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97

2Introducción.

Existen funciones que contienen 2 o más variablesindependientes .que nos sirven para determinar ciertasmagnitudes, por ejemplo: el trabajo realizado por una fuerza(W= FD) y el volumen de un cilindro circular recto (V= πr2h¿

son estos, ambos, funciones de dos variables.

Para hacer referencia a 2 variables denotamos x , y de lasiguiente manera f(x,y) Y cuando es de 3 es denotada así:f(x,y,z). Los dominios consisten en tríos, tétradas y n-duplas ordenados.

En el presente documento se presentarán conceptos sobre lasfunciones de varias variables así como sus gráficas, podráobservarse también la manera de cómo obtener curvas ysuperficies de las funciones, en donde nos muestra que siuna función tiene 3 o más variables independientes, ésta nopodrá graficarse.

Otro concepto presente es el de la deriva parcial ydireccional. La derivada parcial son los límites de lafunción y la direccional nos sirve para determinar lapendiente de un punto P (xo, yo) de una superficie z = f(x,y). Para conocer las derivadas de una función se utiliza laregla de la cadena la cuál es una fórmula de derivación.

El gradiente o nabla se utiliza para representar el sentidode crecimiento más rápido de una función en un punto dado.Otro concepto que se definirá es el campo vectorial que comosabemos es un campo de las matemáticos en donde sepresentan vectores con 2 o más dimensiones y asocian alvector con el espacio. También se mostraran otrosconceptos enfocados a las funciones de varias variables.

3

Funciones reales de variasvariablesDiego Armando Guzmán Ibarra

Diego Guzmán

4.1 Definición de una función de varias variables.

Función de dos variables.

Una función Fde dos variables es una regla que asigna a cadapar ordenado de dos números reales (x,y) de un conjunto D,un número real único denotado por f(x,y). El conjunto D esel dominio de F y su imagen es el conjunto de valores quetoma f, es decir, {f(x,y)⎡(x,y)€D}.

A veces escribimos Z=f(x,y) para hacer explícito el valortomado por F en un punto (x,y). Las XyY son variablesindependientes y Z es la variable dependiente. Una función

4de dos variables es solo una función cuyo dominio es unsubconjunto de R2 y cuya imagen es un subconjunto de R.

Si una funciónf está dada por una formula y no seespecifica su dominio, entonces el dominio de F se entiendeque es el conjunto de todos los pares (x,y) para los cualesla expresión dada es un número real bien definido.

Ejemplo:

Halle los dominios de las siguientes funciones y evalúeF(3,2).

(a) D(x,y)=√x+y+1X−1

(b)F(x,y)=xln(y2−x)

Solución:

(a) F (3,2 )=√3+2+13−1

=√62

La expresión para F tiene sentido si el denominador no es 0y la cantidad bajo el signo de raíz cuadrada no es negativa.Por lo tanto el dominio de F es:

D={(x,y)⎡x+y+1≥0,x≠1}

La desigualdad x+y+1≥0, o y≥−x−1, describe los puntos quese encuentran sobre la recta Y= -x-1, o la región del planoencima de ella, mientras que x≠1 significa que los puntosque están en la recta x=1 deben ser excluidos del dominio.(Véase en la figura 2).

5

(b) F(3,2)=3ln (22−3)=3ln1=0

Como ln(y2−x) está definida solo cuando y2−x>0,x<y2, eldominio de F es D={(x,y)ǀx<y2}. Este es el conjunto depuntos a la izquierda de la parábola x+y2. (Véase en lafigura 3).

Función de 3 o más variables.

6Una función de 3 variables, F,es una regla que asigna acada terna ordenada (x,y,z,)de un dominio DСR3un númeroreal único denotado por F(x,y,z).por ejemplo, latemperatura T en un punto de la superficie de la tierradepende de la longitud X y la latidud y del punto y deltiempo t,de modo que escribimos T=¿ F(x,y,z,).

