Détection des croisements de fibres en IRM de Diffusion

T. Megherbi

ParIMéd, LRPE, USTHB, Alger, Algérie

tina.megherbi@gmail.com

F. Oulebsir Boumghar

ParIMéd, LRPE, USTHB, Alger, Algérie

fboumghar@usthb.dz

A. Ghosh

Equipe-Projet Athena, Inria Sophia Antipolis-Méditerranée, France

Aurobratra.Ghosh@inria.fr

R. Deriche

Equipe-Projet Athena, Inria Sophia Antipolis-Méditerranée, France

Rachid.Deriche@inria.fr

Résumé

L'importance de la tractographie par imagerie par résonance magnétique de diffusion (IRMd) croît régulièrement. Cependant, l'intégrité des résultats des algorithmes de tractographie dépend fortement de la résolution angulaire des méthodes d'extraction des maxima, en particulier dans les zones comportant des configurations complexes de fibres telles que les croisements et les embranchements de faisceaux de fibres. Dans cet article, nous avons mené une étude comparative entre les méthodes traditionnelles d'extraction des maxima et la méthode par décomposition des tenseurs d'ordre supérieur, connue sous le nom de CP-PARAFAC. Nous présenterons les résultats obtenus par les deux méthodes sur un volume de données synthétiques de 31 signaux qui représente un croisement de deux fibres. Une étude sur la robustesse au bruit de la méthode PARAFAC a été également menée. Enfin, nous présenterons les résultats obtenus par la méthode PARAFAC appliquée à la recherche des directions de trois fibres qui se croisent.

Mots clés: IRM de diffusion, Cartesian Tensor-FOD, extraction des maxima, décomposition des tenseurs d'ordre supérieur, CP-PARAFAC.

1. Introduction :

Depuis son apparition, l'imagerie par résonance magnétique (IRM) s'est déclinée en différentes modalités , la plus récente étant l'IRM de diffusion (IRMd), dont les premiers résultats ont été publiés en 1986 par Le Bihan et al. [20], l'IRMd étant particulièrement adaptée pour étudier et caractériser l'architecture neuronale dans la matière blanche du cerveau, de manière non invasive. La technique de l'IRM du tenseur de diffusion (DTI) introduite par Basser et al. en 1994 [12] capture et quantifie les mouvements libres ou contraints des molécules d'eau présentes dans le cerveau et permet de révéler leurs propriétés de diffusion; les tenseurs symétriques et

définis positifs, du second ordre ont été utilisés pour modéliser le profil de la diffusion dans chaque voxel, avec l'hypothèse d'un faisceau de fibres unique par voxel. Ainsi, le coefficient de diffusion apparent (ADC) est défini par D(g)= gT D g avec g : le vecteur du gradient de champ magnétique et D : un tenseur du second ordre appelé tenseur de diffusion. De par son hypothèse de base, le modèle DTI, en dépit de sa simplicité et sa robustesse, s'avère inefficace dans le cas de structures complexes de fibres telles que les croisements de fibres. Ainsi, les algorithmes de tractographie basés sur le DTI peuvent fausser le suivi de fibres et donc produire des résultats non fiables. Pour surmonter les limites du DTI, de nouvelles modalités et techniques d'imagerie à haute résolution angulaire (HARDI) [23] ont été proposées : l'imagerie Q-ball (QBI) [24, 25] avec un échantillonnage sphérique de l'espace de diffusion, l'Imagerie de Spectre de Diffusion (DSI) [26] avec un échantillonnage de la totalité de la grille cartésienne 3D de l'espace de diffusion, la déconvolution sphérique [6] et la transformée d’orientation de la diffusion (DOT) [27]. Ces techniques permettent la reconstruction de fibres multiples en calculant la fonction de densité de probabilité (PDF) par laquelle on estime la fonction de densité d'orientation (ODF) dont les maxima s'alignent sur les orientations réelles des fibres. Bien que, le DSI soit l'un des modèles les plus précis en permettant d'estimer l'ODF exacte, cette modalité requiert un temps d'acquisition élevé et des valeurs de gradient très grandes, ce qui la rend impraticable pour des applications cliniques. Le QBI permet d'estimer une l'ODF approchée grâce à la transformée de Funk-Radon (FRT) [24] ; Descoteaux et al. ont proposé une méthode analytique [25] pour estimer l'ODF à partir du modèle QBI dans la base des harmoniques sphériques. Toutefois, l'ODF estimée par la méthode QBI présente une résolution angulaire limitée, en ne permettant de reconstruire correctement que les fibres qui se croisent à plus de 60 degres [28]. Récemment, Descoteaux [29] a proposé une alternative à cela en utilisant les méthodes de déconvolution sphériques [6] qui fournissent une estimation de l'ODF de fibres (fODF) qui est plus

