Transição Complexa do Cálculo

Escriba aquí modalidad: Comunicación o Taller XIV CIAEM-IACME, Chiapas, México, 2015.

Elementos de transição e elementos de ruptura no contexto da

Transição Complexa do Cálculo - TCC Francisco Regis Vieira Alves – [email protected]

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Estado do Ceará

Resumo

Nesta comunicação científica, trazemos uma análise e discussão de natureza

teórica à respeito do processo de Transição Complexa do Cálculo – TCC. Assim,

a partir da discriminação de certos elementos de ordem histórica,

epistemológica e metodológica, assinalamos e descrevemos os elementos de

transição e os elementos de ruptura, relativamente a um corpus teórico-formal

chamado de Análise Complexa. Evidenciaremos que os primeiros podem atuar

positivamente no processo de ensino/aprendizagem que não desconsidera a

tecnología atual. Por outro lado, um ensino que torna hegemônico um

tratamento formal e estruturante dos conceitos tende a fortalecer os elementos

de ruptura que constituem obstáculos ao entendimento dos estudantes.

Palabras chave: Ensino, Análise Complexa, Tecnologia, Transição Complexa.

Esta comunicação busca indicar elementos atinentes ao contexto da Transição Complexa

do Cálculo - TCC. De um ponto de vista simplista, passamos da variável real para a variável

complexa. Do ponto de vista dimensional, saimos de um espaço vetorial unidimensional para um

outro espaço vetorial, com dimensão dois. Quando imprimos uma análise precipitada, no

contexto do ensino acadêmico, costumamos enfatizar certas diferenças notacionais, quando

tomamos, por exemplo, a mudança de variáveis indicada por 0x x i z x iy . Não

obstante, outros fatores podem ser extraidos, com origem nas mudanças conceituais originadas

num corpus teórico característico da Análise Complexa – AC.

Desse modo, a partir de uma preocupação com o ensino e a aprendizagem, assinalamos os

elementos de transição e os elementos de ruptura no contexto do TCC. Os primeiros podem

atuar positivamente no que concerne tanto ao ensino, como na aprendizagem, todavía, os

elementos de ruptura constituem fatores, elementos, aspectos de natureza variada, que

desempenham um papel complicador e que, até o momento, ainda não receberam a atenção

merecida. Ademais, indicamos determinas possibilidades de explorarmos a tecnología, no

mailto:[email protected]

Escriba aquí el título de comunicación o taller


2

sentido de evidenciar/distinguir/compreender o papel dessas duas categorias de fatores.

Considerações de ordem histórica e epistemológica

Do ponto de vista histórico, o que hoje chamamos de Análise Complexa na academia,

apresenta seus rudimentos em 1545, com abordagem de Cardano. Conhecemos bem a história

envolvendo o trato pouco preciso com entidades conceituais simbolizadas por 2 21 . Por

outro lado, Needham (2000, p. 2) acrescenta que Lebniz, em 1702, descreveu o símbolo i como

sendo a raíz quadrada de 1 como algo que beirava a existência e a não existencia.

Até o ano de 1770, matemáticos como Euler, grafaram o seguinte resultado 2 3 6

(Bottazzini, 1976, p. 325). Dessa maneira, a questão relativa ao significado de um número

complexo permaneceu, por muito tempo, incomodando os matemáticos da época. Um pouco

mais tarde, “no século XVIII, Wessel , Argand e Gauss reconheceram que um número complexo

forneceria uma representação simples, concreta como pontos (ou vetores) no plano” (Needham

2000, p. 2). Naturalmente, passaram a se preocupar em como efetuar/descrever operações sobre

tais entidades conceituais. Nesse sentido, na figura 1, divisamos operações ordinariamente

exploradas pelos autores de livros (Krantz, 2008) no contexto escolar e universitário.

Figura 1. O problema da interpretação vetorial para os números complexo (Needham, 2000, p. 4)

Needham (2000, p. 3) observa, todavía, que a publicação da interpretação geométrica dos

complexos debido a Wessel e Argand não foi publicada, todavía, a grande reputação de Gauss

assegurou sua disseminação e aceitação dos complexos como pontos no plano (Edwards, 1979,

p. 149). Todavia, menos importante, ocorre que os detalhes desta interpretação (pelo menos em

parte), foi devido ao fato de que agora existe um modo de pensar e fazer sentido dos números.

