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Colore e geometria. Un modello geodetico del colore per la preselezione delle varianti

cromatiche del progetto. Michela Rossi*, Giorgio Buratti**

*Dip. Design, Politecnico di Milano, michela.rossi@polimi.it ** Dip. Design, Politecnico di Milano, giorgio.buratti@polimi.it

Abstract - Harmony combinations: a geodesic model of color as a design tool. The design of color clashes into two problems; the correct definition of colors and their true representation. A preliminary comparison of color combination seems to be important in the design choice, because the overall effect is more relevant than clarification of the exact value of hues, in respect of which you could yet accept the variable degree of approximation. Therefore, the usefulness of new auxiliary tools development, to allow a display of color choices and their homologous combinations, could be interfaced with the measuring-production-representation of shades. According to color theories, which refer to a wide variety of shapes, a topologically flexible model is able to suit different assumptions and it could be applicable for fabric, wallpaper and tiles design, including interior and urban design. The hypothesis referred to the realization of digital color-solid, allowing quick display of equivalent color combinations, throughout the rotation of some radial alidades, whose direction shows different shade with similar harmony. This requires identifying a regular solid, which to apply the colour symmetry, then proceeding with a geodesic tessellation with the smallest deformation among the different tiles of the tessellation pattern. The solid that best meets this requirement is the octahedron, whose 6 vertices allow to place in a prominent position the four psychological primaries (red, green, yellow and blue) and the two achromatic colors (black and white). The geodesic projection of the tessellation on the sphere allows a - quite- regular layout of all intermediate shades. The choice to replicate the application of tessellation pattern of the same generative algorithm is due to the need to minimize the tiles deformations. This would be lower starting from a solid with a higher number of faces. The pattern allows you to display the selected combination of hue on continuous surface of the sphere. The different colors obtained by mixing two components, both along the diameter of the stereographic projection of the tetrahedrons’ edges, on the face there are the nuances of three blending colors, in the center of which are the intermediate colors between the colors of each vertex. The generative tessellation allows you to change from time to time the number of dowels - then of colors- depending on the difference wanted between contiguous colors. In this way, the arrangement of colors on the surface of the sphere, which is symmetric around its center, allows to "measure" equivalent combinations, by the rotation within the space, by a number of choices of alidades integral between them, either of a regular shape of two or three dimensions inserted into the sphere.

1. Introduzione – Il colore nel progetto Il progetto si serve degli strumenti mediati della rappresentazione sia per anticipare l’immagine finale e verificare l’effetto della realizzazione, sia per indicare con esattezza le caratteristiche metriche e materiali del suo oggetto agli operatori che si devono occupare dell’esecuzione. Il linguaggio preferenziale del progetto è sempre stato il disegno, capace di esprimere in modo inequivocabile con il segno tutti i caratteri essenziali della forma e della costruzione. In riferimento al colore però esso è sempre stato condizionato da due fattori riferibili alla sua rappresentazione: quello della visualizzazione nel disegno per la scelta degli accostamenti, e quello della definizione esatta delle tinte, per la loro riproduzione fedele. La rappresentazione

