relativistav, debería tener una longitud de onda λ relacionadacon su cantidad de movimiento p=mv exactamente enla misma forma que un fotón, como expresa laecuación λ=h /p. Entonces, la longitud de onda de DeBroglie para una partícula es:

λ=hp

= hmv

(1.1)

Donde h es la constante de Planck. Si la rapidez deuna partícula es una fracción apreciable de lavelocidad de la luz, entonces se usa la ecuaciónrelativista del movimiento dada por:

LOUIS DE BROGLIE

Físico Francés 1892-1987

De Broglie nació en Dieppe, Francia. Estudió historia en la Sorbona de París en preparación para lo que sería una carrera diplomática.Posteriormente cambió su carrera para convertirse en un físico teórico. En el año de 1929 lefue otorgado el premio Nobel de Física debido a su predicción de la naturaleza ondulatoria de los electrones.

mu=mγv=mv

√1−v2c2

(1.2 )

Para obtener:

λ=hp=

hmvγ=

hmv √1−

v2

c2(1.3)

Para el caso de un electrón, hasta velocidades de40% de la velocidad de la luz, la aproximaciónrelativista es muy cercana al resultado exacto de laecuación 1.1. (Ver figura 1.1). Según De Broglie, lafrecuencia f también se relaciona con la energía dela partícula E en la misma forma que para un fotón,es decir:

E=hf (1.3)

Así, las relaciones entre longitud de onda ycantidad de movimiento, o frecuencia y energía, enla hipótesis de De Broglie, son exactamente lasmismas para partículas que fotones.

Para apreciar la enorme importancia de laproposición de De Broglie, debemos tener en cuentaque en esos tiempos no había prueba experimentaldirecta de que las partículas tuvierancaracterísticas ondulatorias. Una cuestión essugerir una nueva hipótesis para explicarobservaciones experimentales, y otra cosa muydistinta proponer un alejamiento tan radical de losconceptos establecidos solo con bases teóricas. Sinembargo, era claro que se necesitaba una idearadical. La naturaleza dual de la radiaciónelectromagnética había conducido a la adopción delconcepto de fotón (también una idea radical). Eléxito limitado en la comprensión de la estructuraatómica indicaba que se necesitaba una revoluciónsemejante en la mecánica de las partículas.

La hipótesis de De Broglie fue el comienzo de esarevolución. Pocos años después de 1924 fuedesarrollada por Heisenberg, Schrödinger, Dirac,Born y muchos otros una teoría detallada llamada

mecánica cuántica. Este desarrollo ya estaba muyadelantado antes de que se encontrara una pruebaexperimental directa de las propiedades ondulatoriasde la partícula.

La mecánica cuántica implica revisiones totales denuestros conceptos fundamentales de la descripciónde la materia. Una partícula no es un puntogeométrico, sino una entidad distribuida en elespacio. La distribución espacial de la partícula sedefine con una función llamada función de onda,análoga a las funciones de onda que se usa para lasondas mecánicas y para las ondas electromagnéticas.La función de onda de una partícula libre conenergía definida tiene un patrón de onda recurrentecon una longitud de onda y frecuencia definida. Losaspectos de onda y la partícula no soninconsistentes: el principio de complementariedadnos indica que se necesita tanto el modelo departícula como el de la onda, para tener unadescripción completa de la naturaleza.

El modelo de Bohr y las Ondas de DeBroglieEn el modelo de Bohr se representa los niveles deenergía del átomo de hidrógeno en función de órbitaselectrónicas definidas. Esto es una simplificaciónexcesiva, y no se debe tomar al pie de la letra. Sinembargo la idea más importante en la teoría de Bohrfue la existencia de los niveles discretos deenergía, y su relación con las frecuencias de losfotones emitidos. La nueva mecánica cuántica sigueasignando solo ciertos estados permitidos de energíaa un átomo, pero con una descripción más general delmovimiento del electrón en términos de funciones deonda. En el átomo de hidrógeno, los niveles deenergía que predice la teoría cuántica son losmismos que los que indica la teoría de Bohr. Enátomos más complicados, para los que no funciona leteoría de Bohr, la representación mecánico-cuánticaestá en excelente concordancia con lasobservaciones.

Figura 1.1

Longitud de onda de DeBroglie se un electróncomo una función de suvelocidad.