Es muy difícil visualizar una función f de tres variablespor su grafica, puesto que estaría en espacio de 4dimensiones, pero obtenemos alguna información de F al sussuperficies del nivel, que son las superficies conecuaciones F(x,y,z)=k, donde Kes una constante. Si el punto(x,y,z,)se mueve a lo largo de una superficie de nivel, elvalor de F(x,y,z)permanece fijo.

Ejemplo:

Encuentre el dominio de F si,

f (x,y,z)=ln (z−y )+xysenz

Solución:

La expresión para (x,y,z) está definida mientras ¿, de modoque el dominio de f es:

D={(x,y,z)£R3│z>y }

Este es un semiespacio formado por los puntos que seencuentren arriba del plano z= y.

7

4.2 Grafica de una función de varias variables.

La gráfica de una función de n variable x1,...,xn es elconjunto de puntos (x1,...,xn,z)∈Rn+1 que satisfacen

z=f(x1,...,xn)

con(x1,...,xn) En el dominio de f.

La interpretación geométrica de la gráfica es la siguiente:

Para n=1. La gráfica de una función f:R→R la generan lospuntos (x,y) tales que y=f(x) y se puede representar comouna curva en R2:

Para n=2. La gráfica de una función f : R2 → R la generanlos puntos (x,y,z) tales que z=f(x,y) y se puede

8representar como una superficie en R3:

Para n≥3. La gráfica de una función f:Rn→R la generan lospuntos (X1,...,X2,z)tales que z=f(X1,...,Xn) y no es posiblerepresentarlo de forma completa sobre un papel ya quenecesitaríamos ser capaces de representar conjuntos sobre,al menos, cuatro ejes coordenados, es decir en R4. Nostendremos que conformar con representaciones parciales.

4.3 Curvas y superficies de nivel.

Curvas.

Puesto que es difícil o imposible en algunos casos larepresentación gráfica de algunas funciones definidas ensubconjuntos del plano, el análisis de las llamadas curvasde nivel proporciona información del comportamiento de lafunción. Una curva de nivel es una expresión de formaF(x,y)=K(k constante); esta curva es la forma de hacer uncorte a la superficie a una altura k (en funciones de das omás variables se habla de superficies de nivel o en generalde contornos.

9

Curvas de nivel de f(x,y) =e –x2 – y2 y g (x,y) = x2-y2.

Para el caso de una función de producción, una curva denivel representa todas las combinaciones posibles de insumosque producen una cierta cantidad de producto, llamadaisocuanta; si la función es de costos sus curvas de nivel sellaman isocostos y para una función de utilidad representalas combinaciones de bienes que producen la mismasatisfacción, isoutilidades.

Superficies.

Sea la función Z=(x1,x2,…,xn) definida en un dominio D.Consideremos los puntos del dominio D en los cuales lafunción Z=f(x1,x2,….,xn) toma un valor constante, Z=K. Elconjunto de todos estos puntos, para los quez=f(x1,x2,…,xn)=k, forma una superficie llamada superficiede nivel.

Si la función tiene más de 3 variables independientes no sepodrá representar gráficamente, y sus superficies de niveltampoco podrán ser representadas.

10La figura siguiente muestra unas superficies de nivel de lafunción f(x1,x2,x3), función de tres variablesindependientes que no se pueden representar.

Cuando la función es de dos variables independientesz=f(x,y) su grafica es una superficie en el espaciotridimensional, que podemos representar gráficamente. Sussuperficies de nivel serian líneas en el plano OXY que sellaman líneas de nivel.

En la gráfica anterior la figura de la izquierda muestra lasuperficie, representación gráfica de la función z=x2+y2cortada por los planos horizontales (paralelos al plano OXY

11) z=4,z=8,yz=12. Las líneas de corte de esos planos con lasuperficie de la función, proyectadas sobre el plano OXY(figura de la derecha) son las curvas de nivelcorrespondientes a z=4,z=8 y z=12. Para cada cota z,existe una curva o línea de nivel.

La función z=xy y sus curvas de nivel están representadasen la gráfica adjunta.

