SUPLEMENTO DE CÁLCULO PARA ENGENHARIA - UFSJ

SUPLEMENTO DE CÁLCULO PARA ENGENHARIA

http://ejweir.deviantart.com/art/Newton-vs-Leibniz-48981971

Suplemento de Cálculo para Engenharia

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI

PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL (PET)

“MATERIAIS E INOVAÇÃO TECNOLÓGICA”

SUPLEMENTO DE CÁLCULO PARA ENGENHARIA

Material paradidático de cálculo diferencial e integral I para alunos de engenharia

Apesar de todas as revisões, é inevitável que apareçam alguns erros gramaticais ou de outras naturezas. Pedimos que os erros detectados, bem como possíveis omissões de créditos, sugestões e críticas sejam enviados para o e-mail [email protected] para que assim possamos fazer as devidas correções.

SÃO JOÃO DEL REI - MG

1ª EDIÇÃO – 2012

mailto:[email protected]


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ÍNDICE

APRESENTAÇÃO ............................................................................................................................. 4 ASPECTOS GERAIS DA MATEMÁTICA........................................................................................... 5 CONJUNTOS .................................................................................................................................... 9 CONJUNTOS NUMÉRICOS .............................................................................................................. 9 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS ............................................................................................11 EXPRESSÕES MATEMÁTICAS .......................................................................................................16 FUNÇÕES ........................................................................................................................................18 LIMITES............................................................................................................................................21 DERIVADAS .....................................................................................................................................25 INTEGRAIS ......................................................................................................................................27 ANEXOS...........................................................................................................................................36 BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................................46


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APRESENTAÇÃO

Cálculo I é uma das disciplinas que mais reprovam nas universidades. O Programa de Educação Tutorial (PET) “Materiais e Inovação Tecnológica” da UFSJ já realizava o "aulão" de Cálculo I, e, com base nas dificuldades recorrentes dos alunos, emergiu a ideia de desenvolver um material paradidático com os tópicos principais do cálculo e aplicações, para efeito de motivação e interdisciplinaridade.

O material segue uma ementa enxuta, voltada para a compreensão dos principais conceitos, sem a necessidade de falar de todos os teoremas e seus corolários. Foi desenvolvido através de uma compilação tomando como fonte de pesquisa primária a internet, de modo a mostrar que muito conteúdo de qualidade pode ser extraído de fontes não muito formais de pesquisa. Entretanto, como fonte secundária e embasamento para filtragem da fonte primária, foram consultados livros conceituados de cálculo.

Salienta-se que, pelo viés paradidático, o material não visa substituir os livros tradicionais, mas complementá-los com explicações mais sucintas. Recomenda-se fortemente que os livros indicados pelos professores sejam lidos, bem como a bibliografia recomendada por este material.

Este trabalho não possui fins lucrativos, podendo ser reproduzido total ou parcialmente desde que seja mencionada a fonte, conforme licença Creative Commons.

Os autores agradecem à Universidade Federal de São João del-Rei e ao Programa PET a oportunidade de realizar esse importante trabalho de apoio ao ensino universitário, bem como os professores do Departamento de Matemática (DEMAT), que nos ensinaram o que agora estamos multiplicando.

Rafael Tadeu de Matos Ribeiro (idealizador)

Sobre o PET

O Programa de Educação Tutorial (PET) foi criado para apoiar atividades acadêmicas que integram ensino, pesquisa e extensão. Formado por grupos tutoriais de aprendizagem, o PET propicia aos alunos participantes, sob a orientação de um tutor, a realização de atividades extracurriculares que complementem a formação acadêmica do estudante e atendam às necessidades do próprio curso de graduação. O estudante bolsista e o não bolsista do Programa de Educação Tutorial podem receber certificado após o tempo mínimo de dois anos de participação no programa. Estudante e o professor tutor recebem apoio financeiro de acordo com a Política Nacional de Iniciação Científica.

O grupo PET “Materiais e Inovação Tecnológica” foi fundado em 2010, tem como Tutor Prof. Dr. Antônio Luis Ribeiro Sabariz e atua no curso de Engenharia Mecânica da UFSJ, em toda a universidade e na sociedade, seguindo os pilares do programa PET: ensino, pesquisa e extensão.

Esta obra foi licenciado sob uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial 3.0 Não Adaptada: http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/deed.pt_BR

http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/deed.pt_BR




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ASPECTOS GERAIS DA MATEMÁTICA

MATEMÁTICA

É o estudo de padrões de quantidade, estrutura, mudanças e espaço. Na visão moderna, é a investigação de estruturas abstratas definidas axiomaticamente, usando a lógica formal como estrutura comum.

Matemáticas aplicadas

Consideram as grandezas em determinados corpos ou assuntos.

Matemáticas mistas

Consideram as propriedades da grandeza em certos corpos ou fenômenos particulares, como a Astronomia e a Mecânica.

Matemáticas puras

Estudam as propriedades da grandeza em abstrato, como a Geometria e a Álgebra.

ÁREAS DA MATEMÁTICA

Aritmética

Estuda os números, suas propriedades e as operações que se podem efetuar com eles. Frequentemente utilizadas na vida cotidiana, são quatro as suas operações: adição, multiplicação, subtração e divisão.

Álgebra

É a divisão que utiliza símbolos como x e y, que se referem a quantidades desconhecidas. Na Álgebra simples, os símbolos significam números e, através deles, as quantidades podem ser determinadas.

A Álgebra é muito usada em Física, Química, Economia e mesmo em Psicologia, pois os símbolos podem representar pessoas e a maneira como atuam, tornando possível prever suas ações.

Cálculo (ou Cálculo Infinitesimal)

É uma forma de álgebra que se ocupa de quantidades variáveis, usada em Engenharia e nas Ciências Físicas. Quando, por exemplo, uma espaçonave decola, atinge alta velocidade em pouco tempo; essa velocidade pode ser determinada em qualquer instante, graças ao cálculo.

Geometria

Ocupa-se de linhas, ângulos, figuras e sólidos.

Geometria Plana ou Euclidiana: ensinada nas escolas, é importante para os

engenheiros e navegadores. A Geometria Plana ocupa-se das figuras com duas dimensões, como as circunferências.

Geometria Espacial: refere-se a figuras em três dimensões, como as esferas.

Geometria Analítica: é uma combinação de álgebra e geometria. Os símbolos algébricos são usados para representar linhas, figuras ou sólidos. Engenheiros e arquitetos frequentemente utilizam a Geometria no projeto de pontes e edifícios.

Trigonometria

Trata de ângulos e medidas relacionadas a triângulos.

LÓGICA MATEMÁTICA

Lógica Matemática é o uso da lógica formal para estudar o raciocínio matemático, tendo como objetivo o estudo dos métodos e princípios que permitem distinguir raciocínios válidos de outros não válidos.

PASSOS PARA RESOLVER UMA PROBLEMA MATEMÁTICO COM FACILIDADE

1) Ler o problema com atenção; 2) Verificar quais são os dados e o que é

perguntado no problema; 3) Ler novamente o problema, para

descobrir que operação deve ser feita; 4) Se há mais de uma pergunta,resolver

uma de cada vez; 5) Armar a sentença matemática; 6) Efetuar os cálculos; 7) Escrever a resposta do problema.

A IDEOGRAFIA MATEMÁTICA

A ideografia (ou simbologia) é definida como um conjunto de símbolos ou ideogramas que exprimem diretamente determinadas idéias.

Na matemática, o uso frequente de determinadas operações fez com que fosse necessário a adoção de sinais, de modo a tornar os processos de cálculo mais práticos e rápidos.

Grande parte dos sinais matemáticos designam operações, mas há aqueles que representam características númericas e geométricas, além dos que constituem os algarismos.

NÚMERO

É a idéia de quantidade. O conceito de número na sua forma mais simples é claramente abstrata e intuitiva; entretanto, foi objeto de estudo de diversos pensadores.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Axioma

http://pt.wikipedia.org/wiki/Lógica


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Pitágoras, por exemplo, considerava o número a essência e o princípio de todas as coisas; para Schopenhauer o conceito numérico apresenta-se "como a ciência do tempo puro". Outras definições:

“Número é a relação entre a quantidade e a unidade”

(Newton)

“Número é um composto da unidade”

(Euclides)

“Número é o resultado da medida de uma grandeza”

(Brennes)

“Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração”

(Boutroux)

“Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade”

(Benjamin Constant)

“Número é o movimento acelerado ou retardado”

(Aristóteles)

“Número é a representação da pluralidade”

(Kambly)

“Número é uma coleção de unidades”

(Condorcet)

“Número é a pluralidade medida pela unidade”

(Schuller, Natucci)

“Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie”

(Baltzer)

“Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe”

(Bertrand Russell)

ASSOCIAÇÕES NUMÉRICAS

Quantitativas

Contagem: cada número é associado a um ser. A partir do zero, os números naturais (N) seguem em ordem crescemte até o último ser, ao qual estará associado o número que representa o tatal dos seres.

Medição: os números são utilizados por meio de instrumentos de medida, para medir as dimensões ou propriedades da natureza.

Qualitativas

Enumeração: cada número é associado a um ser, de modo a dar-lhe identidade.

Ordenação: cada número é associado a um ser, de modo a sesignar uma ordem, posição, nível, hierarquia ou importância. Para isso são utilizados os numerais ordinais.