aguisée que l'ODF de diffusion estimée par le modèle QBI avec un gain de 15° au niveau de la résolution angulaire [29]. Cependant, la recherche numérique des maxima locaux de l'ODF approchée, estimée par la méthode QBI dans la base des harmoniques sphériques [17], demande un temps de calcul important.

Une autre approche pour la reconstruction des multi-fibres, est de décrire le profil ADC par les tenseurs d'ordre superieur, qui généralisent les tenseurs d'ordre 2 [31] et ont la capacité d'approximer les fonctions multi-lobes. Différentes méthodes ont été proposés pour l'estimation des tenseurs d'ordre 4 avec la contrainte de défini-positif [15, 22, 30]. Cette approche, est intéressante car les algorithmes de traitement et d'analyse développés pour les tenseurs d'ordre 2 (DTI), peuvent aisément être étendus aux tenseurs d'ordre supérieur ; de plus, contrairement à la base des harmoniques sphériques, les maxima locaux des tenseurs d'ordre supérieur peuvent être facilement calculés [21, 3, 19, 18, 1] . Cependant, les maxima du profil ADC décrits par les tenseurs d'ordre supérieur ne s'alignent pas avec les orientations des fibres sous-jacentes [16].

Enfin, Weldeselassie et al. [7] ont proposé de combiner la formulation des tenseurs d'ordre supérieur avec la technique de déconvolution sphérique [6] ; de cette façon, ils modélisent la dentisité d'orientation de fibre (FOD) par des tenseurs cartésiens d'ordre supérieur avec une paramétrisation qui impose de manière explicite la propriété de défini-positif du tenseur cartésien (CT-FOD). Et ce sera sur la base de ce modèle que nous mènerons notre étude.

La tractographie par IRM de diffusion [13, 14] gagne de plus en plus d'importance dans les études cliniques, car elle est l'unique modalité d’imagerie en mesure de caractériser in vivo l'architecture des fibres de la substance blanche (SB) du cerveau. L'intégrité de ce réseau de fibres dépend essentiellement de la connaissance des directions principales des fibres dans chaque voxel, ce qui fait de l'extraction des maxima une étape de post-traitement très importante. Les méthodes traditionnelles [3, 19] d'extraction des maxima locaux ne permettent pas d'atteindre la résolution angulaire que permettent les nouvelles techniques d'acquisition de données, car les maxima ayant une largeur définie, ils tendent à se confondre entre eux en dessous d'un certain angle de séparation. Pour résoudre ce problème F. Jiao [1] a proposé une décomposition du CT-FOD pour la recherche des directions des fibres avec une méthode connue sous le nom de CP-PARAFAC [1, 2, 5].