Nesse parágrafos preliminares indicamos rudimentos bem primitivos do que conhecemos

hodiernamente por Análise Complexa. Com efeito, a mesma constitui área de investigação em

Matemática Pura. Por outro lado, em nossa abordagem, restringir-nos-emos ao contexto de um

curso de graduação em Matemática no Brasil, quer seja uma licenciatura ou um bacharelado.

E, nos compêndios estudados no locus acadêmico, registramos o elevado grau de abstração

e trato estrutural empregado num corpus teórico denso. Com efeito, encontramos certas

recíprocas de teoremas que envolvem argumentos matemáticos sofisticados (Goursat, 1899),

como, por exemplo, o teorema de Loohman Mencof (Freitas, 2004, p. 23) que, a partir da

existência e continuidade das equações de Cauchy-Riemann, verificamos a analiticidade de uma

função na variável complexa. Na próxima seção, indicaremos as mudanças ocorridas quando

passamos da variável real para a variável complexa. Evidenciaremos que a visualização pode

atuar como um componente auxiliar, no sentido de perceber/discriminar/compreender as



3

inúmeras diferenças conceituais.

Transição Complexa do Cálculo - TCC

Com origem em um olhar pouco descuidado, quando nos atemos ao papel desempenhado

por simbologias do tipo: 0

( )x xLim f x L , 0

00

0

( ) ( )'( ) x x

f x f xf x Lim

x x

, ( )

b

af x dx e as

comparamos com outras do tipo: 0

(z)z zLim f L , 0

00

0

(z) (z )'(z ) z z

f ff Lim

z z

, (z)

b

af dz

poderiamos depreender que, as diferenças são poucas. De modo perceptível, substituimos

simplesmente o registro ‘x’ pelo registro ‘z’. E, de um ponto de vista global, designamos há

pouco os processos matemáticos de limite de função, derivação e integração.

Não obstante, todo um cuidado é necessário no contexto da transição da variável real para

a variável complexa. Com efeito, as mudanças topológicas e métricas são consideráveis, em

decorrência também do aumento dimensional (Alves, 2013c). As mudanças notacionais também

precisam ser assinaladas. Por outro lado, ao passo que alguns procedimentos analíticos parecem

ser os mesmos, o resultado e o sentido das operações obtidas são sensivelmente diferentes.

Identificamos mudanças conceituais perceptíveis, por exemplo, quando empregamos um

expediente apoiado na visualização. Por exemplo, na figura 1, observar o estudo dos gráficos de

funções na variável complexo. Em termos de conjuntos, que designamos de modo standard por 4( , ( )) ( , ,Re( ( ), Im( ( )))z f z x y f x iy f x iy IR . Notamos que, empregamos a identificação do

conjunto 2IR com o plano complexo. Ora, o que divisamos na figura 1 não se trata do gráfico de

uma função na variável complexa e, sim, o estudo de sua norma ou sua parte real ou imaginária.

Figura 2. Visualização de funções na variável complexa de acordo com Needham (2000)

Reparemos, ainda os seguintes conjuntos 3(x iy,Re( )) ( , ,Re(f(x, y))z x y IR e 3( , ( )) ( , ,Re( ( ), Im( ( )))z f z x y f x iy f x iy IR . Dai, podemos explorar esta interpretação

para significar, do ponto de vista gráfico-geométrico, duas superficies descritar pela parte real e

pela parte imaginária, dada a impossibilidade de visualizar o espaço 4IR . Na figura 2, Needham

(2000, p. 245) analisa o comportamento, em separado, da parte real e imaginária de uma função

na variável complexa. Logo em seguida, na figura 3, ao lado esquerdo, Needham (2000, p. 10)

comenta a interpretação geométrica da fórmula de Leonhard Euler, concebida em 1740.