NUMERAL

É a representação escrita do número. Podem vir na forma ideográfica (de símbolos) ou por extenso. Ex.: 5, 1456, quarenta e nove. Existem cinco tipos de numeral:

Cardinal: são aqueles que utilizam os números naturais para a contagem de seres ou objetos, ou até designam a abstração das quantidades: os números em si mesmos. Ex.: 1, dois, 6.

Ordinal: são aqueles que indicam a ordenação ou a sucessão numérica de seres e objetos. Ex.: 1º, quinto .

Multiplicativo: são aqueles que indicam uma quantidade equivalente a uma multiplicação. Ex.: dobro, triplo.

Fracionário: são aqueles que indicam partes, frações, sendo concordantes com os numerais cardinais. Ex.: metade, ¼.

Coletivo: são aqueles que indicam uma quantidade específica de um conjunto de seres ou objetos. Ex.: dúzia, dezena.

ALGARISMO

É cada dígito que compõe um numeral. Ex.: 123

2 é um algarismo

Valor Absoluto: é o valor do algarismo independente de sua posição no numeral.

Valor Relativo ou Posicional: é o valor do algarismo que depende de sua posição no numeral. A essa valoriazação dá-se o nome de Sistema de Posição.

Ex.: 1324

O valor asoluto é 1.

O valor relativo é 1000.

Algarismo significativo

Algarismos signficativos de um número são todos os dígitos contados da esquerda para a direita, a partir do primeiro algarismo diferente de zero até o último algarismo diferente de zero. Ou, se houver vírgula no número, incluindo-se os zeros finais.

Exemplos:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pitágoras

http://pt.wikipedia.org/wiki/Schopenhauer


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0,1: há um algarismo significativo;

10: há um algarismo significativo (1);

1,0 x 10: há dois algarismos significativos;

0,0012: há dois algarismos significativos (1 e 2).

Nas indicações de medidas, os algarismos significativos indicam o grau de certeza ou incerteza. Exemplo: o velocímetro de um carro aponta que ele está entre os 90 km/h e os 91 km/h. Observa-se que está mais próximo de 90. Escreve-se então a medida com três algarismos significativos: 90,2 km/h.

O último algarismo significativo indica uma incerteza em relação à medida. Não se pode escrever 90,20 km/h quando não se sabe se o terceiro algarismo é correto, o que aumenta a dúvida em relação ao quarto algarismo.

Métodos analíticos de representação dos números

Decomposição de um número: consiste na colocação na forma de soma dos valores relativos dos algarismos que compõem o numeral, da esquerda para a direita.

Ex.: 528 → 8

20 500 + 20 + 8

500

Fatoração de um número: consiste na divisão do número pelos menores números inteiros possíveis até reduzi-lo a 1 e na colocação desses divisores na forma de produto.

Ex.: 20 2 10 2 2

. 2

. 5 = 2

2 . 5

5 5 1

NUMERAÇÃO

É o modo como empregamos um mínimo de símbolos e palavras na representação dos números.

Sistema de numeração

É o conjunto de um mínimo de regras para indicarmos os números, ou seja, é um sistema de contagem.

Base de um sistema de numeração

É o conjunto de nomes ou símbolos necessários para representarmos qualquer número. Um número a na base n é representado assim: (a)n. Exemplos: 34 = (34)10 ;

456 = (456)10 ; (10111)2 = (23)10 = 23.

Sistema de numeração decimal

Sistema de números em que uma unidade de ordem vale 10 vezes a unidade de ordem imediatamente anterior. Utiliza somente os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 para escrever todos os números, ou seja, como base para o sistema de numeração. Obedece a dois princípios:

Princípio da Posição Decimal: todo algarismo colocado à esquerda de outro tem um valor 10 vezes maior do que teria se estivesse no lugar desse outro.

Princípio da Posição Geral: todo algarismo colocado à esquerda de outro representa unidades de ordem superior à ordem desse outro.

QUADRO VALOR-LUGAR

3ª CLASSE 2ª CLASSE 1ª CLASSE

MILHÕES MILHARES UNIDADES SIMPLES

9ª

ord.

8ª

ord.

7ª

ord.

6ª

ord.

5ª

ord.

4ª

ord.

3ª

ord.

2ª

ord.

1ª

ord.

cent. dez. unid. cent. dez. unid. cent. dez. unid.

Sistema binário de numeração

Empregam-se somente os algarismos 0 e 1 (base de numeração) e a contagem é feita de 2 em 2.

É um sistema mais econômico, no sentido de quantidade de símbolos diferentes a serem empregados.

Pode-se escrever o número 178 no sistema binário como 178 = 1x128 + 0x64 +1x32 + 1x16 + 0x8 + 0x4 + 1x2 + 0x0 = 10110010, em que escreve-se apenas os dígitos que multiplicam as potências de 2 (2, 4, 8, 32, 64, 128 ...).

Observação: Os computadores empregam o sistema binário, traduzindo o algarismo 1 pela passagem de corrente elétrica (circuito fechado - lâmpada acesa) e o algarismo 0 pela não passagem de corrente elétrica (circuito aberto - lâmpada apagada). A leitura dos números pelo computador é feita de acordo com as "aberturas" e/ou "fechamentos" à passagem de corrente elétrica nos circuitos.

A forma como a arquitetura de um processador foi elaborada faz com que ele se comunique apenas através de “chaves”


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positivas e negativas, assumindo valores 0 e 1. Isso significa que para cada execução o computador realiza milhares de operações apenas usando as “chaves” 0 e 1.

A menor unidade de informação que um computador pode armazenar é esse binômio (0 ou 1), chamado de Código Binário ou Bit (do inglês Binary Digit), que é a linuagem de máquina usada pelos computadores.

A unidade padrão de medida na informática é o Byte (Bynary Term, ou Termo Binário), que é o conjunto de 8 Bits. A um caractere, como uma letra, é associado um Byte.

Para os computadores, representar 256 números binários é suficiente. Por isso, os bytes possuem 8 bits. Basta fazer os cálculos. Como um bit representa dois valores (1 ou 0) e um byte representa 8 bits, basta fazer 2 (do bit) elevado a 8 (do byte) que é igual a 256. A uma metade de um byte, dá-se o nome de Nibble ou Semioctecto.

Utiliza-se a base 2 (possibilidades 0 ou 1) e o expoente 10 para os próximos padrões métricos de dados no computador. Desse modo, as grandezas variam a cada 2

10 ou

1024 bytes.

1 Byte = 8 bits 1 Kilobyte (KB) = 1024 bytes 1 Megabyte (MB) = 1024 kilobytes 1 Gigabyte (GB) = 1024 megabytes 1 Terabyte (TB) = 1024 gigabytes 1 Petabyte (PB) = 1024 terabytes 1 Exabyte (EB) = 1024 petabytes 1 Zettabyte (ZB) = 1024 exabytes 1 Yottabyte (YB) = 1024 zettabytes

Sistema octal de numeração

Emprega-se a contagem de 8 em 8, utilizando somente os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.

Sistema hexadecimal de numeração

Emprega-se a contagem de 16 em 16, utilizando apenas os símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Mudança de base de numeração

Abaixo, um exemplo de mudança de base. O número 43 na base 10 foi convertido para 101011 na base 2. A leitura deve ser feita da direita para a esquerda.

Utiliza-se, também, a notação exponencial para mudar a base de um número. No exemplo o número 109 na base 10 é transformado no número 414 na base 5 pela divisão. Depois, o número 414 na base 5 é transformado no número 109 na base 10 pela notação exponencial.

DESENHO E ESBOÇO MATEMÁTICO

Desenho

Figura ilustrativa que representa uma cena ou paisagem, sendo fiel à realidade, tanto no âmbito geométrico quanto no âmbito morfocromático.

Esboço matemático

Esboço ou esquema que põe em evidência as características matemático-geométricas. Todo esquema é, por definição, uma figura acompanhada de observações. No modelo matemático, as cores são desprezadas e a preocupação é reservada a apontar cálculos, medidas e graduações de ângulos, além de simetrias, paralelismos, perpendicularidades e obliquidades.

PORQUE ESCOLHER UMA PROFISSÃO RELACIONADA COM A MATEMÁTICA

Matemática ensina paciência, disciplina, e a habilidade de resolver problemas passo a passo. Para aqueles com um fundo substancial em matemática, um número ilimitado de oportunidades de carreira estão disponíveis. De acordo com o Jobs Rated Almanac , uma publicação do World Almanac Books of New York, carreiras que exigem um fundo muito forte em matemática


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foram listadas como os cinco "melhores" empregos. Elas foram:

Engenheiro;

Atuário;

Analista de sistemas;

Programador de computadores;

Matemático.

CONJUNTOS

Por definição, um conjunto é a reunião de um ou mais elementos semelhantes.

ELEMENTOS DE UM CONJUNTO

Se um elemento a pertence a um conjunto A, escrevemos

a Є A

INCLUSÃO

Se um conjunto B está contido no conjunto A, isso significa dizer que todos os elementos de B também são elementos de A e denotamos por:

B С A

SUBCONJUNTOS E CONJUNTO VAZIO

Todo conjunto possui um outro conjunto chamado conjunto vazio (denotado por ᴓ) além de outros conjuntos menores, que são chamados de subconjuntos do conjunto original. Esses subconjuntos possuem uma relação de inclusão com o conjunto, ou, na linguagem usual, uma relação de continência.