Las gráficas siguientes corresponden a la función z=│ x2+4y2

√x2+Y2

y las secciones producidas al ser cortada por los planosz=1,z=2,z=3yz=4.

Las gráficas siguientes corresponden a la función z=x+y2

12

4.4 Derivadas parciales de funciones de variasvariables y su interpretación geométrica.

Derivadas parciales.

Sea f una función de x e y: por ejemplo:

F(x,y)=3x2y−5xcosπy.

La derivada parcial de f con respecto a fx obtenidadiferenciadof con respecto a x, considerado y como unaconstante; en este caso:

Fy(x,y)=6xy–5cosπy

La derivada parcial de f con respecto a y es la función fyobtenida diferenciando fcon respecto a y,considerando xcomouna constante; en este caso:

Fy(x,y)=3x2+5πxsenπy.

Estas derivadas parciales se definen normalmente comolímites.

13Definición.- sea funa función de dos variables. Lasderivadas parciales de frespecto de x e y son las funcionesfx y fy definidas por:

Fx(x,y)=limh→0

f (x+h,y)−f(x,y)

h

Fy(x,y)=limh→0

f f (x,y+h )−f(x,y)

h

Si estos límites existen.

Ejemplo:

F(x,y)=arctanxy

Tenemos fx(x,y)=x y1+¿¿

Fx(x,y)=x x1+¿¿

En el caso de una variable,f’(X0) proporciona la tasa devariación instantánea con respecto a x de f(x)=x0. En elcaso de dos variables, fx(x0,y) en y=y0.

Interpretación geométrica.

En la figura 1.1 hemos representado una superficie z=f(x,y)

, que podemos suponer definida en todas partes. Hemoscortado la superficie con un plano y=y0paralelo al plano xz. El plano y=y0corta la superficie en una curva, la seccióny0 de la superficie.

14

Figura 1.1

La sección y0 de la superficie es la gráfica de la función:

g(x)=f(x,y0)

Diferenciando con respecto a x tenemos

g’(x)=fx(x,y0)

Y, en particular,

g’(x0)=fx(x0,y0)

El número fx(x0,y0)es por consiguiente la pendiente de lasección y0 dde la superficie z=(x,y)en el puntop(x0,y0,f(x0,y0)).

Se puede dar una interpretación similar para la otraderivada parcial fy. En la figura 1.2 se puede ver la mismasuperficie z=f(x,y), esta ves cortada por un plano x=x0partelo al plano yz. El plano x0 corta la superficieformando una curva, la sección x0 de la superficie.

15

Figura 1.2

La sección x0 de la superficie es la gráfica de la funciónh(y)=f(x0,y)

Diferenciando, esta vez con respecto a y, tenemosh’(y)=fy(x0,y)

Luego h’(y0)=fy(x0,y0).

El número fy(x0,y0) es por consiguiente la pendiente de la sección x0 de la superficie z=f(x,y) en el puntoP(x0,y0,f(x0,y0)).

16

4.5 Deriva direccional.

En el caso de las funciones de varias variables, podemos considerar la variación de la función de la función en un punto en función de la dirección que tenemos.

Sea u un vector unitario de Rn, es decir ││u││=1, y sea f una función definida en un entorno de un punto a€Rn. si existe el límite:

limh→0

f (a+hu)−f(a)

h

Su valor es de la derivada de la función f en el punto a en la dirección u, y se escribe Duf(a).

Observa que la existencia de estas derivadas direccionalessignifica simplemente que la función de una variable realt→f(a+tu) es derivable en t=0. En particular, si u=ei seobtiene la i-estima derivada parcial de f.

De entre las infinitas direcciones que podemos considerarpara una función f en un punto de a€R3, tres de las

derivadas direccionales coincidirán con ∂t∂x (a ),∂t∂y (a), ∂t∂z (a ).

