Coloración de vértices

Teoría de grafos

La teoría de grafos estudia las propiedades de los grafos estructuras que constan de dos partes, el conjunto de vértices, nodos o puntos; y el conjunto de aristas, líneas o lados que pueden ser orientados o no.

Coloración de Grafos

En Teoría de grafos, la coloración de grafos es un caso especial de etiquetado de grafos; es una asignación de etiquetas llamadas colores a elementos del grafo.

De manera simple, una coloración de los vértices de un grafo tal que ningún vértice adyacente comparta el mismo color es llamado vértice coloración.

Coloración de Grafos

Este problema también se puede plantear para aristas o para las caras del plano de un grafo, en donde la forma de desarrollo es la misma.

Coloración de Grafos

El número de colores con que se colorea un grafo es denominado número cromático, que es el menor valor que puede tomar k, donde k es el número de colores con que se puede colorear el grafo.

Coloración de Grafos

Una coloración de un grafo G=(V,A) es una asignación de colores a los vértices de G, a cada vértice un color, de forma que vértices adyacentes reciban colores distintos. Si en la coloración se usan k colores diremos que es una kcoloración.

Coloración de Grafos

Este grafo puede ser 3-coloreado de 12 formas diferentes.

Coloración de Grafos

En el problema de Coloración de Grafos, se puede encontrar un teorema denominado el teorema de los cuatro colores.

Este teorema establece que dado un grafo cualquiera, este puede ser coloreado a lo más, con 4 colores, de manera que no queden nodos adyacentes con el mismo color. 

Coloración de Grafos

Observaciones en la coloración de grafos

Para todo grafo G, χ(G)≤|V|, porque siempre podremos colorear con |V| colores, asignando a cada vértice un color distinto. Esta es, obviamente, la forma menos efectiva de colorear.

Si el grafo contiene al menos una arista, necesitaremos dos colores como mínimo; es decir, si |A|≥ 1, entonces χ(G) ≥ 2.

Observaciones en la coloración de grafos Si G contiene a G′ como subgrafo,

entonces χ(G)≥χ(G′) Si G tiene k componentes conexas,

G1,G2, . . . ,Gk que tienen números cromáticos χ(G1), χ(G2), . . . , χ(Gk) respectivamente, entonces χ(G) = máx (1≤i≤k){χ(Gi)}

Si G y G′ son isomorfos, entonces χ(G) =χ(G′).

Todo grafo planar es 4coloreable.

Algoritmos de Coloración de vérticesLos algoritmos conocidos para colorear los vértices de un grafo se clasifican en dos grandes grupos:

secuenciales

independientes.

Algoritmos de Coloración de vérticesDada una ordenación de los vértices del grafo, los algoritmos secuenciales asignan el mínimo color posible al siguiente vértice. Es decir, si queremos colorear el vértice v, teniendo ordenados numéricamente los colores, asignamos a v el color más pequeño que no aparece entre los asignados a los vecinos de v ya coloreados. La ordenación inicial es esencial para colorear con pocos colores

Algoritmos de Coloración de vérticesLos algoritmos “independientes” buscan en primer lugar un conjunto independiente de vértices I1 de cardinal grande, colorea todos los vértices con el color 1, elimina los vértices de I1 y repite el proceso en el grafo GI1, continuando así hasta colorear todos los vértices.

Algoritmos de Coloración de vérticesPaso inicial. Ordenamos los vértices del grafo. Es importante notar que la eficiencia del algoritmo depende del orden que elijamos. Hacemos una lista de los vértices del grafo (v1, v2,..., vn).

Un buen orden debe minimizar los colores prohibidos: se deben colocar los vértices de mayor orden al principio. De todas maneras no hay un criterio establecido para construir dicho orden.

Algoritmos de Coloración de vérticesPrimer paso. Le asignamos el primer color c1 al vértice v1.

Segundo paso. Procedemos a asignar un color al vértice v2 así: si es adyacente al vértice v1 le asignamos el siguiente color c2, en otro caso le asignamos c1.

Algoritmos de Coloración de vérticeskésimo paso. Para colorear el vértice vk buscamos todos los vértices del conjunto {v1,v2,..., vk−1} que son adyacentes a vk y determinamos los colores que han sido usados en sus coloraciones; luego usamos el primero disponible en el orden de C que no haya sido usado en la coloración de los vértices adyacentes a vk.

Ejemplo de coloración de vértices

vamos a trasladar a los animales del zoo de Central Park al mundo salvaje. Excepto Alex, el león que es un ególatra que aún no ha descubierto que los filetes que se come son de carne animal, no es posible transportar en la misma jaula a animales carnívoros con sus víctimas

Ejemplo de coloración de vértices

Debajo de cada nombre, se ha listado los nombres de los animales que no podrán viajar con él en la misma jaula.

Ejemplo de coloración de vérticesQueremos hacer ese transporte de animales usando el mínimo número posible de jaulas, porque cada jaula es muy cara y estamos en crisis. Para ello vamos a dibujar un grafo: cada animal lo dibujamos como un puntito, un vértice del grafo, y dibujaremos una arista entre dos vértices si éstos representan a dos animales que NO pueden compartir jaula.

Ejemplo de coloración de vértices

Ejemplo de coloración de vértices

Si conseguimos colorear bien ese grafo, ya tenemos una posible solución para el problema de las jaulas. Porque si por ejemplo, a una animal (vértice) se le asigna el color rojo, ninguno de los animales incompatibles con él tendrá el color rojo, porque estarían unidos a él por aristas. Si usamos 7 colores, significará que necesitamos sólo 7 jaulas para hacer bien el transporte sin que nadie se coma a nadie.

Ejemplo de coloración de vértices

En el grafo de la tabla se obtuvieron con 3 colores.

Conclusión Se trata, de ahorrar en jaulas en el caso de Madagascar y de otros recursos en otros problemas, o de organizar horarios, distribuir asignaturas y profesores… Y por eso, y por otros problemas similares, en Teoría de Grafos se ha estudiado y se estudia el número cromático de un grafo, es decir, el número mínimo de colores necesarios para colorar sus vértices.

Bibliografía http://www.algovidea.cl/index.php?option=com_content&view=article&id=49&Itemid=62

http://naukas.com/2012/05/23/por-que-solo-cuatro-colores/

Introducción a la teoría de grafos. Fausto Toranzos. Universidad de Buenos Aires. http://teoriadegrafos2010.files.wordpress.com/2011/06/unidad4.pdf