INTERSEÇÃO

Um conjunto pode ter elementos em comum com outro, sem precisar estar contido nele. À totalidade de elementos que pertencem concomitantemente a dois ou mais conjuntos damos o nome de interseção e denotamos por

A ∩ B

UNIÃO

Tomando os elementos de dois ou mais conjuntos, ao conjunto maior formado damos o nome de união, denotada por

A U B

Se considerarmos a união de todos os subconjuntos de um conjunto, podemos dizer que ela é o próprio conjunto.

SOMA

A soma de dois conjuntos é obtida quando, da união deles, subtrai-se a interseção. Assim:

A + B = A U B – (A ∩ B)

CONJUNTOS NUMÉRICOS

NÚMEROS NATURAIS (N)

Usados nas contagens, nos códigos e nas ordenações (números positivos e o zero).Ex.:0,1,2,3.

NÚMEROS INTEIROS (Z)

Extensão dos números naturais, para que a subtração fosse sempre possível (números positivos e negativos). É todo número resultante da subtração de dois números naturais. Ex: -2,-1,0,1,2.

NÚMEROS RACIONAIS (Q)

Extensão dos números inteiros,para que a divisão também fosse sempre possível,com exceção da divisão por zero, que não se define na Matemática (números que podem ser escritos na forma de fração,com numerador e denominador inteiros). Ex.: 9/4.

NÚMEROS IRRACIONAIS (Ir)

São os números que não podem ser representados na forma de fração. São números infinitos e não-periódicos. Ex.: π (pi) = 3,141592... .

NÚMEROS REAIS (R)

Conjunto numérico que corresponde à união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.

Ex.:0,2,,etc.

Módulo de um número real

É a distância que o número se encontra em relação ao zero. Também é definido como

|r| = √r².

O módulo ou valor absoluto real r,que é representado por |r|,é considerado igual a r se r ≥ 0 e igual a –r se r < 0.Ex.: |2| = 2,|0| = 0 e |-2| = -(-2) = 2.

Propriedades envolvendo módulo

Para todo r є R,temos |r| = |-r|

Para todo x є R,temos |x2| = |x|

2 = x

2 ou √x

2

=|x|.

Para todo x є R e y є R, |x . y| = |x|

. |y|.


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Para todo x є R e y є R, |x+y| ≤ |x| + |y|.

Para todo x є R e y є R, ||x| - |y|| ≤ |x-y|.

|x| = 0 → x = 0

Não existe x є R tal que |x| = a,com a < 0.

|x| = a e a >0 → x = a ou x = -a.

Números opostos ou simétricos

Números inteiros que têm o mesmo módulo (mesma distância em relação ao zero) e sinais diferentes. Ex.: +5 e -5.

Intervalos reais

São subconjuntos dos números reais ou segmentos da reta real.

Intervalo fechado: na reta real,é indicado por um ponto preto (●). Na notação algébrica, é indicada por colchetes ( [ ] ) ou por sinais de ≤,≥ ou =.

Intervalo aberto: na reta real,é indicado por um ponto branco (○). Na notação algébrica,é indicada por parênteses, por colchetes virados ( ] [ ) ou por sinais de <, > ou ≠.

Os números reais estão inclusos em um conjunto maior, que engloba também números imaginários. Trata-se do conjunto dos Números Complexos, que não serão abordados aqui, pois a ideia é trabalhar apenas no conjunto dos reais.

TEORIA DOS CONJUNTOS E DESENVOLVIMENTOS DA ENGENHARIA MODERNA

Teoria de conjuntos nebulosos é tema de livro publicado nos EUA

Acaba de ser lançado nos Estados Unidos pela editora Wiley, em colaboração com o Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), o livro Fuzzy Systems Engineering: Toward Human– Centric Computing, de autoria do professor Fernando Gomide, do Departamento de Engenharia de Computação e Automação Industrial (DCA) da Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação (FEEC) da Unicamp. O professor Witold Pedrycz, da Universidade de Alberta, Canadá, é co-autor do livro, que em suas 526 páginas aborda a teoria de conjuntos nebulosos. A noção de conjuntos nebulosos surgiu para ampliar a teoria e metodologia e solucionar problemas em áreas da engenharia elétrica e de computação relacionadas a sistemas

inteligentes, inteligência artificial, sistemas de processamento de informação e de decisão. Para explicar do que trata a teoria que surgiu em 1965, criada pelo professor Lotfi Zadeh, da Universidade da Califórnia, Berkeley, e que deu origem ao Fuzzy Systems Engineering, o professor Gomide lança mão de analogias. Segundo ele, a questão nasce do debate entre o ser ou não ser cartesiano. Na opinião do docente, as ciências são essencialmente cartesianas – uma coisa ou é branca ou preta, verdadeira ou falsa, e não se contemplam as nuances. A observação mostra que as ocorrências não se dão somente dessa forma – o mundo admite verdades, falsidades, meias verdades, meias falsidades etc. Por exemplo, pela teoria clássicados conjuntos, um copo estará cheio ou vazio, sem toda a gama de possibilidades intermediárias, incluindo o caso de meio cheio ou meio vazio, como um copo com água pela metade. Estas variações, não-contempladas pela teoria clássica dos conjuntos, passaram a ser abordadas com a utilização da teoria dos conjuntos nebulosos, referência à palavra inglesa fuzzy, que sugere a idéia de transição gradual entre o ser e o não ser (a transição de um copo vazio a um copo cheio de água é gradual), pertencer ou não pertencer a um conjunto (conjuntos dos copos cheios e conjunto dos copos vazios) etc. Isso permite, explica o docente, a representação formal de grandezas e conceitos imprecisos e incertos, de pertinência gradual, e abre mão da dicotomia cartesiana. Até recentemente, não se tinha um aparato formal para tratar dessas questões. Essa representação matemática é usada, diz Gomide, em um sistema de computação para modelar e controlar processos, para analisar informação e tomar decisão, ou fazer um robô navegar de forma autônoma utilizando sensores e visão computacional. O pesquisador acrescenta, com certa ironia: “dá respostas precisas para fenômenos imprecisos, por paradoxal que possa parecer”. A respeito da obra, Gomide diz que o livro trata dos princípios básicos da teoria dos conjuntos nebulosos e se estende por alguns estudos de caso feitos por ele e outros pesquisadores. “Vários capítulos transpiram as pesquisas que realizamos e apresentam em primeira mão trabalhos ainda não divulgados em periódicos. Consideramos a obra consistente com o estado da arte”.


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Embora a publicação tenha alvo a engenharia elétrica, computação e áreas correlatas, atende também os interesses de áreas como logística, gestão, transporte, modelagem, controle e otimização de processos industriais, economia e biologia. Modelos econômicos e biológicos se encaixam no contexto de sua abordagem, pois utilizam noções e conceitos relacionando variáveis cujos valores não são necessariamente precisos. Para o autor, com os sistemas nebulosos podem ser criados os chamados modelos linguísticos. Se um sistema tiver seu funcionamento descrito linguisticamente, a descrição pode ser traduzida em algoritmos utilizando a teoria dos conjuntos nebulosos, o que possibilita seu uso computacional. A teoria de conjuntos nebulosos tem importância considerável na sumarização e compactação de informação. Gomide explica: “Ao avaliar o conforto térmico de um ambiente, geralmente, atribuímos a ele sensações como muito frio, frio, agradável, quente, muito quente. Termos linguísticos como ‘agradável’, por exemplo, encapsulam um número grande de valores de temperatura, compactando e sumarizando a informação”. A teoria de conjuntos nebulosos permite, continua o docente, representar termos linguísticos matematicamente através de funções de pertinência, que na realidade são sinônimos de conjuntos nebulosos, e processar conhecimento linguístico. “Com isso, obtemos mecanismos e algoritmos para computar com palavras, variáveis com valores imprecisos e implementar procedimentos de raciocínio aproximado. Obtém-se, assim, maior tratabilidade e robustez na solução de problemas complexos”. O convite – Fernando Gomide lembra que, a partir de meados da década de 90, as atividades com inteligência artificial se intensificaram na FEEC. Desde então, aumentaram as participações em congressos, surgiram oportunidades de desenvolvimento de trabalhos de cooperação com o exterior e adensaram-se as relações com a comunidade internacional. Esse contexto possibilitou que, ao fazer a sugestão da publicação da obra à editora, a comunidade científica internacional lhe associasse também o nome do professor Fernando Gomide e do seu colega canadense Witold Pedrycz, com quem comunga pontos de vistas comuns. Convidados pela editora, os autores apresentaram projeto aprovado por revisores

internacionais, a exemplo do que ocorre com os artigos submetidos a periódicos, e executaram a obra em cerca de dois anos. O professor Gomide entende que o delinear desse caminho envolve muitos atores: os colegas de departamento, da FEEC e da Unicamp como um todo, alunos de graduação e pós-graduação, a Fapesp, o CNPq, além da família e amigos. Em relação à obra, o autor enfatiza: “Hoje, até onde vai meu conhecimento, não existe algo no gênero, porque os livros em circulação estão um pouco defasados. Estamos próximos do estado de arte e talvez nos mantenhamos assim por uns dois anos, pois previsões para além são difíceis”, constata. A abordagem está voltada para a desmistificação, apresenta muitos exemplos que ajudam a compreensão, sempre que possível introduz algoritmos para mostrar a aplicação prática, foi organizada de forma distinta do usual e traz uma bibliografia bastante atualizada. Ele considera que o aspecto didático é fundamental em uma obra produzida por um professor: “É um livro escrito para alunos, profissionais e professores que querem estudar, aprender o assunto e aplicar os conceitos e idéias nas respectivas áreas de interesse. Contém itens com abordagens mais avançadas para estimular a pesquisa e o desenvolvimento, mas na essência trata-se de um livro-texto”, afirma. Projetada para utilização nos últimos anos de cursos de graduação e no inicio da pós graduação em engenharia e áreas correlatas, a obra exige conhecimentos básicos de cálculo e álgebra linear inerentes a esses cursos e áreas afins.

