Campo Mour˜ao - 2 Semestre de 2013 - Páginas Pessoais ...

NIVELAMENTO DE MATEMATICA

Campo Mourao - 2◦ Semestre de 2013

Sumario

Apresentacao 3

1 Conceitos Preliminares 4

1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Operacoes Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Multiplos e Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Fracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5 Potenciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6 Produtos Notaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Logaritmo 31

2.1 Propriedades Operatorias dos Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Trigonometria 37

3.1 Trigonometria no triangulo retangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Trigonometria no Cırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Polinomios 54

4.1 Operacoes com Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Raızes de um Polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Respostas dos exercıcios propostos 170

i

Apresentacao

As presentes notas consistem em um material de apoio elaborado para o curso de Nivela-mento de Matematica Basica. Este curso tem como principal objetivo promover aos alunoso reforco e a revisao de conteudos basicos da matematica necessarios para o bom desenvolvi-mento de sua graduacao, sendo um curso gratuito de carater extracurricular. O material foielaborado pelos professores ministrantes sem preocupacoes em copiar definicoes e enunciados econsiste somente de algumas anotacoes (Notas de Aula) embasadas nas referencias apresentadasde modo que aluno possa se concentrar nas demonstracoes e resolucao de exemplos e exercıciosque serao feitos durante a aula.

No capıtulo 1 apresentamos os Conceitos Preliminares, dando a nocao de conjuntos e asnotacoes matematicas principais, para entao trazer os conjuntos fundamentais: os inteiros, osracionais, os irracionais e os reais, assim como as operacoes fundamentais, multiplos e divisores,fracoes, potenciacao e produtos notaveis. No capıtulo 2, apresentamos o conceito de Logaritmoe suas propriedades principais. No capıtulo 3 apresentamos topicos de Trigonometria e noultimo capıtulo faremos um estudo sobre os Polinomios e suas operacoes.

Ao final de cada secao apresentamos uma lista de exercıcios para fixacao dos conteudos.

Equipe

Coordenacao: Professora Ma. Raquel Polizeli

Professores Mininistrantes:

Professora Ma. Angela Mognon

Professor Me. Diogo Heron Macowski

Professora Esp. Edilza Martins Da Silva

Professora Ma. Lilian Caroline Xavier Candido

Professora Ma. Priscila Amara Patricio De Melo

Professora Ma. Raquel Polizeli

Professor Esp. Ricardo Guimaraes Santana

Professora Ma. Rubia Micheli Soares

Professora Ma. Sara Coelho da Silva

Professora Ma. Tatiane Cazarin Da Silva

Monitores:

Daniel Siqueira Santos (Academico-Engenharia Civil)

Franciele Stefani Cofani (Academica-Engenharia Civil)

Giovane Avancini (Academico-Engenharia Civil)

3

Capıtulo 1

Conceitos Preliminares

1.1 Conjuntos

Na teoria de conjuntos 3 nocoes sao aceitas sem definicao, isto e, sao consideradas nocoes

primitivas:

i) conjuntos

ii) elemento

iii) pertinencia entre elemento e conjunto

A nocao matematica de conjunto e praticamente a mesma que se usa na linguanguem

comum: e o mesmo que agrupamento, classe, colecao, sistema. Por exemplo:

a) Conjunto dos numeros inteiros maiores que tres.

b) Conjunto dos planetas do sistema solar.

Cada membro ou objeto que entra na formacao de um conjunto e chamado elemento. Por

exemplo, para os conjuntos anteriores temos os seguintes elementos:

a) 4, 5, 6, 7, . . .

b) Mercurio, Venus, Terra, Marte, . . .

4

A relacao entre o elemento com conjunto e chamada relacao de pertinencia. Para indi-

carmos que um elemento x e elemento do conjunto A escrevemos x ∈ A (le-se x pertence a A),

e se x nao for elemento de A, escrevemos x 6∈ A (le-se x nao pertence A).

Representacao: Um conjunto pode ser representado entre chaves de duas maneiras:

por extenso, enumerando elemento por elemento ou abreviadamente, destacando uma pro-

priedade comum apenas aos seus elementos.

Por exemplo, os elementos do conjunto A sao os inteiros maiores do que tres. A repre-

sentacao entre chaves pode ser feita:

i) por extenso: A = { 4, 5, 6, 7, . . .}

ii) abreviadamente: A = {x ∈ Z/ x > 3}

Diagrama de Venn: E uma regiao plana limitada por uma linha fechada e nao

entrelacada que representa, em seu interior, os elementos de um conjunto.

Exemplo 1.1 Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, podemos representa-lo pelo seguinte

Diagrama de Venn:

Conjunto universo: para desenvolver uma equacao, um problema ou desenvolver

determinado tema em Matematica, devemos retirar os elementos que necessitamos de um con-

junto que os contenha. Esse conjunto recebe o nome de conjunto universo e e representado pela

letra U.

Exemplo 1.2 No conjunto A = {x ∈ N; x2 − 3x + 2 = 0}, x so pode assumir valores que

pertencem ao conjunto N, conjunto dos numeros naturais, portanto, U = N = {0, 1, 2, 3, . . .}.

5

Conjuntos iguais: Dois conjuntos A e B sao iguais quando todo elemento de A

pertence a B e, repciprocamente, todo elemento de B pertence a A.

A = B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B)

Subconjuntos: Um conjunto A e subconjunto de um conjunto B se, e somente se,

todo elemento de A pertence tambem a B.

Observacao 1.1 O sımbolo ⊂ e chamado de sinal de inclusao e estabelece uma relacao entre

dois conjuntos. A relacao de inclusao entre dois conjuntos A e B pode ser ilustrada por meio

de um diagrama de Venn:

Observacao 1.2 Os sımbolos 6⊂ e 6⊃ sao as negacoes de ⊂ e ⊃, respectivamente. Desta forma,

temos:

A 6⊂ B se pelo menos um elemento de A nao pertence a B.

Operacoes com conjuntos

Uniao: Dados dois conjuntos A e B, chama-se de uniao de A e B, o conjunto formado

pelos elementos que pertencem a A ou a B:

A ∪ B = {x; x ∈ A ou x ∈ B}

6

Observacao 1.3 Se A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B

Exemplo 1.3 Dados os conjuntos A = {x, y, z, w} , B = {1, 3, 6, 8} e C = {0, 1, 2}, temos:

A ∪ B = {x, y, z, w, 1, 3, 6, 8}

A ∪ C = {x, y, z, w, 0, 1, 2}

B ∪ C = {0, 1, 2, 3, 6, 8}

Interseccao: Dados dois conjuntos A e B, chama-se de interseccao de A e B, o conjunto

formado pelos elementos que pertencem a A e a B:

A ∩ B = {x; x ∈ A e x ∈ B}

Observacao 1.4

i) Se A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A.

ii) Quando A ∩ B = ∅, ou seja, A e B nao tem elemento comum, A e B sao denominados

conjuntos disjuntos.

Observacao 1.5 Seja n(A) o numero de elementos do conjunto A e n(B) o numero de ele-

mentos do conjunto B, temos

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

Exemplo 1.4 Em uma universidade, 80% dos alunos leem o jornal A e 60% o jornal B.

Sabendo que todo aluno le pelo menos um dos jornais, qual o porcentual de alunos que leem

ambos os jornais?

7

Como todos os alunos leem pelo menos um jornal, n(A ∪ B) = 100%. Entao,

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) ⇒ 100% = 80% + 60% − n(A ∩ B) ⇒ n(A ∩ B) = 40%

Diferenca: Dados dois conjuntos A e B, chama-se de diferenca de A e B, o conjunto

formado pelos elementos de A que nao pertencem a B.

A − B = {x; x ∈ A e x 6∈ B}

Complementar: Dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A, chama-se complementar

de B em relacao a A o conjunto A − B, isto e, os elementos de A que nao pertencem a B.

Com o sımbolo ∁BA ou A, indica-se o complementar de B em relacao A.

Note que ∁BA so e definido para B ⊂ A, assim temos

∁BA = A − B

Exemplo 1.5 Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6} , C = {2, 3} e

D = {7, 8, 9}, temos:

A − B = {1, 2}

A − C = {1, 4, 5} (Neste caso,A − C = ∁CA, pois C ⊂ A)

C − D = {2, 3}, pois, como C ∩ D = ∅, C − D = C

C − A = ∅, pois C ⊂ A

B − B = ∅

8

Teoria dos conjuntos - sımbolos

∈: pertence /: tal que

6∈: nao pertence ⇒: implica que

∃: existe ⇔: se e somente se

∄: nao existe ∅: conjunto vazio

⊂: esta contido N: conjunto dos numeros naturais

6⊂: nao esta contido Z: conjunto dos numeros inteiros

⊃: contem Q: conjunto dos numeros racionais

6⊃: nao contem I: conjunto dos numeros irracionais

∀: para todo R: conjunto dos numeros reais

Conjuntos Numericos: Denominamos conjuntos numericos os conjuntos cujos el-

emtenos sao numeros que apresentam algumas caracterısticas comuns entre si.

Conjunto dos numeros naturais (N): chama-se conjutos dos numeros naturais

o conjuntos formado pelos numeros 0, 1, 2, . . .

N = {0, 1, 2, 3, . . .}

Exemplo 1.6 O conjunto dos numeros naturais possui alguns subconjuntos importantes:

• O conjunto dos numeros naturais nao nulos: N∗ = {1, 2, 3, . . .}

• O conjunto dos numeros naturais ımpares: Ni = {1, 3, 5 . . .}

Conjunto dos numeros inteiros(Z): Chama-se conjunto dos numeros inteiros

o seguinte conjunto:

Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}

Exemplo 1.7 O conjunto dos numeros inteiros possui alguns subconjuntos notaveis:

• O conjunto dos numeros inteiros nao nulos: Z∗ = {. . . ,−3,−2,−1, 1, 2, 3, . . .}

• O conjunto dos numeros inteiros nao negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5 . . .}

9

• O conjunto dos numeros inteiros (estritamente) positivo: Z∗+ = {1, 2, 3, 4, 5 . . .}

• O conjunto dos numeros inteiros nao positivos: Z− = {. . . ,−4,−3,−2,−1, 0}

• O conjunto dos numeros inteiros (estritamente) negativo:Z∗− = {. . . ,−4,−3,−2,−1}

Conjunto dos numeros racionais (Q): os numeros da formam

n, n 6= 0, m, n ∈

Q, formam o conjunto dos numeros racionais.

Q ={

x; x =m

n,m, n ∈ Z, n 6= 0

}

Exemplo 1.8 O conjunto dos numeros racionais possui alguns subconjuntos notaveis:

• O conjunto dos numeros racionais nao nulos: Q∗

• O conjunto dos numeros racionais nao negativos: Q+

• O conjunto dos numeros racionais (estritamente) positivo: Q∗+

• O conjunto dos numeros racionais nao positivos: Q−

• O conjunto dos numeros racionais (estritamente) negativo: Q∗−

Observemos que todo numero racional pode ser representado sob a forma decimal. Temos

dois casos:

• Decimal finita

Por exemplo:3

4= 0, 75

1

2= 0, 5

−3

5= −0, 6

Observe que um numero racional tera representacao decimal finita se, e somente se o

denominador contiver os fatores primos 2 e/ou 5.

