Cálculo Financiero

Lic. Rosell Alejandro Valderrama Chumbes

Cálculo Financiero

PROESADPrograma de Educación Superior a Distancia

Mg. Luis Enrique Falcón Delgado

Título: cálculo financieroAutor: Mg. Luis Enrique Falcón Delgado

Diseño interior: Doris Sudario S.Diseño de tapa: Eduardo Grados S.

Responsables de edición: Edwin Sucapuca Sucapuca, Christian Vallejos Angulo, Lizardo Vásquez Villanueva, Mariela Malásquez Marín.

Primera edición, marzo 2012

El contenido de esta publicación (texto, imágenes y diseño), no podrá reproducirse total ni parcialmente por ningún medio mecánico, fotográfico, electrónico (escáner y/o fotocopia) sin la autorización escrita del autor.

Universidad PerUana Unión - Facultad de Ciencias EmpresarialesPrograma de Educación Superior a Distancia PrOesadCentro de Producción de Materiales Académicos CePMaSede Central - UPeUCarretera Central km. 19 Ñaña, Lima / Telf. (01) 618-6336 / 618-6300 / Anexo: 3084www.upeu.edu.pee-mail [email protected]://proesad.upeu.edu.pe

Este libro se terminó de imprimir en los talleres gráficos del Centro deAplicación Editorial Imprenta Unión de la Universidad Peruana Unión,Km. 19 Carretera Central, Ñaña, Lima-PerúTelf.: 618-6301, Telefax: 618-6354JOB 13969-12 UNIÓN®E-mail: [email protected]

Hecho el depósito legalen la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2012-03319

IMPRESO EN EL PERÚPRINTED IN PERU

Presentación

Introducirse al estudio de las finanzas requiere de una base fundamental como lo es las matemáticas financieras. Siendo ésta una de las mejores inversiones

en información que un estudiante puede hacer. ¿Por qué? Porque el éxito en cualquier organización desde las

pequeñas tiendas de la esquina hasta las grandes corporaciones multinacionales requiere la comprensión

y el manejo adecuado de cálculos financieros.

Este libro es el resultado de la experiencia docente del autor con alumnos de las carreras profesionales de contador público y administración de empresas, así como con profesionales del mundo de las finanzas.

Con este texto se cubren las necesidades de ambos colectivos que, aunque diferentes, no son excluyentes. Teoría y praxis forman un todo y deben complementarse si se quiere lograr un conocimiento, lo suficientemente riguroso, para entender y analizar las operaciones financieras.

El texto contiene, por una parte, los conceptos teóricos que permiten fundamentar el análisis de los instrumentos financieros existentes, así como el diseño de otros nuevos y, por otra parte, con la ayuda de ejemplos y ejercicios, dichos conceptos se aplican en la

descripción del funcionamiento de las operaciones financieras más habituales en el mercado.

Por este motivo, el presente texto va dirigido principalmente a empresarios, estudiantes y profesionales no financieros, que sin tener necesariamente

conocimientos de finanzas, sin embargo, tengan la curiosidad y deseen conocer los fundamentos de las matemáticas financieras

como herramienta vital de las finanzas corporativas modernas.

ínDice

uniDaD i INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS ACTUARIALES

sesión nº 1: CONCEPTOS BÁSICOS ...................................................................................................... 17.

1. ORIGEN DE LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS ........................................................... 17.

1.1. Crédito ............................................................................................................................ 17.

2. EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO ............................................................................ 18

2.1. Costo de oportunidad ............................................................................................. 19

3. TASAS DE INTERéS ................................................................................................................... 22

3.1. Capitalización de interés ...................................................................................... 23

4. MONTO O VALOR FUTURO (S) ........................................................................................... 24

5. INTERéS COMERCIAL y REAL ............................................................................................... 25

5.1. ¿Qué tipo de interés se usa o se aplica en la prática? ........................ 26

6. PLAzO COMPRENDIDO ENTRE DOS FECHAS ................................................................ 26

6.1. Días inicial y final ..................................................................................................... 26

6.2. Fecha de vencimiento ........................................................................................... 27.

7.. HORIzONTES y SUBHORIzONTES TEMPORALES ......................................................... 29

8. MéTODOS DE AFECTACIÓN AL INTERéS y AL PRINCIPAL CUANDO

SE REDUCE EL MONTO ........................................................................................................... 30

8.1. PPLI(Primero Principal Luego Interés) .......................................................... 30

8.2. PILP(Primero Interés Luego Principal) .......................................................... 31

PRÁCTICA DIRIGIDA ................................................................................................................ 32

uniDaD ii LEyES FINANCIERAS EN LA PRÁCTICA

sesión nº 2: INTERéS SIMPLE ................................................................................................................ 37.

1. INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................... 37.

2. INTERéS CON PRINCIPAL y TASA NOMINAL CONSTANTE ...................................... 37.

2.1. Calculando el capital inicial o principal (P) ............................................... 40

2.2. Calculando la tasa de interés (j) ...................................................................... 41

2.3. Calculando el tiempo (n) ..................................................................................... 43

3. INTERéS CON PRINCIPAL CONSTANTE y TASA NOMINAL VARIABLE ............... 44

4. MONTO O VALOR FUTURO SIMPLE CON PRINCIPAL y TASA NOMINAL

VARIABLE ..................................................................................................................................... 46

5. MONTO O VALOR FUTURO SIMPLE CON PRINCIPAL CONSTANTE y TASA

NOMINAL VARIABLE ............................................................................................................... 48

6. VALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL SIMPLE CON PRINCIPAL y TASA

NOMINAL CONSTANTE ........................................................................................................... 50

7.. VALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL SIMPLE CON PRINCIPAL CONSTANTE

y TASA NOMINAL VARIABLE .............................................................................................. 52

8. ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTES ......................................................................... 54


sesión nº 3: INTERéS COMPUESTO ...................................................................................................... 63

1. INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................... 63

2. INTERéS CON PRINCIPAL y TASA EFECTIVA CONSTANTE ........................................ 63

2.1. Calculando el capital inicial o principal (P) ............................................... 65

2.2. Calculando la tasa de interés (i) ...................................................................... 67.

2.3. Calculando el tiempo (n) ..................................................................................... 69

3. INTERéS CON PRINCIPAL CONSTANTE y TASA EFECTIVA VARIABLE ................. 7.1

4. MONTO O VALOR FUTURO COMPUESTO CON PRINCIPAL y TASA

EFECTIVA CONSTANTE ............................................................................................................. 7.3

5. MONTO O VALOR FUTURO COMPUESTO CON PRINCIPAL CONSTANTE

y TASA EFECTIVA VARIABLE ................................................................................................ 7.5

6. VALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL COMPUESTO CON PRINCIPAL

y TASA EFECTIVA CONSTANTE ............................................................................................ 7.7.

7.. VALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL COMPUESTO CON PRINCIPAL

CONSTANTE y TASA EFECTIVA VARIABLE ...................................................................... 7.9

8. ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTES ......................................................................... 81

9. INTERéS COMPUESTO CON TASA J CAPITALIzABLE ................................................... 84

9.1. Valor futuro con tasa j capitalizable .............................................................. 87.

9.2. Valor presente o valor actual con tasa j capitalizable ......................... 88


uniDaD iii OPERACIONES DE DESCUENTO, TASAS, INFLACIÓN y DEVALUACIÓN y LAS SEIS LLAVES

MAESTRAS DE LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS

sesión nº 4: OPERACIONES DE DESCUENTO ................................................................................... 97.

1. INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................... 97.

2. DESCUENTO COMERCIAL ....................................................................................................... 98

2.1. Descuento comercial unitario ............................................................................ 98

2.2. Descuento comercial sucesivo o en cadena ............................................. 99

3. DESCUENTO BANCARIO .......................................................................................................101

3.1. Descuento bancario simple ..............................................................................101

3.2. Descuento bancario compuesto .....................................................................105

4. DESCUENTO RACIONAL ........................................................................................................109

4.1. Descuento racional simple ................................................................................109

4.2. Descuento racional compuesto ......................................................................114

5. OPERACIONES DE DESCUENTO EN LA PRÁCTICA .....................................................120

PRÁCTICA DIRIGIDA ..............................................................................................................123

sesión nº 5: TASAS ...................................................................................................................................129

1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................129

2. TASA VENCIDA y ANTICIPADA .........................................................................................130

3. TASA NOMINAL PROPORCIONAL....................................................................................130

4. CONVERSIÓN DE UNA TASA NOMINAL A EFECTIVA ..............................................131

5. TASA EFECTIVA EQUIVALENTE ...........................................................................................133

6. TASA ACTIVA y PASIVA ........................................................................................................134

6.1. Tasa de interés pasiva .........................................................................................134

6.2. Tasa de interés activa ..........................................................................................135

7.. TASA COMPENSATORIA y MORATORIA ........................................................................136

7..1. Aplicación de tasa compensatoria y moratoria en pagarés ..........137.

8. TAMN, TAMEX, TIPMN, TIPMEX ......................................................................................138

9. TASA CON CAPITALIzACIÓN DISCRETA y CONTINUA .............................................139

9.1. Tasa con capitalización discreta .....................................................................139

9.2. Tasa con capitalización continua ...................................................................139

10. TASA EXPLíCITA E IMPLíCITA .............................................................................................140


sesión nº 6: INFLACIÓN y DEVALUACIÓN ......................................................................................145

1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................145

2. CÁLCULO DE LA TASA DE INFLACIÓN ............................................................................146

3. CÁLCULO DE LA TASA DE INTERéS REAL ......................................................................149

3.1. Tasa efectiva inflada .............................................................................................150

4. TIPO DE CAMBIO ....................................................................................................................151

4.1. Tipo de cambio directo........................................................................................152

4.2. Tipo de cambio cruzado .....................................................................................152

5. TASA DE INTERéS EN MONEDA EXTRANJERA ...........................................................153


sesión nº 7: LAS SEIS LLAVES MAESTRAS DE LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS .......157.

1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................157.

2. FACTOR SIMPLE DE CAPITALIzACIÓN (FSC) ................................................................158

3. FACTOR SIMPLE DE ACTUALIzACIÓN (FSA) ................................................................159

4. FACTOR DE CAPITALIzACIÓN DE LA SERIE (FCS) ......................................................160

5. FACTOR DE DEPÓSITO AL FONDO DE AMORTIzACIÓN (FDFA) ..........................161

6. FACTOR DE ACTUALIzACIÓN DE LA SERIE (FAS) ......................................................162

7.. FACTOR DE RECUPERACIÓN DEL CAPITAL (FRC) ......................................................163


uniDaD iv ANUALIDADES y PROGRAMAS DE AMORTIzACIÓN DE CRéDITOS

sesión nº 8: ANUALIDADES VENCIDAS y ANTICIPADAS .........................................................17.1

1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................17.1

2. ANUALIDADES VENCIDAS U ORDINARIAS .................................................................17.3

2.1. Valor futuro S de una anualidad vencida .................................................17.3

2.2. Valor presente P de una anualidad vencida ...........................................17.6

3. ANUALIDADES ANTICIPADAS ...........................................................................................180

3.1. Valor futuro S de una anualidad anticipada ............................................180

3.2. Valor presente P de una anualidad anticipada .....................................184


sesión nº 9: ANUALIDADES DIFERIDAS y PERPETUAS ............................................................191

1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................191

2. ANUALIDADES DIFERIDAS ..................................................................................................191

2.1. Valor futuro S de una anualidad diferida ..................................................192

2.2. Valor presente P de una anualidad diferida ...........................................193

3. PERPETUIDADES ......................................................................................................................196