Fonte: Jornal da Unicamp, 1º a 7 de outubro de 2007. Disponível em: < http://www.unicamp.br/unicamp/unicamp_hoje/jornalPDF/ju374pag02.pdf>.

OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS

ALGORITMO

Processo de cálculo, ou de resolução de um grupo de problemas semelhantes, em que se estipulam, com generalidade e sem restrições, regras formais para a obtenção do resultado, ou da solução do problema. Ex.: as operações da matemática.

ADIÇÃO

http://www.unicamp.br/unicamp/unicamp_hoje/jornalPDF/ju374pag02.pdf

http://www.unicamp.br/unicamp/unicamp_hoje/jornalPDF/ju374pag02.pdf


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Consiste no acrescentar, no unir. É representada pelo sinal de mais (+).

Parcela

É cada termo de uma adição.

Soma ou total

É o resultado da adição.

O elemento neutro

É o zero (0), pois qualquer número adicionado a zero dá como resultado o próprio número.Ex.: 0 + 2 = 2; 2 + 0 = 2.

Propriedades da adição

Comutativa: a + b = b + a

Associativa: (a + b) + c = a + (b + c)

SUBTRAÇÃO

Consiste no separar, no retirar. É representada pelo sinal de menos (-).

Minuendo

É a quantidade inicial a ser fragmentada.

Subtraendo

É a quantidade retirada.

Resto ou diferença

É o resultado da subtração. Em uma operação de adições e subtrações, ao resultado admite-se o nome de total.

O resultado de uma subtração em que de um número se subtrai 0 é o próprio número e o resultado de uma operação em que se subtrai um número de 0 é esse número com o sinal trocado. Ex.:2 – 0 = 2, 0 – 2 = -2.

Princípios da subtração

Subtrativo: consiste em descobrir o que sobrou de um conjunto após a retirada de parte dele.

Comparativo: consiste em comparar dois conjuntos com a finalidade de descobrir o que um tem que o outro não tem.

Aditivo: consiste em determinar o complemento de um conjunto para alcançar uma certa quantidade.

MULTIPLICAÇÃO

Consiste na reprodução de determinada quantidade igual a um número de vezes determinado. É representada pelo sinal de vezes (x ou

.).

Fator

Número participante de uma multiplicação. Pode ser:

Multiplicando: número que será multiplicado por algum outro.

Multiplicador: número que multiplicará algum outro.

Produto

É o resultado da multiplicação.

Elemento neutro

É o número um (1), pois qualquer número multiplicado por 1 dá como resultado ele mesmo.

Fator neutralizador, anulador ou absorvente

É o número zero (0), pois anula todas as multiplicações de que participa.

Ex.: 6 . 0 = 0.

Propriedades da multiplicação

Comutativa: a . b + b

. a

Distributiva em relação à adição:

a . (b + c) = a

. b + a

. c

Distributiva em relação à subtração:

a . (b – c) = a

. b – a

. c (com b ≥ c)

DIVISÃO

Consiste no fracionamento, no repartilhamento. É representada pelo sinal de dividido (: ou / ).

Dividendo

Número que será dividido por algum outro.

Divisor

Número que dividirá algum outro, ou número pelo qual algum outro pode ser dividido.

Divisor próprio

Nome dado a qualquer um dos divisores de um número, desde que não seja o próprio número, ou seja, são divisores que não participam de divisões de quociente (resultado) igual a 1.

Quociente ou cociente

Resultado da divisão.

Resto

Quantidade restante em divisões inteiras não-exatas. O resto só é definido


13

quando se pretende obter um quociente inteiro.

dividendo = (divisor . quociente) + resto

Obs.: O resto é sempre menor que o divisor.

A indefinição e a indeterminação da divisão por zero

É impossível escolher (definir) um número que possa ser atribuído como valor de 1/0, por exemplo.

Como os quocientes 1/0,1 = 10 , 1/0,01 = 100 , 1/0,001 = 1000, etc. vão crescendo sem limite, poderíamos pensar num novo objeto matemático, o infinito (∞), e que representaria uma quantidade imensamente grande, definido como sendo o resultado de 1/0. Ou seja: 1/0 = infinito. De modo que 1/0, embora 1/0 seja indefinida no conjunto dos números, ficaria definido através do objeto não-numérico infinito. No entanto:

O infinito não é um número;

Não será possível realizar operações matemáticas com o infinito de acordo com as regras aritméticas.

Ex.: b . a/b = a, de modo que teríamos

de aceitar a validade de: 0 . 1 / 0 = 1, ou seja,

0 . ∞ = 1.

Essa última igualdade produz contradições, pois 1 = 0

. ∞ = 0

. (2

. ∞ ) = 2

.(0

. ∞) = 2

. 1 = 2.

Ou seja, acabaríamos chegando ao resultado absurdo: 1 = 2.

Portanto, a divisão de qualquer número diferente de 0 por 0 é indefinida e a divisão de 0 por 0 é indeterminada. O resultado da divisão de 0 por qualquer número diferente de zero dá 0.

Critérios de divisibilidade (com resultado inteiro)

Divisibilidade por dois: um número natural é divisível por 2,quando o algarismo das unidades for 0,2,4,6 ou 8. Ex.: 22. O número natural que é divisível por 2 é chamado de número par, caso contrário é denominado ímpar.

Divisibilidade por três: um número natural é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos for divisível por 3. Ex.: 15 (1 + 5 = 6).

Divisibilidade por quatro: um número natural é divisível por 4 quando o número

formado pelos seus dois últimos algarismos à direita for divisível por 4. Ex. 348.

Divisibilidade por cinco: um número natural é divisível por 5 quando o algarismo das unidades for 0 ou 5.Ex.:60.

Números primos (em Z)

São os números naturais que dividem apenas por 1 e por eles mesmos. Ex.:2, 3,5, 7, 11. O número 1 não é primo, pois ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. 2 é o único número primo par.

Atualmente o maior número primo encontrado é 2

32.582.657 − 1. Foi descoberto

pelo time de colaboradores formado pelos doutores Curtis Cooper e Steven Boone no dia 4 de setembro de 2006, num projeto de computação distribuida pela Internet, que usa o tempo ocioso do processador de computadores pessoais, procurando por números primos específicos, do tipo 2

p − 1,

em que p é primo, chamados primos de Mersenne. Este último primo encontrado é o primo de Mersenne de número 44 e tem 9.808.358 dígitos.

Para saber se um número é primo deve-se dividi-lo por 2,3,5,7,11 etc. até obter uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Ex.: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11). Portanto 113 é um número primo.

Números primos entre si

Dois números inteiros são ditos primos entre si quando não existir um divisor maior do que 1 que divida ambos. O máximo divisor comum dos primos entre si é igual a 1. Ex.: 12 e 13 são primos entre si; porém, 12 e 14 não o são porque ambos são divísiveis por 2.

Um conjunto de números inteiros é chamado de mutuamente primo se não existir um inteiro que divida todos os elementos. Por exemplo, os inteiros 30, 42, 70 e 105 são mutuamente primos. Entretanto, aos pares, não são primos entre si.

Esta definição é transferida para outras áreas. Por exemplo, dois polinômios com coeficientes inteiros são primos entre si se não houver um polinômio não-constante que divida ambos.

O número de inteiros positivos menores que n que são primos com n é dado pela função totiente de Euler.

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Curtis_Cooper&action=edit

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Steven_Boone&action=edit

http://pt.wikipedia.org/wiki/4_de_setembro

http://pt.wikipedia.org/wiki/2006

http://pt.wikipedia.org/wiki/Computação_distribuída

http://pt.wikipedia.org/wiki/Processador

http://pt.wikipedia.org/wiki/Computador_pessoal

http://pt.wikipedia.org/wiki/Primo_de_Mersenne

http://pt.wikipedia.org/wiki/Primo_de_Mersenne

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_totiente_de_Euler


14

Os números 4 e 9 são primos entre si porque a diagonal não intercepta nenhum dos pontos reticulados.

Números compostos

São os números não-primos maiores do que 1. Os números 0 e 1 não são considerados primos nem compostos.

Números perfeitos

Os gregos diziam que um número é perfeito quando a soma dos seus divisores próprios (divisores exceto ele próprio) é igual a ele mesmo. Ex.: o número 6, porque 1+2+3=6.

Números amigáveis ou amigos

Números amigos são pares de números onde um deles é a soma dos divisores próprios do outro. Ex.: os divisores próprios de 220 são: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110 cuja soma é 284. Já, os divisores próprios de 284 são: 1,2,4,71 e 142 e a soma deles é 220. Portanto, os números 220 e 284 são amigáveis ou amigos.

Porcentagem

É uma forma usada para indicar uma fração de denominador 100 ou qualquer representação equivalente a ela. A porcentagem é um modo de comparar números usando a proporção direta, onde uma das razões da proporção é uma fração cujo denominador é 100. Toda razão a/b na qual b=100 chama-se porcentagem. Símbolo: %. Ex.: 23/100 = 23% ou 0,23.

Cálculo da porcentagem: Ex.: 20% de 60 = 20/100

. 60 = 0,2 . 60 = 12.