• Decimal infinita periodica (dızima periodica)

Por exemplo:1

3= 0, 3333...

47

90= 0, 5222...

3

22= 0, 13636...

10

Observe que se o denominador contiver algum fator primo diferente de 2 e 5 o racional tera

representacao decimal periodica.

Conjunto dos numeros irracionais (I): os numeros que nao podem ser repre-

sentados na formam

n,m, n ∈ Z, n 6= 0, tais como

√2 ∼= 1, 414..., π ∼= 3, 14159..., e ∼= 2, 71...

formam o conjunto dos numeros irracionais.

Conjunto dos numeros reais (R): a uniao do conjunto dos numeros racionais

com o conjunto dos numeros irracionais forma o conjunto dos numeros reais,

R = Q ∪ I

Exemplo 1.9 O conjunto dos numeros racioanis possui alguns subconjuntos notaveis:

• O conjunto dos numeros reais nao nulos: R∗ = {x ∈ R; x 6= 0}

• O conjunto dos numeros reais nao negativos: R+ = {x ∈ R; x ≥ 0}

• O conjunto dos numeros reais (estritamente) positivo: R∗+ = {x ∈ R; x > 0}

• O conjunto dos numeros reais nao positivos: R− = {x ∈ R; x ≤ 0}

• O conjunto dos numeros reais (estritamente) negativo: R∗− = {x ∈ R; x < 0}

Intervalos reais O conjunto dos numeros reais possui tambem subconjuntos demoni-

nados intervalos, os quais sao determinados por meio de desigualdades. Sejam os numeros reais

a e b, com a < b, temos:

Intervalo aberto: E o conjunto dos numeros reais entre a e b (excluıdos os extremos a e

b), denotado por ]a, b[, isto e:

11

]a, b[= {x ∈ R|a < x < b}

Geometricamente:

Intervalo fechado: E o conjunto dos numeros reais entre a e b (incluıdos os extremos a

e b), denotado por [a, b], isto e:

[a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}.

Geometricamente:

Intervalo semi-aberto a esquerda: E o conjunto dos numeros reais entre a e b (excluindo

a e incluindo b), denotado por ]a, b], isto e:

]a, b] = {x ∈ R|a < x ≤ b}

Geometricamente:

Intervalo semi-aberto a direita : E o conjunto dos numeros reais entre a e b (inclindo

a e excluindo b), denotado por [a, b[, isto e:

[a, b[= {x ∈ R|a ≤ x < b}

Geometricamente:

Intervalos Ilimitados

Usaremos os sımbolos +∞ (infinito positivo) e −∞ (infinito negativo) para representar os

seguintes intervalos:

12

]a, +∞[= {x ∈ R|x > a}

Geometricamente:

[a, +∞[= {x ∈ R|x ≥ a}

Geometricamente:

] −∞, b[= {x ∈ R|x < b}

Geometricamente:

] −∞, b] = {x ∈ R|x ≤ b}

Geometricamente:

] −∞, +∞[= R

Geometricamente:

13

Exercıcios Propostos

Exercıcio 1 Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {c, d, f} e C = {a, f, g}. Determinar um

conjunto X, sabendo que:

• X tem tres elementos e X ⊂ {, a, b, c, d, f, g}

• A ∩ X = {c}, B ∩ X = {c, f} e C ∩ X = {f, g}

Exercıcio 2 Em uma classe com 35 alunos, foi realizada uma prova com duas questoes, uma

de Historia e outra de Geografia. Se 8 alunos acertaram as duas questoes, 15 acertaram a

questao de Historia e 20, a de Geografia, quantos alunos erraram as duas questoes?

Exercıcio 3 Numa escola de 630 alunos, 350 deles estudam Portugues, 210 estudam Espanhol

e 90 estudam as duas materias (Portugues e Espanhol). Perguntam-se:

a) Quantos alunos estudam apenas Portugues?

b) Quantos alunos estudam apenas Espanhol?

c) Quantos alunos estudam Portugues ou Espanhol?

d) Quantos alunos nao estudam nenhuma das duas materias?

Exercıcio 4 Sendo A = {x ∈ N; x ≤ 5} e B = {x ∈ Z;−2 ≤ x < 3}. Calcule A ∪ B e A ∩ B.

Exercıcio 5 Se A = {x ∈ R; 2 < x < 5} e B = {x ∈ R; 3 ≤ x < 8} determine A∪B e A∩B.

Exercıcio 6 Se A = {x ∈ R;−1 < x ≤ 0} e B = {x ∈ R; 2 ≤ x < 4} determine A ∪ B e

A ∩ B.

Exercıcio 7 Considerando o diagrama abaixo, determine:

a) n(A)

b) n(B)

c) n(C)

14

d) n(A ∩ B)

e) n(A ∩ C)

f) n(A − B)

g) n[(A ∪ B) − C]

1.2 Operacoes Fundamentais

Adicao: A adicao e uma operacao entre numeros reais denotada pelo sımbolo +. O

resultado da operacao adicao entre dois numeros reais a e b e um numero real, denotado por

a + b, chamado de soma de a e b.

Exemplo 1.10 25 + 5 = 30

25 e 5 sao as parcelas;

25 e a soma ou resultado da operacao adicao.

Exemplo 1.11 25 + 5 = 30

Exercıcio 8 Determinar a soma dos numeros 1325 + 2421.

Subtracao: A subtracao e uma operacao entre numeros reais denotada pelo sımbolo -.

O resultado da operacao subtracao entre dois numeros reais a e b e um numero real, denotado

por a − b, chamado de diferenca de a e b.

15

Exemplo 1.12 16 - 5 = 11

16 e chamado minuendo;

6 e chamado subtraendo;

11 e a diferenca ou resultado da operacao subtracao.

Exercıcio 9 Determinar a diferenca entre numeros 3125 − 2427.

Multiplicacao: A multiplicacao e uma operacao entre numeros reais denotada pelo

sımbolo . ou ×. O resultado da operacao multiplicacao entre dois numeros reais a e b e um

numero real, denotado por a.b ou a × b, chamado de produto de a e b.

Exemplo 1.13 3 × 5 = 15

3 e 5 sao os fatores;

15 e produto ou resultado da operacao multiplicacao.

Exercıcio 10 Determinar o produto dos numeros 123 × 15.

Divisao: A divisao e uma operacao entre numeros reais denotada pelo sımbolo ÷. O

resultado da operacao divisao entre dois numeros reais a e b com b 6= 0 e um numero real,

denotado por a ÷ b.

Exemplo 1.14 20 ÷ 5 = 4

20 e o dividendo;

5 e o divisor;

4 e o quociente.

Observacao: Na divisao nao exata temos:

sendo a, b, q e r numeros reais

Neste caso temos um resto r.

16


Exercıcio 11 Qual e o quociente e o resto da divisao 12456 ÷ 45.

Exercıcio 12 Ache o dividendo de um divisao em que o divisor 32, o quociente e 107 e o resto

e 6.

Exercıcio 13 Ache o divisor de um divisao em que o dividendo e 6568, o quociente e 205 e o

resto e 8.

Exercıcio 14 Calcule:

a) 768 ÷ 24

b) 2005 ÷ 5

Exercıcio 15 Calcule o resultado das expressoes:

a) [(500 − 79) − (74 × 5) + 14] ÷ 5 =

b) (9 + 32) × [9 − (3 + 5)] =

c) (10 − 9)×]47 − (9 − 5)] =

1.3 Multiplos e Divisores

Seja a um numero inteiro. Os multiplos de a sao os numeros ka com k ∈ Z.

Exemplo 1.15 Os multiplos de 3 sao os numeros 0, ± 3, ± 6, ± 9, ± 12, . . .

Seja c = k.a com c, k e a numeros inteiros, com a 6= 0. Podemos dizer que:

• c e um multiplo de a ou

• a e um divisor de c ou

• a divide c ou ainda

• c e divisıvel por a.

17

Exemplo 1.16 Temos 15 = 3 × 5, logo podemos dizer:

• 15 e um multiplo de 5 ou

• 5 e um divisor de 15 ou

• 5 divide 15 ou ainda

• 15 e divisıvel por 5.

Mınimo Multiplo Comum

O Mınimo Multiplo Comum de numeros inteiros nao nulos e o menor multiplo positivo

comum a esses numeros.

Denotamos o mınimo multiplo comum dos numeros inteiros a e b por mmc(a, b).

Exemplo 1.17 Determinar o mınimo multiplo comum de -3 e 2.

• os multiplos de -3 sao: 0, ± 3, ± 6, ± 9, ± 12, . . .

• os multiplos de 2 sao: 0, ± 2, ± 4, ± 6, ± 8, ± 12 . . .

• os multiplos positivos comuns a -3 e 2 sao: 6, 12, . . .

• o menor dos multiplos positivos comuns a -3 e 2 e 6, isto e, o mmc (−3, 2) = 6

Maximo Divisor Comum

O Maximo Divisor Comum de numeros inteiros nao nulos e o maior divisor comum a

esses numeros.

Denotamos o maximo divisor comum dos numeros inteiros a e b por mdc(a, b).

Exemplo 1.18 Determinar o maximo divisor comum de 12 e 18.

• os divisores de 12 sao: 1, 2, 3, 4, 6 e 12

• os divisores de 18 sao: 1, 2, 3, 6, 9 e 18

• os divisores comuns a 12 e 18 sao: 1, 2, 3 e 6

• o maximo divisor comum a 12 e 18 e 6, isto e, o mdc (12, 18)=6

18

Definicao 1.1 Um numero inteiro a e dito primo se:

i) a 6= 0

ii) a 6= ±1 e

ii) os unicos divisores de a sao -1, 1, −a e a

Exemplo 1.19 O numero 5 e primo pois os unicos divisores de 5 sao -1, 1, -5 e 5.

Exemplo 1.20 O numero 6 nao e primo pois seus divisores sao -1, 1,-2, 2, -3, 3, -6 e 6

O Teorema Fundamental da Aritmetica garante que todo numero inteiro maior que um pode

ser decomposto como um produto de fatores primos positivos.

Exemplo 1.21 60 = 2 · 2 · 3 · 5


Exercıcio 16 Quais sao os multiplos positivos de 3? Quais sao os multiplos positivos de 5?

Quais sao os multiplos comuns positivos de 3 e de 5? Qual e o mmc(3,5)?

Exercıcio 17 Determine o mınimo multiplo comum:

a) mmc(24, 30) b) mmc(8, 6) c) mmc(30, 48) d) mmc(18, 20, 45)

e)mmc(18, 20, 45) f) mmc(12, 10) g) mmc(75, 270) h) mmc(15, 18)

Exercıcio 18 Determine os divisores naturais de:

a)36 b)90 c) 220 d) 284

Exercıcio 19 Determine o maximo divisor comum:

a) mdc(12, 18) b) mdc(8, 81) c) mdc(36, 41) d) mdc(42, 54)

e) mdc(64, 82) f) mdc(96, 105) g) mdc(70, 140) h) mdc(121, 256)

19

Exercıcio 20 (PUC–SP) Numa linha de producao, certo tipo de manutencao e feita na maquina

A a cada 3 dias, na maquina B, a cada 4 dias, e na maquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de

dezembro foi feita a manutencao nas tres maquinas, apos quantos dias as maquinas receberao

manutencao no mesmo dia?