Por outro lado, na figura 3, ao discutir elementos relacionados com a

convergencia/divergencia de séries de pontências (ao lado direito), Needham (2000, p. 66),



4

emprega uma terminología metafórica para significar a noção de singularidades. Por tal

expediente, ao lado direito, com arrimo na perspectiva deste autor, visualizamos dois “vulcões”

correspondentes a duas singularidades de funções na variável complexa.

Figura 3. Visualização de funções na variável complexa de acordo com Needham (2000)

Quando restringimos nosso olhar apenas ao algoritmo-procedural, registramos muitas

regras e formulações que podem sugerir a pouca ou quase nenhuma mudança conceitual. Por

exemplo, quando buscamos derivar a seguinte função

102

( )1

zh z

z

devemos encontrar que

2 18

11

10( 2 ) z'( )

( 1)

z zh z

z

o que se assemelha bastante ao resultado restrito a variável real. Ou ainda,

quando tencionamos avaliar o seguinte limite 2

0 2z

tg zLim

z , que pode ser caracterizado pelo

seguinte procedimento: 2 2

0 0 02 3

2 ( ) sec ( ) sen( ) 1 11 1

2 cos ( ) 1z z z

tg z tg z z zLim Lim Lim

z z z z

.

Contudo, existem muitos elementos desconsiderados nas estratégias analíticas acima,

sobretudo, quando nos atemos aos próprios processos matemáticos formais envolvidos. De fato,

empregamos a noção de limite e derivação. Do ponto de vista topológico, a passagem de um

limite na variável real é bem mais simples do que a passagem de um limite na variável complexa.

Ademais, enquanto que na variável real, acostumamos os recém chegados na universidade, a

ideia de derivabilidade como a possibilidade de descrever uma reta tangente que, realiza uma

aproximação de primeira ordem, na vizinhança de um ponto, já, no caso da variável complexa,

aproximamos que ou quais objetos? Imersos no espaço 3IR ou

4IR ?

Ora, seguindo um raciocínio semelhante ao conduzido por Needham (2000), podemos

imaginar suas partes real e imaginária como superficies e, as funções 2Re( ( , )), Im(f(x, y)) : IRf x y IR definem duas superficies no espaço

3IR e, uma boa qualidade

visual consiste em podermos perceber/identificar a existencia de dois planos tangentes

correspondentes ao ponto. Sendo assim, podemos instigar a produção de sentenças

proposicionais (conjecturas), com origem em um estabelecimento visual dos objetos.

Por exemplo, vamos considerar a seguinte função polinomial



5

3(z) z 1 Re(f) Im(f)f z e o ponto (1 i) 0 3f i ou ainda, empregamos a identificação

(1,1) (0,3)f . Assim, com origem nas expressões 3 2Re(f(x, y)) x 3 1xy x e 2 3Im(f(x, y)) 3x y y y . Vamos tomar, pois, as expressões: Re (f(1,1)) 1x e Re (f(1,1)) 6y .

Em seguida, escrevemos a equação do plano tangente à sua parte real, indicado por

1 ( 1) 6 (y 1) 1 (z 0) 0 x 1 6 y 6 z 0 z x 6 y 5x . Com o mesmo

raciocinio, determinaremos um outro plano, correspondentemente à parte imaginária, que passa

pelo ponto (1,1,3) . Agora, avaliamos Im (f(1,1)) 6x e Im (f(1,1)) 1y e, em seguida, teremos

a condição 6 ( 1) 1 (y 1) 1 (z 3) 0 6 2 0x x y z .

Na figura abaixo, com recurso no software CAS Maple, visualizamos dois planos tangentes

que indicamos há pouco por z x 6 y 5 e 6 2 0x y z , que passam em dois pontos

respectivos sobre cada superfície. Assim, podemos conjecturar a diferenciabilidade de cada

função correspondentes às partes real e imaginárias da função 3(z) z 1f z (fato necessário

para a diferenciabilidade complexa). Ademais, assinalamos que alguns dos procedimentos

analíticos empregados no parágrafo anterior são semelhantes, na condição em que identificamos

o 2IR com o plano complexo, ao que empregamos no Cálculo em várias variáveis reais. Quando

exploramos procedimentos como esses, readaptamos regras e algoritmos estudados em contextos

de ensino já vistos no início de estudos acadêmicos, em um novo universo conceitual.