OUTRAS CONSIDERAÇÕES SOBRE MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

Todo número multiplicado ou dividido por 1 é igual a ele mesmo e todo número multiplicado ou dividido por –1 é igual ao seu oposto.

Todo número multiplicado por outro > -1 e <1 dá como resultado um número de módulo menor que o número inicial;

Todo número dividido por outro > -1 e <1 dá como resultado um número de módulo maior que o número inicial.

FRAÇÕES

Números que representa uma ou mais partes da unidade que foi dividida em partes iguais.

1 → numerador (nº de partes consideradas) 2 → denominador (nº de partes divididas)

Frações equivalentes

São as frações que representam a mesma parte do todo.Ex: ½ e 2/4.

Fração inversa

A fração inversa de uma fração dada é aquela estabelecida pela troca de posição do numerador e do denominador. Ex.: 2/3 → 3/2.

Número misto

Número escrito ao mesmo tempo na forma inteira e na forma fracionária.

Ex.: 4 1/3. Obs.: 4 1/3 = 4 + 1/3.

Inverso multiplicativo

O inverso multiplicativo de um número x é 1/x. Esse número é dito inverso multiplicativo de x, pois a multiplicação de ambos resulta em 1.

Fração decimal

Fração em que a unidade aparece dividida por 10 ou múltiplos de 10. Ex.: 1/10, 4/100.

Fração algébrica

É a fração que possui um ou mais termos desconhecidos (incógnitas) no denominador. Ex.: 2/xy.

Simplificação de frações

Consiste em dividir o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número, fim de torná-la uma fração mais simples.

Ex.:

5 → 5: 5

= 1 10 10

: 5 2

Operações com frações

Soma/Subtração: se os denominadores são iguais, opera-se os numeradores e conserva-se o denominador.Ex.:1/2 + 1/2 = 2/2 = 1.

Se os denominadores são diferentes, acha-se o Menor Múltiplo Comum (MMC) dos

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Coprime-lattice_pt.svg

http://pt.wikipedia.org/wiki/Diagonal

http://pt.wikipedia.org/wiki/Zero

http://pt.wikipedia.org/wiki/Um


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denominadores e o divide por cada denominador, multiplicando depois cada resultado separadamente pelo seu respectivo numerador e operando os produtos, conservando o denominador comum.

Ex.: 1/5 + 3/4 = 19/20.

Multiplicação: multiplica-se separadamente numeradores e denominadores. Ex.:2/3

. 1/9 = 2/27.

Divisão: multiplica-se a primeira fração pelo inverso da segunda, ou seja, multiplica-se o numerador da primeira pelo denominador da segunda e o denominador da primeira pelo numerador da segunda. Ex.:1/4 :1/2 = 1/4

. 2/1 = 2/4 = 1/2 .

Números decimais

São números que representam frações, em que a divisão do numerador pelo denominador não resulta em um número exato. Nesses números usa-se 0, (zero vírgula) e depois o número que representa a parte fracionária. Ex.: 0,1 = 1/10; 0,75 = 3/4.

A divisão do numerador pelo denominador pode resultar em um número exato (ex.:5) ou em uma:

Decimal exata: com número finito de casas decimais. Ex.:0,2.

Decimal ou dízima periódica: apresenta uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de um certo algarismo, se repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição e chamados de período. (ex.: 0,3333...). Uma dízima periódica pode ser:

Simples: o período aparece imediatamente após a vírgula. Ex.: 0,4444…; 0,125125125…; 0,68686868…

Composta: há um ou mais algarismos entre a vírgula e o período, que não entra na composição do período. Ex.: 0,72222222…; 0,58444444…; 0,15262626…

Fração geratriz de um decimal

É a fração que gera um determinado decimal. Ex.:

0,25 = 25/100 = 1/4 → fração geratriz

POTENCIAÇÃO OU EXPONENCIAÇÃO

an =a

. a

. a

. ...

. a (n vezes).Obs: a = base, n

= expoente.

a0 = 1, porem 0

0 é uma indeterminação.

am .

an =a

m + n

am : a

n =a

m - n

(am)n = a

m . n

(a . b)

m = a

m . a

m

(a : b)m

=am : b

m (b ≠ 0)

(am)n ≠ a

mn

am

n = a^(m

n)

(a/b)m

= am/b

m

(a/b)-m

= (b/a)m

= am/b

m

n √a

m = a

m / n

Potência de base 10

O expoente positivo do número dez indica o número de vezes que se deve deslocar a vírgula para a direita e o expoente negativo do dez indica o número de vezes que se deve deslocar a vírgula para a esquerda.

Ex: 0,3451 . 10

2 = 34,51.

Operações com potências de base 10

Soma/Subtração: somente se somam ou subtraem números cujas potências de base 10 têm o mesmo expoente. Nesse caso, somam-se os coeficientes e conserva-se a potência de dez.

x . 10

n ± y

. 10

n = (x ± y) . 10

n

Multiplicação: multiplicam-se os coeficientes, conservando a base 10 e somando seus expoentes.

( x . 10

n)(y

. 10

m) = (x

. y)

. 10

n+ m

Divisão: divide-se o primeiro coeficente pelo segundo, conservando a base 10, com o expoente resultante da subtração dos expontes.

(x . 10

n) / (y

. 10

m)= (x :y)

. 10

n - m

Notação científica

Colocar um número em notação científica significa transformá-lo em um produto de um coeficente ≥1 e < 10 por uma potência de base dez.Ex.: 200 + 2

. 10

2.

Ordem de grandeza

É a potência de dez da qual o número mais se aproxima. Ex.: 1232 → 10

3.

RADICIAÇÃO

n√a = b ↔ b

n = a (n є N e n >1).

(Obs.:


16

a = radicando,

√ = radical e

n = índice da radiciação)

a ≥ 0, e n par : n √a = b ;-

n √a = -b ; a ≥ 0,e

n ímpar: n √a = b ↔ b

n = a

a < 0,e n ímpar: n √-a = -b ↔ (-b)

n = -a

n √a

n = a

n √ab =

n√a

. n√b

n√a ± m√a = (m ± n)√a

n√a/b =

n √a /

n √b

(n √a)

m =

n √a

m

n √

m√a =

n . m √a

a / √x = a . √x /x

. √x = a√x / x(√x =fator

racionalizante).

LOGARITMAÇÃO

Logaritmo

loga b = c ↔ ac = b

(Obs.: a = base do logaritmando, b = logaritmando e c = logaritmo).

Propriedades logarítmicas

loga 1 = 0.

loga a = 1.

loga an = n.

a loga b

= b.

logb a = logb c ↔ a = c.

loga (M . N) = loga M + loga N.

loga M/N = loga M – loga N.

loga 1/N = - loga N.

loga MN = N

. loga M.

loga N√M = 1/N

. loga M.

logb N = loga N / loga b.

logb a = 1 / loga b ou logb a . loga b = 1.

Cologaritmo: cologa N = - loga N ou cologa N = loga 1/N.

EXPRESSÕES MATEMÁTICAS

Expressão numérica

É uma relação entre números definidos que pode ser resolvida ou simplificada. Ex.: 3+ 2.

Expressão algébrica (Polinômio):

É uma relação entre números definidos e indefinidos (incógnitas) que pode ser simplificada. Ex.: 3x + 2x.

Expressões numéricas / algébricas – ordem de resolução:

1) Parênteses: ( );

2) Colchetes: [ ];

3) Chaves: { }.

1) Potenciação (Exponenciação), Radiciação, Logaritmação;

2) Multiplicação e Divisão;

3) Adição e Subtração.

Soma e subtração de sinais

Sinais iguais: soma-se os números e conserva-se o sinal.Ex.: 2 + 2 = 4.

Sinais diferentes: subtrai-se os módulos dos números (do módulo maior se subtrai o menor) e conserva-se o sinal do número de maior módulo.Ex.: 3 – 4 = -1.

Multiplicação e divisão de sinais

Sinais iguais: resultado positivo.Ex.: 2 x 56 = 112.

Sinais diferentes: resultado negativo.Ex.: 2(-35)= -70.

MMC e MDC de expressões numéricas / algébricas

MDC (Máximo Divisor Comum) é o produto dos fatores primos comuns,tomados com seus menores expoentes.

Cálculo do MDC:

1) Decompõe-se os números em fatores primos.

2) O MDC é o produto dos fatores primos comuns.

Ex.: MDC de 36 e 90: 36 = 2 x 2 x 3 x 3 e 90 = 2 x 3 x 3 x 5.MDC(36,90) = 2 x 3 x 3.Portanto m.d.c.(36,90) = 18.

Cálculo por meio do processo das divisões sucessivas:

1º) dividimos o número maior pelo número menor. Ex.:48 / 30 = 1 (com resto 18).

2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente: 30 / 18 = 1 (com resto 12),18 / 12 = 1 (com resto 6),12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata).


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3º) O divisor da divisão exata é 6. Então MDC (48,30) = 6.

Números primos entre si: Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1.Ex.: 35 e 24.

Obs.: Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números dados.Ex.: MDC (6,18,30) = 6.

MMC (Menor Múltiplo Comum): é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns,tomados com seus maiores expoentes.Também pode ser definido como o produto de todos os fatores primos obtidos na decomposição simultânea dos números.

Polinômios:

Monômio: um só termo.Ex.: 3x.

Binômio: 2 termos.Ex.: 3x + 2y.

Trinômio: 3 termos.Ex.: 3x + 2y + 5.

Polinômio: 4 ou mais termos.Ex.: 3x + 2y + 5 + 7a.