Exercıcio 21 (OBM) Um pai e um filho sao pescadores. Cada um tem um barco e vao ao mar

no mesmo dia. O pai volta para casa a cada 20 dias e o filho a cada 15 dias. Em quantos dias

se encontrarao em casa pela primeira vez?

1.4 Fracoes

As fracoes se referem a partes de coisas e sua representacao precisa indicar exatamente

quantas partes de um determinado tamanho de alguma coisa.

Por exemplo, quando digo comi2

3(dois tercos) de um pao, o numero 2 indica o numero

de partes que comi do pao, por isso e chamado de numerador. Mas saber quantas partes nao

e suficiente para saber realmente quanto do pao eu comi. E necessario saber de que tamanho

eram as partes. O que e indicado pelo numero 3, isto e, o pao foi dividido em tres partes iguais.

Como o numero 3 indica de que tipo sao as partes, ou seja, indica o nome das partes, e

chamado de denominador (indica, denomina as partes). (citar referencia)

Representacao de uma fracao: a/b oua

b

Exemplo 1.22

a)2

5, lemos dois quintos

b)3

8, lemos tres oitavos

c)7

15, lemos sete quinze avos

Fracoes Improprias

As fracoes improprias sao aquelas maiores ou iguais a um inteiro, isto e, sao fracoes em que

o numerador e maior ou igual ao denominador.

20

Exemplo 1.23

a)8

3b)

2

2c)

13

6

Quando precisamos contar coisas inteira e partes ao mesmo tempo usamos os Numeros

Mistos.

Exemplo 1.24 Maria pintou tres quadrados e meio. Podemos representar as partes pintadas

por meio de um numero misto: 31

2lemos tres inteiros e um meio.

Na verdade o que temos e: 3 +1

2.

Fracoes Equivalentes

Fracoes equivalentes sao fracoes que representam a mesma quantidade.

Exemplo 1.25 As fracoes2

3e

4

6sao equivalentes.

Para encontrarmos fracoes equivalentes a uma fracao dada podemos proceder das seguintes

maneiras:

a) multplicar o numerador e o denomidador por um mesmo numero diferente de zero

ou

b) dividir o numerador e o denomidador por um mesmo numero diferente de zero.

Exemplo 1.26 Encontre fracoes equivalentes as fracoes dadas:

a)1

5b)

20

12

Reducao ou Simplificacao de Fracoes

Para encontrar a fracao equivalente representada pelo menor denominador e menor nu-

merador devemos descobrir qual o maior numero pelo qual podemos dividir o numerador e o

denominador da fracao.

21

Exemplo 1.27

Dada a fracao10

20. O maior numero pelo qual podemos dividir o numerador e o denominador

e 10.

Assim,10 ÷ 10

20 ÷ 10=

1

2

Isto e, para simplificarmos a fracao do exemplo 1.27 devemos encontrar o mdc(10,20).

Exercıcio 22 Simplifique a fracao36

60.

Observacao 1.6 As fracoesa

be

c

dsao equivalentes se, e somente se, ad = bc.

Adicao e Subtracao de Fracoes com Denominadores Iguais

Para adicionarmos ou subtrairmos fracoes com denomindores iguais, somamos ou subtraimos

os numeradores e mantemos os denominadores.

Exemplo 1.28

a)3

7+

5

7=

8

7b)

4

5− 3

5=

1

5c)

7

3+

2

3− 5

3=

4

3

Adicao e Subtracao de Fracoes com Denominadores Diferentes

Para adicionarmos ou subtrairmos fracoes com denomindores dierentes precisamos encontrar

fracoes equivalentes com denomindores iguais.

Por exemplo, para adicionarmos as fracoes1

2e

1

3devemos encontrar fracoes equivalentes a

1

2e a

1

3com denomindores iguais. Assim,

1

2+

1

3=

3

6+

2

6=

5

6

Para encontrarmos o denominador comum determinamos o mınimo multiplo comum entre

os denomindores.

No exemplo, 6 = mmc(2, 3).

22


a)8

11+

3

22

b)3

4− 1

6

c)2

5+

1

8+

3

18

d)2

3+ 2

Multiplicacao de Fracoes

Para multiplicarmos fracoes multiplicamos os numeradores e os denominadores .

Exemplo 1.29

a)3

7× 2

4=

6

28

b)1

5× 13

3=

13

15

Divisao de Fracoes

Para dividirmos duas fracoes, repetimos a primeira, invertemos a segunda e multiplicamos

Exemplo 1.30

a)3

7÷ 2

5=

3

7× 5

2=

15

14

b)13

2÷ 3 =

13

2× 1

3=

13

6

23


Exercıcio 24 Obtenha duas fracoes equivalentes a5

9: uma de denominador 54 e outra de

numerador 60.

Exercıcio 25 Obtenha duas fracoes equivalentes a4

7: uma de denominador 35 e outra de

numerador 44.

Exercıcio 26 Simplifique as fracoes:

a)56

72b)

36

90c)

72

144d)

75

125

e)110

660f)

126

945g)

120

252h)

96

120

Exercıcio 27 Calcule as somas e as diferencas e simplifique quando necessario:

1)1

2+ 1 2)

1

3+ 1 3)

1

5+ 1 4)

1

7+ 1

5)2

3+ 2 6)

3

2+ 2 7)

2

5+ 3 8)

5

4+ 5

9)1

2− 1 10)

1

3− 1 11)

1

5− 1 12)

1

7− 1

13)1

3− 3 14)

17

5− 2 15)

12

2− 3 16)

4

3− 8

17)3

2+

1

618)

1

9+

4

1219)

5

6+

6

920)

2

3+

10

15

21)3

8+

5

1022)

1

2+

3

1023)

6

25+

6

1524)

7

45+

9

60

25)1

2− 2

926)

5

6− 2

527)

1

2− 3

1028)

3

4− 7

15

24

Exercıcio 28 Um campo de futebol esta sendo totalmente reformulado com um novo tipo de

grama. Numa semana foi gramado1

5e na semana seguinde,

3

4do campo.

a) Qual a fracao que representa a parte gramada?

b)Qual a fracao que representa a parte que falta gramar?

Exercıcio 29 O chao da sala de jantar da casa de Denise esta sendo ararpetado. Num dia foi

colocado carpete em1

6da sala, no dia seguinte em

2

9e no terceiro dia em

5

12. Qual a fracao

que representa a parte nao acarpetada?

Exercıcio 30 Determine o valor das expressoes:

a)1

6−[1, 1 −

(1

2− 0, 4

)]b) 1 −

[−2

5−(−1

2+

3

4

)− 0, 5

]

Exercıcio 31 Escreva cada produto na forma irredutıvel:

1)5

12· 1

22)

3

5· 1

53)

5

6· 1

94)

2

5· 1

7· 4

105

5) 4 · 2

9· 4

76)

5

6· 3

107)

3

4· 8

98)

9

24· 8

63

9)7

10· 5

1410)

9

10· 5

7· 7 11)

4

5· 1

24· 5

6

Exercıcio 32 Um agricultor preparou5

12de um terreno para o plantio e plantou

3

5do terreno

preparado. Quantas partes do terreno nao foi plantada?

Exercıcio 33 Escreva cada quociente na forma irredutıvel:

1)1

5÷ 1

22)

3

4÷ 1

73)

2

3÷ 5

74) 4 ÷ 1

2

5)2

3÷ 9 6)

2

10÷ 5

37)

4

5÷ 3

28)

7

12÷ 2

5

9)3

10÷ 2

510)

3

4÷ 6

1411)

1

2÷ 7

812)

7

12÷ 14

9

25

Exercıcio 34 Determine o valor das expressoes:

a)

(8

5

)÷ (−2) − 3 ·

(−1

4

)b) (−2) ·

(2 − 1

6

)− 11 ÷

[−3 − 2 ·

(−2

5

)]

Exercıcio 35 Helena tinha R$ 864,00. Pagou uma conta e lhe sobraram5

8desse valor. Qual

o valor da conta paga? Quanto ela tem agora?

Exercıcio 36 O salario Adao e de apenas 520 reais por mes. Gasta1

4com aluguel e

2

5com

alimentacao da famılia. Esse mes ele teve uma despesa extra e gastou3

8do seu salario com

remedios. Sobrou dinheiro?

Exercıcio 37 Um reservatorio com capacidade para 360 litros de agua esta ocupado com1

3de sua capacidade. Qual a quantidade de agua que sera necessario adicionar para encher esse

reservatorio ate3

4de sua capacidade?

1.5 Potenciacao

Potenciacao ou Exponenciacao significa multiplicar um numero real a, chamado base, por

ele mesmo n vezes, sendo n um numero natural denominado expoente. Denota-se essa potencia

por an.

Exemplo 1.31 32 (le-se tres elevado ao quadrado, ou tres elevado a segunda potencia, ou

ainda, tres elevado a dois.)

No exemplo, precisamos multiplicar o 3 por ele mesmo, ou seja, 3.3 = 9.

Analogamente 33 = 3.3.3 = 3.9 = 27

Potencia de Expoente Natural

Definicao 1.2 Dados um numero real a e um numero natural n, com n ≥ 2, chama-se potencia

de base a e expoente n o numero an que e o produto de n fatores iguais a a, ou seja,

an = a.a.a...a︸︷︷︸n vezes

.

26

Definimos tambem:

• a0 = 1

• a1 = a, com a 6= 0.

Propriedades: Sendo a e b numeros reais e m e n naturais, valem as seguintes pro-

priedades:

• am.an = am+n

• am

an= am−n

• (am)n = am.n

• (a.b)n = an.bn

•(a

b

)n

=an

bn, com b 6= 0.

Potencia de Expoente Inteiro Negativo

Definicao 1.3 Dado um numero real a, nao-nulo, e um numero natural n, chama-se potencia

de base a e expoente –n ao numero a−n, que e o inverso de an, ou seja, a−n =1

an.

Potencia de expoente racional

Definicao 1.4 Dados um numero real a > 0, um numero inteiro p e um numero natural

q ≥ 1, chama-se potencia de base a e expoenteq

pa raiz q-esima aritmetica de ap. Denota-se:

apq = q

√ap.

Observacao 1.7 As propriedades vistas para potencias de expoentes naturais tambem sao

validas para potencias de expoentes racionais.

Caso particular de potencia de expoente racional: Raiz enesima aritmetica

Dados um numero real a nao-negativo e um numero natural n ≥ 1, chama-se raiz enesima

aritmetica de a o numero real nao-negativo b tal que bn = a.

27

O sımbolo n√

a , chamado radical, indica a raiz enesima aritmetica de a. Nele, a e chamado

radicando e n, ındice.

n√

a = b ⇔ b ≥ 0 e bn = a.