Figura 4. Visualização de dois planos tangentes às superficies correspondentes a parte real e a parte

imaginária da função na variável complexa (elaboração nossa) com recurso so CAS Maple

Na próxima seção, aprofundaremos uma sistemática de perspectiva e análise que tende a

envidar esforços no sentido de apontar elementos que se mostram recorrentes e invariantes, não

importando o ambiente conceitual, bem como outros elementos que sofrem mudanças e, até



6

mesmo podem ser negados, no que concerne à sua manifestação, na condição em que

consideramos a mudança dimensional e a mudança do sistema de representação semiótica.

Elementos de transição e ruptura

Nessa seção, assinalaremos uma perspectiva de análise semelhante a um olhar que

desenvolvemos no contexto da Transição Interna do Cálculo – TINC (Alves, 2011). Nesse

primeiro contexto, temos acentuado que no periodo que envolve o primeiro ano de estudos

académicos no Brasil, até, aproximadamente, o segundo e terceiro ano, os estudantes vivenciam

mudanças radicais, quando submetidos ao ensino sistematizado de certas teorías formais.

Em nossos trabalhos (Alves, 2014a; 2014b; 2014c; 2012), temos nos referido as

modificações impostas ao estudante quando consideramos a seguinte mudança dimensional nIR IR , com 2,3,4n . Nossa escolha é condicionada tendo em vista as nossas intenções

didático-metodológicas que visam acentuar a visualização como componente cognitivo

facilitador do entendimento das modificações e significações atreladas a cada conceito.

Mas, no caso do que chamamos de Transição Complexa do Cálculo – TCC e que, em

termos de variáveis, indicamos 0x x i z x iy . Resumidamente, assinalamos certos

elementos de ordem epistemológica: (i) mudanças no sistema representacional semiótico no

contexto do TCC; (ii) resultados que podem ser generalizados tendo em vista a mudança

dimensional; (iii) resultados que não podem ser generalizados tendo em vista a mudança

dimensional; (iv) interpretações geométricas semelhantes no contexto da mudança

0x x i z x iy ; (v) interpretações geométricas não semelhantes no contexto da mudança

0x x i z x iy ; (vi) interpretações topológicas semelhantes no contexto da mudança

0x x i z x iy ; (vii) interpretações topológicas não semelhantes no contexto da mudança

0x x i z x iy ; (viii) regras operatórias de inferencias semelhantes na variável real e na

variável complexa; (ix) regras operatórias de inferencias não semelhantes na variável real e na

variável complexa; (x) teoremas válidos em um contexto e não válidos em outro contexto.

Ora, na extensa lista acima, grosso modo, indicamos elementos de ordem lógica e

epistemológica que apresentam certa invariancia, a pesar de qualquer mudança ou modificação.

Nao obstante, ocorrem também elementos que se modificam, com origem na elevação

dimensional. Os primeiros temos chamado de elementos de transição, enquanto que, a segunda

classe, foi nomeada por nós como elementos de ruptura.

Com origem nesta classificação, assinalaremos agora determinados fatores de ordem

metodológica, psicológica, axiológica e filosófica que são, na verdade, uma consequência dos

elementos assinalados acima. Nossos comentarios serão fundamentados em alguns exemplos

particulares. Por exemplo, do ponto de vista algorítmico, empregamos numa seção passada que

0

sen( )1 1 0z

zLim i

z , o que em muito se assemelha ao caso da variável real

0

sen(x)1xLim

x . Não obstante, lidamos, do ponto de vista gráfico-geométrico, com funções

completamente diferentes. Por outro lado, na figura 6, visualizamos uma superficie (sem

“vulcões”) correspondente à parte sen(x, y)

Re( )x iy

indicando o valor do limite como sendo 1.



7

E, quando visualizamos a parte sen(x, y)

Im( )x iy

, depreendemos que ( , ) (0,0)sen(x, y)

Im( ) 0x y

x iy

. Na

figura 5 exibimos as expressões analíticas delas obtidas com o CAS Maple.