3.1. Valor futuro S de una perpetuidad ...............................................................196

3.2. Valor presente P de una perpetuidad.........................................................196


sesión nº 10: PROGRAMAS DE AMORTIzACIÓN DE CRéDITOS ...........................................201

1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................201

2. AMORTIzACIÓN CON INTERéS SIMPLE .........................................................................201

2.1. Amortización con interés global ....................................................................202

2.2. Amortización con interés sobre saldos insolutos (al rebatir) ........204

3. AMORTIzACIÓN CON INTERéS COMPUESTO ...............................................................206

3.1. Sistema de amortización constante (método alemán) ....................207.

3.2. Sistema de amortización única al vencimiento (método

americano simple) ................................................................................................208

3.3. Sistema de pagos constantes (método francés) ..................................209

3.4. Sistema de pagos con período de gracia .................................................210

3.5. Sistema de pagos VAC (valor de actualización constante) .............212

4. COSTO EFECTIVO DEL CRéDITO ..........................................................................................214

4.1. Uso del VAN y la TIR en la evaluación de crédito ................................215


referencias BiBlioGráficas ............................................................223

suMillaEl curso pertenece al área de formación profesional y a la sub-área de finanzas. Propone capacitar al estudiante en la formulación de modelos matemáticos básicos para resolver los problemas financieros. El curso es de naturaleza teórico-práctica y abarca los siguientes tópicos: técnica mercantil, interés simple y compuesto, amortización de préstamos, anualidades o rentas, seguros de vida y alternativas de inversión.

cóMo estuDiarLOS MÓDULOS DIDÁCTICOS O TEXTOS AUTOINSTRUCTIVOS

antes De la lectura

Durante la lectura

DesPués De la lectura

El método A2D para autodidactas, de Raúl Paredes Mo-rales, es un método de fácil aplicación para la mayoría de los estudiantes, inclusive para los no autodidactas. Si el estudiante aplica este método, su trabajo intelectual será más rápido y eficaz.A2D responde a las letras iniciales de los 3 pasos, que se propone para la lectura de un módulo didáctico o cualquier otro texto.

Consiste en la exploración preliminar y se debe:

ÂÂ Echar un vistazo general empezando por el índice, reconociendo unidades y lecciones que se van explicando en el módulo didáctico.

ÂÂ Anotar las dudas que van surgiendo durante el vistazo general, para esclarecerlas durante la lectura o después de ella.

ÂÂ Adoptar una actitud positiva.

ésta es la fase más importante del método, el ritmo de lectura lo pone cada lector. Debes tener presente los siguientes aspectos:

ÂÂ Mantén una actitud positiva.

ÂÂ Participa activamente en la lectura: tomando apuntes, subrayando, resumiendo y esquematizando.

ÂÂ Si no entiendes lo que lees o encuentras una palabra desconocida, consulta con tu profesor, tutor o un diccionario.

Esta fase va a afianzar la lectura, mejorando tu comprensión lectora, para ello debes tener en cuenta lo siguiente:

ÂÂ Repasa los apuntes tomados durante la lectura.

ÂÂ Organiza el trabajo y planifica el horario de estudio. Trata de que sea siempre a la misma hora.

ÂÂ Realiza los trabajos diariamente. No dejes que se te acumulen las tareas.

ÂÂ Procura ampliar las lecciones con lecturas complementarias.

ÂÂ Al final de cada capítulo haz tu cuadro sinóptico o mapa conceptual.

ÂÂ Elabora tu propio resumen.

Antes de la lectura

Durante la lectura

Después de la lecturaa2D

enriquece tu vocabulario para entender mejor las próximas lecturas.

MétoDo a2D

orientaciones MetoDolóGicas

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS ACTUARIALES

sesión nº 1: Conceptos básicos

un

iDa

D i

uniDaD i

coMPetencias

CONCEPTUAL PROCEDIMENTAL ACTITUDINAL

Estudia el origen de las matemáticas financie-ras.

Organiza un mapa con-ceptual de las matemá-ticas financieras.

Valora la matemática fi-nanciera como tema de estudio.

cálculo financiero

P R O E S A D

17.

1Sesión

concePtos Básicos

1. oríGen De las MateMáticas financieras

Las matemáticas han sido aplicadas a muchas áreas de las finanzas a través de los años. No hay mucha información acerca de la historia de las matemáticas financieras, ni de cuál era el problema que se intentaba solucionar con ellas, lo que yo creo es que se dieron como un desarrollo involuntario, pero necesario, que complementaba algunas transacciones comerciales o determinados pagos, por ejemplo los que habían de realizar los aldeanos a sus señores feudales en la época del feudalismo en Europa. Investigando se encontró que las matemáticas financieras aparecieron inicialmente con los intereses, creo que «alguien» se dio cuenta que si otro le debía dinero o vacas o cabras o lo que fuera, él debía recibir una compensación por el tiempo que esta persona tardara en cancelar la deuda.

Es casi natural considerar que, al igual que otras múltiples actividades que realiza el ser humano, el comercio, con sus formas y modalidades, que hoy nos parecen asombrosas y alucinantes, como el mercado de capitales, es el resultado de un proceso, cuyo inicio hay que ubicarlo en algunos momentos o instituciones del pasado.

El hombre ha logrado satisfacer sus necesidades a través de actividades comerciales diferentes, siendo el criterio diferenciador el tipo objeto de intercambio empleado por él. En tal sentido, se identifican las siguientes etapas que fueron apareciendo no necesariamente en orden secuencial:

Trueque o permuta: se intercambia un bien por otro (ej. papas por arroz). Etapa monetaria: aparece el dinero que sirve para efectuar transacciones, y comprar así los

bienes. Etapa de crédito: además de mi propio dinero, me endeudo para comprar algún bien. Etapa de los documentos o instrumentos financieros: se formalizan más los acuerdos o con-

venios entre los participantes del mercado; se convierten así en instrumentos de vida propia que son negociados.

De todo lo expuesto anteriormente, podemos señalar que las matemáticas financieras aparecieron cuando apareció el crédito, a continuación, la definiremos.