Motivés par l'importance de l'extraction des maxima pour affiner les résultats des algorithmes de tractographie, nous avons repris dans nos expérimentations, une partie des travaux de F. Jiao [1] qui consiste à retrouver les directions des fibres en utilisant la décomposition CP-PARAFAC du CT-FOD [7] et nous avons mené une étude comparative entre la

méthode traditionnelle d'extraction des maxima [21, 3] et la méthode de décomposition PARAFAC [1]. De plus, de par la complexité de l'architecture neuronale nous ne nous sommes pas limités à l'étude de la décomposition au rang 2 [1], nous avons étendu l'algorithme PARAFAC au rang 3. Ainsi, il est possible de retrouver les directions de trois fibres dans un voxel et ce, avec des tenseurs d'ordre 4 [15, 22, 19]. Nous montrerons également dans ce document que la décomposition CP-PARAFAC améliore considéralement la résolution angulaire et ce, avec un nombre de directions de gradient relativement réduit, et par conséquent devrait améliorer les résultats des algorithmes de tractographie.

Ce document est organisé comme suit : premièrement nous présentons le contexte de notre travail qui est la recherche des maxima à partir du CT-FOD [7] par la décomposition des tenseurs d'ordre supérieur par la méthode CP-PARAFAC, viennent ensuite les résultats obtenus par les tests conduits avec les méthodes PARAFAC et la méthode traditionnelle d'extraction des maxima. Enfin nous clôturons cet article par une conclusion et quelques perspectives.

2. Le Modèle positive semi-definite Cartesian Tensor FOD (CT-FOD) :

La recherche des maxima locaux du CT-FOD peut se faire facilement grâce à sa forme polynomiale ; de plus, les maxima locaux du CT-FOD s'alignent sur les orientations réelles des fibres sous-jacentes. Aussi, nous proposons d'estimer le CT-FOD.

Soit un ensemble de données pondérées en diffusion (DW-MRI) Si/S0 correspondant aux paramètres d'acquisition gi et b-values, les coefficients du CT-FOD peuvent être estimés par la minimisation de la fonctionnelle d'énergie suivante [7]:

E=∑i=1N (Si /S0−∑ j=1

M λ j∫S2 p(v1, v2 ,v3 ;cj )2 B(v , gi ,b)dv)2

avec B(v, gi, b) le kernel Watson de la déconvolution sphérique.

Pour nos expérimentations, le CT-FOD a été estimé par le code mis en œuvre par Barmpoutis dans sa toolbox FanDTasia [10].

3. Extraction des maxima locaux :

Différentes méthodes, dites traditionelles, d'extraction des maxima locaux [3, 19] à partir de l'ODF représentée dans la base des tenseurs d'ordre supérieur ont été proposées. Qi [21] a développé une méthode de calcul des valeurs propres des tenseurs d'ordre supérieur, racines d'un polynôme monodimensionnel appelées Z-eigenvalues. Bloy et Verma [3] ont exploité la méthode de Qi pour

proposer une expression analytique pour l'estimation des maxima à partir des coefficients de tenseurs d'ordre supérieur, définis par les points fixes de polynômes homogènes [3] ; en outre, les vecteurs propres (Z-eigenvectors) associés aux Z-eigenvalues correspondent aux directions principales des fibres dans le voxel [3]. Barmpoutis a également mis en œuvre [10] une méthode d'extraction des maxima locaux basée sur les travaux de Qi [21]. Cette dernière a été exploité dans nos expérimentations, pour étudier les performances des méthodes traditionnelles d'extraction des maxima et de les comparer aux résultats obtenus par la méthode de décomposition des tenseurs d'ordre supérieur CP-PARAFAC [1].

4. Décomposition des tenseurs d'ordre supérieur (CP-PARAFAC):

Soit un tenseur D cubique et symétrique D∈Rdx d x d

; ce tenseur peut être écrit sous la forme

d'une somme de produit externe [2, 4, 5] suivante :

D=∑r=1

R

V r1 ∘V r

2∘ . .. ∘V rn

avec R : le rang de D, n: l'ordre de D, n=3, « ∘ » : le

produit externe, et les Vr : les tenseurs du premier ordre (vecteurs).

Dans le cas des tenseurs d'ordre supérieur, il est difficile de connaître le rang du tenseur. Cependant, il est possible d'approximer la décomposition de ces tenseurs pour un rang k<R [1], cette méthode de décompostion est appelée CANDECOMP/PARAFAC (CP).

