Fermi Large Area Telescope Observations of Markarian 421: The Missing Piece of its Spectral Energy...

1 Elaborado por: ISC Felipe J. Avila T. M.A.

Suponga que a y b son dos puntos sobre la recta de los números reales.

a y b se encuentran en el mismo punto de la recta

a = b

a se encuentra a la izquierda de b sobre la recta

a < b

a se encuentra a la derecha de b sobre la recta

a > b

a

b

a b

b a


• Suponga que a < b y que x está entre a y b

• a < x, x < b o a < x < b

– Ejemplo: 3 < 7 < 9

• Una desigualdad es un enunciado que establece que un número es menor que otro.

a b x


Símbolo Significado

> Es mayor que

> (>=) Es mayor o igual que

< Es menor que

< (<=) Es menor o igual que

Elaborado por: ISC Felipe J. Avila T. M.A. 4

Resolver una desigualdad, como 2(x -3)<4, significa encontrar todos los valores de la variable (x) para los cuales dicha desigualdad es cierta.


1. Si a < b, entonces a + c < b + c

Ejemplo: 3 < 7 entonces 3 + 2 < 7 + 2 (5 < 9)

2. Si c > 0, entonces ac < bc y a/c < b/c

Ejemplo: 3 < 7 entonces 3 * 2 < 7 * 2 (6 < 14)


7 9 3 5

7 14 3 6

3. Si c < 0, entonces ac > bc y a/c > b/c

Ejemplo: 3 < 7 entonces 3 * -2 > 7 * -2 (-6 > -14)

4. Si a = c, entonces c < b.

Ejemplo: x < 2 y x = y + 4 entonces y + 4 < 2


7 -14 3 -6

5. Si a < b, entonces 1/a > 1/b (a y b son ambos positivos o negativos)

Ejemplo: 2 < 4 entonces 1/2 > 1/4

6. Si a < b, entonces an < bn (a y b son ambos positivos o negativos)

Ejemplo: 2 < 4 entonces 22 < 42 (4 < 16)


4 1/4 2 1/2

• Suponga que a y b son dos puntos sobre la recta de los números reales, a se encuentra a la izquierda de b. Suponga que x está entre a y b

• Entonces a < b y a < x < b

• Al conjunto de valores de x que cumplen con esta desigualdad se le denomina intervalo.

• A los valores a y b se les denomina extremos.


a b x

• Abierto.- El conjunto de valores de x que cumplen con la desigualdad pero no incluyen a y b.

• Cerrado.- El conjunto de valores de x que cumplen con la desigualdad e incluyen a y b.

• Semiabierto.- Intervalo que incluye solo uno de los extremos.


En general, cuando se usa la notación por intervalo para representar la solución de una inecuación, se indica el extremo menor, seguido por una coma, y a continuación el extremo mayor (lado derecho).

Se utilizarán paréntesis ( , ) o corchetes [ , ], para delimitar el intervalo, dependiendo del tipo:

– () Intervalo abierto.

– [] Intervalo cerrado



Inecuación Notaciòn por Intervalo

Tipo de intervalo

Representación en la recta numérica

x > a

(a, ∞ ) Abierto

x < a

(-∞ , a) Abierto

x > a

[a, ∞ ) Semiabierto

x < a

(-∞ , a] Semiabierto

a< x < b

(a, b) Abierto

a

a

a

a

a b


Inecuación Notaciòn por Intervalo

Tipo de intervalo

Representación en la recta numérica

a< x < b

[a, b) Semiabierto

a< x < b

(a, b] Semiabierto

a< x < b

[a, b] Cerrado

-∞< x < ∞

(-∞ , ∞ )

Abierto

a

a

a

b

b

b

Resolución de una desigualdad lineal

Resolver 3 – 2x <= 6

• - 2x <= 6 – 3

• x >= -3/2

• Notación por intervalo: [-3/2, ∞ )

• Representación en la recta numérica:


-3/2


y = 3 – 2x

y = 6

-3/2

Resolver 2(x – 3) < 4

2x – 6 < 4

2x < 4 + 6

2x < 10

x < 5

Notación por intervalo: (-∞ , 5)

Representación en la recta numérica:

¿Qué valores cumplen con esta solución?