1.1. crédito

Es el traspaso del derecho al uso de un bien por parte de una persona natural o jurídica que goza de tal derecho y que renuncia a ese uso a favor de otra persona natural o jurídica, la cual lo

U n i v e r s i d a d P e r u a n a U n i ó n

unidad i

18

adquiere por un plazo determinado o no.

Esta definición de «crédito» abarca cualquier operación de préstamo de cualquier bien, algunas de tanta envergadura como un crédito en dólares otorgado por el Banco Interamericano de Desarrollo (BID) a un país latinoamericano o como una concesión por 20 años para explotar yacimientos mineros en nuestra selva peruana, a la vez que algunas tan simples como el préstamo de una calculadora entre dos compañeros de curso durante una evaluación.

Ahora, si bien la acepción más conocida de “crédito en dinero” es aquella en la cual una institución financiera le presta dinero a una persona natural o jurídica, es importante reconocer que este concepto involucra un conjunto bastante amplio de operaciones, como por ejemplo: depósitos de ahorro que realizan personas naturales o jurídicas en instituciones financieras (cuentas de ahorro, depósitos a plazo, depósitos de CTS, etc.), préstamos de carácter comercial (ventas a plazo) y, entre otros, la inversión en empresas productivas (el inversionista “le presta” dinero a la empresa).Esto, sin duda, evidencia que en las operaciones de crédito en dinero el acreedor (la persona que prestó el dinero) exija al deudor (la persona que recibió el dinero en préstamo) el pago de una renta por el dinero prestado, renta que recibe el nombre de interés, concepto que veremos con más detalle más adelante.

2. el valor Del Dinero en el tieMPo

Para muchas personas resulta discutible el hecho de que se cobren intereses en las operaciones de crédito en dinero. Incluso, existen determinadas civilizaciones en que ello está penado por la ley, con base en preceptos religiosos.

A fin de situar este tema en la perspectiva adecuada, evitando las discusiones de carácter ético o religioso, es importante convencer al lector de que –dada una cierta lógica– resulta difícil discutir la aplicación de intereses en un préstamo en dinero. Obviamente, otro asunto es la cuantía o magnitud de tales intereses, a lo cual se hará referencia más adelante.

Supóngase que a usted se le enfrenta al problema de decidir entre dos alternativas mutuamente excluyentes (puede decidirse por solo una de ellas o por ninguna):

a) Recibir hoy una donación de $10.000.b) Recibir una donación de $10.000 dentro de 1 año.

No cabe prácticamente ninguna duda que usted preferiría la alternativa (a). Si le preguntasen los motivos, lo más probable es que usted mencionaría a lo menos uno de los factores que se mencionan a continuación:

a) La pérdida de poder adquisitivo (debido a la existencia de inflación, con $10.000 disponibles hoy puedo adquirir más bienes y servicios que con $10.000 dentro de un año).

b) El riesgo (más vale tener $10.000 seguros hoy, que tener una promesa de que recibiré $10.000 dentro de un año).

c) Los usos alternativos del dinero (con $10.000 colocados a trabajar hoy, podría tener más de $10.000 dentro de un año).

cálculo financiero

P R O E S A D

19

Alcanzado un cierto acuerdo sobre lo recientemente planteado, cabe preguntarse –entonces– por qué alguien prestaría $10.000 hoy a 1 año plazo y aceptaría que al vencimiento de ese plazo le devolviesen los mismos $10.000. Parece evidente que se trata del mismo problema anteriormente planteado, de tal forma que cualquiera que haya preferido la primera alternativa de ese problema, no podría ahora defender una postura contraria a la de cobro de intereses.

De esta manera, obviando el problema del riesgo que enfrenta el acreedor al prestar dinero, el cobro de intereses en las operaciones de crédito en dinero puede ser defendido desde dos perspectivas: la pérdida de poder adquisitivo del dinero a lo largo del plazo del préstamo (en una economía con inflación) y la existencia de los llamados «costos de oportunidad» en el uso del dinero.

El primero de estos factores resulta relativamente obvio, ya que el acreedor a lo menos debiera considerar que, una vez recuperado el dinero prestado, él pudiera adquirir un conjunto de bienes equivalente al que podía adquirir con la suma prestada en el momento del préstamo.

El segundo de los factores es más novedoso para las personas que recién se aproximan al tema, relacionándose con la existencia de alternativas rentables para el uso de una determinada cantidad de dinero.

2.1. costo de oportunidad

Es la ganancia o rentabilidad de la mejor alternativa desechada o sacrificada al asignar un bien o recurso a un uso específico, existiendo usos alternativos rentables para ese mismo bien o recurso.

De acuerdo a ello, el concepto de «costo de oportunidad» es aplicable a cualquier bien o recurso con usos alternativos y la ganancia o rentabilidad no necesariamente se mide en términos monetarios.Así, por ejemplo, el alumno que se encuentra asistiendo a una sesión de cátedra podría determinar cuál es el costo de oportunidad en que incurre al utilizar su tiempo en esa actividad y tal costo podría estar medido en términos de una determinada “satisfacción” sacrificada.

No obstante, aquí interesan los costos de oportunidad en el uso de una cantidad de dinero, medidos en términos de la ganancia o rentabilidad monetaria sacrificada, al realizar una asignación determinada de esa cantidad de dinero.

Resulta evidente que si bien, en algunos períodos de bajísimas inflación, la pérdida de poder adquisitivo podría ser considerada no relevante, siempre existirían usos alternativos rentables para la suma de dinero prestada, de tal forma que el acreedor debiera considerar que el interés del préstamo fuera suficiente para –a lo menos– compensar el costo de oportunidad en que incurrió al prestar dinero.