Ejemplo:

Para la función g(x,y)=4x2+3x2y−2xy2−5x+y3+7 consideramosla condición de su derivada direccional que pase por el

17punto (0,0) y tenga la dirección del vector unitario (√22,−√2

2¿. Definimos la derivda direccional de g en el punto

(0,0) y en la dirección del vector (√22

−√22

¿como la derivada

de la función de una variable, u(t)=g (√22t,−√2

2t evaluada

t=0. En concreto:

u (t )=g(√22 t,−√22t)=(√2−

3√24

−√22

−√24 )t2−

5√22

.

Por lo tanto ut (t )=3(4 4√2−3√22√2−√2❑ )t2−

5√22.

ut (0 )=3(−√22 )0- 5√2

2.

La derivada direccional es -5√22

,lo cual nos indica que el

corte vertical (y, en consecuencia, la función g) decrece apartir de (0,0),si nos movemos en la dirección del vector

( √22,−√2

2).

Al calcular una derivada direccional, los vectores queconsideramos siempre deben tener longitud 1.asi, por

ejemplo, ( √22,−√2

2) es unitario, debido que (√2

2

2

¿+(−√22

2

) =1.

El motivo por el cual se a escogido siempre vectoresunitarios es que, de esta manera, se pueden comparar dosderivadas direccionales en direcciones diferentes.

En general, si a€R3y u es un vector unitario, la derivadadireccional de fen a según la dirección u se puede calcular

18como la derivada en cero de u(t)=f(a+tu).Es decir, Duf(a)=u2(0).

4.6 Derivadas parciales de orden superior.

Si tenemos zf=(x,y), sabemos que las derivadas parciales dela función respecto de las dos variables independientes son,en general, funciones a su vez de las mismas variables. Estoes:

19∂z∂x

=fx(,y)

∂z∂x

=fy(,y)

Siendo las derivadas parciales funciones de las mismasvariables, estas funciones pueden derivarse nuevamenterespecto de x y de y y las llamamos derivadas parciales desegundo orden. Hay que hacer notar que ahora tendremos quela primera derivada parcial respecto de x puede serderivada parcialmente respecto de x y también respecto de y. De igual manera, la primera derivada parcial respecto dey , puede ser derivada parcialmente respecto a esa mismavariable y también respecto de x. De manera que lassegundas derivadas, o derivadas de segundo orden, pueden serestas cuatro derivadas parciales:

∂2z∂x2fxx

∂2z∂y2fyy

∂2z∂x2fxx

∂2z∂x∂y fxy

∂2z∂x∂y fyx

20Puesto que estas cuatro derivadas parciales segundas puedenser funciones de x y de y, es claro que pueden derivarsenuevamente para obtener las derivadas de tercer orden y asísucesivamente hasta el orden n..

4.7 Incrementos, diferenciales y regla de la cadena.

Incrementos.

Según se ha visto, si la variable independiente x pasa de unvalor inicial x1, a un valor final x2 la diferencia x2-x1 =∆xse llama incremento de esa variable.

Valor inicial de una función f(x)es el que adquiere esafunción cuando a la variable independiente x se le asigna suvalor inicial x1, o sea, valor inicial de f(x)es f(x1).

Valor final de la misma función f(x)es el que adquierecuando a la variable xse le asigna su valor final x2, o sea,valor final de f(x)es f(x2) o f(x1+∆x), dado x2 = x1 + ∆x.

Incremento de una función, en el intervalo (x1, x2), es ladiferencia entre el valor final y el valor inicial. Esteincremento es:

f ¿)-f(x1¿, o, lo que es lo mismo, f (x1+∆x)−f (x1 ).

Nota. El incremento de una función se indica anteponiendo laletra griega ∆a la función, o encerrando está en unparéntesis rectangular, como se ve en los ejemplossiguientes en que se indica, para cada caso, el intervalo:

21

Obsérvese como en cada caso, el incremento de la funcióndepende del valor inicial x1 de la variable independiente ydel incremento ∆x de esa variable.

Diferencial.