Figura 5. Obtenção das partes real e imaginária da função na variável complexa com o CAS Maple

Figura 6. Visualização das superficies “suaves” correspondentes às partes real e imaginária e a

interpretação do limite na variável complexa e do comportamento do limite (elaboração nossa).

Do ponto de vista operacional ainda, vamos desenvolver uma análise do

comportamento da função 4

1

( )0 se z=0

zef z

. Com auxílio do CAS Maple, obtemos:



8

4 2 2 4 3 3

2 2 2 24 2 2 4 3 3 4 2 2 4 3 3

4

4 2 2 4

2 24 2 2 4 3 3

6 4 4

1 6 4 4 6 4 4

6

3 3 36 4 4

2 24 2 2 4 3 3

4 4 4cos

6 4 4

x x y y x y xyi

x x y y x y xy x x y y x y xyz

x x y y

x x y y x y xy

e e e

x y xy x ye isen

x x y y x y xy

3

2 24 2 2 4 3 3

4

6 4 4

xy

x x y y x y xy

Por outro lado, observamos que 44

11

( , ) ( ,0) ( ,0)xzf x y e f x e u x

e

41

(0, ) (0, ) yf y v y e

. Dai, vamos analisar as condições de Cauchy-Riemann na origem, do

seguinte modo: 4

1

0 0 0

(0 ,0) (0,0) ( ,0)0,0 lim lim lim 0

x

h h h

u u h u u h e

x h h h

. E. de

modo semelhante, temos a derivada parcial indicada por

4

1

0 0 0

(0,0 ) (0,0) (0,h)0,0 lim lim lim 0

h

h h h

u u h u u e

y h h h

. Com isso, depreendemos

que suas derivadas sempre existem no plano complexo e são nulas (Freitas, 2004, p. 17-18). Em

seguida, analisamos a seguinte expressão ( ) (0)

0

f z f

z

. No artigo de Gray & Morris (1978,

p. 247) mencionam o teorema de Looman-Menchof, que envolve a verificação de uma recíproca

de um teorema standard abordados nos compêndios especializados.

Para a verificação final nesse exemplo, tomamos

4 4 44 4

1 1 11

( ) ( ) ( 1)4 (z) e e ei ii r e r e r rz r e f e

. Logo, teremos o seguinte

comportamento 0( ) (0)

0

zf z f

z

. Ora, como isso, concluimos que sua derivada não existe na

origem. Observamos que, com recurso ao software, poderíamos ter buscado avaliar o seguinte

limite

4 2 2 4

2 24 2 2 4 3 3

6 0 0

3 36 0 0 4 4 0

( , ) (0,0) 2 24 2 2 4 3 3

4 0 4 0cos 0

6 0 0 4 0 4 0

x x

x x x y x

x y

x xLim e

x x x x

o que envolvería maiores procedimentos analíticos fastidiosos a serem empregados.

Dada a quantidade de itens elencados no início desta seção, finalizaremos por

comentar alguns deles. No que concerne ao ítem (x), recordamos rápidamente o Teorema do

Valor Médio conhecido no contexto da variável real e, no caso da variável complexa, temos

apenas a desigualdade referente ao mesmo teorema. Ora, no que concerne ao ítem (v), por

exemplo, estamos acostumados a interpretar a derivada de uma função (x)f , na variável real,

como o o quociente formal descrito por '(x)df

fdx

ou ainda '(x)dxdf f . Com origem na

figura 7, acentuamos a interpretação vetorial explorada por Needham (2000, p. 195). Um pouco

mais adiante, o autor emprega o mesmo expediente dinâmico para a significação da derivada no

contexto da variável complexa, que indicamos pelo produto dos vetores '(z)dzf . Dessa maneira,



9

quando adotamos uma mediação que preserva o valor heurístico de interpretação da derivada do

ponto de vista geométrico, assinalamos um elemento de transição atinente a tal processo. Por

outro lado, quando fortalecemos apenas sua descrição formal e estrutural, tendemos a produzir

situações que tendem a proporcionar dificuldades ao entendimento dos aprendizes vinculadas ao

processo matemático de derivação complexa. Assim, teremos um elemento de ruptura no

contexto do TCC, pois, o mesmo, poderá funcionar como um complicador ao entendimento.