D̃≈∑r=1

k

λr (vr1∘ vr

2∘ . ..∘ vr

n)

où ∣∣vr∣∣=1 ; pour un tenseur symétrique

(vr1=vr

2=. ..=vr

n)

Les vecteurs vr représentent ici les directions des

fibres correspondantes aux coefficients λr , le rang

du tenseur correspond au nombre de fibres qui se croisent dans un voxel [1].

La décomposition PARAFAC d'un tenseur donné D, et pour un rang donné k, revient à un problème de minimisation par les moindres carrés alternés (ALS) [1, 4, 5] :

minD̃

∣∣D−D̃∣∣2

avec D un tenseur d'ordre 4, D∈R3x 3 x 3 x 3 ; dans cette

étude, D est le Cartesian tensor-FOD.

4. Tests et résultats :

Pour nos tests nous avons généré par le modèle de Söderman [8, 9], deux jeux de données de synthèse de 31 signaux, représentant un croisement de deux fibres avec des angles de séparation allant de 90° à 0° avec un pas de 3° ; le premier jeu comprenant 21 orientations de gradient de champ magnétique et le second 60 orientations.

Le premier test consiste à comparer la méthode PARAFAC à la méthode traditionnelle d'extraction des maxima, mis en œuvre par Barmpoutis [10]. Pour ce faire, nous avons considéré notre jeu de données synthétiques de 21 orientations de gradient. Notons, que ce nombre d'orientations est vraiment réduit, ce qui implique un temps d'acquisition court.

Le calcul d'erreurs est déterminé à l'aide des relations suivantes :

erreur1=(v1 , f 1)+(v2 , f 2)

2

erreur2=(v2 , f 1)+(v1 , f 2)

2

f1, f2 : Les directions réelles des fibres dans le voxel (Figure 1).v1, v2: Les directions approximées (Figure 1).

Fjjj

jFigure 1. Représentation du CT-FOD pour un voxel; en rouge : les directions réelles des fibres et en bleu : les directions

approximées.

A travers cette première expérience sur des données non bruitées nous avons confirmé les performances de la méthode PARAFAC en termes de précision des résultats (figure 2) et de résolution angulaire ( figure 3). Effectivement, la figure 3 (a) qui illustre les coefficients λ de la méthode

traditionnelle d'extraction des maxima montre qu'à partir d'un angle de séparation inférieur à 60° un des deux coefficient λr retombe à zéro, ceci, se

traduit par le fait qu'en dessous d'un angle de

séparation inférieur à 60° la méthode ne détecte plus qu'une seule fibre, la résolution angulaire des méthodes traditionnelles d'extraction des maxima [3, 13] n'atteint pas moins de 60°. Par contre, sur la figure 3.(b) nous constatons que les résultats obtenus par la méthode PARAFAC sont nettement meilleurs, cette méthode atteint une résolution angulaire de 38° et ce, avec un nombre d'acquisitions réduit, 21 acquisitions.

Figure 2. Courbes d'erreur (erreur1 en trait plein et erreur2 en pointillés) en fonction de l'angle de séparation, de la méthode des

maxima(bleu) et celle de la décomposition PARAFAC (rouge) pour un rang k=2 .

(a)

(b)

Figure 3. (a) et (b) Respectivement les courbes des lambdas en fonction de l'angle de séparation, de la méthode des maxima et de la

décomposition PARAFAC pour un rang k=2.

L’évolution des appareils d’imagerie à résonance magnétique permet d’augmenter la résolution angulaire en imagerie de diffusion. De ce fait, nous avons

augmenté le nombre d'orientation de gradient de champ magnétique à 60, un nombre qui reste relativement réduit. Les figures 4. (a) et (b) illustrent le gain en résolution angulaire lorsqu'on passe de 21 acquisitions à 60 acquisitions, la résolution angulaire est ramenée à 35°.

