1

FUNGSI TRIGONOMETRI

LIMIT FUNGSI

Limit Fungsi. Limit fungsi f(x) merupakan nilai hampirandari f(x) untuk nilai x mendekati nilai tertentu misal x=a.Bentuk umum : Lim f(x) x->aJika diketahui dua buah fungsi f(x) dan g(x) masing-masingmemiliki sebuah nilai limit, maka jumlah, selisih,perkalian, dan pembagian dari kedua fungsi tersebut jugamempunyai sebuah nilai limit. Di bawah ini sifat-sifat limitfungsi aljabar :

1. Limit penjumlahanfungsi merupakan penjumlahan limit masing-masing fungsi.lim (f(x) +g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

2. Limit selisih fungsimerupakan selisih limit masing-masingfungsi.lim (f(x) – g(x)) = lim f(x) – lim g(x)

3. Limit perkalianfungsi merupakan perkalian limit masing-masing fungsi.lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . lim g(x)

4. Limit pembagianfungsi merupakan pembagian limit masing-masing fungsi.

lim )()(xgxf =

1

Operasi limit pada bentuk-bentuk tak tentu seperti , ,

0 x ∞, 1∞, ∞0, dan ∞ - ∞ harus mengikuti prosedur pengerjaansesuai dengan ketentuan L’Hospital

Contoh 1 : (Bentuk )

limit = limit = 12

x->2 x->2

Contoh 2 : (Bentuk )

lim - x = lim

x->∞ x->∞

= lim

x->∞

= lim = 3

x->∞

Latihan :

1. Bentuk tak tentu

lim = lim

2. Bentuk tak tentu

lim = lim

3. Bentuk tak tentu 0x∞ 1∞, ∞0, dan ∞- ∞ terlebih dulu harus dikembalikan kebentuk 1 dan 2

1

1. Limit

x->0

2. Limit

x-> 1

3. Limit

x-> 0

4.

x->0

5.

x-> 0

6.

x ->∞

Beberapa cara yang dapat ditempuh untuk menyelesaikan soallimit yaitu : penyederhanaan, pengalihan ke bentuk sekawan,penurunan ataupun dengan cara khusus. Dibawah ini rumusdasar limit trigonometri untuk x mendekati 0.

Contoh :Lim x

cosec 2x =

lim

x- >0 x->0

= lim ½

ingat : lim = 1

x->0 x->0 = ½

Latihan :

1. Limi

t =

x->1

5. Limit

=

x->0

1. Limit

=

2. Limit

=

3. Limit

=

4. Limit

=

5. Limit

=

6. Limit

=

1

2. Limi

t =

x->23. Limi

t =

x->04. Limi

t =

x->0

6. Limit

=

x->07. Limit

=

x-> ∞

8. Limit

=x->∞

DIFERENSIAL

Diferensial. Diferensial merepresentasikan persamaankemiringan grafik fungsi f(x). Hitung diferensial mempunyaiketerkaitan dengan perhitungan limit (kaidah L’ Hospital).Bentuk umum diferensial :

y' = = f’(x)

Di bawah ini merupakan diferensiasi berbagai fungsi dasaryang penting untuk diingat.

1. y = cos xy’ = - sin x

8. y = xn y’ = nxn-1

9. y = ex y’ = ex

1

2. y = tg xy’ = sec2 x

3. y = ctg xy’ = -

cosec2 x4. y = sec x

y’ = sec x.tg x

5. y = cosec x y’ =-cosec x cotg x

6. y = sinh xy’ = cosh x

7. y = cos x y’ =-sin x

10. y = ekx

= kekx

11. y = ln xy’ = 1/x

12. y = alogx y’ = 1/(xln a)

13. y = ax

= ax ln a14. y = sin

x y’ = cosx

1

Ada beberapa ketentuan yang harus diperhatikan dalamoperasi diferensiasi

1. Jika sebuah fungsi dikalikan dengan konstanta makaturunannya dikalikan juga dengan konstanta itu.

2. Diferensiasi jumlah atau selisih aljabar daribeberapa fungsi sama dengan penjumlahan atau selisihdiferensiasi masing-masing fungsi.