Obs.: 4t (4 = coeficente, t = parte literal).

Termos semelhantes: são aqueles que têm a mesma parte literal.Ex.: 6x e 8x.

Polinômio identicamente nulo (PIN): é o polinômio cujos coeficentes de todos os seus termos são nulos.Ex.: 0x + 0q.

Grau de um polinômio: é o expoente máximo que ele possui.Ex.: x

2 + 3x + 6 é

polinômio do 2º grau.

Operações com polinômios

Nas operações com polinômios, operam-se coeficentes com coeficentes e partes literais com partes literais.

Soma/Subtração: só podem ser somados ou subtraídos polinômios de mesma parte literal. As partes literais permanecem inalteradas. Ex:6x + 4y

2 – 2x – 5y

2 =4x – y

2.

Multiplicação: multiplica-se cada termo de um polinômio por cada termo de outro polinômio. Ex: ( x

2)

. (-3x

3) = -3x

5.

Divisão de monômios/de polinômios por monômios: .divide-se cada termo de um polinômio/monômio por um monômio. Ex.: (8x

4y

2) : (-2xy) = -4x

3y.

Divisão de polinômios: Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo.

Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam as duas condições abaixo: 1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x) 2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0

Nessa divisão: P(x) é o dividendo. D(x) é o divisor. Q(x) é o quociente. R(x) é o resto da divisão. Obs: quando se tem R(x)=0 diz-se que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x). Ex.:Determinar o quociente de P(x)=x

4+x

3-

7x2+9x-1 por D(x)=x

2+3x-2.

Resolução: Aplicando o método da chave, tem-se:

)( 12

23

15

462

1952

)( 12 23

23 197

2

2

23

23

2234

2234

xRx

xx

xx

xxx

xxx

xQxxxxx

xxxxxx

Verifica-se que:

Se D(x) é divisor de P(x) R(x) = 0

MDC e MMC de polinômios:

Ex.: 4x3y

6 e 6x

5y

2

MDC = 2x3y

2 e MMC = 12x

5y

6.

Produtos Notáveis:

Quadrado da soma indicada de dois termos:

(a + b)2 = a

2 + 2ab +b

2

Quadrado da diferença ind. de dois termos:

(a – b)2 = a

2 –2ab + b

2

Produto da soma pela dif.de dois termos:

(a + b) . (a – b) = a

2 – b

2

Cubo da soma de dois termos:

)( )(

)(D )(

xQxR

xxP


18

(x + y)3 = (x + y)(x + y)(x + y) =(x + y)

2 . (x + y)

= (x2 + 2xy + y

2)

. (x + y) = x

3 + 3x

2y + 3xy

2 +

y3

Cubo da diferença de dois termos:

(x – y)3 = (x – y)(x – y)(x – y) = (x – y)

2 . (x – y)

= (x2 –2xy + y

2)

. (x – y) = x

3 – 3x

2y + 3xy

2 – y

3

Quadrado da soma de três termos:

(a + b + c)2 = (a + b + c)(a + b + c) = a

2 + b

2 +

c2 + 2ab + 2bc + 2ac

Soma de dois cubos:

a3 + b

3 = (a + b)(a

2 – ab + b

2)

Diferença de dois cubos:

a3 – b

3 = (a - b)(a

2 + ab + b

2)

Fatoração Algébrica:

Colocação do fator comum em evidência:

Ex:2ax -bx2 =2x(a – 2bx)

Agrupamento:

Ex:4ax –2a + 6xy –3y =2a(2x –1) +3y(2x – 1) = (2x - 1)(2a + 3y)

Trinômio Quadrado Perfeito:

Ex:9x2 +12xy +4y

2 =(3x +2y)

2

Diferença de dois quadrados:

x2 – y

2 = (x + y)(x – y )

Fatoração do trinômio do 2º grau:

ax2 + bx + c = a(x –x1) . (x – x2)

Fatoração do polinômio de 3º grau:

ax3 +bx

2 + cx + d = a(x – x1)(x – x2)(x – x3)

Fatoração trigonométrica:

sen x + sen y = 2 . sen x + y

. cos x – y

2 2

sen x – sen y = 2 . sen x – y

. cos x + y

2 2

cos x + cos y = 2 . cos x + y

. cos x – y

2 2

cos x – cos y = - 2 . sen x + y

. sen x – y

2 2

FUNÇÕES

EQUAÇÕES

Igualdades que permitem descobrir valores indefinidos (chamados incógnitas ou variáveis). Uma equação pode ter uma ou mais incógnitas.

Usualmente:

x: primeira incógnita; y: segunda incógnita; z: terceira incógnita.

Os valores das incógnitas que tornam a sentença verdadeira são chamados de raízes da equação e comporão o Conjunto Verdade (V) ou Conjunto Solução (S) da equação.

A equação é composta por dois membros separados por um sinal de igual (=). Ao passar um termo de um membro para outro, deve-se trocar o sinal.

Igualdade

Representada por a = b, sendo a e b numerais (nomes) diferentes para um mesmo número, ou expressões numéricas equivalentes.

Propriedades da igualdade

Reflexiva: a = a, para qualquer número a.

Simétrica: se a = b, então b = a, para quaisquer números a e b.

Transitiva: se a = b e b = c, então a = c, para quaisquer números a, b e c.

Princípios de equivalência

a = b → a + c = b + c

a = b → a . c = b

. c

Orientações para a resolução de problemas envolvendo equações

1) Ler atentamente o problema; 2) Anotar os dados a serem considerados; 3) Estabelecer quais são as incógnitas; 4) Escrever as condições sobre as

incógnitas - se devem ser números naturais,inteiros, etc;

5) Montar as equações,traduzindo os dados do problema em linguagem matemática;

6) Resolver as equações; 7) Verificar se as raízes encontradas

obedecem às condições sobre as incógnitas;

8) Substituir as raízes encontradas nas equações para verificar se a igualdade está correta – se os dois membros se igualam;

9) Observar se as soluções encontradas têm implicação lógica;

10) Escrever a resposta do problema.


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INEQUAÇÕES

Expressões que não admitem raízes definidas, mas dão idéia de onde se localizam,através de princípios de superioridade(>,≥) e inferioridade(<,≤).

Ex: 2x + 7 ≤ 12 → x ≤ 5/2.

FUNÇÕES

Relações entre duas grandezas variáveis (x e y) em que o valor de uma delas (x) depende, sob determinadas condições, do valor da outra (y).

Formalmente, é uma relação especial entre dois conjuntos A e B de modo que todos os elememtos de A (x) estejam associados a um elemento de B (y) e que cada elemento de A (x) está associado a um único elemento de B (y).

Domínio, contradomínio e conjunto imagem

Dada uma função f de A em B, o conjunto A chama-se domínio da função e o conjunto B, contradomínio da função. Para cada x є A, o elemento y є B chama-se imagem de x pela função f ou o valor assumido pela função f para x є A e o representamos por f(x) (lê-se: f de x). Assim, y = f(x).

Observações

Ao comparar duas ou mais funções, tem-se, usualmente:

f(x): primeira função; g(x): segunda função; h(x): terceira função, seguindo assim a ordem alfabética a partir de f, em minúsculas. Alguns gráficos de funções

Função f(x) = x

Função f(x) = 1 ⁄ x

Função modular f(x) = |x|

Função quadrática f(x) = x²

Função cúbica f(x) = x³

Função raiz quadrada f(x) = √x

Função exponencial de base e: f(x) = ex


20

Função logarítmica natural f(x) = ln x

Função seno f(x) = sen (x)

Função cosseno f(x) = cos (x)

Função tangente f(x) = tg (x) (tg = sen ⁄ cos)

Função secante f(x) = sec (x) (sec = cos ⁄sen = 1 ⁄ cos(x) ).

Função cossecante f(x) = cosec (x) (cosec = 1 ⁄ sen (x) ).

Função cotangente f(x) = cotg (x)

(cotg (x) = 1 ⁄ tg(x) ).


21

LIMITES

Noção intuitiva de limite

Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:

X y = 2x + 1

1,5 4

1,3 3,6

1,1 3,2

1,05 3,1

1,02 3,04

1,01 3,02

0,5 2

0,7 2,4

0,9 2,8

0,95 2,9

0,98 2,96

0,99 2,98

Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja,

quando x tende para 1 (x 1), y tende para

3 (y 3), ou seja:

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3. Esse é o estudo do comportamento de f(x)

quando x tende para 1 (x 1). Nem é preciso que xassuma o valor 1. Se f(x) tende

para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite de

f(x) quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3. De forma geral, escrevemos:

se, quando x se aproxima de a (x a), f(x)

se aproxima de b (f(x) b).

Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:

Podemos notar que quando x se aproxima de

1 (x 1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y

quando x 1. E, no caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3. Escrevemos:

Se g: IR IR e g(x) = x + 2, g(x) =

(x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x) f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.


22

Propriedades dos Limites 1ª) O limite da soma é a soma dos limites. O limite da diferença é a diferença dos limites.

Exemplo:

2ª) O limite do produto é o produto dos limites.

Exemplo:

3ª) O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.

Exemplo:

4ª)

Exemplo:

5ª)

Exemplo:

6ª)

Exemplo:

7ª)

Exemplo:

8ª)

Exemplo:

Limites Laterais

Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos:

Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a. Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos:

Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.

O limite de f(x) para x a existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou sejas:


23

Se

Se

Continuidade

Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas:

Propriedade das Funções contínuas

Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:

f(x) g(x) é contínua em a;

f(x) . g(x) é contínua em a;

é contínua em a .