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digitale, oggi prevalente in tutti i processi del progetto, ha incentrato l’attenzione sul modello tridimensionale, che ricorre al colore come elemento di visualizzazione delle forme sullo schermo sul quale si manifesta la visualizzazione del modello nello spazio virtuale. Come conseguenza il colore assume una valenza primaria anche come elemento del disegno e questa si riflette sulla sua considerazione nella qualità progettuale. Oggi esso non è più un elemento accessorio, ma una componente determinante del progetto, presente a partire dalle prime elaborazioni e questo rende necessaria un’attenzione e una consapevolezza diverse da quelle del passato. Nella fase preliminare predominano le necessità di un confronto veloce per le scelte generali, per le quali l’effetto d’insieme è più importante della precisazione della tonalità, e si può accettare un margine di approssimazione sulla definizione esatta. La visualizzazione rapida delle possibili alternative si integra quindi con le premesse formali diventa più importante della definizione esecutiva, quest’ultima risolta con l’indicazione dei codici nelle cartelle colore in uso nel settore merceologico di riferimento. Le necessità pratiche del progetto giustificano la ricerca di strumenti ausiliari per la visualizzazione delle scelte cromatiche, che si possano interfacciare con i sistemi di misura/produzione/rappresentazione del colore, basati su un modello flessibile e capace di adattarsi a presupposti diversi, applicabile alla progettazione di tessuti, parati e rivestimenti policromi di vario genere, ma anche nella riqualificazione urbana e il design degli interni. La tecnologia dello schermo sposta l’attenzione verso la struttura fisica del colore su cui si basa la formazione dell’immagine digitale, ma sottolinea la duplice natura del colore, perché esprime il risultato della miscelazione di pigmenti nella messa in pratica di quanto previsto mettendo in relazione il colore/luce dell’immagine digitale a video (modello virtuale) con il colore/materia della sua rappresentazione cartacea (“disegno”), e della realizzazione (colore reale). Si giustificata quindi l’interesse rispetto al colore sviluppata nell’ambito del PRIN 2008, dedicato allo studio della geometria attraverso la modellazione digitale1. La ricerca locale dell’unità milanese, che ha indagato diversi aspetti del colore, è stata finalizzata allo studio delle geometrie del colore, finalizzato alla strutturazione di uno strumento utile al progetto di Design e di Architettura. A partire dai modelli teorici e dalle loro applicazioni alle arti2, è stata verificata la fattibilità di applicazioni informatizzate che permettano di sviluppare strumenti ausiliari di vario genere per il controllo del colore nel progetto. Le ipotesi e le sperimentazioni hanno quindi portato ad un’ipotesi di modello cromatico digitale per la scelta di combinazioni di colori equivalenti, che potrebbe essere utile per la visualizzazione veloce di combinazioni di colori per la progettazione di tessuti, parati e rivestimenti policromi di vario genere, nella cui progettazione occorre valutare e selezionare serie alternative. Gli ambiti applicativi di riferimento sono la riqualificazione urbana, il rilievo del colore, il restauro

1 PRIN 2008 – Geometria Descrittiva e modellazione digitale, memoria e innovazione. Sedi locali delle università di Roma 1, Genova, Politecnico di Milano, Udine, IUAV Venezia. Coordinatore nazionale prof. Riccardo Migliari. 2 Cfr N. Silvestrini, 1988-2002; A. Marotta, 1999; Rolf G. Kuehni, 2005; Sarah Lowengard, 2006. In particolare A. Marotta offre una vasta rassegna delle teorie storiche e una bibliografia molto completa sui diversi aspetti del colore sottolineando con P. Falzone un nuovo interesse per lo studio del colore nel progetto e nell’architettura storica.

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cromatico e la rappresentazione del colore nel progetto, ma soprattutto il valore progettuale degli accostamenti cromatici. Quest’ultimo è uno degli aspetti nei quali la geometria del colore presenta l'interesse maggiore perchè si osserva che tutte le teorie di armonia del colore applicate alle arti formali, la pittura in particolare, riportano alle simmetrie di figure geometriche specifiche3.

2. La ricerca – Colore e geometria Nei diversi ambiti applicativi del colore sono state definite soluzioni specifiche per la sua rappresentazione a partire da modelli geometrici che sono una diretta espressione dei principi teorici e, grazie al riferimento ad una forma geometrica, permettono il controllo della miscelazione dei primari. Questi ultimi cambiano a seconda che la teoria adottata faccia riferimento alla componente fisica o chimica del colore, quindi il tipo di sintesi applicata, e anche il numero è variabile nelle diverse conzezioni. Manca quindi una sistematizzazione univoca del fenomeno nel suo insieme, e nemmeno pare possibile nell’immediato perché nessun modello concilia la duplice natura chimica e fisica, dal momento che due principi diversi sono all’origine della manifestazione del colore: i pigmenti e la luce. La modellazione algoritmica di un solido-colore con il software parametrico Grasshopper4 consente la trasformazione della forma euclidea, attraverso il passaggio tra forme topologicamente equivalenti, dimostrando che l’essenza del modello è espressa dal sistema di riferimento delle sue coordinate più che dalla forma, che costituisce un’astrazione finalizzata alla visualizzazione. La modellazione digitale tramite algoritmi reiterati, permette di simulare la discretizzazione automatica delle scale cromatiche, applicando i processi parametrici al colore invece che alla forma. Il modello sperimentale che può essere modellato con questo software descrive la variazione del colore in relazione alle coordinate del sistema di riferimento e mantiene la possibilità di trasformazione tra primitive geometriche diverse. Il passaggio da un solido all’altro, la gradualità tra tonalità contigue e la definizione della posizione dei colori primari sul modello possono essere controllate con poche operazioni elementari, anche a posteriori, attraverso la sostituzione della primitiva geometrica, o modificando il gradiente del colore. La sperimentazione è iniziata con la modellazione parametrica di modelli semplificati basati sulla geometria elementare del cono, del cilindro e della sfera e ha evidenziato che il controllo di due variabili indipendenti è immediato, mentre della terza variabile richiede il ricorso ad algoritmi più complessi, ma la programmazione algoritmica permette la generazione automatica dei colori a partire da parametri predefiniti a piacere, indipendentemente dalla forma della superficie del modello, su una tassellazione sufficientemente piccola da essere letta come una variazione continua5. L'ipotesi conclusiva riguarda la realizzazione di un solido del colore che permetta la visualizzazione immediata di combinazioni cromatiche equivalenti (ovvero con