Según se ha definido, derivada de una función, para un valordeterminado de la variable independiente x, es el límitedel cociente del incremento de la función entre elincremento de la variable independiente, cuando este tiendea 0. Si x1 es ese valor particular de dicha variable y∆x=x2−x1es su incremento, se tiene:

Antes de tomar límites se tenía:

Así, por ejemplo, dada la función f(x)=¿x3, se tiene:

Pero, antes de tomar límites se tenía, como razón delincremento de la función al incremento de la variableindependiente:

22

Generalizando:

Donde:

Por este resultado se ve que el incremento de la función, enel intervalo (x1,x2), es la suma de dos cantidades. Laprimera es la parte principal de dicho incremento y se llamadiferencial de la función, es decir:

La diferencial de una función f(x), en el intervalo (x1, x2),es el producto de la derivada de dicha función, para elvalor de la variable independiente, por el incremento de esavariable.

Nota. La diferencial de f(x) en el intervalo (x1,x2)=∆x, sesimboliza en la forma siguiente:

4.8 Derivación parcial implícita.

En la ecuación y3+ty=x2no podemos podemos despejar y entérminos de x. Sin embargo aún puede ser el caso de queexista exactamente una correspondiente a cada x. Porejemplo, podemos preguntar que valores de y (si existealguno) corresponden a x=2. Para responder esta preguntadebemos resolver y3+7y=8.

23Desde luego y=1es una solución, y resulta que y=1es laúnica solución real. Dado x=2, la ecuación y3+ty=x3determina un correspondiente valor de y. decimos que laecuación define a y como una función implícita de x. lagráfica de esta ecuación (figura 1), por supuesto que se vecomo la gráfica de una función derivable. El nuevo elementoes que no tenemos una ecuación de la forma y=f(x).con baseen la grafica, suponemos que y es Alguna Función desconocidade x. si denotamos a esta función como y(x),podemos escribira la ecuación como:

Aunque no tenemos una fórmula para y(x),podemos a pesar deeso, obtener una relación entre x,y(x)y y(x),mediante laderivación, respecto a x, de ambos lados der la ecuación.Recordando aplicar la regla de la cadena, obtenemos:

24Obsérvese que nuestra expresión para dy/dx incluye tanto a xcomo a y, un hecho que con frecuencia es una molestia. Perosi solo deseamos determinar la pendiente en un punto dondeconocemos ambas coordenadas, no existe dificultad. En (2,1):

La pendiente es 65. El método que se acaba de utilizar para

determinar dy/dx sin despejar primero la y-de manertaexplicita de la ecuación dada- en términos de x se denominaderivación implícita.

Ejemplo:

Encuentre dy/dx, si 4x2y−3y=x3−1.

Igualamos las derivadas de los dos lados.

Después utilizar la regla para el producto en el primertermino, obtenemos,

4.9 Gradiente.

25Si la función z=f(x,y)cuyas derivadas parciales existen en un punto (a,b)del plano OXY.

A cada punto de este plano se puede asociar un vectorz’xu+z'

yv

Con origen en el punto (a,b).

Se llama gradiente a la función z=f(x,y)e el punto (a,b)alvector cuya primera y segunda componentes son,respectivamente z'x(a,b)

yz'y (a,b ).se designa por:

Ejemplo:

Dada la función z=x3−y2determinemos su gradiente en elpunto (2,4).

Es decir el gradiente en el punto (2,4) es el vectorf(2,4)=(12−8)

26

4.10 campos vectoriales.

Un campo vectorial en R3 es una aplicación F:AСRn→Rnqueasigna a cada punto x de su dominio A un vector F(x).sin=2,Fse denomina un campo vectorial en el plano, y sinn=3,Fes un campo vectorial en el espacio.

Podemos representar f dibujando una flecha en un punto(figura 4.1) para diferenciarla de los campos vectoriales,una aplicación f:AСRn→R que asigna un número a cada puntose llama campo escalar. Un campo vectorial F(x,y,z)en R3

tiene 3 componentes f1,f2,f3, cada una de las cuales en uncampo escalar, de manera que:

F(x,y,z)=(F1(x,y,z)F2(x,y,z),F3(x,y,z))

Analógicamente en un campo vectorial de Rn tiene ncomponentes F1,….Fn.si cada componente es una función Ck,diremos que el campo vectorial F es de clase Ck.enadelante, supondremos que los campos vectoriales que

27aparezcan serán al menos de clase C1, salvo que sigaexpresamente lo contrario.