5

2x – 6

5

4

x < 2 – 3

x < -1

Notación por

intervalo: (-∞ , -1)

Representación

en la recta

numérica:

Resolver x + 3 < 2


-1

-1

2

x + 3

Resolver 4x + 6 < 3x – 5

4x – 3x < -5 – 6

x < -11

Notación por intervalo

(-∞ , -11]



-11

4x + 6

3x – 5

4x + 6 < 3x – 5

-11

Resolver 3 - 2x < 6 -2x < 6 – 3

-2x < 3

x > -3/2

Notación por intervalo:

[-3/2, ∞ )



-3/2

3 - 2x

-3/2

Resolver 2(x – 4) – 3 > 2x - 1

2x – 8 – 3 > 2x – 1

2x – 11 > 2x – 1

– 11 > -1

¿Cuál es la solución?

¿Para qué valores de x se cumple esta desigualdad (inecuación)?

No existe solución



2x – 1

2(x – 4) – 3

2(x – 4) – 3 > 2x - 1

• Resolver 2(x – 4) – 3 < 2x -1


2x – 8 – 3 < 2x – 1

2x – 11 < 2x – 1

– 11 < -1

¿Cuál es la solución? ¿Para

qué valores de x se cumple esta

desigualdad (inecuación)?

Notación por intervalo (-∞ , ∞ )

Representación en la recta

numérica:

Ejercicios pagina 74

3x > 12

x > 12/3

x > 4

Intervalo:

(4, ∞)


-4x >= 2

x <= -1/2

Intervalo (-∞,-1/2]


11.- 2x – 3 <= 4 + 7x

2x – 7x <= 4 + 3

-5x <= 7

x >= -7/5

Intervalo [-7/5,∞)


4 + 7x

2x – 3

19.- 5x/6 < 40

5x < 40 * 6

x < 40 * 6 / 5

x< 48

Intervalo (-∞,48)


5x/6

Una empresa que fabrica naipes tiene una ecuación de costos semanal C = 1525 + 1.7x. Y una ecuación de Ingresos semanal R = 4.2x. Donde x es la cantidad de paquetes de naipes fabricados y vendidos en una semana.

¿Cuántos paquetes de naipes deben fabricarse y venderse en una semana para que la empresa tenga una utilidad?


• Para que un negocio logre una utilidad, su ingreso (R) debe ser mayor que los costos en que incurre (C).

U > 0

R – C > 0

• Representación como inecuación:

R > C

• Sustituyendo las ecuaciones:

4.2x > 1525 + 1.7x

• Resolviendo para x:

4.2x – 1.7x > 1525

2.5x > 1525

x > 1525/2.5

x > 610

Intervalo (610,∞)



R=4.2x

C=1525 + 1.7x

4.2x > 1525 + 1.7x

x > 610

En una empresa que fabrica calentadores, el costo de mano de obra y materiales es de $21.00 por unidad. Los costos fijos son $70,000.00 Si el precio de venta de un calentador es de $35.00 ¿Cuántos calentadores deben fabricarse y venderse para que la empresa tenga una utilidad?


Ecuación de utilidad:

U = R – C

Para que un negocio logre utilidad, el ingreso (R) debe ser mayor que los costos en que incurre (C).

Representación como inecuación:

U > 0

R – C > 0

R > C

• Ecuación del Ingreso:

R = 35 q

• Ecuación del costo total:

C = 21 q + 70000


35 q > 21 q + 70000

• Resolviendo para q:

35 q - 21 q > 70000

14 q > 70000

q > 5000 Elaborado por: ISC Felipe J. Avila T. M.A. 35


C = 21 q + 70000

R = 35 q

Intervalo (5000,∞)

3.- Una mujer de negocios puede arrendar un automóvil por $420 al mes (con una base anual). El costo por milla es de $0.06. Si ella compra el automóvil, el gasto fijo anual sería de $4700. Otros costos ascenderían a $0.08 por milla ¿Cuántas millas por lo menos tendría que conducir por año para que el arrendamiento no sea más caro que la compra del automóvil?


• El costo del arrendamiento (A) no sea más caro que la compra (C). Representación como inecuación: A < C

• Ecuación de compra:

C = 0.08 x + 4700

• Ecuación del arrendamiento:

A = 0.06 x + 420*12

• Sustituyendo las ecuaciones: 0.06 x + 420*12 < 0.08 x + 4700

• Resolviendo para x: 420*12 - 4700 < 0.08 x - 0.06 x

340 < 0.02 x

340 / 0.02 < x

17000 < x

Intervalo [17000,∞)



0.06 x + 420*12 < 0.08 x + 4700

A = 0.06 x + 420*12

C = 0.08 x + 4700

17000 < x


5.- El costo unitario de publicidad de una revista es de 0.65. Cada una se vende al distribuidor en 0.60 y la cantidad que se recibe por publicidad es del 10% de la cantidad recibida por todas las revistas vendidas arriba de las 10,000. Encuentre el menor número de revistas que pueden publicarse sin pérdida, esto es que la utilidad > 0.