3 un raffronto dei diversi modelli geometrici si trova in UDRD D. REP, 2011, parte II, Riflesioni e ricerche, Le geometrie del colore, pp. 231-298. 4 sviluppata da G. Buratti nell’ambito della tesi di dottorato in Design. 5 il limite per la definizione del numero dei tasselli è rappresentato dalla memoria disponibile.

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eguale simmetria rispetto al baricentro cromatico), attraverso la rotazione nello spazio di un numero a scelta di elementi radiali la cui direzione sia vincolata alla scelta della serie di partenza. La geometria descrittiva suggerisce una soluzione del problema che risulta facilitata dall'applicazione delle potenzialità grafiche del software generativo, con il quale è possibile ricavare agevolmente la tassellazione di qualsiasi superficie. Questo richiede di individuare un solido regolare che possa generare una tassellazione simmetrica della sfera, al quale applicare le simmetrie del colore e successivamente procedere con una tassellazione geodetica che permetta di contenere le deformazioni dei moduli. Un riferimento sono le ricerche di Buckminster Fuller, che ha applicato la geometria della sfera e le simmetrie dei solidi regolari in essa inscritti alla ricerca di soluzioni innovative a problemi reali, con rielaborazioni personali della geometria "naturale" dei solidi che Platone aveva posto alla base della realtà naturale, nelle quali la forma offre la soluzione progettuale. Le particolari caratteristiche e proprietà delle sezioni geodetiche, che Fuller ha applicato allo sviluppo di una proiezione cartografica per la navigazione aerea, possono essere sperimentate anche nell’ambito della rappresentazione del colore su un solido con una tassellazione regolare da proiettare sulla sfera circoscritta.

Fig. 1 – Ipotesi di tassellazioni della sfera. La tassellazione generativa permette di stabilire di volta in volta il numero dei tasselli (quindi dei colori) a seconda della differenza che si vuole avere tra colori contigui. In questo modo la disposizione dei colori sulla superficie della sfera, simmetrica rispetto al suo centro, permette di "misurare" accostamenti equivalenti tramite la rotazione nello spazio di un numero a scelta di alidade orientate e solidali tra loro, o di una figura regolare a due o tre dimensioni inserita nella sfera. Le due ipotesi di tassellazione verificate sono state la divisione della faccia in moduli e qualla secondo piani geodetici. La geometria descrittiva si conferma quindi come strumento di misura e rappresentazione grafica dello spazio.

3. L’organizzazione del modello Il solido regolare che risponde meglio ai presupposti è l'ottaedro, i cui 6 vertici permettono di posizionare in posizione di risalto i quattro primari psicologici (rosso, verde, blu) e i due colori acromatici (bianco e nero) e da questo partire per la proiezione geodetica sulla sfera, inserendo tutte le gradazioni intermedie6. La scelta 6 Modelli del colore basati sull’ottaedro con i quattro primari psicologici e le due tinte acromatiche ai vertici del poliedro, sono quelli proposti da Höfler (1883-87), Ebbinghaus (1902) e Boring (1929). Cfr. UDRD D. REP, cit., G. Mele, pagg. 273-279 e pag. 296. Caratteristica di questa forma è l’ampio spazio dedicato alle sfumature del verde.

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del reticolo geodetico della successiva tassellazione con l'applicazione reiterata dello stesso algoritmo generativo è condizionata dalla necessità di ridurre al minimo le deformazioni delle tessere nelle quali devono essere inserite le sfumature di colore, che sarebbero minori partendo da un solido con un più alto numero di facce. 7

Fig. 2 – Organizzazione dei colore sulla superficie del solido. La notazione applica le codifiche RGB, che permettono di individuare con operazioni molto semplici i valori cromatici nei vertici delle tessere della tassellazione, per ricavare poi la composizione tricromatica nel punto medio delle facce calcolando il valore medio della tricromia nei vertici.