Figura 4.1 un campo vectorial F asignada un vector F(x) a cada punto x de su dominio

En muchas aplicaciones el vector F(x)representa una cantidadfísica (fuera, velocidad, etc.) asociada con la posición x,como puede verse en los ejemplos siguientes:

Ejemplo:

El flujo de agua a través de una tubería se llamaestacionario si en cada punto del interior de la tubería lavelocidad del flujo que pasa por ese punto no cambia con eltiempo. (Obsérvese que esto es muy distinto de afirmar queel agua se mueve.) Asignando en cada punto la velocidad delflujo en el, obtenemos el campo de velocidades V (figura4.2). Obsérvese que la longitud de las flechas (la rapidez),así como la dirección del flujo, pueden cambiar de un puntoa otro.

Figura 4.2 un campo vectorial que describe la velocidad de un fluido en una tubería.

28

4.11 Divergencia rotacional, interpretacióngeométrica y física.

La divergencia y el rotacional.

29Para definir las operaciones divergencia y rotacional, vamosa utilizar el operador nabla definido por:

∇=i ∂∂x

+j ∂∂y

+k ∂∂z

Para funciones de una variable, el cálculo de una derivadapuede interpretarse como una operación o proceso; es decir,dada una función y=f(x),su resultado es el resultado deoperar sobre y mediante el operador derivada d /dx.Analógicamente, podemos escribir el gradiente como:

∇f=(i ∂∂x

+j ∂∂y )f=i ∂f

∂x+j ∂f

∂y

Para funciones de dos variables y

∇f=(i ∂∂x

+j ∂∂y

+k ∂∂z )f=i ∂

∂x+j ∂

∂y+k ∂

∂z

Para tres variables. En términos operacionales, el gradientede fse optiene tomando el operador ∇y aplicación sobre f.

Interpretación.

La divergencia tiene una importante representación física.Si imaginamos que f es el campo de velocidades de un gas(o de un fluido), entonces div de f representa la razón deexpansión por unidad de volumen bajo el flujo del gas. Sidiv F<0, el gas se está comprimiendo. Para un campovectorial en el plano F(x,y)=F1i+F2j. la divergencia:

∇.f=∂f1

∂x+∂f1

∂y

30Mide la razón de expansión del área.Esta interpretación se explica gráficamente del modosiguiente. Tomemos una pequeña región w alrededor de unpunto x0. Para cada punto x de W tras un tiempo t (figura4.1.2).

Figura 4.1.2. deformación de una región W siguiendo las líneas de flujo de un campo vectorial.

Denotamos la región resultante en el instante tt por W(t) ysea V(t) su volumen (o área, si estamos en dos dimensiones).Entonces, la razón relativa de cambio de volumen es ladivergencia, más exactamente.

1v(0)

ddt

v (t )│t=0≈÷f ¿

Donde la proyección se hace más y más exacta según W secontrae a X0.

Ejemplo:

Considerar el campo vectorial en el punto dado porV(x,y)=xi. Relacionar el signo de la divergencia de V conla razón del cambio de áreas bajo el flujo.

31Solución:

Interpretamos V como el campo de velocidades de un fluidoen el plano. El campo vectorial V apunta hacia la derechapara x>0, y hacia la izquierda para x<0, como podemos veren la figura 4.1.3. La longitud V es más corta cuando nosacercamos al origen. Cuando el fluido se mueve, se expande(el área del rectángulo sombreado aumenta), de manera que esde esperar que ¿V>0. En efecto, ¿V=1.

Figura 4.1.2 el fluido se está expandiendo.

