SUPERFICIES.

Una superficie está representada por una ecuación en tres variables si las coordenadas en cada punto de la superficie satisfacen la ecuación y si cada punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación pertenece a la superficie.Las superficies las podemos dividir en cilíndricas o cilindros y las superficies cuádricas o simplemente cuádricas .

CILINDROSEn el espacio, la gráfica de una ecuación en 2 de las 3 variables x, y, z, es un cilindro cuyas rectas generatrices son paralelas al eje de la variable que falta. Es decir, el cilindro se extiende paralelo al eje correspondiente a la variable que falta.

X2 + Y2 = a2

Ecuación del cilindro en

el espacio

LOS CILINDROS LOS PODEMOS OBTENER DE ACUERDO A LA CURVA GENERATRIZ QUE LOS ENGENDRE, ALGUNOS EJEMPLOS PUEDEN SER: PARABÓLICOS, ELÍPTICOS O HIPERBÓLICOS, SEGÚN SEAN GENERADOS POR UNA PARÁBOLA, ELIPSE O HIPÉRBOLA; SI SON GENERADOS POR UNA CIRCUNFERENCIA SE LLAMAN CILINDROS RECTOS COMO EL VISTO ANTERIORMENTE.

EJERCICIOSDescribir y representar cada uno delos cilindros:y2 + z2 = 16y2 - x = 8z2 + x = 4x2 + y2 + 2x – 4y = 4

SUPERFICIES CUÁDRICASUna superficie cuádrica es la gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables x, y, z. La forma más general de la ecuación esAx2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0, donde A, B, C, D, E, F, G, H, I y J son constantes. Pero por rotación o traslación de ejes, se puede llevar a alguna de las dos formas estándar Ax2 + By2 + Cz2 + J = 0 o Ax2 + By2 + Iz = 0

LAS SECCIONES CÓNICAS: ELIPSE, PARÁBOLA E HIPÉRBOLA TIENEN SU GENERALIZACIÓN AL ESPACIO TRIDIMENSIONAL EN ELIPSOIDE, PARABOLOIDE E HIPERBOLOIDE, ES DECIR LAS SUPERFICIES CUÁDRICAS SON LAS ANÁLOGAS DE LAS SECCIONES CÓNICAS DEL PLANO PERO EN TRES DIMENSIONES. ES NECESARIO DETERMINAR LAS CURVAS DE INTERSECCIÓN DE LA SUPERFICIE CON LOS PLANOS PARALELOS A LOS PLANOS COORDENADOS ( TRAZAS O SECCIONES TRANSVERSALES) DE LAS SUPERFICIES.

Martha L ara Cobo s

ELIPSOIDES.

ELIPSOIDESGraficar, hallando las respectivas trazas9x2 + y2 + 4z2 = 36

HIPERBOLOIDESHIPERBOLOIDE ELIPTICO DE

UNA HOJASu ecuación es de la forma

Su forma es característica de las grandes torres de refrigeración, debido a que esta forma permite crear estructuras elevadas y resistentes usando armazones rectilíneos.

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HIPERBOLOIDE ELIPTICO DE UNA HOJA

Graficar, hallando las respectivas trazas-16x2 + 9y2 + 36z2 = 144

Martha L ara Cobo s

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS

Su ecuación es de la forma -

- = 1

Su gráfica consta de dos hojas separadas. Sus trazas sobre planos horizontales son elipses y sobre planos verticales son hipérbolas. Su gráfica se muestra en la figura siguiente.

Martha L ara Cobo s

Martha L ara Cobo s

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS

Graficar, hallando las respectivas trazas

36x2 - 16y2 - 9z2 = 144

Martha L ara Cobo s

CONO ELÍPTICO. Su ecuación es de la forma

+ -

= 0

Tiene la particularidad que si P es cualquier punto del cono la recta OP está por completo dentro del cono. Las trazas en los planos xz y yz son rectas que se intersecan en el origen:

= = Y = 0

X = 0

Martha L ara Cobo s

Martha L ara Cobo s

CONO ELÍPTICO.

Graficar, hallando las respectivas trazas

36x2 - 16y2 + 9z2 = 0

Martha L ara Cobo s

PARABOLOÍDE ELÍPTICO

Su ecuación es de la forma

+

=c > 0

Martha L ara Cobo s

Cúpula del Duomo de Florencia

Martha L ara Cobo s

PARABOLOÍDE ELÍPTICO

Graficar, hallando las respectivas trazas

9x2 - 144y + 16z2 = 0

Martha L ara Cobo s

PARABOLOÍDE HIPERBÓLICO

Su ecuación es de la forma

C > 0

-

= Martha L ara Cobo s

Restaurante del Parque Oceanográfico de la Ciudad de las Artes y de las Ciencias de Valencia.

Restaurante los Manantiales, Xochimilco, México

Martha L ara Cobo s

PARABOLOÍDE HIPERBÓLICO

Graficar, hallando las respectivas trazas4x2 - y 2 + 4z = 0

Martha L ara Cobo s