Fig. 3 – Sviluppo della superficie dell’ottaedro con le variazioni del colore (colorato “manualmente” con calcolo aritmetico della composizione del colore). La struttura del modello evidenzia sulla superficie continua della sfera le tinte ricavate dalla miscelazione di due componenti lungo i diametri della proiezione stereografica degli spigoli del tetraedro e le sfumature della miscelazione di tre colori nelle tessere della proiezione della tassellazione delle facce, al centro delle quali, come nel solido di platone si trovano le tinte intermedie tra i colori dei tre lati. I colori puri sono ai vertici del solido, le tinte acromatiche ai poli.

L'impostazione di partenza è analoga a quella del doppio cono NCS e riprende, nella forma che definisce la posizione dei fondamentali, i modelli novecenteschi di Hoefller, Hebbinghaus e Boring, ma anche l'organizzazione dei colori nella sfera Wundt8. Tra i solidi il tetraedro è quello che si adatta più facilmente alle geometrie del colore digitale e alle necessità del progetto del colore. Esso permette infatti di disporre sulla superficie sia i primari RGB degli schermi in uso che i primari della miscelazione dei pigmenti e i colori acromatici, quindi le tinte e le tonalità del

7 M. Rossi, 2012 8 UDRD D. REP, cit., cfr. G. Buratti, pagg. 259-265.

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colore, mentre la saturazione può essere controllate sulla stessa superficie attraverso i filtri di trasparenza presenti in quasi tutti i programmi di disegno e modellazione digitale. La scelta del reticolo geodetico della successiva tassellazione con l'applicazione reiterata dello stesso algoritmo generativo è condizionata dalla necessità di ridurre al minimo le deformazioni delle tessere nelle quali devono essere inserite le sfumature di colore, che sarebbero minori partendo da un solido con un più alto numero di facce. (fig. 1) Prima di procedere con la modellazione si è proceduto alla distribuzione analogica dei colori nella tassellazione, procedendo al calcolo dei colori RGB nel baricentro dei moduli cromatici, ipotizzando per semplicità di calcolo la divisione in 5 parti dello spigolo (e/o del segmento sferico) che congiunge due primari contigui (fig. 2). Poi si è verificata la correttezza del presupposto geometrico colorando lo sviluppo del solido con i valori di calcolo (fig. 3). Infine si è proceduto con lo sviluppo della modellazione digitale del poliedro e della sua tassellazione per la proiezione geodetica sulla sfera con il disegno che garantiva la distribuzione più omogenea del colore.

Fig. 4 – processo di modellazione parametrica del solido del colore con la tassellazione stereografica della superficie della sfera.

4. Il modello parametrico del colore La sperimentazione descritta è stata realizzata con Grasshopper, plug-in di Rhinoceros, che consente di tradurre la sintassi della programmazione in un interfaccia visuale che rappresenta in forma di diagramma il sistema di legami parametrici dell’algoritmo. La programmazione alla base dei software parametrici permette di gestire oggetti complessi identificando una serie di passaggi che permettono di scomporre il problema in un numero finito di operazioni più semplici, integrate e/o reiterate. Gli elementi progettuali di base sono costituiti da algoritmi interconnessi tra loro, che ad ogni ciclo si influenzano reciprocamente, generando altri elementi ad un livello superiore di complessità fino a che, passo dopo passo, si produce la geometria finale9. Il criterio con cui un algoritmo opera è lineare: esso prevede che ci siano dei dati in ingresso, l’elaborazione degli stessi, e un risultato di 9 Un algoritmo è un procedimento che consente di calcolare un risultato desiderato a partire da dati di input, attraverso una sequenza logica e finita di istruzioni elementari.

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uscita. Nella costruzione del modello proposto, il punto di partenza è stata l’implementazione di un algoritmo che definisse il triangolo equilatero corrispondente alla faccia dell’ottaedro. Poiché l'angolo diedrale nell'ottaedro regolare è arc cos(-1/3), pari approssimativamente a 109.47122°, è possibile ottenere, tramite rotazione e ribaltamento l’intero solido. Il passaggio successivo dell’algoritmo studiato provvede a suddividere le facce dell’ottaedro nel numero desiderato di tasselli triangolari, corrispondenti ognuno alle diverse sfumature del modello colore. Esistono diversi componenti in Grasshopper che permettono una rappresentazione cromatica, l’essenziale è trovare una logica di relazione con la geometria stabilita. Nell’esempio proposto è stato associato un codice di colori basato sulla distanza di ciascun tassello da punti attrattori corrispondenti ai vertici del solido, corrispettivi al valore numerico inferiore e superiore della gradazione di tinte. I colori degli altri tasselli sono assegnati in base alla loro distanza da questi punti e sono definiti da tre numeri interi compresi tra 0 e 255, che rappresentano il Rosso, il Verde ed il Blu nel sistema RGB del monitor. Il passaggio successivo è la tassellazione della sfera realizzata con una proiezione stereografica, in maniera tale che i lati dei triangoli giacciano sui cerchi massimi della stessa. L’algoritmo provvede quindi a trasferire sulla sfera circoscritta, mediante proiezione centrale, i modiuli triangolari indivituati sulle facce dell’ottaedro e i rispettivi codici colori. Si noti che una volta stabilite le relazioni tra le parti e ipotizzate le funzioni parametriche basilari necessarie all’ottenimento della configurazione voluta, il numero dei tasselli e delle tinte può essere variato a piacere.