Cabe hacer aquí una breve precisión respecto del caso de las instituciones financieras que prestan dinero, por cuanto para ellas existe un costo explícito de «captación» del dinero. Estas instituciones son intermediarias que captan dinero, pagando una renta por ello (tasa de interés pasiva), con la final de colocar o prestar ese dinero, cobrando a su vez una renta (tasa de interés activa). A fin de que la institución financiera obtenga una ganancia o «spread» en estas operaciones, es necesario que la tasa activa supere a la suma de los costos de captación y de administración directa e indirecta de tales operaciones.


unidad i

20

En definitiva, el cobro de intereses en las operaciones de crédito en dinero –en su aceptación amplia– proviene fundamentalmente de la existencia de costos de oportunidad en el uso del dinero, los cuales conducen al llamado valor del dinero en el tiempo. Se asigna mayor valor a $1 disponible hoy que a $1 disponible mañana, porque colocando hoy $1 en una alternativa rentable es posible tener mañana más de $1.

El valor del dinero en el tiempo conduce a la existencia de matemáticas especiales para cálculos crediticios, pues se debe reconocer que no siempre es pertinente sumar dos cantidades que se encuentran ubicadas en distintos momentos en el tiempo, o bien, no es posible saber si es conveniente por –ejemplo– pagar dos cuotas semestrales de $9.000 o solo una cuota anual de $20.000 en un determinado crédito.

ejemplo

el costo de oportunidad

Usted cuenta con las siguientes tres únicas y mutuamente excluyentes1 alternativas para «invertir» $250.000, a un mes de plazo, todas ellas con el mismo nivel de riesgo:

a) Realizar un depósito en un banco local, que ofrece pagarle a fin de mes un interés de $2 por cada $100 depositados.

b) Colocar el dinero en una alternativa que reportará un interés de $4.7.50 al final del mes.

c) Colocar el dinero en una alternativa que reportará, al final del mes, un interés de $0,25 por cada $100 del depósito previamente reajustado por inflación.

se pide: 1) Determinar cual sería la mejor alternativa, si se estimase una tasa de inflación men-

sual de 1,6% para el mes relevante.2) Determinar cual sería la ganancia bruta (en), la tasa de rentabilidad bruta (sobre $)

de cada alternativa y el costo de oportunidad relevante (en $ y en tasa) al seleccionar cada una de las alternativas. Verificar la respuesta 1).

3) Determinar a partir de cual tasa de inflación (mínima o máxima) se entraría a modificar la respuesta 1).

Desarrollo:

1. Se calcula cuanto dinero se tendría al final del mes con cada una de las alternativas

a) 250.000 + 250.000 (2/100) 250.000 + 5.000 $255.000b) 250.000 + 4.7.50 $254.7.50c) Primero se reajustan los $250.000, de acuerdo a la tasa de inflación. Con esta

operación, el deudor le devuelve al acreedor la pérdida de poder adquisitivo que sufrió durante el período.

1 El término mutuamente excluyente indica que si emprendemos una de las alternativas, entonces no podremos emprender ninguna de las otras.

cálculo financiero

P R O E S A D

21

250.000 + 250.000(0,016) 250.000 + 4.000 $254.000 Ahora se calculan los intereses sobre los $254.000. 254.000 + 254.000 (0,25/100) 254.000 + 635 $254.635 Por tanto, la mejor alternativa es la alternativa a).

2. Cifras en $ (ganancias)

Cifras en tasa (rentabilidad)

Por lo tanto, resulta evidente que la respuesta 1) es correcta, por cuanto –dado que todas las alternativas tienen el mismo nivel de riesgo– el evaluador debe elegir aquella que le otorgue la mayor ganancia o rentabilidad neta positiva, lo que implica necesariamente restarle a la ganancia o rentabilidad bruta aquella ganancia o rentabilidad que igualmente se habría obtenido si se hubiera llevado a cabo la mejor alternativa desechada (costo de oportunidad o tasa de rentabilidad alternativa).

3. En este caso, todas las alternativas cubren la pérdida de poder adquisitivo del período (250.000) (0,016) = $4.000, con ganancias brutas «después de inflación» de $1.000 la alternativa a), $7.50, la alternativa b) y $635 la alternativa c), manteniéndose la primacía de la alternativa a). No obstante, la única alternativa que considera un reconocimiento explícito de la pérdida de poder adquisitivo es la alternativa c), de tal forma que a tasas de inflación mayores que 1,6% su ganancia bruta «antes de inflación» será gradualmente mayor que $4.635, mientras las otras dos alternativas mantienen inalteradas sus ganancias brutas.

Por calcular, entonces, a qué tasa de inflación mensual f, la ganancia bruta de la alternativa c) iguala a la de la alternativa a).

[250.000 + 250.000 f ] (1,0025) = 255.000 250.000 (1 + f ) (1,0025) = 255.000 (1 + f ) 250.625 = 255.000 (1 + f ) = 255.000/250.625 f = 1,017.456 – 1 f = 0,017.456 = 1,7.5%

alternativa Ganancia Bruta costo de oportunidad Ganancia neta

a) $5.000 $4.7.50 $250

b) $4.7.50 $5.000 –$250

c) $4.635 $5.000 –$365

alternativa rentabilidad Bruta tasa costo oportunidad Ganancia neta

a) 2,00% 1,90% 0,10%

b) 1,90% 2,00% –0,10%

c) 1,85% 2,00% –0,15%


unidad i

22

Esto significa que con una tasa de inflación mensual superior a 1,7.5%, la alternativa c) superaría a la alternativa a) y pasaría a ser la mejor alternativa.

3. tasas De interés

La tasa de interés es el precio pagado a los que prestan dinero, mientras que en el caso del capital social, los inversionistas esperan compensación en la forma de dividendos y capital ganado.

El interés es el alquiler o rédito que se conviene pagar por un dinero tomado como préstamo, la forma cómo se expresa el precio es la tasa de operación comercial. La unidad de tiempo es el año. La tasa se expresa en porcentajes (%).

El interés que se paga por una suma de dinero prestado depende de las condiciones contractuales y varía en razón directa con la cantidad de dinero prestado y con el tiempo de duración del préstamo. Asimismo, a la oferta monetaria y variables socioeconómicas, etc.