Rojo: resultado exacto

Gris: Aproximación relativista

La hipótesis ondulatoria de De Broglie tiene unarelación interesante con el modelo de Bohr. Se puedeusar la ecuación 1.1 para obtener la condicióncuántica de Bohr de que la cantidad de movimientoangular L=mvr debe ser un múltiplo entero de laconstante de Planck. El método es similar a ladeterminación de las frecuencias de modo normal, deondas estacionarias. Por ejemplo, para ondasestacionarias en una cuerda fija en ambos extremos,los extremos siempre son nodos, excepto elfundamental. Para que satisfaga las condiciones enla frontera, la longitud total de la cuerda debe serigual a un número entero de medias longitudes deonda.

Una onda estacionaria en una cuerda no transmiteenergía, y los electrones en las órbitas de Bohr noirradian energía. Así, imaginemos que un electrón esuna onda estacionaria ajustada en torno a un círculode una de las órbitas de Bohr, para que la onda seauniforme, la circunferencia de este círculo debeincluir algún número entero de longitudes de onda,como indica la figura 1.2. Para una ‘orbita conradio r y circunferencia 2πr, se debe cumplir que2πr=nλ donde N=1,2,3… de acuerdo con la relaciónde De Broglie, ecuación 1.1, la longitud de onda λde la partícula con masa en reposo m que se muevecon la rapidez vno relativista es λ=h /mv. Alcombinar 2πr=nλ con λ=h /mv, se ve que 2πr=nh /mv,es decir:

mvr=n h2π

(1.4)

La ecuación 1.4 es el resultado obtenido por Bohrque establece que la magnitud de la cantidad demovimiento angular L=mvr debe ser igual a un enteron por h /2π. Así, una imagen mecánico-ondulatoriaconduce en forma natural a la cuantización de lacantidad de movimiento angular del electrón.

El Experimento Davisson-GermerFigura 1.2

Diagramas que muestra la idea de ajuste a una onda estacionaria en torno a una órbita

La propuesta hecha en 1923 por De Broglie en elsentido de que la materia exhibe propiedades a lavez ondulatorias y de partícula, fue considerada unasimple especulación. Si las partículas como loselectrones tuvieran propiedades ondulatorias, bajolas condiciones adecuadas, deberían exhibir efectosde difracción. Solo cuatro años después, Clinton J.

Davisson(1881-1958) yLester

H. Germer(1896-1971)lograron

medir la longitud de onda de los electrones. Esteimportante descubrimiento fue la primeraconfirmación experimental de las ondas de materiapropuestas por De Broglie.

En 1927Clinton Davisson y Lester Germer, trabajando en losBell Telephone Laboratories, estudiaban lassuperficies de una pieza de níquel, dirigiendo aella un haz de electrones y observando cuantoselectrones rebotaban a diferentes ángulos. La figura1.3 muestra un arreglo experimental como el deellos. La muestra era policristalina: como muchosotros metales, estaba formada por muchos cristalesmicroscópicos unidos, con orientaciones aleatorias.Los investigadores esperaban que hasta la superficiemás lisa se seguiría viendo más áspera, según unelectrón, y que el haz de electrones se reflejaría

Figura 1.2

Diagramas que muestra la idea de ajuste a una onda estacionaria en torno a una órbita

Figura 1.3

Aparato parecido al que usaron Davissony Germer para descubrir la difracción

Figura 1.3

a) Gráfica de la intensidad del haz dispersado deelectrones en función del ángulo de dispersión θ

b) Interferencia constructiva de las ondas de electrones dispersadas por dos átomos adyacentes: se presenta cuando

en forma difusa, con una distribución uniforme deintensidad, en función del ángulo θ.Durante el experimento se produjo un accidente, yentró aire en la cámara de vacío, formándose unapelícula de óxido en la superficie del metal. Paraquitar esta película, Davisson y Germer calentaronla muestra en un horno de lata temperatura, casihasta la fusión. Ellos no lo sabían, pero loanterior causó la formación de grandes regionesmonocristalinas, con planos cristalinos continuos enel ancho del haz de electrones.

Cuando se repitieron las observaciones, losresultados fueron muy distintos. Se formaron máximosen la intensidad del haz de electrones reflejado, enángulos específicos (Figura 1.3a), en contraste conla variación uniforme de intensidad en función delángulo, que habían observado Davisson y Germer antesdel accidente. Las posiciones angulares de losmáximos dependían del voltaje Vba de aceleración quese usó para predecir el haz de electrones. Davissony Germer estaban familiarizados con la hipótesis deDe Broglie, y notaron la semejanza de esta figuracon la difracción de rayos X. no era el efecto queestaban buscando, pero de inmediato reconocieron queel haz de electrones se estaba difractando. Habíandescubierto una confirmación experimental muydirecta de la hipótesis ondulatoria.