Observacao 1.8 Sendo a e b, numeros reais positivos, e m,n e p naturais, feitas as adequacoes

devidas, das propriedades estudadas, temos:

• n√

an = a

• n√

am = n.p√

am.p

• n√

a.b = n√

a. n√

b

• n

√a

b=

n√

an√

b; b 6= 0

• n√

am = ( n√

a)m

• p√

n√

a = p.n√

a



a) 2−3 b)

(1

2

)−1

c)(0, 1)−2 d)

2−1 − (−2)−1

(1

2

)−1

−2

e)3x+2 − 3x+1

3x

Exercıcio 39 (CEFET-MG) Sabendo-se que A =3x + 3−x

2e B =

3x − 3−x

2. Calcule A + B.

Exercıcio 40 Simplifique:

a)√

72 +√

18 − 2√

50 b)3√

16 + 3√

543√

125

Exercıcio 41 Efetue, utilizando produtos notaveis:

a) (1 +√

2)2 b)(√

10 + 1)(√

10 − 1)

Exercıcio 42 (Unifor-CE) Simplifique a expressao:1√2

+1√

2 + 1

1√2 − 1

.

28

Exercıcio 43 Uma formula para se calcular aproximadamente a area, em metros quadrados,

da superfıcie corporal de uma pessoa e dada por: S(p) =11

100p

23 , sendo p a massa da pessoa em

Kg. Considere uma crianca de 8kg, e determine:

a) A area da superfıcie corporal da crianca.

b) A massa que a crianca tera quando a area de sua superfıcie corporal duplicar (Use√

2 ≈ 1, 4).

Exercıcio 44 (FUVEST-SP)3

√228 + 230

10=

a)

(258

10

)1/3

b)28

5c)

29

5d)28 e)29

Exercıcio 45 (Mackenzie-SP) Se a1/2 + a−1/2 = 10/3, entao a + a−1 =

a)82

9b)

100

82c)

16

9d)

100

9e)

82

3

1.6 Produtos Notaveis

Produtos Notaveis sao aqueles produtos que sao frequentemente usados e para evitar a

multiplicacao de termo a termo, existem algumas formulas que convem serem memorizadas.

Porem, devemos lembrar que, utilizando a propriedade distributiva, podemos mostrar cada um

dos resultados, como faremos a seguir:

1. Soma pela diferenca: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.

(a + b).(a − b) = a2 − b2

Demonstracao:

2. Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo,

mais o quadrado do segundo. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Demonstracao:

3. Quadrado da diferenca: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo

segundo, mais o quadrado do segundo. (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Demonstracao:

29

4. Cubo da soma: pode-se chegar nesta expressao utilizando o binomio de Newton!

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Demonstracao:

5. Cubo da diferenca: (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

Demonstracao:

6. Quadrado da soma entre 3 termos: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

Demonstracao:

Outros produtos muito uteis na fatoracao algebrica sao:

(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3

(a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3

Ax2 + Bx + C = A(x− x1)(x− x2) , sendo x1 e x2 as raızes da equacao Ax2 + Bx + C = 0


Exercıcio 46

a)(x − 3)(x − 4) b)(x − 3)(2x + 1) c)(x − 3)(1 − x)

d)(x − 3)(x + 3) e)(x − 3)(x − 3) f)(x + 3)(x + 3)

g)(x − b)(azx − 3) h)(a − b + c)(a + b + c) i)(ab + ac)(bc + a)

j)(−a − b)(−x − y) k)(a + b)(x + y) l)(a + b)(−x − y)

m)(3 + x)2 n)(x + 5)2 o)(x + y)2

p)(3x + 2)2 q)(2x + 12)2 r)(5 − x)2

s)(x − 5y3)2 t)(x + 3).(x − 3) u)(2x + 5).(2x − 5)

v)(3x2 − y2).(3x2 + y2) x)(2a − b + 5)2 z)(3a + 2)3

Exercıcio 47 Quanto devemos adicionar ao quadrado de x+2 para encontrar o cubo de x−3?

Exercıcio 48 Determine a diferenca entre o cubo e o quadrado de x2 − 3.

30

Capıtulo 2

Logaritmo

Na America Latina, a populacao cresce a uma taxa de 3% ao ano, aproximadamente. Caso

o interesse seja verificar a proporcao de aumento da populacao em funcao do tempo, podemos

estabelecer algumas relacoes.

Considerando a relacao entre o tempo e a populacao, podemos organizar o quadro a seguir:

Tempo PopulacaoInıcio P0

1 ano P1 = P0 · 1, 032 anos P2 = (P0 · 1, 03)1, 03 = P0(1, 03)2

3 anos P3 = P0(1, 03)3

......

x anos Px = P0(1, 03)x

Supondo que a populacao ira dobrar apos x anos, temos que Px = 2P0, ou seja,

P0(1, 03)x = 2P0 ⇔ (1, 03)x = 2.

Para resolver essa equacao utilizamos a nocao de logaritmo, que objetiva transformar uma

equacao exponencial em uma igualdade de potencias de mesma base.

O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matematico escoces John Napler (1550-1617)

e aperfeicoado pelo ingles Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se so-

bretudo a grande necessidade de simplificar calculos excessivamente trabalhosos para a epoca,

principalmente na area astronomica, entre outras. O logaritmo foi desenvolvido para agilizar as

31

contas de multiplicacao, divisao, potenciacao e radiciacao. Ele e fundamental, tambem, em out-

ras materias como por exemplo na Quımica para o calculo do pH (potencial de hidrogenio), na

classificacao de solucao em acida, basica ou neutra; na Fısica, para determinarmos a intensidade

(decibel) de um som, entre outras aplicacoes.

Definicao 2.1 Sejam a e b numeros reais positivos, com a 6= 1, chama-se logaritmo de b na

base a o expoente x ao qual se deve elevar a base a de modo que a potencia ax seja igual a b.

loga b = x ⇔ ax = b

em que: a e a base do logaritmo, b e o logaritmando e x e o logaritmo.

Condicoes de Existencia de Logaritmos: A existencia de uma logaritmo,

como por exemplo, loga b, e entao determinada pelas seguintes condicoes:

• b deve ser um numero real positivo (b > 0)

• A base deve ser um numero positivo e diferente de 1 (a > 0 e a 6= 1).

Exemplo 2.1 Determinar o conjunto de valores reais de x para os quais seja possıvel deter-

minar

a) log2 (x − 3)

b) logx−2 (x2 − 4x − 5)

Consequencias da Definicao de Logaritmo

Da definicao de logaritmo temos:

1. loga 1 = 0.

2. loga a = 1.

3. loga an = n.

32

4. aloga b = b, com b > 0, a > 0 e a 6= 1.

5. loga b = loga c ⇔ b = c, com b > 0, c > 0, a > 0 e a 6= 1.

Exemplo 2.2 Calcular o valor de 2log5 10 log2 5.

Exemplo 2.3 Determinar o valor de x para que log2 (x − 2) = log2 9.

Exemplo 2.4 Calcular o valor de:

1. log0,5 1

2. log3 243

3. log 3√5 25

2.1 Propriedades Operatorias dos Logaritmos

1a Propriedade: Logaritmo de um produto

Numa mesma base, o logaritmo do produto de dois numeros positivos e igual a soma dos

logaritmos de cada um desses numeros:

loga (M · N) = loga M + loga N

2a Propriedade: Logaritmo de um quociente

Numa mesma base, o logaritmo do quociente de dois numeros positivos e igual a diferenca

entre os logaritmos desses numeros:

loga

M

N= loga M − loga N

3a Propriedade: Logaritmo de uma potencia

Numa mesma base, o logaritmo de uma potencia de base positiva e igual ao produto do

expoente pelo logaritmo da base da potencia:

loga MN = N · loga M

33

4a Propriedade: Mudanca de Base

Para escrever o logb M usando logaritmos na base a, realizamos a mudanca de base

logb M =loga M

loga b

Exemplo 2.5 log5 (2 · 10).

Exemplo 2.6 log2

(2

3

).

Exemplo 2.7 log23√

4.

Exemplo 2.8 Escrever log5 8 usando logaritmos de base 4.

Logaritmos Decimais

Os logaritmos de base 10 sao chamados logaritmos decimais e sua importancia se deve ao fato

de as tabuas de logaritmos, as calculadoras e o sistema de numeracao que usamos trabalharem

com essa base.

Por simplificacao, representamos log10 b por log b, para todo b > 0.

Cologaritmos

Denomina-se cologaritmo de um numero b, (b > 0) numa base a, (a > 0 e a 6= 1) o oposto

do logaritmo do numero b na base a ou o logaritmo do inverso de b na base a.

cologab = − loga b ou cologab = loga

1

b

34


Exercıcio 49 Supondo m > 0 e m 6= 1, calcule os seguintes logaritmos:

a) logm23√

m b) logm3 m6 c) log√m

1

m

Exercıcio 50 Sendo a e b numeros reais positivos tais que log√3 a = 224 e log√

3 b = 218

calcule o valor dea

b.

Exercıcio 51 Supondo a e b reais positivos tais que log1

2

a = 3 e log1

2

b = −1, qual o valor de

a) logb a

b) loga b

c) loga2 b3

Exercıcio 52 Supondo x e y reais positivos com log3 x = a e log3 y = b calcule em funcao de

a e b

a) 8.5 log3

√x

y2

b) 8.6 log3 9x√

y

Exercıcio 53 Resolva a equacao:

3x2−8 + log10

[log10

(10

√10

√10√

10

)]= 0.

Exercıcio 54 O pH de uma solucao aquosa e definido pela expressao pH=− log[H+], em que

[H+] indica a concentracao, em mol/l, de ıons de hidrogenio na solucao e log, o logaritmo

na base 10. Ao analisar uma determinada solucao, um pesquisador verificou que, nela, a

concentracao de ıons de hidrogenio era [H+] = 5, 4 ∗ 10−8mol/l. Para calcular o pH dessa

solucao, ele usou os valores aproximados de 0,30, para log 2 e de 0,48 para log 3. Entao, qual

o valor que o pesquisador obteve para o pH dessa solucao?

35

Exercıcio 55 (UEL) O valor de um automovel (em unidades monetarias) sofre uma depre-

ciacao de 4% ao ano. Sabendo-se que o valor atual de um carro e de 40.000 unidades monetarias,

depois de quantos anos o valor desse carro sera de 16.000 unidades monetarias? Use o valor

de 0,3 para log 2 e o valor de 0,48 para log 3.

a) 3

b) 6

c) 10

d) 15

e) 20

Exercıcio 56 (UDESC 2008) Sabendo que log3 (7x–1) = 3 e que log2 (y3 + 3) = 7, determine

o valor de logy (x2 + 9).

Exercıcio 57 (UFMG 2009) Numa calculadora cientıfica, ao se digitar um numero positivo

qualquer e, em seguida, se apertar a tecla log, aparece, no visor, o logaritmo decimal do numero

inicialmente digitado. Digita-se o numero 10.000 nessa calculadora e, logo apos, aperta-se, N

vezes, a tecla log, ate aparecer um numero negativo no visor. Qual e o valor desse numero N?