3. Diferensiasi perkalian dua buah fungsi adalah samadengan perkalian turunan fungsi yang pertamadikalikan fungsi kedua ditambah dengan turunanfungsi kedua dikalikan dengan fungsi pertama

4. Diferensiasi pembagian dua buah fungsi adalah samadengan perkalian penyebut dan turunan pembilangdikurangi perkalian pembilang dan turunan penyebutdibagi kuadrat penyebut.

Contoh 1 : (perkalian)y = x3 sin x tentukan y’……….Jawab :f(x) = x3 dan g(x) = sin x sehingga f’(x) = 3x2

dan g’(x) = cos x makay’ = f’(x).g(x) + f(x).g’(x)y’ = 3x2.sin x + x3 cos x

Contoh 2 : (pembagian)

y = tentukan y’=…………

1

Jawab :f(x) = sin x f’(x) = cos x g(x) = cos xg’(x) = -sin x

y’ =

= = sec2 x

Latihan :

1. y = ex sin xtentukan y’…

2. y = 4x3 sin xtentukan y’….

3. y = ex cos xtentukan y’....

4. y = cos x sin xtentukan y’....

5. y = tentukan

y’....

6. y = tentukan

y’....

Diferensiasi berantai. Untuk fungsi komposisi (fungsi didalam fungsi yang lain) maka harus diturunkan satupersatu secara berurutan. Ini dinamakan Diferensiasiberantai. Aturan turunan berantai :

Contoh : y = sin (3x + 5) tentukan y’? Jawab : Misal u = 3x +5 u’ = 3 Jadi y’ = u’.y’= 3 cos (3x +5)

Latihan :Tentukan turunan fungsi (y’) dibawah ini :

1. y = sin (4x + 3)2. y = (2x-5)4

3. y = sin3 x

4. y = tg 5x5. y = e2x-3

6. y = 4 cos(7x+2)

1

Fungsi implisit. Dalam fungsi implisit tidak dapatdipisahkan y dan x pada dua ruas yang berbeda. Sebagaicontoh adalah fungsi 2x + tg(y+1) = 5. Untukmendiferensiasikan fungsi tersebut harus diingat bahwa yadalah fungsi x.Contoh :

Tentukan dari x2 + y2 = 25 (persamaan lingkaran

bejari-jari 5)Jawab :

Dengan tetap mengingat bahwa y adalah fungsi x maka

2x + 2y = 0

2y = -2x

=

Latihan :

Tentukan dari :

1. x2 + y2 -2x – 6y +5 = 0

2. x2 + 2xy +3y2 = 0

3. x3 +y3 +3xy2 = 04. (x+y)2 = 0

Persamaan Parametrik. Biasanya fungsi f(x) dinyatakansebagai y = f(x). Tetapi dapat pula baik y maupun xmerupakan fungsi variabel lain misal t. Sehingga y=f(t)dan x=f(t). Ini dinamakan persamaan parametrik. Untukmendapatkan turunan persamaan parametrik mirip denganmenggunakan turunan berantai.Contoh:

y = cos 2t dan x = sin t tentukan dan

Jawab :

= = -2 sin 2t. = -4 sin t

1

= = . = -4

Latihan :

Tentukan dan dari :

1. y = 3 sin t - sin3

tx = cos3 t

2. y = 3(t-sin t)x = 3(1-cos t)

Aplikasi Diferensiasi. Setelah mempelajari tentangkonsep diferensiasi maka diferensiasi fungsi dapatdiaplikasikan dalam banyak hal di antaranya:

1. Menentukan harga limit dengan ketentuanL’Hospital

2. Menentukan gradien garis singggung (m) pada titikpada grafik y = f(x)

m = y’(x) = f’(x)3. Menentukan titik ekstrim grafik fungsi y = f(x)