Figura 7. Visualização da noção da diferencial e da derivada de uma função na variável real em uma

interpretação vetorial segundo Needham (2000).

Com base na figura 7, depreendemos que, do ponto de vista geométrico, a diferencial

de uma função consiste em tomar o produto formal '(x)dxf de dois vetores no espaço IR . Mas,

nesse caso temos apenas duas possibilidades: '(x) 0f ou '(x) 0f . Assim, o vetor final obtido

é resultado de uma rotação de 0º ou 180º graus. Todavia, no caso da derivada de uma função

(z)f , quando interpretamos o símbolo '(z)dzf , do ponto de vista geométrico, o mesmo pode

ser descrito como a composição de dois movimentos rígidos, a saber, uma rotação seguida por

uma homotetia (Alcides Neto, 1993, p. 245). Needham (2000) fornece um esquema mnemónico

abaixo, no sentido de auxiliar o entendimento quanto às não semelhanças entre o processo

derivação no caso da variável real e no caso da variável complexa (ver figura 8).

Quando estruturamos situações que possam conduzir ao estudante a perceber as

mudanças geométricas da noção de derivada, fortalecemos um elemento de transição, na medida

em que, do ponto de vista intuitivo, quando significamos a figura 8, depreendemos que em

ambos, as derivadas consistem em “girar” e, logo em seguida, “multiplicar” um vetor, embora os

movimentos no caso da variável real sejam de 0º ou 180º. Robinet (1984, p. 3) observa o perigo

das definições que evocam, em certos contextos, uma interpretação do sujeito. O fato é que a

multiplicidade de interpretações em Matemática pode não parecer fortuito e interesante para os

matemáticos, não obstante, para o aprendiz, as significações que podem ser extraidas da figura 8

funcionam no sentido de auxiliar a discriminação do processo de derivação para ambos os casos.

Figura 8. Discriminação da noção de derivação no caso da variável real e no caso da variável complexa

sugerida por Needham (2000, p. 195-196)



10

Johnston & McAllister (2009. p. 544) assinala que o problema do entendimento das

mudanças conceituais envolvendo a derivação de expressões do tipo (z)f mereceu a atenção de

matemáticos como Augustin-Louis Cauchy, Pierre Simon Laplace e Bernhard Riemann. A

atenção maior foi devida aos manuscritos publicados por L. Euler em que o mesmo manifestava

certos insights no que concerne a demonstração de certos fatos que hoje conhecemos como

teoremas clássicos em AC. Desse modo, no que concerne aos itens elencados, podemos esperar

determinados obstáculos epistemológicos que, são superados, na medida em que os modelos

mentais evoluem a alcançam patamares superiores de complexidade e sistematização.

Para concluir, sabemos que uma função :[ , ] [ , ]f a b a b contínua, admite um ponto fixo.

Ou seja, garantimos que existe ( , )c a b de modo que (c) cf (Hairer & Wanner, 2008). Ora,

quando lidamos com funções na variável complexa, observamos que o mesmo teorema continua

válido, todavía, quando aliamos a tecnología, costumamos descrever o “Teorema do Vetor Fixo”,

O apelo geométrico aquí é extraido a partir da construção dinâmica que exibimos com o

GeoGebra abaixo. O aluno poderá explorar as posições possíveis e, além disso, inspecionar o

comportamento de uma homografía do tipo ( )az b

T zcz d

, com , , ,a b c d C e, por fim, divisar

que existem apenas dois vetores (na cor amarela ao lado esquerdo) em que 0 0( ) zT z .

Formalmente, sabemos que toda homografía ou transformação de Möbius possui, no máximo,

dois pontos ou vetores fixos (Arnold, 2008; Tauvel, 2006). Na figura, mostramos alguns

comandos básicos que produzem a dinamicidade desta construção envolvendo homografías.

Figura 9. Visualização do “Teorema do Vetor Fixo" em AC com o GeoGebra (elaboração nossa).