Exercıcio 58 (UDESC 2008) Seja loga b = 3 e logab c = 4. Determine entao o valor de loga c.

Exercıcio 59 A expressao M = A(1 + i)n nos permite calcular o montante M , resultante da

aplicacao do capital A a juros compostos, a taxa anual i, ao completar um perıodo de n anos.

Nessas condicoes se o capital de R$ 800.000,00 for aplicado a juros compostos e a taxa anual

de 12%, apos quanto tempo da aplicacao serao obtidos juros no valor de R$ 800.000,00?

Exercıcio 60 Um cartao de credito cobra juros de 9% a.m. sobre o saldo devedor. Um usuario

desse cartao tem um saldo devedor de R$505,00. Em quanto tempo essa dıvida chegara a

R$600,00 se nao for paga? (Dados: log 2 = 0, 3; log 3 = 0, 48; log 0, 01 = 0, 004; log 1, 09 =

0, 038).

36

Capıtulo 3

Trigonometria

3.1 Trigonometria no triangulo retangulo

Todos os triangulos retangulos que tem um angulo agudo de medida α sao semelhantes entre

si. Veja alguns desses triangulos na figura a seguir:

b b b

O

A

B

C

D

E

F

α

Da semelhanca entre os triangulos OAB, OCD e OEF , temos:

AB

OA=

CD

OC=

EF

OE= r1

OB

OA=

OD

OC=

OF

OE= r2

AB

OB=

CD

OD=

EF

OF= r3

As constantes r1, r2 e r3 sao razoes trigonometricas chamadas, respectivamente, de seno de

α ( sen α), cosseno de α (cos α) e tangente de α ( tg α).

Como essas razoes sao as mesmas para todos os triangulos retangulos semelhantes entre si,

37

podemos defini-las a partir de apenas um deles. Veja:

b

AB

C

c

ab

α

sen α =medida do cateto oposto a α

medida da hipotenusa=

b

a

cos α =medida do cateto adjacente a α

medida da hipotenusa=

c

a

tg α =medida do cateto oposto a α

medida do cateto adjacente a α=

b

c

Exercıcio 61 Sabendo que sen 36◦ = 0, 58, cos 36◦ = 0, 80 e tg 36◦ = 0, 72, calcular o valor de

x em cada figura.

a)

b

10 cmx

36◦

b)

b

5 mx36◦

c)

b

20 km

x

36◦

Exercıcio 62 A ancora de um barco pesqueiro, depois de lancada, atingiu o fundo do rio.

Como a profundidade do rio nesse ponto e menor que o comprimento da corda que prende a

ancora ao barco, este se moveu 20 m em relacao ao ponto A, de onde foi lancada a ancora,

esticando completamente a corda, que formou um angulo de medida α com a superfıcie do rio,

tal que sen α = 513

. Calcular a profundidade do rio nesse ponto.

Relacao entre o seno, o cosseno e a tangente de um angulo agudo

Uma importante relacao entre o seno, o cosseno e a tangente de um angulo agudo e enunciada

no teorema a seguir.

Teorema 3.1 Dado um angulo agudo de medida α, tem-se: tg α =sen α

cos α.

Exercıcio 63 Dados sen 40◦ = 0, 64 e cos 40◦ = 0, 76, determinar o valor de x na figura.

b

x10 m

40◦

38

Relacao entre o seno e o cosseno de angulos complementares

Dois angulos de medidas α e β sao complementares se, e somente se, α + β = 90◦. Dizemos

tambem que as medidas de α e β sao complementares.

Teorema 3.2 Se α e a medida, em grau, de um angulo agudo, entao:

• sen α = cos(90◦ − α)

• cos α = sen (90◦ − α)

Exemplo 3.1

• 30◦ e o complemento de 60◦; logo: sen 30◦ = cos 60◦ e sen 60◦ = cos 30◦.

• 12◦ e o complemento de 78◦; logo: sen 12◦ = cos 78◦ e sen 78◦ = cos 12◦.

Exemplo 3.2 Sabendo que cos 23◦ = 0, 92, calcular o valor da expressao: E =sen 23◦ + cos 67◦

4 tg 23◦.

Angulos notaveis

Para estudos posteriores de Trigonometria, convem conhecermos o seno, o cosseno e a

tangente de alguns angulos. Escolhemos, pela facilidade das demonstracoes, os angulos de

medidas 30◦, 45◦ e 60◦, que chamaremos angulos notaveis.

Angulo de 45◦ Sabemos que medida de cada diagonal de um quadrado de lado a e a√

2, e

cada angulo interno do quadrado e dividido, pela diagonal, em dois angulos de 45◦.

b

a

aa√

2

45◦

Assim, temos:

sen 45◦ =a

a√

2=

1√2

=

√2

2

cos 45◦ =a

a√

2=

1√2

=

√2

2

tg 45◦ =a

a= 1

39

Angulos de 30◦ e 60◦ Sabemos que a medida de cada altura de um triangulo equilatero de

lado a ea√

3

2, e que cada altura desse tipo de triangulo tambem e bissetriz e mediana.

b

a

a

2

a√

32

30◦

60◦

Assim, temos:

sen 30◦ =a2

a=

1

2

cos 30◦ =a√

3

2

a=

√3

2

tg 30◦ =a2

a√

3

2

=1√3

=

√3

3

Temos, ainda:

sen 60◦ =a√

3

2

a=

√3

2

cos 60◦ =a2

a=

1

2

tg 60◦ =a√

3

2a2

=√

3

Podemos entao montar a seguinte tabela com os valores das razoes trigonometricas dos

angulos notaveis:

30◦ 45◦ 60◦

sen 12

√2

2

√3

2

cos√

32

√2

212

tg√

33

1√

3

Exercıcio 64 A base de um edifıcio esta localizada em um terreno plano e horizontal. Para

medir a altura desse edifıcio, um engenheiro fixou-se em um ponto terreno e mirou o topo do

predio sob um angulo de 30◦ com o solo. Depois, andou 50 metros em direcao ao predio e

mirou novamente seu topo, mas, agora, sob um angulo de 60◦. Desconsiderando a altura do

engenheiro, calcular a altura do edifıcio.

40


Exercıcio 65 Sabendo que sen 28◦ = 0, 46, cos 28◦ = 0, 88 e tg 28◦ = 0, 53, calcule o valor de

x em cada figura.

a)

b

4 cm

x

28◦ b)

b

5 cm

x

28◦c)

b

10 dm

x

28◦

Exercıcio 66 Um engenheiro deve medir a largura de um rio. Para isso, fixa um ponto A na

margem em que esta e um ponto B na margem oposta. A seguir, desloca-se 40 m perpendicu-

larmente a reta AB ate o ponto C onde mede o angulo ABC, obtendo 44◦. Calcule a largura

do rio. (Dados: sen 44◦ = 0, 69; cos 44◦ = 0, 71; tg 44◦ = 0, 96)

Exercıcio 67 Um teleferico deve unir os topos de dois morros. Para calcular a quantidade de

cabos de aco necessaria, um engenheiro mediu as alturas dos morros em relacao a um mesmo

plano horizontal, obtendo 108 m e 144 m. A seguir, mediu o angulo que a reta AB forma com

a horizontal, obtendo 32◦.

a) Faca um esquema da situacao proposta no texto.

b) Calcule a distancia entre os pontos A e B, sabendo que sen 32◦ = 0, 52; cos 32◦ = 0, 84 e

tg 32◦ = 0, 62.

Exercıcio 68 Em um shopping center, uma rampa plana e reta une dois planos horizontais e

forma um angulo agudo de medida α com o piso inferior tal que tg α = 25. Uma pessoa que

percorre completamente essa rampa desloca-se verticalmente 8 m. Qual e a distancia percorrida

por essa pessoa?

Exercıcio 69 Sabendo que sen 55◦ = 0, 81 e cos 55◦ = 0, 57, determine o valor de x na figura.

b

27 cm

x

55◦

41

Exercıcio 70 Considerando sen 10◦ = 0, 17 e sen 80◦ = 0, 98, calcule cos 10◦, cos 80◦, tg 10◦

e tg 80◦.

Exercıcio 71 Sabendo que α e a medida de um angulo agudo e que sen α = 35, calcule o valor

da expressao:

E =sen α sen (90◦ − α)

cos α cos(90◦ − α)+ cos(90◦ − α)

Exercıcio 72 Em um cinema, os olhos de um espectador estao no mesmo plano horizontal que

contem a base da tela vertical com 3,2 m de altura, conforme mostra a figura.

b

3,2 m

α

O espectador ve toda a extensao vertical da tela sob um angulo agudo de medida α tal que

sen (90◦ − α) = 1517

.

a) Calcule sen α, cos α e tg α.

b) Calcule a distancia entre os olhos do espectador e a base da tela.

Exercıcio 73 Calcular o valor da expressao:

E =sen 245◦ + cos4 60◦

tg 460◦

Exercıcio 74 Sendo x = 10◦, determine o valor da expressao:

E =sen 3x + cos 3x

2− sen 15x

2

tg 26x

Exercıcio 75 A torre Eiffel tem sua base em um piso plano e horizontal. De um ponto A

desse piso, distante 108√

3 m do centro da base, ve-se o ponto mais alto da torre sob um angulo

de 60◦ com o piso. Calcule a altura da torre.

Exercıcio 76 Determine a medida de x na figura:

b b

A

B CD10 cm x

45◦ 30◦

42

Exercıcio 77 Em um certo instante, o capitao de um navio ve o topo de um iceberg sob um

angulo de 30◦ com a superfıcie do mar. Navegando 100 m no sentido do iceberg, o capitao

ve o topo sob um angulo de 45◦ com a superfıcie do mar. Calcule a altura da parte emersa do

iceberg, em relacao ao nıvel do mar, desconsiderando a altura do navio.

Exercıcio 78 (UFPI) Dois nıveis de uma praca estao ligados por uma rampa de 3 m de com-

primento e 30◦ de inclinacao. Devem-se construir sobre a rampa 6 degraus de mesma altura.

A altura de cada degrau sera:

a) 0,20 m b) 0,23 m c) 0,25 m d) 0,27 m e) 0,28 m

Exercıcio 79 Um balao meteorologico sobe verticalmente a partir de um ponto A do solo plano

e horizontal. A 20 m de altura o balao e visto de um ponto B do chao sob um angulo de 30◦

com o solo, e pouco depois e visto do mesmo ponto B sob um angulo de 60◦. Calcule a altura

em que estava o balao quando foi visto sob o angulo de 60◦.

3.2 Trigonometria no Cırculo

O Radiano

Consideremos um arco AB, contido numa circunferencia de raio r, tal que o comprimento

do arco AB seja igual a r. Dizemos que a medida do arco AB e 1 radiano (1 rad).

Como o comprimento dessa circunferencia e 2πr, podemos obter sua medida x, em radiano,

por meio de uma regra de tres:

Medida do arco (rad) Comprimento do arco

1 — r

x — 2πr

Logo: x =2πr

rrad = 2πrad

Dizemos que uma medida em radiano e equivalente a uma medida em grau se ambas forem

medidas de um mesmo arco, por exemplo, 2π rad e equivalente a 360◦, pois sao medidas de um

arco de uma volta completa. Consequentemente, dizemos que π rad e equivalente a 180◦.

