Assalamu’alaikum Wr. Wb

Met Pagi kawan2,,, ^.^

Rabu, 11 September 2013_ kelompok 1_Metode Numerik

DERET TAYLORDAN

ANALISIS GALAT

Dewi Nurelah

Fajar W. Al-Silmy

Irwan NugrahaWinipah

Yomi Nurkhoms

ah

3

MODEL MATEMATIKA BIOLOGI

REKAYASA(ENGINEERING)

FISIKA

KIMIA

EKONOMI

Pengertian Metode Numerik Metode => Cara

Numerik => Angka Maka Metode Numerik yaitu cara berhitung dengan menggunakan angka – angka untuk memformulasikan persoalan matematik

PERANAN KOMPUTERdalam METODE NUMERIK

• Langkah-langkah metode numerik diformulasikanmenjadi program komputer yang ditulis dalam

bahasa pemrograman, seperti PASCAL,FORTRAN, C, C++, BASIC, dan sebagainya.

• Terdapat banyak program aplikasi komersil yang langsung dapat digunakan seperti MathLab, MathCad, Maple, Mathematica, Eureka, dan

sebagainya.

KOMPUT

ER

DERET TAYLOR • Definisi :

Andaikata f dan semua turunannya, f’,f’’,f’’’,… menerus di dalam selang [a,b]. Misalkan : xoє[a,b], maka nilai-nilai x di sekitar xo dan xє[a,b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor :

...)(!)(....)(!2

)()(!1)()()( )(''

2

0'

o

mm

oo

ooo xf

mxxxfxxxfxxxfxf

• Jika (x-xo)=h,maka :

• Contoh 1Hampiri fungsi f(x)=sin(x) ke dalam deret Taylor di sekitar xo=1.Penyelesaian :

...)(!....)(!2)(!1)()( )(''2

0' o

mm

oo xfmhxfhxfhxfxf

f(x) = sin(x) f’(x) = cos(x) f’’’(x) = - cos(x) f’’(x) = - sin(x) f(4)(x) = sin(x)

dst.

maka :

Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar xo=0, maka deretnya dinamakan deret Maclaurin yang merupakan deret Taylor baku.

...)1sin(24)1cos(6)1sin(2)1cos()1sin( )sin( )(432

hhhhxxf

...0351,00901,04208,05403,08415,0)( 432 hhhhxf

Contoh 2

f(x)= sin(x) dimana xo = 0Penyelesaian:

)0cos(6)0sin(2)0cos()0sin( )sin( )(32 hhhxxf

1206 )sin( )(53 xxxxxf

Contoh 3 f(x)=ex dimana xo=0 Penyelesaian :

...!4)0(

!3)0(

!2)0(

!1)0()( 0

430

200

exxexexeexf x

...!4!3!21)(43

02

xxexxexf x

•Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga banyaknya, maka untuk alasan praktis deret Taylor dipotong sampai suku order tertentu.

•Deret Taylor yg dipotong sampai order ke-n dinamakan deret Taylor terpotong yg dinyatakan:

Dengan demikian deret Taylor yg dipotong sampai suku order ke-n dapat ditulis :

)()(!)(....)(!2

)()(!1)()()( )(''

2

0' xRxf

nxxxfxxxfxxxfxf no

nn

oo

ooo

)(/ );()!1()()( )1( residusisagalatdisebutxcxcf

nxxxR o

non

)()()( xRxPxf nn

dimana :

Contoh 4: f(x)=sin(x); xo=1; utk deret Taylor orde ke-n

Penyelesaian :

)(!)()(

1o

kn

k

ko

n xfkxxxP

)()!1()()( )1(

)1(cf

nxxxR n

no

n

)1sin(!4)1()1cos(!3

)1()1sin(!2)1()1cos(!1

)1()1sin()(432

4

xxxxxP

)cos(!5)1()()!14(

)1()(5

)14()14(

4 cxcfxxRGalat

ANALISIS GALATGalat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya.Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yg didapatkan. Kita harus memahami dua hal, yaitu :a. Bagaimana menghitung galatb. Bagaimana galat timbul