Considerações Finais

Nessa comunicação científica, trazemos elementos de ordem teórica, que buscam



11

indicar/demarcar um contexto ainda pouco considerado e investigado por especialistas no Brasil

(Alves, 2011). Tal mudança é nominada em nossos trabalhos publicados de Transição Complexa

do Cálculo – TCC no Exterior (2014a; 2014c; 2013a; 2013b). Como acentuamos nas seções

passadas, com origem em apenas no caráter notacional ou ainda formal, quando passamos da

variável real para a variável complexa, não registramos nítidamente as modificações, alterações e

as novas habilidades ontológicas cognitivas impostas aos aprendizes na academia.

Ademais, quando nos atemos a figura do professor expert, que atua em nossas

universidades brasileiras, não descuidamos, também, da novas exigencias, no que concerne a

elaboração/estruturação de cenários de aprendizagens que permitam uma mediação diferenciada

dos conceitos em Análise Complexa - AC. Sendo assim, elegemos a tecnología (uso dos

softwares GeoGebra e o CAS Maple), como um elemento que torna exequivel a exploração de

determinados conceitos, teoremas clássicos e propiedades matemáticas, muitas vezes, pouco

reveladas pelo método axiomático formalista (Kline, 1953; Russell,1956).

Por outro lado, em nosso trabalhos, mencionamos elementos que podem atuar como

facilitadores e/ou impulsionadores de um novo aprendizado (Alves, 2012), bem como elementos

que podem atuar como entraves/obstáculos à evolução progressiva do tirocinio dos estudantes

(Alves, 2011). Os primeiros, foram chamados aquí por elementos de ruptura, enquanto que

outros (elementos de transição) desempenham uma função natural de facilitadores/catalisadores

de aprendizagem, na medida em que os sujeitos readaptem seus saberes científicos adquiridos em

etapas universitárias anteriores, quando em contato com a AC. Certamente que tal readaptação

dependerá em maior ou em menor instancia da mediação do professor e do livro adotado.

Nos elementos indicados nas figuras, exploramos os softwares Geogebra e o CAS Maple,

com o intuito de evidenciar a visualização como elemento promotor da concientízação relativa às

mudanças, quando atuamos no contexto da AC. Assinalamos que seu uso permite o

estabelecimento do vinculo metafórico, costumeiramente explorado nos cursos iniciais de

Cálculo Diferencial e Integral. O entrave consiste na não manutenção de ideias metafóricas e

intuitivas introduzidas no primeiro ano universitário (ver figura 4) (Alves, 2012a; 2011).

Alertamos ainda o carater epistemológico complexo de varias noções estudadas em AC e

que possuem raizes nos conteúdos de Análise (Robinet, 1984). Não obstante, quando

priorizamos apenas a ação algorítmica sobre as simbologías padrões deste sistema de

representação, em muitos casos, encobrimos muitos significados e sentidos intrínsecos de cada

conceito matemático. Ora, o ensino acadêmico tem recebido críticas há décadas nesse sentido

(Grenier; Legrand & Richard, 1986). Assim, apontamos que a visualizão e a percepção podem

promover via promissora para uma mediação diferenciada em sala de aula. E, por tal via,

vislumbramos diferentes expedientes de exploração didático-metodologica (Alves, 2013a).

Por fim, assinalamos a importância de discutirmos os objetivos das abordagens de certos

conteúdos reconhecidamente complexo na academia. Ademais, precisamos manter a vigilancia

no que concerne à evolução da tecnología atual e, de que modo a mesma pode atuar

promissoramente no processo de aprendizagem. Há décadas, observamos críticas ao sistema de

ensino acadêmico que torna hegemônico os modelos matemáticos mais avançados e estruturantes

(Ávila, 200 Grenier; Legrand & Richard, 1986). Por outro lado, temos enfatizado em nossos

escritos que situações históricas (Robinet, 1984) envolvendo o nascedouro dos conceitos atuam

positivamente no processo de ensino. Com tal preocupação, a tecnología se apresenta também

como uma poderosa aliada.



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Referencias y bibliografía

Alves, F. R. V. (2014a). Visualizing with dynamic system Geogebra: the Fundamental Theorem of

Algebra - TFA and its applications. GGIJRO - Geogebra International Journal of Romania, 3, 2,

39-50.