43

Essa equivalencia nos permite transformar unidades, ou seja, dada a medida de um arco em

grau, podemos obter a medida desse arco em radiano e vice-versa.

Exercıcio 80

1. Determinar a medida, em radiano, equivalente a 150◦.

2. Determinar a medida, em grau, equivalente aπ

3rad.

Circunferencia trigonometrica

Vamos considerar uma circunferencia de raio r unitario (r = 1) cujo centro O coincida com

a origem de um sistema cartesiano ortogonal.

O x

y

-1 1

-1

1

Essa estrutura, com as convencoes a seguir, constitui a circunferencia trigonometrica.

• O ponto A(1, 0) e a origem de todos os arcos a serem medidos na circunferencia.

• Se um arco for medido no sentido horario, entao a essa medida sera atribuıdo o sinal

negativo.

• Se um arco for medido no sentido anti-horario, entao a essa medida sera atribuıdo o sinal

positivo.

Aos pontos da circunferencia trigonometrica associamos medidas em grau ou em radiano.

Cada medida associada um ponto M indica a medida do arco AM .

b

b

b

b

0◦ ou 0 rad

90◦ ou π

2rad

180◦ ou π rad

270◦ ou 3π

2rad

360◦ ou 2π radb

b

b

b

0◦ ou 0 rad

-90◦ ou − π

2rad

-180◦ ou −π rad

-270◦ ou − 3π

2rad

-360◦ ou −2π rad

Girando 30◦, no sentido anti-horario, a partir do ponto A da circunferencia trigonometrica,

paramos no ponto M ; logo, 30◦ e uma medida associada ao ponto M . Ha, porem, infinitas

outras medidas associadas ao ponto M . Por exemplo:

44

• Girando uma volta completa mais 30◦, no sentido anti-horario, a partir do ponto A,

tambem paramos no ponto M . Logo, 360◦ + 30◦, isto e, 390◦ tambem e uma medida

associada ao ponto M .

• Girando 330◦, no sentido horario, a partir do ponto A, paramos no ponto M . Logo, −330◦

tambem e uma medida associada ao ponto M .

b

b

A

M(30◦, 390◦, −330◦, . . .)

Arcos trigonometricos que tem a mesma extremidade sao chamados de arcos congruos. Se

α e β sao medidas de arcos congruos, indicamos α ≡ β.

Seno e cosseno de um arco trigonometrico

Dado um arco trigonometrico AM de medida α, chama-se cosseno e seno de α a abscissa e

a ordenada do ponto M , respectivamente.

Assim, na circunferencia trigonometrica, podemos nos referir ao eixo das abscissas como

eixo dos cossenos e ao eixo das ordenadas como eixo dos senos.

Como o raio da circunferencia trigonometrica e unitario (medida igual a 1), as coordenadas

dos pontos A, B, A′ e B′ sao:

b

b

b

b

A(1,0)

B(0,1)

A’(-1,0)

B’(0,-1)

Entao, pela definicao de seno e cosseno, temos:

sen 0◦ = 0 sen 90◦ = 1 sen 180◦ = 0 sen 270◦ = −1 sen 360◦ = 0

cos 0◦ = 1 cos 90◦ = 0 cos 180◦ = −1 cos 270◦ = 0 cos 360◦ = 1

45

Observacao 3.1 Como a circunferencia trigonometrica tem raio unitario, temos para qualquer

arco de medida x:

−1 ≤ sen x ≤ 1

−1 ≤ cos x ≤ 1

Variacao de sinal do seno

Vimos que o seno de um arco trigonometrico e a ordenada da extremidade desse arco. Como

os pontos de ordenadas positivas sao os do 1o e os do 2o quadrantes e os pontos de ordenadas

negativas sao os do 3o e os do 4o quadrantes, temos o seguinte esquema de sinais para o seno:

seno

++

- -

Variacao de sinal do cosseno

Vimos que o cosseno de um arco trigonometrico e a abscissa da extremidade desse arco.

Como os pontos de abscissas positivas sao os do 1o e os do 4o quadrantes e os pontos de

abscissas negativas sao os do 2o e os do 3o quadrantes, temos o seguinte esquema de sinais para

o cosseno:

cosseno

+-

- +

Exercıcio 81 Calcular o valor da expressao:

E =sen 180◦ + cos 180◦ − sen 270◦

sen 90◦ + cos 360◦

46

Exercıcio 82 Determinar o sinal do produto

P = sen 56◦ cos 123◦ sen 199◦ cos 301◦

Tangente de um arco trigonometrico

Dado um arco trigonometrico AM de medida α, com M nao pertencente ao eixo das orde-

nadas, chama-se tangente de α a ordenada do ponto T , que e a interseccao da reta OM com o

eixo das tangentes.

b

b

b

b

eixo das tangentes

O A

B

B′

α

M

T

Observacao 3.2 O ponto M nao pode coincidir com B nem com B′, pois os prolongamentos

dos raios OB e OB′ nao interceptam o eixo das tangentes. Por isso, dizemos que nao existe

tangente de um arco com extremidade em B ou B′.

Variacao de sinal da tangente

Se um arco trigonometrico tiver a extremidade no 1o ou no 3o quadrantes, o prolongamento

do raio que passa por essa extremidade interceptara o eixo das tangentes em um ponto T de

ordenada positiva.

Se um arco trigonometrico tiver a extremidade no 2o ou no 4o quadrantes, o prolongamento

do raio que passa por essa extremidade interceptara o eixo das tangentes em um ponto T de

ordenada negativa.

Assim, a tangente e positiva para os arcos do 1o e do 3o quadrantes, e negativa para os

arcos do 2o e do 4o quadrantes. Em resumo, essa variacao de sinal pode ser assim representada:

47

tg

+-

+ -

Exercıcio 83 Determinar o sinal do produto: P = tg 13◦ tg 190◦ tg 352◦

Exercıcio 84 Dado que tg α = 3 e que 180◦ < α < 270◦, determinar o valor de sen α e de

cos α.

Secante, cossecante e cotangente

Podemos definir as razoes recıprocas do seno, cosseno e tangente de um arco trigonometrico

de medida α, desde que seja obedecida a condicao de existencia de cada razao, da seguinte

maneira:

cot α =cos α

sen α, para sen α 6= 0

sec α =1

cos α, para cos α 6= 0

csc α =1

sen α, para sen α 6= 0

Observe, pela definicao de cotα, que, se alem de sen α 6= 0 tivermos tambem cosα 6= 0,

entao:

cot α =1

tg α

Exercıcio 85 Calcular:

a) cot 30◦ b) sec 180◦ c) csc 90◦

Seno, cosseno e tangente da soma de arcos

(I) sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a

(II) sen (a − b) = sen a cos b − sen b cos a

48

(III) cos(a + b) = cos a cos b + sen a sen b

(IV) cos(a − b) = cos a cos b + sen a sen b

(V) tg (a + b) =tg a + tg b

1 − tg a tg b

(VI) tg (a − b) =tg a − tg b

1 + tg a tg b

Exercıcio 86 Calcular sen 75◦.

Exercıcio 87 Calcular cos 15◦.

Exercıcio 88 Calcular tg 105◦.

Seno, cosseno e tangente do arco duplo

(I) sen 2x = 2 sen x cos x

(II) cos 2x = cos2 x − sen 2x

(III) tg 2x =2 tg x

1 − tg 2x

Exercıcio 89 Sabendo que sen x =3

5e que

π

2< x < π, calcular sen 2x.

Exercıcio 90 Sabendo que cos x =1

3, calcular cos 2x.

Relacao fundamental da trigonometria

sen 2α + cos2 α = 1

Exercıcio 91 Dado que sen α =1

3, com

π

2< α < π, calcular o valor de cos α.

Exercıcio 92 Determinar os valores de sen x e de cos x sabendo que sen x = 3 cos x e que

π < x <3π

2.

Exercıcio 93 Determinar m, seno m um numero real, tal que sen β =m

6e cos β =

√4m

3.

49

Exercıcio 94 Resolver, na variavel x, a equacao:

x2 − 2x + sen 2α = 0


Exercıcio 95 Determine a medida, em radiano, equivalente a:

a) 30◦ b) 120◦ c) 225◦ d) 300◦

Exercıcio 96 Determinar a medida, em grau, equivalente a:

a)π

4rad b)

3π

2rad c)

7π

6rad d)

2π

5rad

Exercıcio 97 A medida de um arco trigonometrico AM e 50◦. Determine todas as medidas x

associadas a extremidade M , em cada uma das condicoes:

a) 0◦ ≤ x < 1080◦ b) −720◦ ≤ x < 0◦

Exercıcio 98 A medida de um arco trigonometrico AM e6π

7rad. Encontre todas as medidas

x associadas a extremidade M , em cada uma das condicoes:

a) 0 ≤ x < 6π b) −4π ≤ x < 0

Exercıcio 99 Calcule a medida do arco trigonometrico, da 1a volta positiva, congruo ao arco

de medida:

a) 2923◦ b) -40◦ c)45π

11rad d)

38π

5rad e) −π

3rad

Exercıcio 100 Calcule o valor numerico da expressao:

E =sen x − cos 2x + cos 3x

sen 3x − cos x

Exercıcio 101 Qual das alternativas abaixo e incorreta?

50

a) sen 3◦ < sen 89◦

b) cos 76◦ > cos 100◦

c) sen 200◦ > sen 250◦

d) cos 11◦ > cos 270◦

e) sen 100◦ < sen 101◦

Exercıcio 102 Determine, se existir:

a) tg π b) tg 360◦ c) tg 270◦

Exercıcio 103 Qual das alternativas abaixo apresenta uma expressao cujo resultado e um

numero positivo?

a) tg 10◦ tg 100◦

b) tg 140◦ tg 200◦

c)tg 250◦

tg 310◦d)

tg 95◦

tg 130◦

e) tg 290◦ tg 310◦

Exercıcio 104 (Ufop-MG) Se tg a = 2 e 180◦ < a < 270◦, entao cos a e igual a:

a) −√

3

2b) −1

2 c) −√

5

5d)

√3

2e)

1

2

Exercıcio 105 Dado que cos α = −1

3e que 90◦ < α < 180◦, calcule tg α.


a) cot 45◦ b) sec 0◦ c) csc 270◦

Exercıcio 107 Calcule o valor da expressao:

E = sec 60◦ + csc 30◦ − cot2 30◦

Exercıcio 108 Sendo csc x = 3 eπ

2< x < π, calcule tg x.

Exercıcio 109 Sabendo que cot x = 2 e π < x <3π

2, calcule cos x.

Exercıcio 110 (Uesc-BA) Obedecidas as condicoes de existencia, a expressaocot x − 1

csc xe igual

a:

51

a) cos x − 1

b) sen x − 1

c) sen x − cos x

d) cos x − sen x

e) 1 − sen 2x

Exercıcio 111 Sabendo que tg x = 3, calcule tg(x − π

4

).