Limites envolvendo infinito

Conforme sabemos, a expressão x (x tende para infinito) significa que x assume valores superiores a qualquer número real

e x (x tende para menos infinitos), da mesma forma, indica quex assume valores menores que qualquer número real. Exemplo:

a) , ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero.

b) , ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero.

c) , ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de

zero ou por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito.

d) , ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, ytende para menos infinito

Limite de uma função polinomial

para

Seja a função polinomial

. Então:

Demonstração:

Mas:

Logo:

De forma análoga,

para , temos:


24

Exemplos:

Limites trigonométricos

Demonstração:

Para , temos sen x < x < tg x. Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem:

Invertendo, temos:

Mas:

g(x) < f(x) < h(x) são funções

contínuas e

se ,

então, .

Logo, .

Limites exponenciais

Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracionale cujo valor aproximado é 2,7182818. Veja a tabela com valores de x e

de .

x 1 2 3 10 100 1 000

2 2,25 2,3703 2,5937 2,7048 2,7169

Notamos que à medida

que . De forma análoga, efetuando a

substituição , temos:

Ainda de forma mais geral, temos :

As duas formas acima dão a solução imediata a exercícios deste tipo e evitam substituições algébricas.

Se ,então . Mas:

Logo:

Como x 0 , então u 0. Portanto:


25

Generalizando a propriedade acima,

temos .

DERIVADAS

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0. A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos: y' , dy/dx ou f ' (x). A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dada por:

ALGUMAS DERIVADAS BÁSICAS Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x. a, b, c e n são constantes. Derivada de uma constante

Derivada da potência

Portanto:

Soma / Subtração

Produto por uma constante

Derivada do produto

Derivada da divisão

Potência de uma função

Derivada de uma função composta

Regra da cadeia A fórmula:

é conhecida como regra da cadeia. Ela pode ser escrita como:

Outra fórmula similar é a seguinte:

Derivada da função inversa A inversa da função y(x) é a função x(y):

Derivadas de funções trigonométricas e suas inversas


26

Derivadas de funções exponencial e logarítmica Derivada do logaritmo natural

Derivada do logaritmo em outras bases

Exponencial

Lembre-se da definição da função logarítmica com base a > 0:

Derivadas das funções hiperbólicas e suas inversas

Lembre-se das definições das funções trigonométricas:

Derivadas de alta ordem Seja y = f(x). Temos: A segunda derivada é dada por:

A terceira derivada é dada por:


27

A enésima derivada é dada por:

Em alguns livros, a seguinte notação também é usada:

INTEGRAIS

INTEGRAIS INDEFINIDAS

Da mesma forma que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão, a operação inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida.

Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x).

Exemplos:

1. Se f(x) = X5/5, então

é a derivada de f(x). Uma das antiderivadas de f'(x) = g(x) = x

4 é X

5/5.

2. Se f(x) = x3, então f'(x) = 3x

2 = g(x).

Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x

2 é f(x) = x

3.

3. Se f(x) = x

3 + 4, então f'(x) = 3x

2 =

g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x

2 é

f(x) = x3 + 4.

Nos exemplos 2 e 3 podemos observar que tanto x

3 quando x

3+4 são integrais indefinidas

para 3x2. A diferença entre quaisquer destas

funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, ou seja, a integral indefinida de 3x

2 é x

3+C, onde C é uma

constante real. Propriedades das integrais indefinidas São imediatas as seguintes propriedades: 1ª.

, ou seja, a integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais.

2ª. , ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do integrando.

3ª. , ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria função.

Integração por substituição

Seja expressão . Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x)

ou , ou ainda, du = f'(x) dx, vem:


28

,

admitindo que se conhece . O método da substituição de variável exige a identificação de u e u' ou u e du na integral dada. INTEGRAIS DEFINIDAS

Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:

onde:

a é o limite inferior de integração;

b é o limite superior de integração;

f(x) é o integrando.

Se representa a área entre o eixo x e a curva

f(x), para

Se representa a área entre as curvas,

para

Se f(x) ≥ o para a ≤ x ≤ c e f(x) ≤ 0 para c ≤ x ≤ b, então a área entre f(x) e o eixo x, para a ≤ x ≤ b, é dada por:

Se f(x) ≥ g(x), a ≤ x ≤ c, e f(x) ≤ g(x), c ≤ x ≤ b, então a área entre f e g, a ≤ x ≤ b, é dada por:


29

A integral definida, nos exemplos vistos, representa uma área, o que ocorre em muitos casos, e é uma das formas de se apresentar a integral definida.

De forma geral, para , a área

limitada por f(x) e o eixo x, é dada

por ,que pode representar a soma das áreas de infinitos retângulos de

largura e cuja altura é o valor da função num ponto do intervalo da base:

Subdividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos através das abscissas x0=a, x1, x2,...,xn=b, obtemos os intervalos (a, x1), (x1, x2), ...., (xn-1, b). Em cada intervalo (xi-

1, xi) tomemos um ponto arbitrário hi.

Seja De acordo com a figura, os retângulos formados têm

área

Então, a soma da áreas de todos os retângulos é:

que nos fornece um valor aproximado da área considerada. Aumentando o número n de

subintervalos , tal que tenda a

zero e o número n de

subintervalos tenda a infinito , temos as bases superiores dos retângulos e a curva praticamente se confundindo e, portanto, temos a área considerada. Simbolicamente, escrevemos:

Exemplo: Seja a área entre y = x e o eixo x,

para :


30

Esta área é dada por:

Podemos notar que o processo do limite nos leva ao resultado procurado. Dividindo o intervalo [0, b] em n subintervalos, cada um

terá largura . Sejam, então, os pontos

. Como f(x) = x, então

.

CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA

O método que temos para o cálculo da

área ou da integral definida, no caso, é ainda muito complicado, conforme vimos no exemplo anterior, pois encontraremos somas bem piores.

Para tal, consideremos a área das figuras quando movemos a extremidade direita:


31

Se a área é dada por A(x), então A(a) = 0, pois não há área alguma. Já A(x) dá a área da figura 1, A(b), a área entre

ou seja:

ou seja, A(x) é uma das antiderivadas de f(x). Mas sabemos que se F(x) é antiderivada qualquer de f(x), então A(x) = F(x) + C. Fazendo x = a, temos: A(a) = F(a) + C = 0 (A(a) = 0) Logo, C = - F(a) e A(x) = F(x) - F(a). Portanto:

(Teorema Fundamental do Cálculo) ou ainda,

. Exemplos:

Note que conseguimos uma forma de calcular integrais definidas e áreas sem calcular somas complicadas e usando apenas as antiderivadas. PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA

UMA VISÃO GERAL DOS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO Métodos de abordagem dos problemas de integração

Tecnologia - Os programas CAS, tais como Mathematica, Maple e Derive, são capazes de calcular integrais extremamente complicadas, e cada vez mais instalações modernas de pesquisa estão sendo equipadas com tais programas.

Tabelas - Antes do desenvolvimento dos programas CAS, os cientistas dependiam enormemente de tabelas para o cálculo das difíceis integrais que surgem nas aplicações. Tais tabelas foram compiladas por muitos anos, incorporando habilidade e experiência de muita gente.

Métodos de transformação - São métodos para converter integrais não-conhecidas em conhecidas. Eles incluem substituição u, manipulação


32

algébrica do integrado, entre outros métodos.

Nenhum dos três métodos é perfeito; por exemplo, os programa CAS frequentemente encontram integrais que não são capazes de integrar e produzem respostas que são, às vezes, excessivamente complicadas, tabelas não são exaustivas e podem não incluir uma integral de interesse,e os métodos de transformação dependem da engenhosidade humana,que pode não ser adequada a problemas difíceis. Formulário CONSTANTES, POTÊNCIAS E EXPONENCIAIS

1.

2.

3. 4.

5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 1.

2.

3.

4. FUNÇÕES HIPERBÓLICAS

1.

2.

3.

4. FUNÇÕES ALGÉBRICAS (a>0)

1.

2.

3.