14Copyright©2010 Companyname | Free template by Investintech PDF Solutions

15Copyright©2010 Companyname | Free template by Investintech PDF Solutions

• Misalkan :

• Contoh 5:

: , ^

makaasejatinilaiterhadaphampirannilaiadalaha

galatdisebutaa ^

45,10 10,5; ^

aa 05,05,1045,10 ^

aaMutlakGalat

%100 : xa

relatifGalat R

%100 : ^ xa

hampiranrelatifGalat RA

Dalam penerapan dunia nyata,tentu saja nilai sebenarnya tidak diketahui sebelumnya, alternatifnya adalah dengan mengambil nilai taksiran (aproksimasi).

Untuk menghitung aproksimasi yang lebih baik, galat sering ditaksir dengan selisih aproksimasi sekarang dan sebelumnya.

KESALAHAN(GALAT)

%100xiaproksimasiaproksimasgalat

a

%100xsekarangiaproksimassebelumnyasekarangiaproksimas

a

Contoh 6:Diketahui : a= 10/3; â = 3,333Hitung :

(a). Galat !(b). Galat mutlak !(c). Galat relatif !(d). Galat relatif hampiran !

Penyelesaian :(a). Galat є = a-â

=10/3 – 3,333 = 10.000/3000 – 9999/3000

= 1/3000 = 0,000333

(b) Galat Mutlak = | a-â | = |10/3 – 3,333| = 0,000333

(c) (c)

(d) (d) 0,01%100%x (10/3)

0,000333 100%x : relatifGalat aR

9991100%x 3,333

0,000333 100%x :hampiran relatifGalat ^ a

RA

SUMBER UTAMA GALAT NUMERIK

Penyebab terjadinya Galat

Galat Pembulatan

Galat Pemotongan

Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dalam perhitungan numerik, yaitu :1. Galat pemotongan (truncation error)2. Galat pembulatan (round-off error)Ada sumber galat lain, yaitu :1. Galat eksperimental2. Galat pemrograman

MACAM-MACAM KESALAHAN (GALAT)

1. GALAT PEMOTONGAN (truncation error).Kesalahan ini terjadi karena tidak dilakukannya hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar. Galat ini timbul akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak. Maksudnya, ekspresi matematika yang lebih kompleks diganti dengan formula yang lebih sederhana.Tipe galat pemotongan bergantung pada metode komputasi yang digunakan untuk penghampiran sehingga kadang-kadang disebut juga galat metode.

• Maka :

......!10!8!6!4!21)cos()(108642

xxxxxxxf

Nilai hampiran

Galat pemotongan

• Misalkan: turunan pertama f(x1), dihampiri dengan formula :

dimana : h = lebar absis xi+1

• Contoh 6 : hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan deret Taylor di sekitar x =

0 !Penyelesaian :f(x) = cos(x) f(4)(x) = sin(x)f’(x) = - sin(x)f’’(x) = - cos(x)

hxfxfx iif )()()( 1

1'

• RUMUS GALAT PEMOTONGAN :

)()!1()()( )1(

)1(cf

nxxxR n

no

n

2. DERET PEMBULATAN • Perhitungan dgn metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan riil.

• Masalah timbul bila komputasi numerik dikerjakan dengan komputer karena semua bilangan riil tdk dapat disajikan secara tepat di dlm komputer.

• Keterbatas an komputer dlm menyajikan bilangan riil menghasilkan galat yg disebut galat pembulatan.

• Contoh 7:1/6 = 0,16666666, kalau 6 digit komputer hanya menuliskan 0,166667.Galat pembulatannya

= 1/6 – 0,166667 = -0,00000033.

3. GALAT TOTAL • Galat akhir atau galat total pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan.

• Contoh 8 :

9800667,024)2,0(

2)2,0(1)2,0(

42Cos

Galat pemotongan Galat pembulatan

Wassalamu’alaikum Wr. Wb

Terimakasih