(a)

(b)

Figure 4. (a) Courbes d'erreur (erreur1 en trait plein et erreur2 en pointillés) de la décomposition PARAFAC rang k=2 pour 21 orientations de gradient (rouge) et 60 orientations de gradient

(bleu) . (b) Courbe des lambdas pour 21 orientations de gradient (bleu) et 60 orientations de gradient (rouge).

Application de l'algorithme PARAFAC sur des données bruitées : Afin de tester la robustesse de l'algorithme PARAFAC au bruit nous l'avons appliqué sur un ensemble de 31 signaux, bruités avec un SNR de 50, 30 et 25. ces données correspondent à un croisement de deux fibres dont l'angle de séparation va de 90° à 0° avec un pas de 3°, acquis avec 60 orientations de gradient.

(a)

(b)

(c)

Figure 5. (a) Déviation des orientations des fibres en fonction de l'angle de séparation pour SNR 50. (b) Déviation des

orientations des fibres en fonction de l'angle de séparation pour SNR 30. (c) Déviation des orientations des fibres en fonction de l'angle de

séparation pour SNR 25.

La figure 5. (b) montre qu'avec un SNR de 30 il est possible de retrouver correctement 2 fibres qui se croisent, en particulier lorsque l'angle de séparation entre ces deux fibres est supérieur à 35°.

Application de l'algorithme PARAFAC sur un jeu de données de synthèse représentant un croisement de trois fibres : Les tenseurs d'ordre 4 sont capables de retrouver les directions de trois fibres dans un voxel [19] ; c'est pourquoi, nous ne nous sommes pas limité à une décomposition du tenseur au rang 2 [1], mais, nous avons étendu l'algorithme PARAFAC au rang 3 et appliqué sur un ensemble de données de 60 orientations de gradient, cet ensemble de données représente un croisement de trois fibres, avec un angle de séparation allant de 90° à 0°.

(a)

(b)

Figure 6. (a) Courbes d'erreur en fonction de l'angle de séparation, de la décomposition PARAFAC pour un rang k=3, pour

un jeu de données de 3 fibres qui se croisent. (b) Courbe des lambdas en fonction de l'angle de séparation de la décomposition

PARAFAC pour un rang k=3.

Les figures 6. (a, b) montrent qu'avec l'algorithme PARAFAC au rang 3, appliqué sur des données non bruitées, nous pouvons retrouver avec précision trois fibres qui se croisent avec une résolution angulaire de 42°.

5. Conclusion et perspectives:

Dans cet article nous avons travaillé sur la décomposition des tenseurs d'ordre supérieur par la méthode CP/PARAFAC pour retrouver les directions des fibres. La comparaison de l'algorithme PARAFAC[1] à la méthode traditionnelle de recherche des maxima, basée sur le calcul des Z-eigenvalues et des Z-eigenvectors [3, 21] a permis de se rendre compte des performances de la méthode PARAFAC en termes de résolution angulaire. Effectivement, il est possible de détecter deux fibres qui se croisent dans un voxel avec une résolution angulaire de 35° et ce, avec un SNR de 30 et un nombre d'orientations de gradient de 60. De plus, l'application de l'algorithme sur des données de synthèse non bruitées de 60 orientations de gradient représentant un croisement de trois fibres, montre

qu'il est possible de retrouver correctement les trois fibres pour un angle de séparation supérieur à 42 °. Cependant, afin de valider les résultats obtenus par l'algorithme PARAFAC appliqué à la recherche des directions de trois fibres qui se croisent, nous envisageons en perspectives de mener une étude sur la robustesse au bruit, ainsi qu'une étude sur le choix du rang.

Le gain en résolution angulaire devrait améliorer les résultats des algorithmes de tractographie et en particulier dans les zones comportant des configurations complexes de fibres telles que les croisements et les embranchements de faisceaux de fibres.

Remerciements :

Ce travail est effectué dans le cadre du programme STIC-Algérie, financé par la Direction des relations internationales d'Inria en France et la Direction générale de la recherche scientifique et du développement technologique (DGRSDT) en Algérie.Nous remercions ces 2 directions pour leur soutien financier.

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