Exercıcio 112 Sabendo que sen a =3

5e que 0 < a <

π

2, calcule cos

(π

3+ a).

Exercıcio 113 (UFPR) A expressao sen(π

2+ x)

+ cos

(3π

2− x

)e equivalente a:

a) 2 cos x

b) cos x

c) sen x + cos x

d) sen x − cos x

e) cos x − sen x

Exercıcio 114 Calcule, para x =π

8, o valor da expressao

E = sen 3x cos x − sen x cos 3x

Exercıcio 115 Duas vigas retas, AB e CB, escoram uma parede vertical, de modo que os

pontos A e C do solo estao em uma reta horizontal que passa por um ponto D da parede,

conforme mostra a figura.

b

A C D

B

3 m 6 m

3 m

α β

Calcule a soma das medidas α e β, em grau, dos angulos agudos que as vigas formas com

o solo. (Sugestao: Inicie calculando tg (α + β))

Exercıcio 116 Sabendo que sen x = − 5

13e que π < x <

3π

2, calcule sen 2x e cos 2x.

Exercıcio 117 Dado tg x = 3 calcule tg 2x.

Exercıcio 118 Calcule o valor do cos x, sabendo que cosx

2=

3

5. (Sugestao: cos x = cos

(2x

2

))

52

Exercıcio 119 Sabendo que cos x =3

4e que 0 < x <

π

2, calcule cos

x

2.

Exercıcio 120 Calcule o valor de cos α, sabendo que sen α = −1

3e que π < α <

3π

2.

Exercıcio 121 Quais sao os valores de sen x e cos x, sendo sen x = −2 cos x eπ

2< x < π?

Exercıcio 122 Obtenha m, m ∈ R, de modo que: sen x =m

5e cos x =

m + 1

5.

Exercıcio 123 Resolva a equacao, na variavel x: x2 + 2x + sen 2α = 0.

Exercıcio 124 Determinar o valor do cos x, sabendo que 3 sen 2x − 4 sen x + 1 = 0 e que

0 < x <π

2. (Sugestao: Faca a mudanca de variavel sen x = y.)

Exercıcio 125 Sabendo que 4 cos2 x + 5 sen x − 5 = 0 e queπ

2< x < π, calcule o valor de

sen x. (Sugestao: Substitua cos2 x por 1 − sen 2x.)

53

Capıtulo 4

Polinomios

Um polinomio (ou funcao polinomial) com coeficientes reais na variavel x e uma funcao

matematica p : R → R definida por:

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + ... + a2x2 + a1x + a0,

sendo ao, a1, a2, ..., an numeros reais, denominados coeficientes do polinomio, x e denominada

variavel.

O coeficiente ao e o termo constante. Se an 6= 0, o numero n e um numero natural denomi-

nado grau do polinomio.

Exemplo 4.1

a) p(x) = 5x6 − 15x5 + 20x

b) p(x) = x4 + 3x3 −√

2x + 1

c) p(x) = 2x − 6

d) P (t) = 2t3 + 5t5 + 20t + π

Contra-Exemplos (nao sao polinomios):

a) p(x) = 5x−1 − 1

x5+ 3

b) P (x) = 4√

x + x

Note que o numero n nao pertence aos naturais.

54

Observacao 4.1

1) Considere p(x) = anxn + an−1x

n−1 + ... + a2x2 + a1x + a0.

a) Se a0 = a1 = ... = an = 0 temos p(x) = 0, que e o polinomio nulo.

b) Se a0 6= 0 mas a1 = ... = an = 0 temos p(x) = a0, que e o polinomio constante.

c)Se o termo an = 1 dizemos que o polinomio e monico.

2) Considere os polinomios

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + ... + a2x2 + a1x + a0 e

q(x) = bmxm + bm−1xm−1 + ... + b2x

2 + b1x + b0.

Temos que p(x) = q(x), se e somente se, m = n e ai = bi, para todo i.

Por exemplo, se

p(x) = 8x4 + x3 −√

4x + 50 e

q(x) = (0)x5 + (23)x4 − (−x3) − 2x + 1,

temos p(x) = q(x).

Valor Numerico de um Polinomio

Para cada valor atribuıdo a variavel x, existe um unico valor (numero) correspondente. Esse

numero e chamado valor numerico do polinomio. Por exemplo, considerando o polinomio

P (x) = 2x3 − x2 + 2x + 1, se x = 3, temos:

P (3) = 2(3)3 − (3)2 + 2(3) + 1 = 52, ou seja,

52 e o valor numerico do polinomio quando x = 3.

Raız de um Polinomio

Dado um polinomio p(x) e um numero a, dizemos que a e raız ou zero do polinomio p(x)

se, e somente se, p(a) = 0.

55

Exemplo 4.2 Considere o polinomio p(x) = x2 − 5x + 6. Note que os numeros 2 e 3, sao

raızes desse polinomio. De fato,

p(2) = 22 − 5(2) + 6 = 0 e p(3) = 32 − 5(3) + 6 = 0.

Note, por exemplo, que 1, nao e raız de p(x), ja que, p(1) = 12 − 5(1) + 6 = 2.

4.1 Operacoes com Polinomios

Adicao e Subtracao

Para somar ou subtrair polinomios, basta somar ou subtrair os coeficientes dos termos

correspondentes. Por exemplo, sejam p(x) = x2 − 5x + 6 e q(x) = 2x3 + 10x + 1, temos

p(x) + q(x) = 2x3 + x2 + (10 − 5)x + (6 + 1).

Multiplicacao

Para multiplicar polinomios devemos multiplicar cada termo de um polinomio por todos os

termos do outro, e efetuar a reducao dos termos semelhantes. Por exemplo, se p(x) = x2−5x+6

e q(x) = 2x3 + 10x + 1 entao p(x).q(x) = (x2 − 5x + 6)(2x3 + 10x + 1) = x2.(2x3 + 10x + 1) −5x.(2x3 + 10x + 1) + 6.(2x3 + 10x + 1) =

Divisao

Dados os polinomios A(x) e D(x) , nao nulos, dividir A(x) por D(x) e obter os polinomios

Q(x) e R(x) que satisfacam as seguintes condicoes:

A(x) = D(x).Q(x) + R(x)

56

R(x) = 0 ou grau de R, gr(R) e menor que o grau de D, gr(D), ou seja, gr(R) < gr(D) e

gr(Q) = gr(A) − gr(D)

Observacao 4.2

1) Denominamos: A(x): dividendo; D(x): divisor; Q(x): quociente; R(x): resto.

2) Quando R(x) = 0 dizemos que A(x) e divisıvel por D(x).

Exercıcio 126 Calcule o quociente e o resto da divisao de A(x) = 6x5 − 3x4 + 2x2 − 2x + 8

por B(x) = 2x2 − 3x + 1.

Exercıcio 127 Determine k, de modo que P (x) = x3 + kx + 3 seja divisıvel por B(x) = x− 1.

4.2 Raızes de um Polinomio

Para encontrar as raızes de um polinomio de grau 2, p(x) = ax2 + bx + c.

Faz-se ax2 + bx + c = 0, e pode-se utilizar a formula de Bhaskara: x =−b ±

√b2 − 4ac

2a.

Ou ainda, e possıvel encontrar as raızes x1 e x2, pela Relacao de Girad:

(x1 + x2) = − b

ae

(x1.x2) =c

a.

Pois, se x1 e x2 sao raızes de p(x) = ax2 +bx+c, podemos escrever p(x) = a(x−x1)(x−x2),

assim temos x2 + (b/a)x + (c/a) = x2 − (x1 + x2)x + (x1.x2).

Para encontrar as raızes de um polinomio de grau 3, p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, podemos

usar a Relacao de Girad, que para o grau 3 sera:

57

(x1 + x2 + x3) = − b

a

(x1.x3 + x1.x2 + x2.x3) =c

ae

x1.x2.x3 = −d

a.

Generalizando a Relacao de Girard e possıvel encontrar as raızes de polinonios de grau n.


Exercıcio 128 Calcule m ∈ R de modo que o polinomio P (x) = (m3−1)x4+(m2−1)x2+5x−7

seja do primeiro grau em relacao a x.

Exercıcio 129 Determine m ∈ R para que o polinomio P (x) = (m2 − 16)x2 + (m + 4).x + 4

seja de grau 2.

Exercıcio 130 Dado o polinomio P (x) = 4x3 − x2 + x − 1, calcule:

a) P(2) b) P(-1) c) P(0)

Exercıcio 131 Entre os numeros 1,−1, 2,−2, 3 e −3, quais sao raızes do polinomio

P (x) = x5 + 3x4 − 5x3 − 15x2 + 4x + 12?

Exercıcio 132 Calcule os valores de m, p e q para os quais o polinomio

P (x) = (2m − 1).x3 − (5p − 2).x2 + (3 − 2q) seja identicamente nulo:.

Exercıcio 133 Dados A(x) = (a + 1).x2 + (b − 1).x + c e B(x) = a.x2 + b.x − 3c, calcule a, b

e c, para que: A(x) + B(x) = 0

Exercıcio 134 Determine os valores de m,n e p, de modo que sejam identicos os polinomios:

P (x) = (m+n+p)x4− (p+1)x3 +mx2 +(n−p)x+n e Q(x) = 2mx3 +(2p+7)x2 +5mx+2m.

Exercıcio 135 Ache o polinomio P (x) do segundo grau em x, sabendo que admite 2 como raız,

P (1) = −2 e P (3) = 4.

58

Exercıcio 136 Divida utilizando o metodo da chave, D(x) por d(x), indicando o quociente e o

resto.

a) D(x) = 2x3 − 3x2 + x + 2 e d(x) = 2x − 1

b) D(x) = 5x2 − 3x + 2 e d(x) = x + 3

c) D(x) = 2x3 − x2 − 1 e d(x) = x − 1

Exercıcio 137 Dados os polinomios A(x) = 2x3+x2−10x+5, B(x) = x3−4x+4, C(x) = x−3

e D(x) = x − 2, determine o valor de:[A(x) − 2B(x)].D(x)

C(x)

Exercıcio 138 Dados os polinomios P1(x) = 2x3 + mx2 + nx + 3 e P2(x) = x2 + x − 3, se

P1(x) e divisıvel por P2(x), entao qual o valor de m − n?

Exercıcio 139 Dividindo um polinomio P (x) por x−3, resulta um resto de −7 e um quociente

de x − 4. Qual e P (x)?

Exercıcio 140 A divisao de do polinomio P (x) por x−a fornece quociente Q(x) = x3+x2+x+1

e resto P (a) = 1. Sabendo-se que P (0) = −15, o valor de a e?

Exercıcio 141 Qual e o numero real que se deve adicionar a P (x) = x3 − 2x2 + x, para se

obter um polinomio divisıvel por x − 3?

Exercıcio 142 Encontre as raızes do polinomio:

a) x2 − 6x + 5 b) 2x2 − x − 1

Exercıcio 143 A equacao 3x3 +2x2 −x− 3 = 0 admite raızes x1, x2 e x3. Escreva as relacoes

de Girard para essa equacao.