32

4.12 Valores extremos de funciones de varias variables.

Determinar los extremos relativos de f(x,y)=1−3√x2+y2

Solución:

Vemos que ambas derivadas parciales están definidas en todoR2, excepto en (0,0). Además, este es el único punto crítico,ya que las derivadas parciales no pueden anularsesimultáneamente salvo que x e y sean nulos. Se tienef(0,0)=1;para cualquier otro punto (x,y),es claro que:

Luego, f(0,0)es un máximo relativo de f.

33

Bibliografía 4.1 Definición de una función de varias variables

Libro: calculo multivariable, cuarta edición. Autor: JamesStewart. Página 873, 874, 882, 883.

4.2 Grafica de una función de varias variables.

https://www.uam.es/personal_pdi/economicas/abautist/Asignaturas/Otros/notasam.pdf

4.3 Curvas y superficies de nivel.

http://books.google.com.mx/books?id=LHKS1lKRPIAC&pg=PA26&dq=curvas+y+superficies+de+nivel&hl=

34es&sa=X&ei=qvODVIirMpeiyASaxYHgDg&ved=0CE8Q6AEwCA#v=onepage&q&f=false página 26.

http://books.google.com.mx/books?id=V_nVl3IHnZIC&pg=PA33&dq=curvas+y+superficies+de+nivel&hl=es&sa=X&ei=h--DVPqRJcqiyATJtoCoBg&ved=0CBsQ6AEwAA#v=onepage&q=curvas%20y%20superficies%20de%20nivel&f=false página 33, 34.

4.4 Derivadas parciales de funciones de varias variables ysu interpretación geométrica.

http://books.google.com.mx/books?id=vS_0PNRHGzwC&pg=PA846&dq=curvas+y+superficies+de+nivel&hl=es&sa=X&ei=t_ODVLbmCZenyATfyYCQBQ&ved=0CBoQ6AEwADgK#v=onepage&q=curvas%20y%20superficies%20de%20nivel&f=false página847, 848, 849.

4.5 Derivada direccional.

http://books.google.com.mx/books?id=_SEZguHdehkC&pg=PA34&dq=derivadas+direccionales&hl=es&sa=X&ei=zLqEVO7rCYWXyASfu4AQ&ved=0CBsQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false página 33,34.

4.6 derivadas de orden superior.

http://ajlasa.com/mate3/d-parc-sup.pdf

4.7 Incrementos, diferenciales y regla de la cadena.

http://books.google.com.mx/books?id=AgaIQu4zUWcC&pg=PA158&dq=Incrementos+diferenciales&hl=es&sa=X&ei=Ej6FVOaTGcT5yQTozoHQCA&ved=0CCEQ6AEwAQ#v=onepage&q&f=false páginas 157, 158.

4.8 Derivación parcial implícita.

35http://books.google.com.mx/books?id=YI6i4Bf7m4QC&pg=PA130&dq=derivacion+parcial+implicita&hl=es&sa=X&ei=E-GEVLewH8GiyASPmoHwBQ&ved=0CBoQ6AEwADgK#v=onepage&q&f=falsepágina 130, 131.

4.9 Gradiente.

http://books.google.com.mx/books?id=V_nVl3IHnZIC&pg=PA33&dq=curvas+y+superficies+de+nivel&hl=es&sa=X&ei=h--DVPqRJcqiyATJtoCoBg&ved=0CBsQ6AEwAA#v=onepage&q=curvas%20y%20superficies%20de%20nivel&f=false página 35.

4.10 Campos vectoriales.

Libro calculo vectorial 5ta edición. Autor: Jerrold E.Marsden, Anthony J. Tromba. Páginas 276, 277.

4.11 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica yfísica.

Libro calculo vectorial 5ta edición. Autor: Jerrold E.Marsden, Anthony J. Tromba. Páginas 286, 287 y 288.

4.12 Valores extremos de funciones de varias variables.

https://campusvirtual.ull.es/ocw/pluginfile.php/6189/mod_resource/content/1/tema3/PR3-varvariables.pdf