• Publicación sin pérdida. Utilidad > 0 :

U > 0

R – C > 0

R > C

• Ecuación del costo total:

C = 0.65 q

• Ecuación del Ingreso:

R = 0.60 q + (q - 10000) *0.60*0.10

R = 0.60q + 0.06q – 600

R = 0.66q – 600


0.66 q – 600 > 0.65 q

• Resolviendo para q:

0.66 q - 0.65 q > 600

0.01 q > 600

q > 600 / 0.01

q > 60000



0.66 q – 600 > 0.65 q


q > 60000

7.- Una compañía invierte $30,000 de sus fondos excedentes a dos tasas de interés anual: 5% y 6.75%. Desea una tasa de rendimiento anual que no sea menor al 6.5% ¿Cuál es la cantidad mínima que debe invertir a la tasa del 6.75%?


• Tasa de rendimiento (t) no menor al 6.5%

t > 6.5

• Capital = 30000

• Ecuación del rendimiento (R):

R = 30000* t /100

t = R * 100 /30000

R * 100 /30000 > 6.5

• Sea x la cantidad a invertir al 6.75%

• La cantidad a invertir al 5% será (30000 – x)

• Rendimiento obtenido: R= 0.0675x + 0.05(30000 – x)

R= 0.0675x – 0.05x + 1500

R = 0.0175x + 1500

• Sustituyendo en la inecuación:

(0.0175x + 1500 )* 100 /30000 > 6.5


• Simplificando:

0.000058 x + 5 > 6.5

• Resolviendo para x:

0.000058 x > 6.5 – 5

x > 1.5 / 0.000058

X > 25,714.29


X > 25,714.29

Intervalo [25,714.29,∞)

0.000058 x + 5

9.- Un fabricante tiene 2500 unidades de un producto. El precio unitario es de $4.00. El próximo mes aumentará en $0.50. Se requiere que el ingreso total por la venta de las 2500 unidades no sea menor a $10,750.00 ¿Cuál es el número de unidades máximo que pueden venderse en este mes?


• Sea q el número de unidades a vender en este mes. Ecuación del ingreso (Ie):

Ie = 4 q

• La ecuación del ingreso para el siguiente mes (Is):

Is = 4.5 (2500 – q)

• Se requiere que el ingreso total no sea menor a 10750. Representación como inecuación: 4 q + 4.5 (2500 – q) > 10750

• Resolver para q: 4q + 11250 – 4.5q > 10750

-0.5 q > -500

q < 1000



4 q + 4.5 (2500 – q)

10750

Intervalo (-∞,1000] q < 1000

¿se puede fabricar una cantidad

negativa de piezas?

Ejercicio pag. 84

19.- Una compañía fabricará un total de 10,000 unidades de su producto en las plantas A y B. La información disponible se presenta a continuación:

La compañía ha decidido asignar no más de $117,000.00 para costos totales. ¿Cuál es el número mínimo de unidades que debe producir la planta A?


Costos Planta A Planta B

M.Obra y material $5.00 $5.50

Fijos $30,000.00 $35,000.00

• Sea q el número de unidades a vender de la planta A.

• Ecuación del costos de la planta A:

A = 5 q + 30000

• Ecuación del costos de la planta B:

B = 5.5 ( 10000 – q) + 35000

• Se requiere que el costo total no sea mayor a 117000. Representación como inecuación: 5 q + 30000 + 5.5 (10000 – q) +

35000 < 117000

5 q - 5.5 q < 170000 – 30000 - 55000

-0.5 q < -3000

q > 6000



5 q + 30000 + 5.5 (10000 – q)

117000

Intervalo [6000,∞) q > 6000

¿se puede fabricar una cantidad

infinita de piezas?