Alves, Francisco. R. V. (2014b). Computational Technique for Teaching Mathematics - 2CT M : the

quadratic forms´ case. Geogebra International Journal of Romania, 3, 2, 81-93.

Alves, Francisco. R. V. (2014c). Infinite produts and infinite sums: visualizing with Dynamic System

Geogebra. Geogebra International Journal of Romania, 3, 2, 7-20.

Alves, F. R. V. (2013a). Visualizing in Polar Coordinates with Geogebra. GGIJRO - Geogebra

International Journal of Romania, 2, 1, 21-30.

Alves, F. R. V. (2013b). Exploring L´Hospital Rule with the Geogebra. GGIJRO - Geogebra

International Journal of Romania, 2, 1, 15-20.

Alves, Francisco. R. V. (2013c). Viewing the roots of polynomial functions in complex variable: the use

of Geogebra and the CAS Maple. Acta Didactica Naposcencia. 6, 3, 45-581,

Alves, F. R. V. (2012a). Exploration of topological notions in the transition to Calculus and Real Analysis

with Geogebra. GGIJSP – Geogebra Internacional Journal of São Paulo, 1, CLXV-CLXXIX.

Alves, Francisco R. V. (2012b). INSIGHT: descrição e possibilidades de seu uso no ensino do Cálculo.

Vidya (Santa Maria. Online), 32, 2012. 149-161.

Alves, Francisco. R. V. (2011). Aplicações da Sequência Fedathi na promoção das categorias do

raciocínio intuitivo no Cálculo a Várias Variáveis. Tese (Doutorado em Educação) – Universidade

Federal do Ceará, Fortaleza, 353p.

Arnold, Douglas, N. & Rogness, Jonahtan. (2008). Möbius transformation revealed. AMS. 55, 10. 1226-

1231.

Ávila, Geraldo. (2002). O ensino de Cálculo e da Análise. Matemática Universitária, 33, 83-94.

Bottazzini. U. (1986). The Higher Calculus: a history of Real and Complex Analysis from Euler to

Weierstrass. New York: Springer.

Edwards, C. H. (1979). The Historical development of Calculus. New York: Springer.

Freitas, V. A. (2004). Condições que implicam a analiticidade de uma função (dissertação de mestrado).

Campinas: UNICAMP.

Goursat. E. (1899). Sur la définition générale des fonctions analytique dáprès Cauchy. Acta

Mathematica, 4, 197-200.

Gray, J. D. & Morris, A. S. (1978). When is a function that satisfies the Caychy-Riemann equations

analytic? The American Mathematical Monthly. 85, 4, 246-256.

Grenier, D; Legrand, M & Richard, F. (1986). Une sequence dénseignement sur líntégrale au DEUG a

1ère anne. Cahier de Didactiques de Mathematiques, 9, 1-73.

Johnston, W. & McAllister, A. M. (2009). A transition to Advanced Mathematics. Oxford: Oxford

University Press. ISBN: 978-0-19-531076-4.

Kline. Morris. (1953). Mathematics in the Western Culture. Oxford: Oxford University Press.

Fisher, W. & Lieab, I. (2010). A course in Complex Analysis: from basic results to advanced topics.

Bremen: Vieweg-Teubner.



13

Hairer, E. & Wanner, G. (2008). Analysis by its History. New York: Springer. doi:10.1007/978-0-387-

77036-9.

Krantz, Steven. (2008). Complex variables: a physical approach. New York: Chapman & Hall/CRC.

Lins Neto, Alcides. (1993). Funções de uma variável complexa. Rio de Janeiro: SBM.

Lins Neto, Alcides. (2011). Análise Complexa. Aula Vídeo. Rio de Janeiro.

Needham, Tristan. (2000). Visual Complex Analysis. Oxford: Oxfrod University Press.

Robinet, J. (1984). Histoire de la convergence uniforme. Cahier de Didactiques de Mathematiques, 9, 1-

45.

Russell, Bertrand. (1956). The essay on Foundation of Geometry. New York: Dover Publications.

Tauvel. P. (2006). Analyse Complexe pour la Licence. v. 3, Paris : Dunod

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