Probabilidad e IncertidumbreEl descubrimiento de la naturaleza dual, ondulatoriacorpuscular, de la materia nos ha forzado areevaluar el lenguaje cinemático que usamos paradescribir la posición y el movimiento de unapartícula. En la mecánica newtoniana clásica, unapartícula se concibe como un punto. Podemosdescribir su lugar y su estado de movimiento encualquier instante en tres coordenadas espaciales(x,y,z ) y tres componentes de velocidad (vx,vy,vz).Pero en general, esa descripción específica no esposible. Cuando bajamos a una escala suficientementepequeña, hay limitaciones fundamentales de la

Figura 1.3

a) Gráfica de la intensidad del haz dispersado deelectrones en función del ángulo de dispersión θ

b) Interferencia constructiva de las ondas de electrones dispersadas por dos átomos adyacentes: se presenta cuando

precisión con la que se pueda determinar la posicióny la velocidad de una partícula. Muchos aspectos delcomportamiento de una partícula se establecen sóloen términos de probabilidades. Por lo tanto, lahipótesis de De Broglie sobre la naturalezaondulatoria de la materia no conduciráirremediablemente a otra propiedad fundamental de lanaturaleza, el principio de incertidumbre deHeisenberg, que está dado por la siguientedesigualdad:

ΔxΔpx≥h2π (1.5 )

La ecuación 1.5 fue descubierta por el físico alemánWerner Heisenberg (1901-1976). Establece que, engeneral, ni la posición ni la cantidad de movimientode una partícula se pueden determinar con unaprecisión arbitrariamente grande, como indicaba lafísica clásica. En vez de ello, las incertidumbresen las dos cantidades juegan papelescomplementarios.

El Microscopio ElectrónicoUn aparato práctico que se basa en lascaracterísticas ondulatorias de los electrones es elmicroscopio electrónico. En la figura 1.4 aparece unmicroscopio electrónico de transmisión que seutiliza para estudiar muestras planas y delgadas. Enmuchos aspectos es similar a un microscopio óptico,de cualquier modo, el microscopio electrónico tieneun poder de resolución mucho mayor porque puedeacelerar electrones hasta energías cinéticas muyaltas, con lo que se logran longitudes de onda muycortas. Ningún microscopio tiene la capacidad de Figura 1.5

Fotografía de un microscopio electrónicode color mejorado que muestra el detalle significativo de un ácaro de bodega Lepidoglyphus destructor. Este ácaro es tan pequeño que los microscopios ordinariosno pueden definir sus detalles anatómicos.

definir detalles que sean significativamente menoresque la longitud de onda de las ondas utilizadas parailuminar el objeto. Las longitudes de onda de loselectrones son cerca de 100 veces más cortas que lasde la luz visible utilizada en los microscopiosópticos. Como consecuencia, un microscopioelectrónico con lentes ideales sería capaz dedistinguir detalles aproximadamente 100 veces máspequeños que un microscopio óptico. (La radiaciónelectromagnética con la misma longitud de onda quelos electrones de un microscopio electrónico sepresenta en la región de rayos X del espectro)

El haz de electrones en un microscopio electrónicose controla mediante desviación electrostática omagnética, que actúa sobre los electrones paraenfocar el haz y formar una imagen. En vez deexaminar la imagen a través de un ocular, comoocurre en un microscopio óptico, el observadorestudia una imagen formada en un monitor o en algúnotro tipo de pantalla de despliegue. La figura 1.5pone de manifiesto el gran detalle disponible alutilizar un microscopio electrónico.

Bibliografía

On the Theory of Quanta (Recherches Sur LaThéorie Des Quanta), Louis-Victor De Broglie,Annalen Der Physics, 1926.

Física para Ciencias e Ingeniería, Serway-Jewett, Cengage Learning, séptima edición,mexico, 2007.

Física Universitaria con Física Moderna, Sears-Zemanzky, Volumen II, decimosegunda edición,Pearson Educación, mexico, 2009.

Física para Ingeniería y Ciencias con FñísicaModerna, Bauer-Westfall, Volumen II, McGraw-Hill, mexico, 2011.