Eliminasi Gauss (Teknik Industri Semester 2)

Eliminasi Gauss Jordan &Operasi Baris Elementer

By Annisa Uswatun Khasanah

• Matriks m x n adalah susunan bilangan yang berbentuk segi empat dimana:

m = banyaknya baris.

n = banyaknya kolom. aij = elemen pada baris ke-i kolom ke-j

Terminologi• Matriks real adalah matriks yang seluruh elemennya bilangan real.

• m n dikatakan sebagai ukuran matriks.

• Jika m=n , maka disebut matriks bujur sangkar yang ukurannya n (square matrix of order n).

• ai,i adalah elemen diagonal

• Dari sebuah sistem persamaan, dapat dibuat matriks koefisien dan augmented matriksnya.

• Matriks koefisien dan augmented matriks adalah cara lain untuk menyatakan suatu sistem persamaan.

• Sistem tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan operasi baris elementer untuk mengubah augmented matriks menjadi bentuk eselon baris.

Operasi baris elementer (OBE)

• sebuah prosedur eliminasi yang didasarkan pada gagasan untuk mereduksi matriks menjadi bentuk yang cukup sederhana sehingga SPL dapat dipecahkan dengan memeriksa sistem tsb yang pada akhirnya akan menghasilkan bentuk eselon baris tereduksi

Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol

Mempertukarkan dua buah barisMenambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya

Operasi Baris Elementer (OBE)

510026107341

310020101001Sampai didapatkan

atau

Eselon baris Eselon baris terreduksi


• Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).

• Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.

• Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.

• Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi

• Dua buah matriks dikatakan ekivalen baris jika salah satunya merupakan hasil operasi baris elementer dari matriks lainnya.

• Sebuah matriks dikatakan berbentuk eselon baris jika: Baris yang seluruh elemennya nol terletak di lapisan bawah.

Baris yang mempunyai elemen bukan nol, elemen bukan nol yang paling kiri adalah 1.

Dua baris bukan nol yang berurutan , baris yang di lapisan atas elemen 1 nya lebih ke kiri dibanding elemen 1 baris di lapisan bawahnya.


Contoh Matriks Eselon Baris:


Sebuah matriks dikatakan berbentuk eselon baris terreduksi jika:Sudah berbentuk eselon baris.Elemen bukan 0 paling kiri (angka 1) dlm setiap baris merupakan satu-satunya elemen bukan 0 (angka 1) dalam kolom ybs.


Contoh Matriks Eselon Baris Terreduksi:

Eliminasi Gauss pada Matriks

1. Dari sistem persamaan, tulislah augmented matriksnya.

2. Gunakan operasi baris elementer untuk mendapatkan matriks ekivalen yang berbentuk eselon baris.

3. Dari matriks yang sudah berbentuk eselon baris tersebut tulislah dalam bentuk sistem persamaan.

4. Gunakan substitusi balik untuk mendapatkan penyelesaian sistem tersebut.

Eliminasi Gauss Jordan• Pada eliminasi Gauss-Jordan, operasi baris elementer terhadap augmented matriks dilanjutkan sampai diperoleh bentuk eselon baris terreduksi. (seperti di bawah ini)

1 0 0 a0 1 0 b0 0 1 c

Contoh Eliminasi Gauss-Jordan

05631342

92

zyxzyx

zyx

056313429211

0563177492

zyxzy

zyx

0563177209211

B2 -2x B1+B2

B3 -3x B1+B3

271130177209211

27113177492

zyzy

zyx

Contoh (ljt)B2 1/2xB2

B3 -3x B2+B3

2711302/172/710

9211

271132/172/7

92

zyzyzyx

2/32/1002/172/710

9211

2/32/12/172/7

92

zzyzyx

Contoh (ljt)

SEHINGGA

B1 -1xB2+B1

B1 -11/2x B3+B1B2 7/2xB3+B2

B3 -2x B3

31002/172/710

921132/172/7

92

zzyzyx

31002/172/7102/352/11013

2/172/72/352/11

zzyzx

3100201010013

21

zyx

x = 1, y = 2, z = 3

Eliminasi Gauss matriks segitiga

Eliminasi Gauss-Jordan matriks identitas

BI+(-2)B3 B2+ (7/2)B3

B1+(-1)B2

Kembalikan ke bentuk persaman biasa, diperoleh: x1 = 1 X2 = 2 X3 = 3

SPL Homogen• Sistem persamaan linear yang berbentuk

0.....

0...0...

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

• SPL Homogen senantiasa punya solusi karena x1 = 0, x2 = 0, …, xn = 0 selalu merupakan solusi dari sistem tersebut.

• Solusi tersebut dinamakan solusi trivial (tak sejati)

• Jika ada solusi lain, maka solusi tersebut dinamakan solusi tak trivial (sejati).

Contoh

Matriks yang diperbesar dari sistem tersebut

002032022

543

5321

54321

5321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

011100010211013211010122

~31 BB

011100010122013211010211

Contoh (Ljt)

~3123

212BBB

BBB

011100030300003000010211

~42 BB

003000030300011100010211

~32331221

BBBBBB

003000003000011100012011

~33

1B

003000001000011100012011

Contoh (Ljt)

Sistem persamaan yang bersesuaian adalah

000

4

53

521

xxxxxx

04

53

521

xxx

xxx

x1 = - s – t x2 = s x3 = -t x4 = 0x5 = t Solusi SPL Homogen di atas adalah

RtdanRs,t

10101

s

00011

xxxxx

xxxxx

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

~43342321321

BBBBBBBBB

000000001000010100010011

Latihan:1. 3x + 2y = 5

x + y = 2

2. 2X1 + X2 + 4X3 = 83X1 + 2X2 + X3 = 10X1 + 3X2 + 3X3 = 8

Latihan:3. 2x + y + z = 4 X – y – z = -1 X + y + 2z = 4

Eliminasi Gauss (Teknik Industri Semester 2)

Documents

Transcript of Eliminasi Gauss (Teknik Industri Semester 2)