Exercıcio 144 (EEM-SP) Dada a equacao algebrica 3x3 − 16x2 + 23x − 6 = 0 e sabendo que

o produto de duas de suas raızes e igual a 1, calcule as raızes da equacao.

59

Respostas dos exercıcios

Cap.1

Exercıcio 1 X = {c, f, g} Exercıcio 2 8 alunos Exercıcio 3 a) 260 b) 120 c) 470 d) 160

Exercıcio 4 A ∪ B = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} A ∩ B = {0, 1, 2} Exercıcio 5 A ∪ B =]2, 8[ A ∩ B = [3, 5[

Exercıcio 6 A ∪ B =] − 1, 0] ∪ [2, 4[ A ∩ B = ∅ Exercıcio 7 a) 300 b) 300 c) 400 d)150 e) 170 f) 150 g)180

Exercıcio 8 3746 Exercıcio 9 698 Exercıcio 10 1845 Exercıcio 11 q: 276 r: 36 Exercıcio 12 3430 Exercıcio 13 32

Exercıcio 14 a) 32 b) 401 Exercıcio 15 a) 13 b) 41 c) 43

Exercıcio 16 {3, 6, 9, 12, . . .}; {5, 10, 15, 20, . . .}; {15, 30, 45, 60, . . .}; mmc(3, 5) = 15

Exercıcio 17 a) 120 b) 24 c) 240 d)180 e) 180 f) 60 g)1350 h)90

Exercıcio 18

a) {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18,36} b){1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90} c) {1, 2, 4, 5,10,11, 20, 22, 44, 55, 110, 220} d){1, 2, 4, 71, 142, 284}Exercıcio 19 a) 6 b) 1 c) 1 d) 6 e) 2 f) 3 g) 70 h) 1 Exercıcio 20 12 Exercıcio 21 60

Exercıcio 22 35

Exercıcio 23 a) 1922

b) 712

c) 83120

d) 83

Exercıcio 24 3054

60108

Exercıcio 25 2035

4477

Exercıcio 26 a) 79

b) 25

c) 12

d) 35

e) 16

f) 215

g) 1021

h) 45

Exercıcio 27

1) 32

2) 45

3) 65

4) 87

5) 82

6) 72

7) 175

8) 254

9) − 12

10) − 23

11) − 45

12) − 67

13) − 83

14) 75

15) 3 16) − 203

17) 53

18) 49

19) 32

20) 45

21) 78

22) 45

23) 1425

24) 1136

25) 518

26) 1330

27) 15

28) 1760


b) 12

Exercıcio 29 736


b) 4320

Exercıcio 31 1) 524

2) 325

3) 554

4) 83675

5) 3263

6) 14

7) 23

8) 121

9) 14

10) 92

11) 136

Exercıcio 32 34

Exercıcio 33 1) 25

2) 214

3) 1415

4) 8 5) 227

6) 325

7) 815

8) 3524

9) 34

10) 2112

11) 814

12) 63168

Exercıcio 34 a) − 120

b) 43

Exercıcio 35 valor da conta: R$324,00 valor restante: R$540,00 Exercıcio 36 Nao

Exercıcio 37 150 litros Exercıcio 38 a) 18

b)2 c) 100 d)4 e) 6 Exercıcio 39 3x Exercıcio 40 a) −√

2 b) 3√2

Exercıcio 41 a) 3 + 2√

2 b) 9 Exercıcio 42√

2+2

2Exercıcio 43 a) , 44m2 b) 22, 4kg Exercıcio 44 e) Exercıcio 45 a)

Exercıcio 46 a) x2 − 7x + 12 b) 2x2 − 5x − 3 c) −x2 + 4x − 3 d) x2 − 9 e) x2 − 6x + 9 f) x2 + 6x + 9 g) azx2 − (3 + baz)x + 3b

h) a2 + b2 + c2 + 2ac i) acb2 + ba2 + abc2 + ca2 j) ax + ay + bx + by k) ax + ay + bx + by l) −ax − ay − bx − by m) 9 + 6x + x2

n) x2 + 10x + 25 o) x2 + 2xy + y2 p)9x2 + 12x + 4 q) 4x2 + 2x + 14

r) x2 − 10x + 25 s)x2 − 10xy3 + 25y6 t)x2 − 9 u)4x2 − 25

v) 9x4 − y4 x) 4a2 + b2 + 25 − 4ab + 20a − 10b z) 27a3 + 54a2 + 36a + 8

Exercıcio 47 x3 − 10x2 + 23x − 31 Exercıcio 48 x6 − 9x4 + 27x − 27

Cap.2

Exercıcio 49 a) 16

b)2 c)-2 Exercıcio 50 27 Exercıcio 51 a)-3 b)− 13

c)− 12

Exercıcio 52 a)8, 5(

a

2− 2b

)b) 8, 6

(b

2+ a + 2

)

Exercıcio 53 ±3 Exercıcio 54 7,26 Exercıcio 55 e) 20 Exercıcio 56 2 Exercıcio 57 3 Exercıcio 58 16

Exercıcio 59 6 anos, 1 mes e 12 dias Exercıcio 60 2 meses

Cap.3

Exercıcio 61 a) 5, 8cm b) 4m c)14, 40km Exercıcio 62 8, 3 aproximadamente Exercıcio 63 8, 4 Exercıcio 64 25√

3

Exercıcio 65 a) 3, 52 b)2, 3 c)5, 3 Exercıcio 66 38, 4 Exercıcio 67 b)≈ 69, 23m Exercıcio 68 4√

29m Exercıcio 69 ≈ 38, 3cm

Exercıcio 70 cos 10 =, 98; cos 80 = 0, 17; tan 10 = 0, 17; tan 80 = 5, 76 Exercıcio 71 85

Exercıcio 72 6m Exercıcio 73 116

Exercıcio 74 16

Exercıcio 75 324m Exercıcio 76 10√

3 Exercıcio 77 50(√

3 + 1) Exercıcio 78 c) Exercıcio 79 60m

Exercıcio 80 a) 5π

6b)60◦ Exercıcio 81 0 Exercıcio 82 p > 0 Exercıcio 83 p < 0 Exercıcio 84 sin α = − 3

√10

10; cos α = −

√10

10

Exercıcio 85 a)√

3 b) −1 c) 1 Exercıcio 86√

2+√

6

4Exercıcio 87

√2+

√6

4Exercıcio 88 −2 −

√3 Exercıcio 89 − 24

25Exercıcio 90 − 7

9

Exercıcio 91 − 2√

23

Exercıcio 92 sen x = − 3√

1010

cos x = −√

1010

Exercıcio 93 m = 2 Exercıcio 94 S = {1 + cos α; 1 − cos α}

Exercıcio 95 a) π

6rad b) 2π

3rad c) 5π

4rad d) 5π

3rad Exercıcio 96 a) 45◦ b) 270◦ c) 210◦ d) 72◦

Exercıcio 97 a) 50◦, 410◦, 770◦ b) −310◦, −610◦ Exercıcio 98 a) 6π

7rad, 20π

7rad, 34π

7rad b) − 8π

7rad, − 22π

7rad

Exercıcio 99 a) 43◦ b) 320◦ c) π

11rad d) 8π

5rad e) − π

13rad Exercıcio 100 -2 Exercıcio 101 e)

Exercıcio 102 a) 0 b) 0 c) ∄ Exercıcio 103 d) Exercıcio 104 c) Exercıcio 105 -2√

2 Exercıcio 106 a) 1 b) 1 c) −1

170

Exercıcio 107 1 Exercıcio 108 −√

24


55

Exercıcio 110 d) Exercıcio 111 12

Exercıcio 112 4−√

3

10

Exercıcio 113 e) Exercıcio 114√

22

Exercıcio 115 α + β = 45◦ Exercıcio 116 sen 2x = 120169

; cos 2x = 119169

Exercıcio 117 − 34


Exercıcio 119√

144


23

Exercıcio 121 sen x = 2√

55

; cos x = −√

55


Exercıcio 122 m=3 ou m=-4 Exercıcio 123 S = {−1 + cos α;−1 − cos α} Exercıcio 124 2√

23

Exercıcio 125 14

Cap.4

Exercıcio 126 q = 3x3 + 3x2 + 3x + 4 r = 7x + 4 Exercıcio 127 k = 2 Exercıcio 128 m = 1 Exercıcio 129 m 6= 4

Exercıcio 130 a)29 b) − 7 c) − 1 Exercıcio 131 1, −1, 2, −2, −3 Exercıcio 132 m = 12

p = 25

q = 32

Exercıcio 133 a = − 12

b = 12

c = 0

Exercıcio 134 m = 1 n = 2 p = −3 Exercıcio 135 P (x) = x2 − x − 2

Exercıcio 136 a)q = x2 − x r = 2 b)q = 5x − 18 r = 56 c)q = 2x2 + x + 1 r = 1 Exercıcio 137 x2 − x − 2

Exercıcio 138 8 Exercıcio 139 x2 − 7x + 5 Exercıcio 140 a = 16 Exercıcio 141 12 Exercıcio 142 a)x = 5 x = 1 b)x = 1 x = − 12

Exercıcio 143 x1 + x2 + x3 = − 23

, x1x3 + x1x2 + x2x3 = − 13

, x1x2x3 = 1 Exercıcio 144 x1 = 3 x2 = 13

x3 = 2

171

Referencias Bibliograficas

[1] DANTE, L. R. Matematica: Contexto e Aplicacoes. V. Unico. Atica, 2000.

[2] GIOVANNI, J. R.; DANTE, L. R. 2o Grau, Matematica: Teoria, Exercıcios, Aplicacoes. V.2, Editora FTD S.A, Sao Paulo.

[3] GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R. Matematica Completa, 2a Serie Matematica Ensino Medio, 2a Edicao renovada, Sao Paulo: FTD,2005.

[4] GUELLI, O. Matematica: uma aventura do pensamento-5a serie. Sao Paulo: Atica, 2002.

[5] IEZZI, G. et al. Fundamentos da matematica elementar. V.1 Sao Paulo: Atual, 1997.

[6] IEZZI, G. et al. Matematica: ciencia e aplicacoes 1: ensino medio. Sao Paulo: Saraiva, 2010.

[7] MARCONDES C.; GENTIL N.; GRECO S. Matematica: serie novo ensino medio. V.1, Atica, Sao Paulo, 2000.

[8] MATEMATIQUES. Matematica e facil. Disponıvel em www.matematiques.com.br

[9] NOGUEIRA, C. M. I.; ANDRADE, D. Conceitos basicos em educacao matematica nos anos iniciais do ensino fundamental. Maringa:

EDUEM, 2011. (Colecao formacao de professores EAD; V.45).

[10] PAIVA, M. Matematica. v. 2. 1. ed. Sao Paulo: Moderna, 2009.

[11] Colecao base: matematica. v. unico, 1d. Sao Paulo: Moderna, 1999.

[12] PIRES, C. C.; CURI, Eda; PIETROPAOLO, R. Educacao Matematica 5a serie. Sao Paulo: Atual, 2002. (Educacao Matematica).

[13] UTFPR/Toledo. Apostila de Nivelamento - Matematica Basica. Toledo, 2012.

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