Fig. 5 – Tassellazione parametrica del colore sul tetraedro e proiezione sferica realizzata con Grasshopper.

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5. Conclusioni Nonostante la possibilità teorica di ottenere un numero illimitato di tinte e tassellazioni, nella sperimentazione effettuata è stato necessario limitarne il numero a 25 moduli per faccia, quindi a 200 colori a tre componenti oltre a 40csfumature a 2 componenti e 6 color puri che non si “vedono” nella tassellazione. Per quantitativi maggiori la memoria RAM della macchina utilizzata si è rivelata insufficiente, determinando l’instabilità del sistema. Il problema è da attribuirsi al numero di calcoli necessari all’attribuzione del colore ai singoli tasselli o all’impegnativo ottenimento dei triangoli sferici realizzato tramite piani secanti la sfera. La divisione dello spigolo in 12 parti permetterebbe di ottenere un totale di 1152 sfumature a tre componenti ulle facce, che con i 6 colori puri e le 12x8 miscelazioni doppie formerebbero una cartella di 1258 colori. Occorre però visualizzare i colori puri sui vertici e gli altri lungo gli spigoli, il che richiede la modifica della forma del tetraedro, smussando gli spigoli e i vertici per avere una superficie di supporto per i colori puri e doppi. Con questo si evidenzia una gerarchia riferita al numero di componenti. La sperimentazione continua con la ricerca di procedure geometriche più “snelle” (e con macchine più potenti), per esplorare le potenzialità applicative del modello. Bibliografia [1] SILVESTRINI N., TORNAGHI A., a cura di, Colore: codice e norma, Zanichelli, Bologna, 1982. [2] MAROTTA A., Policroma, dalle teorie comparate al progetto del colore, Celid, Torino,1999. [3] SILVESTRINI N., FISCHER E.P., Farbsysteme in Kunst und Wissenshaft, Dumont Buchverlag

Gmbh, 2002. [4] KUEHNI R. G., Color. An introduction to practice and principles, John Wiley & Sons, Hoboken,

NJ, 2005 [5] FALZONE P., a cura di, Colore architettura ambiente, Edizioni Kappa, Roma 2008. [6] ROSSI M., Geometry, Shape and Colour in Design, Reseach notes from historic colour theory, pp.

519-525. In Zennaro P., edited by, Color and light in Architecture, Venezia 11-12 novembre 2010, International Conference, Venezia 11-12 novembre 2010, Venezia, Nemesi, 2010.

[7] UDRD D. REP, a cura di, Realtà, simulazione e progetto. Il ruolo del modello, atti del seminario, 16-17 giugno 2011, Politecnica, Maggioli Editore, Santarcangelo di Romagna, 2011

[8] BURATTI G., BOZZON A., “Painting Experience Anticipation”: studio di un’applicazione per smartphone, pp. 47-55. In ROSSI MAURIZIO, a cura di, Colore e colorimetria, atti dell’Ottava Conferenza Nazionale del Colore, Bologna 13-14 settembre 2012, vol VIII A, Collana Quaderni di Ottica e Fotonica, Maggioli Editore, Santarcangelo di Romagna, 2012.

[9] ROSSI M., The Relation Shape/Color in Design. Digital Procedures for Color Management and Representation, pp. 17-18, in ROSSI M., edited by, Descriptive Geometry and Digital Representation: Memory and Innovation, McGraw-Hill, NewYork-Milano, 2012., Design Application. The Color, pp. 187-238.

[10] ROSSI M., a cura di, Geometria, spazio, colore. Ricerche per la rappresentazione e il progetto, Politecnica, Maggioli Editore, Santarcangelo di Romagna, 2013.