Ekstrim maksimumsyarat : y’ = 0 dan y’’< 0

Ekstrim minimumsyarat : y’ = 0 dan y’’>0

4. Menentukan titik belok grafik fungsi y = f(x)syarat : y” = 0

5. Menentukan fungsi naik atau fungsi turun darigrafik fungsi y = f(x)

Fungsi naik syarat : y’ > 0

Fungsi turun syarat : y’ < 0

6. Menentukan kecepatan dan percepatan Kecepatan merupakan turunan pertama dari fungsi

jarak Percepatan merupakan turunan pertama fungsi

kecepatan

1

Contoh :Diketahui sebuah fungsi gerak vertikal ke atas h = 20t –5t2. Dengan h menyatakan tinggi (m) dan t menyatakanwaktu (sekon). Tentukan :

a. kecepatan pada saat t = 3 sb. tinggi maksimum

Jawab :

a. v = = 20 -10.t v(3) = 20 -10.3 =

-10 m/sb. syarat h maksimum : h’ = 0 20-10t = 0 t = 2 s hmaks = 20(2) – 5(2)2 = 320 m

Latihan :

1. Jika f(x) = 6x3 + 5x2 + x +8tentukan f’(0)

2. Tentukan gradien fungsi di bawah inidi pusat koordinat :

y = y = (X-3)2

3. Tentukan titik ekstrim fungsi y = x3

-3x +1 dan tentukan jenisnya?4. Jika f(x) = 5x2 + -1/2 maka

tentukan f’(x)?5. Tentukan persamaan garis normal y =

di titik (2,3) dan persamaan garis

singgung di x= 1?6. Tentukan persamaan garis singgung y

= 2x2 – 2x +3 di titik (1,3)7. Tentukan persamaan gradien grafik y

= di titik (1,0)

1

INTEGRAL

Integral Baku. Integrasi merupakan kebalikan daridiferensiasi. Bentuk umum :

Y = dinamakan integral tak tentu dari fungsi f(x). Dinamakantak tentu karena tidak memiliki bata-bataspengintegrasian tertentu. Dibawah ini merupakanringkasan rumus integral baku yang sering digunakan :

=

= ln x + c

= ex + c

= + c

= + c

= -cos x+ c

= sin x+ c

= tg x +

c

= -cotg x

+ c

= coshx +c

=

sinh x + c

= arc sin x + c =- arc cos x + c

= arc tg

x + c = -arc cotg x + c

= arc

sinh x + c

= arc

cosh x + c

= arc tgh

x + c

1

Latihan :

1. =

2. =

3. dx =

4. =

5. =6. =

Integral Substitusi. Pada permasalahan integralterkadang ditemukan turunan fungsi yang satu merupakanfungsi yang lain. Ini dinamakan integral substitusi.Bentuk umum :

dan .

Contoh 1: (pembagian)

= = ln ( x2 + 3x – 5) +

cDari contoh tersebut diketahui bahwa pembilang merupakanturunan penyebut. Inilah yang disebut bentuk integralsubstitusi pembagian.

Latihan :

1. =

2. =

3. =

4. =

Contoh 2 : (perkalian)

= = + c

1

Dari contoh tersebut diketahui bahwa fungsi yang satumerupakan turunan fungsi yang lain. Inilah yang disebutbentuk integral substitusi perkalian.

Latihan :

1. =2. =

3. =4.

=

1

Latihan :

1. =

2. =

3. =4. =

Integrasi dengan Pecahan Parsial. Integral yangmelibatkan pembagian fungsi yang kompleks dapatdikerjakan dengan mengubah kebentuk pecahan parsial yanglebih sederhana. Ketentuan yang harus diingat dalampecahan parsial :

1. Derajat pembilang harus lebih rendah daripenyebut.

2. Faktorkan penyebut karena dari sini akanditentukan bentuk pecahan parsial. Faktor (ax + b) pecahan parsial

Faktor (ax + b)2 pecahan parsial

Faktor (ax + b)3 pecahan parsial

Faktor (ax2+bx+c)pecahan parsial

Contoh :

= ............

= = +

selanjutnya dengan menyamakan ruas kiri dan kanandiperoleh A= -2 dan B = 3 maka diperoleh :

1

= +

= -

= ln (x-2) –ln (x-1) + c

Latihan :

1. =

2. dx =

3. =

4. =

Integrasi fungsi trigonometri. Integral dari fungsitrigonometri terkadang melibatkan identitas fungsitrigonometri.

sin2 x + cos 2 x =1cos 2x = cos2 x –sin2 xcos 2x = 2 cos2 x -1cos 2x = 1 – 2 sin2 x

1 + tg2 x = sec2 x1 + ctg2 x = cosec2 x

sec x = cosec

x =

Contoh :

= =

Latihan :1. =2. =

3. =4. =

Apabila integrasi trigonometri melibatkan perkalianfungsi trigonometri maka hubungan identitas trigonometridi bawah ini harus diperhatikan.