• Resolver

• Intervalo (-18,7)


85

242

x

718

187

2

36

2

14

36214

4402410

402410

)5(824)5(2

x

x

x

x

x

x

x

• Resolver

• Intervalo [3,7)


112

135

x

73

3

21

3

9

2139

1223110

221310

)2(1113)2(5

x

x

x

x

x

x

• Resolver

• Intervalo (0,1/2)


1141 x

2

10

240

x

x

Tarea

• Pag. 74 ejercicios 3, 7, 13

• Pag. 78 ejercicio 1

• Resolver cada desigualdad y expresar la solución con notación por intervalo:

x – 7 > -4

3 – x < -4

4 < 2x - 4 < 7

5 < 3x + 1 < 11

2 Elaborado por: ISC Felipe J. Avila T. M.A. 55

Una recta divide el plano coordenado en tres regiones:

• La recta misma (puntos sobre la recta)

• Semiplano a la izquierda de la recta

• Semiplano a la derecha de la recta


2x + 3y = 6

Semiplano a la

derecha

Semiplano a la

izquierda

REPRESENTAR GRÁFICAMENTE LA INECUACIÓN LINEAL 2X + 3Y > 6


• La recta divide el plano en el conjunto de puntos (x,y) que satisfacen la desigualdad 2x + 3y > 6 y el conjunto de puntos (x,y) que satisfacen la desigualdad 2x + 3y < 6

• La desigualdad 2x + 3y < 6, incluye al conjunto de puntos (x,y) sobre la recta. Lo mismo ocurre con la desigualdad 2x + 3y > 6.


1. Reemplazar el signo de la desigualdad por el signo igual (=).

2. Trazar la recta de la ecuación resultante. Si la desigualdad es < o > utilizar una línea sólida. Si la desigualdad es < o > utilizar una línea punteada.

3. Seleccionar un punto (x,y) que no esté sobre la línea y determinar si este punto satisface la inecuación original. Si el punto seleccionado es una solución, sombrear el lado del plano que contiene al punto (x,y). Si el punto no satisface la inecuación, sombrear el lado que no contiene al punto (x,y).


• Representar graficamente 2x + 3y > 6

• Expresar como igualdad: 2x + 3y = 6

• Graficar 2x + 3y = 6

• Seleccionar un punto que no esté sobre la recta:

• (1,1)

• ¿este punto satisface la inecuación original?

• ¿2(1) + 3(1) > 6?

• ¿2 + 3 > 6?

• ¿5 > 6? Falso

• Sombrear el lado que no contiene (1,1)


(1,1)


2x + 3y > 6

• Representar graficamente y < 2x/3 -3

• Expresar como igualdad: y = 2x/3 -3

• Graficar y = 2x/3 -3


• (2,-2)


• ¿ -2 < 2(2)/3 -3?

• ¿ -2 < 4/3 -3?

• ¿ -2 < -5/3? Verdadero

• Sombrear el lado que contiene (2,-2)


(2,-2)


y < 2x/3 -3

• Representar graficamente y > - x/2

• Expresar como igualdad: y = - x/2

• Graficar y = - x/2


• (3,1)


• ¿ 1 > - 3/2? Verdadero

• Sombrear el lado que contiene (3,1)


(3,1)


y < 2x/3 -3

y > - x/2

• Graficar las desigualdades del sistema en el mismo plano.

• La solución es el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen todas las desigualdades. (Zona del plano donde se intersectan las soluciones).


• Determinar la solución del sistema de inecuaciones:

• 3x – y < 6

• 2x + 2y > 5

• Representar graficamente 3x – y < 6

• Expresar como igualdad: 3x – y = 6

• Graficar 3x – y = 6


(1,1)


• (1,1)


• ¿ 3(1) – (1) < 6?

• ¿ 2 < 6? Verdadero

• Sombrear el lado que contiene (1,1)


3x – y < 6

• Representar graficamente 2x + 2y > 5

• Expresar como igualdad: 2x + 2y = 5

• Graficar 2x + 2y = 5



• (2,2)


• ¿ 2(2) + 2(2) > 5?

• ¿ 8 > 5? Verdadero

• Sombrear el lado que contiene (2,2) (2,2)

• Representar la solución de cada una de las inecuaciones en el mismo plano.

• La solución es el conjunto de coordenadas que satisface todas las inecuaciones.


2x + 2y > 5


3x – y < 6 2x + 2y > 5

Solución

• Determinar la solución de: o x > 0

o Y > 0

o 2x + 3y < 12

o 2x + y < 8


x > 0

Y > 0

2x + 3y < 12

2x + y < 8

Solución

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