Este concepto, no es nuevo, nuestro señor Jesucristo lo explicó hace más de dos mil años en una de sus parábolas. A continuación la citaremos:

“El reino de los cielos es también como un hombre, que al salir de viaje, llamó a sus siervos, y le confió sus bienes. A uno le dio cinco talentos, a otros dos, y al tercero uno. A cada uno según su capacidad. y se fue lejos. El que había recibido cinco talentos, en seguida negoció con ellos, y ganó otros cinco. Del mismo modo el que había recibido dos, ganó otros dos. Pero el que había recibido uno, cavó en la tierra, y escondió el dinero de su señor. Después de mucho tiempo, vino el señor de aquellos siervos, y arregló cuentas con ellos. Llegó el que había recibido cinco talentos, trajo otros cinco talentos, y dijo: ‘Señor, cinco talentos me confiaste, aquí tienes otros cinco talentos que gané con ellos’. Su señor le dijo: ‘¡Bien, siervo bueno y fiel! Sobre poco has sido fiel, sobre mucho te pondré, entra en el gozo de tu Señor’. Llegó también el que había recibido dos talentos, y dijo ‘Señor, dos talentos me confiaste, aquí tienes otro dos talentos que gané con ellos’. Su Señor le dijo: ‘¡Bien, siervo bueno y fiel! Sobre poco has sido fiel, sobre mucho te pondré, entra en el gozo de tu señor’. Llegó también el que había recibido un talento, y dijo: ‘Señor, sabía que eres hombre duro, que siegas donde no sembraste, y juntas don de no esparciste, ‘y de miedo, fui y escondí tu talento en la tierra, aquí tienes lo que es tuyo’. Su Señor respondió: ‘siervo malo y negligente, sabías que siego donde no sembré, y junto donde no esparcí. ‘Por eso debías haber dado mi dinero a los banqueros, y yo hubiera recibido lo mío con el interés. ‘Quitadle el talento y dadlo al que tiene diez talentos. ‘Porque al que tiene, le será dado, y tendrá en abundancia, y al que no tiene, aun lo que tiene, le será quitado. ‘y al siervo inútil echadlo fuera, en las tinieblas, allí será el llanto y el crujir de dientes’. SAN MATEO 25:14-30.

De esta manera, la tasa de interés es el porcentaje de variación entre un capital inicial (P) y un capital final ó monto (S) después de un periodo de tiempo es decir:

iS P

P= − (1)

Pero S – P = I (interés), entonces:

iI

P= (2)

cálculo financiero

P R O E S A D

23

Donde:

“ I ” son los intereses que se generan“ P ” es el capital inicial (en el momento n=0)“ S ” es el capital final (en el momento n)“ i ” es la tasa de interés que se aplica“ n ” es el tiempo que dura la inversión

ejemplo

cálculo de la tasa de interés

Si un banco concedió un préstamo de $10.000 y cobro $1.500 de interés después de un año, ¿cuál fue la tasa del período que el banco aplicó?

solución:

Los datos son:

i = ?P = $10.000I = $1.500n = 1 año

Reemplazando en la ecuación (2), tenemos:

i = = ≈$ .

$ .. %

1 500

10 0000 15 15

El banco está cobrando una tasa anual del 15%. Actualmente el Banco Central de Reserva del Perú (BCRP) de acuerdo con su Ley Orgánica D.L. Nº 26123 del 29/12/92, dentro de sus atribuciones, puede establecer la tasa máxima de interés compensatorio, moratoria y legal pero solo para las operaciones ajenas al sistema financiero y las operaciones de este sistema serán determinadas por la libre competencia.

El interés generado por un principal que se simboliza por la letra I está en función de múltiples variables, entre las cuales se encuentran:

La magnitud del principal (capital) colocado o invertido. La tasa de interés implícita o explícita. El tiempo: a mayor tiempo, mayor interés para un mismo principal y una misma tasa de

interés. El riesgo de la operación; se supone que mayor riesgo al principal le corresponde una mayor

tasa de interés que genera un mayor interés. Otras variables de carácter económico, político, social, etcétera.

3.1. capitalización del interés

Si este proceso se da una sola vez durante la vigencia de la cuenta se presenta un régimen de interés monocapitalizado como el del interés simple; si ocurre múltiples veces, se trata de un


unidad i

24

régimen de interés multicapitalizado como el del interés compuesto.

Lo anterior se puede apreciar en la figura 1, así como con un ejemplo sencillo.

figura 1

capitalización del interés

ejemplo

comparación entre interés simple y compuesto

Supongamos que podemos colocar durante 5 años un capital de $1.000 en dos bancos, el primero en interés simple y el segundo en interés compuesto, con una tasa del 10% anual en ambos casos.

En el primer banco, cada año, el capital inicial produciría un interés de 1.000*10%=100. Así, al acabar el primer año tendríamos $1.100. Al final del segundo año (al no acumularse el interés) tendríamos $1.200 (el capital sobre el que calculamos el interés permanece constante $1.000, y al final del tercero $1.300, del cuarto $1.400 y del quinto $1.500.

En el segundo banco el primer año obtendríamos un interés de 1.000*10%=100 y al acabar el primer año tendríamos $1.100. Para calcular el interés en el segundo año (al acumularse los intereses) tendríamos 1.100*10%=110, y al final del segundo año tendríamos $1.210. Al final del tercer año tendríamos $1.331, al final del cuarto $1.464,10 y al final del quinto $1.610,51.

Como puede observarse en el ejemplo, el interés compuesto produce un mayor capital final que el interés simple para un mismo capital, duración y tanto.