2 sin A cos B = sin (A+B) + cos (A-B)

1

2 cos A sin B = sin (A+B) – cos (A-B) 2 cos A cos B = cos(A+B) + cos (A-B) 2 sin A sin B = cos (A-B)-cos (A+B)

Contoh : = 1/2

= 1/2

= 1/2

+c

Latihan :

1.

=2.

=3.

=

4.

=5.

=

6.

=

7.

8.

=

9.

=

10.

=

11. =

12. =

13. =

14.

=

1

PENERAPAN INTEGRAL

Integral Tertentu. Integral yang telah dibahas sejauhini merupakan integral tak tentu. Dikatakan demikiankarena tidak memiliki batas integrasi. Integral denganbatas atas dan batas bawah dinamakan integtral tertentu.

Bentuk umum : . Huruf a dan b menyatakan batas

atas dan batas bawah integrasi.

Luas Kurva. Luas kurva dapat dihitung dengan metodeintegrasi tertentu (berbatas) asal diketahui fungsi darikurva yang bersangkutan serta nilai batas atas dan batasbawah. Langkah menghitung integral berbatas :

Prosedur penghitungan integral berbatas:1) Intrgrasikan fungsi dan tuliskan

hasilnya alam notasi kurung sikudengan batas integral di ujung kanan

2) Substitusikan batas atas 3) Asubstitusikan batas bawah4) Kurangkan hasil pertama dengan hsil

kedua

Contoh :

= 4 = 2 (e-e-2) = 5,166

Latihan :

1. 4.

1

=

2.

=

3.

=

=

5.

=6.

=

Luas kurva yang dibatasi f(x) yang beradadi bawah sumbu x =0 yang dihitung denganmetode integral berbatas akan bertandaminus. Ini akan rancu bila ada sebagianluasan yang berada di bawah sumbu dan

diatas sumbu x=0.

Contoh :Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y =x2 -6x +5 ,sumbu x mulai dari x=1 dan x=3?

Jawab :

Luas = = =

= -5 1/3 satuan

Tanda minus meyatakan bahwa luas daerah yangdihitung berada di bawah sumbu x = 0. Silahkan Andacoba dengan membalik batas integrasi....

Latihan :

1. Hitunglah luas grafik yangdibatasi kurva y=sin x dengan batas x= 0 rad dan x = rad?∏

2. Hitunglah luas kurva yangdibatasi kurva y= sin x dengan batas x

1

= rad dan x = 2 rad?∏ ∏3. Hitunglah luas kurva yang

dibatasi kurva y= sin x dengan batas x= 0 rad dan x = 2 rad?∏

Persamaan Parametrik. Persamaan parametrik merupakanpersamaan dimana baik y maupun x merupakan fungsivariabel lain yang dinamakan parameter. Langkahpengintegrasian persamaan parametrik adalah :

Prosedur Integrasi :1) Nyatakan x dan y

dalam persamaan parametrik2) Ubah variable yang

bersesuaian3) Sisipkan batas-atas

parameter

Contoh :Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva denganpersamaan parametrik x = at2 y = 2at t = 1 dan t=2?

Jawab :

x = at2 ; ; dx = 2at

dt

Luas = = = =

=

Latihan :

1. Jika x = a sin t dan y = b co ttentukan luas daerah dibawah kurvatersebut antara t = 0 dan t = phi?

2. Jika x = t –sin t dan y = 1 –cos t tentukan luas dibawah kurva di

1

antara t = 0 dan t = phi?

Nilai rerata (mean). Untuk menghitung nilai rerata fungsi f(x) di antara x = a dan x = b dapat dilakukan dengan membagi luasan daerah tersebut dengan selisih b dan a.Contoh : Tentukan mean dari y = 3x2 + 4x + 1 di antara x=-1dan x=2?Jawab :

Mean = = =

6

Harga RMS. Harga RMS menyatakan akar dari kuadrat y rata-rata di antara batas-batas tertentu. Dalam bahasa Inggris dinyatakan sebagai harga Root Mean Square.

Contoh : Tentukan rms dari y = x2+3 di antara x=3 dan x=3?Jawab :

(rms)2 = = = 59,2

jadi rms =

Latihan :

1) Tentukan mean dari y = 3 sin 5t + 2cos 3t di antara t = 0 dan t = phi?

2) Tentukan harga rms dari y =- 400 sin 200 t di antara t =0 dan t = ∏0.01

Volume Benda Putar. Jika bentuk bidang yang dibatasioleh kurva y = f(x) sumbu x dan x = a dan x = bdiputarkan penuh terhadap sumbu x maka akan diperolehvolume benda putar terhadap sumbu x. Demikian pula jikabentuk bidang yang dibatasi oleh kurva y = f(x) sumbu x

1

dan x = a dan x = b diputarkan penuh terhadap sumbu ymaka akan diperoleh volume benda putar terhadap sumbu y.

Rumus untuk menghitung volume bendaputar (sumbu x):

V = .

Rumus untuk menghitung volume bendaputar (sumbu y):

V =

Contoh :Carilah volume benda putar yang dibatasi y = 5 cos 2xsumbu x dan ordinat pada x=0 dan x = ¼ phi diputarsatu putaran penuh mengelilingi sumbu x?

Jawab :

V = = 25∏ = 25∏

=

Latihan :

1) Diketahui persamaan parametrik kurvaadalah x=3t2;y=3t-t2. Hitunglah volume bendaputar terhadap sumbu x yang dibatasi olehkurva, sumbu x dan ordinat yang berkaitandengan t=0 dan t=2?

2) Carilah volume benda yang terjadi bilabentuk bidang yang dibatasi oleh kurva y=x2+5sumbu x dan ordinat pada x=1 dan x=3 diputarsatu putaran penuh terhadap sumbu y?

1

Sentroid. Posisi sentroid merupakan posi koordinatkartesius (x,y) yang menggambarkan titik berat luasanbenda yang dibatasi sumbu x, kurva serta ordinat yangberkaitan dengan x= a dan x= b. Rumus untuk menghitungkoordinat sentroid:

Pusat Gravitasi. Analog dengan sentroid untuk mencaripusat gravitasi suatu benda yang terbentuk jika bentukbidang yang dibatasioleh kurva y = f(x) sumbux dan ordinat padax=a dan x=b diputarmengelilingi sumbu xdengan rumus :

x = ; y

= 0.

Contoh :Tentukan pusat gravitasi dari benda yang trentuk jikabidang yang dibatasi oleh kurva x2+y2 = 16, sumbu xdan ordinat pada x=1 dan x=3 diputar poros sumbu x?

Jawab:

x =

y = ½

1

= = = 44

= = 23 1/3

x = jadi koordinat pusat gravitasi

(1,89;0)

Panjang kurva. Jika diketahui sebuahfungsi f(x) maka dapat dihitung panjangkurva mulai dari ordinat x =a sampaidengan ordinat x=b. Rumus untukmenghitung panjang kurva :

s = .

Contoh :Tentukan panjang kurva y2 = x3 di antara x = 0. dan x=4 ?

Jawab :

1 + = 1 +

s = = 9,07 satuan

Persamaan Parametrik. Untuk menghitung panjang kurvapersamaan parametrik maka dapat dihitung denganrumusan :

s =

Latihan :2) Tentukan posisi sentroid dari daerah yang dibatasi

oleh kurva y = 5 sin 2x sumbu x dan ordinat pada x =0 dan x = phi/6?

3) Tentukan pusat gravitasi benda yang terbentuk oleh

1

kurva y=sin x sumbu x dan ordinat pada sumbu x=0 danx = phi radian diputar dengan poros sumbu x?

4) Tentukan panjang kurva y = 10 cosh di antara

x= -1 dan x=2?5) Tentukan panjang kurva persamaan parametrik x =

2cos3 t , y=2 sin3 t di antara titik-titik yangbesesuaian pada t = 0 dan t = phi/2?