4. Monto o valor futuro (s)

Si se conoce el capital inicial y el interés generado hasta determinado momento, el monto o valor futuro para ese tiempo se puede calcular con la siguiente fórmula:

S = P + I (3)

INTERéS

MúltiplesCapitalizaciones

ÚnicaCapitalización

InterésSimple

InterésCompuesto

cálculo financiero

P R O E S A D

25

ejemplo

cálculo del monto o valor futuro (s)

Si un banco concedió un préstamo de $10.000 y cobro $1.500 después de un año, ¿a cuánto asciende el monto o valor futuro?

solución:

Los datos son:

S = ?P = $10.000I = $1.500 Reemplazando en la ecuación (3), se tiene:

S = 10.000 + 1.500 = $11.500

El monto o valor futuro asciende a $11.500.

5. interés coMercial Y real

Cuando el tiempo en un préstamo está dado en días, se vuelve necesario convertir la tasa anual, semestral, trimestral, cuatrimestral, etc., a una tasa de interés por día. Cuando la tasa anual, semestral, etc., se convierte a tasa diaria utilizando el año natural (365 días o 366, si el año es bisiesto2) como divisor en la fórmula del interés simple o del monto (valor futuro), el interés obtenido se llama interés real o interés exacto.

Ahora, cuando se lleva la conversión utilizando como divisor el número 360, se dice que se está utilizando el año comercial. En este caso, el interés obtenido se llama interés comercial o interés ordinario.A lo anterior se le conoce como año bancario, el cual se refiere a un período de 360 días. El año bancario tiene como submúltiplos, entre otros a los semestres, cuatrimestres, trimestres, bimestres, meses, quincenas y días bancarios, cuyo número de días se indica en la siguiente tabla:

Período bancario número de días

Año 360

Semestre 180

Cuatrimestre 120

Trimestre 90

Bimestre 60

Mes 30

Quincena 15

Día 1

2 Un año es bisiesto, cuando el mes febrero cuenta con 29 días. Esto sucede cada cuatro años.


unidad i

26

5.1. ¿Qué tipo de interés se usa o se aplica en la práctica?

El año comercial, y por ende el interés comercial, es usado por los bancos, bolsa de valores, bolsa de comercio, casas comerciales y demás instituciones financieras, debido a que el interés es mayor que el interés real.

Los bancos acostumbran a calcular los intereses, tomando como base el año de 360 días, pero para la duración del tiempo de préstamos a plazos menores que un año, cuentan los días efectivos calendarios.

6. PlaZo coMPrenDiDo entre Dos fecHas

Desde hace muchos años, con el objeto de facilitar los cálculos, se acostumbra suponer el año de 360 días dividido en 12 meses de 30 días cada uno. Observe que 360 días tiene los siguientes divisores: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 7.2, 90, 120 y 180. Estos divisores permiten un gran número de simplificaciones, muy útiles cuando se trabaja sin calculadora o computadora.

Existen varias maneras de medir el tiempo que interviene en el cálculo de los intereses. Es importante que el lector aplique sus costumbres locales en la solución de los problemas.

6.1. Días inicial y final

Es importante mencionar que para calcular el período de tiempo comprendido entre dos fechas la primera se excluye y la segunda se incluye; esto porque según la legislación vigente para que un depósito o inversión genere intereses debe haber permanecido como mínimo un día en la institución financiera desde la fecha de su deposito como lo demostramos en el siguiente cuadro. ejemplo

número de días: días inicial y final

¿Cuál será el tiempo transcurrido entre el 01 de agosto de 2003 y el 15 de setiembre de 2003?

solución:

Como puede observarse en el ejemplo, del 01 de agosto al 15 de setiembre de 2003 han transcurrido 45 días.

Mes Días Días transcurridos

observaciones

Agosto 31 30 Se excluye el 01 de agosto

Setiembre 30 15 Se incluye el 15 de setiembre

total 45

cálculo financiero

P R O E S A D

27.

6.2. fecha de vencimiento

La fijación de la fecha de vencimiento se establece contractualmente. Por ejemplo, un préstamo que se recibe el 10 de marzo a 3 meses deberá pagarse el 10 de junio; pero cuando el mismo préstamo se reciba a 90 días, deberá pagarse el 8 de junio, si la costumbre es contar solo el día final. Si la fecha final corresponde a un día festivo, la costumbre local indicará si el pago debe efectuarse el primer día laboral siguiente, sin contar días adicionales para el cobro de intereses.

Para calcular el tiempo transcurrido entre la fecha inicial y la fecha final de períodos mayores a un año, la costumbre comercial es calcular el tiempo aproximado, computando los años de 360 días y los meses de 30 días. y para períodos menores de un año, la costumbre comercial es contar los días calendarios que hay entre dos fechas.

Veamos a continuación cada uno de ellos.

tiempo aproximadoEl número de días comerciales que transcurren, entre dos fechas, puede calcularse considerando los meses de 30 días y años de 360 días; y restando las fechas.

ejemplo

número de días: aproximados

Calcular el número de días aproximados entre el 25 de marzo y el 15 de octubre del mismo año, utilizando días comerciales y restando las fechas.

solución:

considerando días comercialesEn este caso, consideramos los meses de 30 días y el año de 360 días.

restado las fechasSi queremos restar las fechas, podemos observar que los meses si se pueden restar fácilmente pero no lo días, entonces convertimos los meses y los días de tal forma que se puedan restar. Decimos, 10 meses 15 días equivale a 09 meses 45 días. Recuerde, estamos considerando los meses de 30 días. Una vez convertido se procede a restar la fechas:

Mes Días

MarzoAbrilMayoJunioJulioAgostoSetiembreOctubre

5 (30 - 25) 30 30 30 30 30 30 15

total 200


unidad i

28

De esto, 6 meses 20 días, equivale a (=6*30)+20 días) = 200 días.

tiempo exactoEl número de días naturales que transcurren entre dos fechas, sin contar una de las dos, puede calcularse con la tabla de fechas siguiente:

Mes Día

1003

1525

Mes Día

090306

452520

Día ene feb Mar abr May Jun Jul ago sep oct nov Dic Día

1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 27.4 305 335 1

2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 27.5 306 336 2

3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 27.6 307. 337. 3

4 4 35 63 94 124 155 185 216 247. 27.7. 308 338 4

5 5 36 64 95 125 156 186 217. 248 27.8 309 339 5

6 6 37. 65 96 126 157. 187. 218 249 27.9 310 340 6

7 7. 38 66 97. 127. 158 188 219 250 280 311 341 7

8 8 39 67. 98 128 159 189 220 251 281 312 342 8

9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 9

10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 10

11 11 42 7.0 101 131 162 192 223 254 284 315 345 11

12 12 43 7.1 102 132 163 193 224 255 285 316 346 12

13 13 44 7.2 103 133 164 194 225 256 286 317. 347. 13

14 14 45 7.3 104 134 165 195 226 257. 287. 318 348 14

15 15 46 7.4 105 135 166 196 227. 258 288 319 349 15

16 16 47. 7.5 106 136 167. 197. 228 259 289 320 350 16

17 17. 48 7.6 107. 137. 168 198 229 260 290 321 351 17

18 18 49 7.7. 108 138 169 199 230 261 291 322 352 18

19 19 50 7.8 109 139 17.0 200 231 262 292 323 353 19

20 20 51 7.9 110 140 17.1 201 232 263 293 324 354 20

21 21 52 80 111 141 17.2 202 233 264 294 325 355 21

22 22 53 81 112 142 17.3 203 234 265 295 326 356 22

23 23 54 82 113 143 17.4 204 235 266 296 327. 357. 23

24 24 55 83 114 144 17.5 205 236 267. 297. 328 358 24

25 25 56 84 115 145 17.6 206 237. 268 298 329 359 25

26 26 57. 85 116 146 17.7. 207. 238 269 299 330 360 26

27 27. 58 86 117. 147. 17.8 208 239 27.0 300 331 361 27

28 28 59 87. 118 148 17.9 209 240 27.1 301 332 362 28

29 29 88 119 149 180 210 241 27.2 302 333 363 29

30 30 89 120 150 181 211 242 27.3 303 334 364 30

31 31 90 151 212 243 304 365 31

cálculo financiero

P R O E S A D

29

Mes Días

MarzoAbrilMayoJunioJulioAgostoSetiembreOctubre

6 (31 - 25)30313031313015

total 204

Mes Días

15/Octubre25/Marzo

28884

Diferencia 204

Para años bisiestos, febrero tiene 29 días y el número de cada día a partir del 1 de marzo, es uno más que el número dado en la tabla.

ejemplo

número de días: exactos

Calcular el número de días naturales entre el 25 de marzo y el 15 de octubre del mismo año, utilizando días de cada mes y la tabla de fechas.

solución:

utilizando los días de cada mesEn este caso, consideramos los meses de acuerdo a los números de días que le corresponden.

utilizando las tablas de fechasEn este caso, la solución es mucho más sencilla, simplemente nos ubicamos en la tabla de fecha y buscamos las fechas del problema. Encontramos en ella que para el 15 de octubre la tabla muestra 288 días y para el 25 de marzo 84 días. Se procede entonces a restar ambas fechas.

Se puede observar que en ambos casos el resultado es el mismo. Entre el 15 de marzo y el 15 de octubre hay 204 días exactos.

7. HoriZontes Y suBHoriZontes teMPorales

El horizonte temporal de una cuenta es el intervalo de tiempo que existe desde que se abre la cuenta hasta que se cierra; su plazo se simboliza con la letra n. n

Apertura de la cuenta Cierre de la cuenta


unidad i

30

Un subhorizonte temporal es un intervalo de tiempo dentro del horizonte temporal de la cuenta. Cuando el horizonte temporal se divide en subhorizontes temporales uniformes, su plazo se simboliza con la letra h. por ejemplo, en un préstamo que debe amortizarse en el plazo de 120 días, con cuotas cada 30 días, el horizonte temporal puede dividirse en cuatro subhorizontes uniformes; entonces se tiene: n = 120 días y h = 30 días.

n = 120 días 0 h 30 h 60 h 90 h 120 =30 =30 =30 =30

8. MétoDos De afectación al interés Y al PrinciPal cuanDo se reDuce el Monto

Cuando una deuda se amortiza con un pago, el monto de la misma se reduce en tal cantidad, pero los importes de sus componentes (interés y capital) pueden reducirse de acuerdo con diversos métodos.

Por ejemplo, si a las 9:00 a.m. del día de hoy tengo una deuda por $660, compuesto de $600 de capital y $60 de interés, y durante el transcurso del día y antes de su término se realiza un pago de $300, entonces el monto se reducirá a $360 ($660 – $300), ¿a qué importes se reducen el interés y el principal?

La respuesta a esta pregunta depende del método de afectación al interés y al principal cuando se reduce el monto por elegir: dos de los métodos más usados son los siguientes:

8.1. PPli (Primero Principal luego interés)

Si el importe del pago es menor o igual al principal al inicio del día, se aplica por completo para reducirlo; de lo contrario, se cancela por completo el principal y la diferencia rebaja el interés. Este método se usa en interés simple. En el ejemplo dado, si se usa el método PPLI, el pago de $300 se aplica por completo para rebajar el principal.

al inicio del día antes del término del día

Monto Pago Monto

$660 $300 $360

Principal interés Principal interés Principal interés

600 60 ? ? ? ?


Monto Pago Monto

$660 $300 $360


600 60 300 0 300 0

cálculo financiero

P R O E S A D

31


Monto Pago Monto

$660 $300 $360


600 60 300 60 300 0

8.2. PilP (Primero interés luego Principal)

Si el importe del pago es menor o igual al principal al inicio del día, se aplica por completo para reducirlo; de lo contrario, se cancela por completo el interés y la diferencia rebaja el principal. Este método se usa en interés compuesto. En el ejemplo dado, si se usa el método PILP, el pago se aplica a $60 al interés y $240 al principal.

Cálculo Financiero

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