4. INTEGRAÇÃO POR PARTES Dedução da Fórmula para a Integração por Partes Se f e g são funções diferenciáveis, então, pela regra de diferenciação do produto,

Integrando ambos os lados, obtemos

ou

ou

Uma vez que a integral à direita irá produzir uma outra constante de integração, não há necessidade de manter o C nesta última equação; assim sendo, obtemos

(1) a qual é chamada de fórmula de integração por partes. Usando esta fórmula, às vezes podemos tornar um problema de integração mais simples. Na prática, é usual reescrever (1) fazendo u=f(x), du=f '(x)dx

, Isso dá lugar à seguinte forma alternativa para (1):

(2) Exemplo

Calcule Solução. Para aplicar (2), precisamos escrever a integral na forma

Uma maneira de fazer isso é colocar


33

para que,

Deste modo,a partir de(2)

Integração por Partes para Integrais Definidas Para integrais definidas, a fórmula correspondente a (2) é:

Exemplo

Calcule Solução. Seja

Assim,

Mas

logo

Fórmulas de Redução A integração por partes pode ser usada para obter as fórmulas de redução para integrais. Estas fórmulas expressam uma integral com potência de função em termos de uma integral que envolve uma potência mais baixa daquela função. Por exemplo, se n for um

inteiro positivo e n 2, então a integração por partes pode ser usada para obter as fórmulas de redução. (2)

Para ilustrar como essas fórmulas são obtidas,vamos deduzir a fórmula (2).

para que

Transpondo o último termo para o lado esquerdo obtém-se

da qual tem-se(2). Exemplo

Calcule Solução. A partir de (2),com n=4

INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS Integração de Potência de Seno e Cosseno Na seção fórmulas de redução,obtivemos as fórmulas

No caso onde n=2,estas fórmulas ficam


34

Podem-se obter formas alternativas para estas fórmulas de integração usando as identidades trigonométricas.

que provêm das fórmulas para o ângulo duplo

Essas identidades dão lugar a

Integração de produtos de senos e cossenos Se m e n são inteiros positivos, então a integral

pode ser calculada de diversas maneiras,dependendo de m e n serem pares ou ímpares. Exemplo

Integração de Potências de Tangente e de Secante O procedimento para integração de potências de tangente e de secante segue paralelamente os do seno e co-seno. A idéia é usar as seguintes fórmulas de redução para

reduzir o expoente do integrando até que a integral resultante possa ser calculada:

(1) e (2) No caso onde n for ímpar,o expoente pode ser reduzido a um,nos deixando com o problema de integrar tgx ou sec x. Estas integrais são dadas por:

A fórmula pode ser obtida escrevendo-se

A fórmula requer um truque. Escrevemos

As seguintes integrais ocorrem frequentemente,e vale a pena destacar:

A fórmula(2) já foi vista, uma vez que a

derivada de tgx é . A fórmula(1) pode ser obtida aplicando-se a fórmula de redução, com n=2, ou alternativamente,usando-se a identidade

para escrever

.

Estudando Cálculo com o Wolfram Alpha

O Wolpham Alpha é um mecanismo de conhecimento computacional desenvolvido


35

pela Wolfram Research. É um serviço on-line que responde às perguntas diretamente, mediante o processamento da resposta extraída de base de dados estruturados, em lugar de proporcionar uma lista dos documentos ou páginas web que poderiam conter a resposta, tal como fazem os mecanismos de busca.

Foi anunciado em março de 2009 pelo físico britânico Stephen Wolfram, e esta em funcionamento desde 15 de maio de 2009. O endereço de acesso é www.wolframalpha.com.

Dicas

1) O WA funciona como um site de busca. Se não se souber escrever em linguagem matemática, é possível digitar as frases completas em inglês.

2) Abreviaturas e notações: - sqrt = abreviatura de "square root" (raiz quadrada); - cbrt = abreviatura de "cubic root" (raiz cúbica); - Para outras raízes, digite o nome da raiz em inglês, na forma ordinal. Ex.: Fourth root of (raiz quarta de...), fifth root of (raiz quinta de...); - int = integral indefinida; - int (l, L) = integral definida, sendo "l" o limite inferior e "L" o limite superior do intervalo (separados por vírgula e entre parênteses); - dy/dt = derivada de y em relação a x; - x^2 = x².

http://www.wolframalpha.com/


36

ANEXOS

SÍMBOLOS LÓGICOS E MATEMÁTICOS

Símbolo Descrição

Mais (adição)

- Menos (subtração)

: / Dividido (divisão)

∗

∙

Vezes (multiplicação)

= Igual a

Diferente de

Aproximadamente

~ Semelhante

Maior do que

Maior do que ou igual a

≫ Muito maior do que

Menor do que

Menor do que ou igual a

≪ Muito menor do que

Mais ou menos

Menos ou mais

Proporcional

Fatorial

Infinito

Por cento

Por mil

Grau

Portanto

Porque

¬ Não

^ E

V Ou

Qualquer

Existe

Não existe


37

Conjunto

ℝ Conjunto dos números reais

ℤ Conjunto dos números inteiros

ℕ Conjunto dos números naturais

ℚ Conjunto dos números racionais

ℂ Conjunto dos números complexos

Interseção

⋓ Dupla intersecção

União

⋒ Dupla união

Está contido em

Não está contido em

Contém

Pertence

Não pertence

Conjunto vazio / Diâmetro

Raiz quadrada

Congruente

Ângulo

∥ Paralelo a

Perpendicular a

Diferença ou incremento finito

Equivalente a

Implica que

Integral

D Diferencial total

Diferencial parcial

Somatório

Lim Limite

f(x) Função de x

Log Logaritmo decimal

Logaritmo natural

|x| Valor absoluto de x


38

ALFABETO GREGO

LETRA MAIÚSCULA MINÚSCULA

Alfa Beta

Gama Delta

Épsilon Zeta Eta Teta Iota

Capa Lambda

Mu Nu Csi

Ômicron Pi Ro

Sigma Tau

Upsilon Fi

Chi Psi

Ômega


39

CALENDÁRIO PERMANENTE (1901 - 2092)

Tabela A - Anos Tabela B - Meses

1901 - 2000 | 2001 - 2092 J F M A M J J A S O N D

25 53 81 09 37 65 4 0 0 3 5 1 3 6 2 4 0 2

26 54 82 10 38 66 5 1 1 4 6 2 4 0 3 5 1 3

27 55 83 11 39 67 6 2 2 5 0 3 5 1 4 6 2 4

28 56 84 12 40 68 0 3 4 0 2 5 0 3 6 1 4 6

01 29 57 85 13 41 69 2 5 5 1 3 6 1 4 0 2 5 0

02 30 58 86 14 42 70 3 6 6 2 4 0 2 5 1 3 6 1

03 31 59 87 15 43 71 4 0 0 3 5 1 3 6 2 4 0 2

04 32 60 88 16 44 72 5 1 2 5 0 3 5 1 4 6 2 4

05 33 61 89 17 45 73 0 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5

06 34 62 90 18 46 74 1 4 4 0 2 5 0 3 6 1 4 6

07 35 63 91 19 47 75 2 5 5 1 3 6 1 4 0 2 5 0

08 36 64 92 20 48 76 3 6 0 3 5 1 3 6 2 4 0 2

09 37 65 93 21 49 77 5 1 1 4 6 2 4 0 3 5 1 3

10 38 66 94 22 50 78 6 2 2 5 0 3 5 1 4 6 2 4

11 39 67 95 23 51 79 0 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5

12 40 68 96 24 52 80 1 4 5 1 3 6 1 4 0 2 5 0

13 41 69 97 25 53 81 3 6 6 2 4 0 2 5 1 3 6 1

14 42 70 98 26 54 82 4 0 0 3 5 1 3 6 2 4 0 2

15 43 71 99 27 55 83 5 1 1 4 6 2 4 0 3 5 1 3

16 44 72 00 28 56 84 6 2 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5

17 45 73 01 29 57 85 1 4 4 0 2 5 0 3 6 1 4 6

18 46 74 02 30 58 86 2 5 5 1 3 6 1 4 0 2 5 0

19 47 75 03 31 59 87 3 6 6 2 4 0 2 5 1 3 6 1

20 48 76 04 32 60 88 4 0 1 4 6 2 4 0 3 5 1 3

21 49 77 05 33 61 89 6 2 2 5 0 3 5 1 4 6 2 4

22 50 78 06 34 62 90 0 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5

23 51 79 07 35 63 91 1 4 4 0 2 5 0 3 6 1 4 6

24 52 80 08 36 64 92 2 5 5 1 3 6 1 4 0 2 5 0

Tabela C - Dias/Semana

D 01 08 15 22 29 36

S 02 09 16 23 30 37

T 03 10 17 24 31

Q 04 11 18 25 32

Q 05 12 19 26 33

S 06 13 20 27 34

S 07 14 21 28 35

Exemplo: Em que dia da semana caiu o dia 10 de julho de 1926? Foi num sábado. Como? Explicação: Procure na Tabela A o ano de 1926 e siga na mesma linha à direita, parando no mês de julho na Tabela B. Ao número encontrado (neste caso 4), adicione o número do dia em questão (10) e terá o resultado de 14, verificando na Tabela C que dará sábado.


40

MATEMÁTICA E APRENDIZAGEM: UM TEXTO A SER LIDO POR ALUNOS E PROFESSORES

Texto de Elon Lages Lima apresentado no âmbito da comemoração dos 60 anos do professor Armando Machado

É muito comum hoje em dia, especialmente nas universidades de maior reputação, atribuir um significado menor, às vezes até depreciativo, ao ensino. Houve mesmo um grande matemático a quem se atribuiu a declaração de que há dois tipos de estudantes: os bons, aos quais não é preciso esmerar-se para ensiná-los pois eles vão aprender mesmo por si sós, de qualquer maneira, e os outros, para os quais nenhum método de ensino é satisfatório pois eles não vão aproveitar. Não vale a pena analisar e discutir esta opinião. Basta perceber o que ela traduz: o descaso, o desinteresse, a falta de atenção para o ensino, a ânsia de ter mais tempo para participar com êxito da corrida do “publish or perish”.

Evidentemente, a universidade é, por excelência, o lugar onde mentes privilegiadas se ocupam da nobre tarefa de cultivar o saber, ampliar os conhecimentos humanos, avançar as fronteiras das ciências, renovar e estimular os dotes artísticos. Idealmente, é na universidade que, sem maiores compromissos com lucros imediatos, os cientistas, intelectuais e artistas têm condições de contribuir para o avanço, o progresso de suas ciências, de apresentar suas propostas sociais, artísticas e filosóficas. Mas a universidade é mantida pela sociedade e tem o dever de retribuir essa dívida. Para isso, ela forma técnicos, engenheiros, médicos, advogados, economistas e professores. Sim, professores. O conhecimento deve sobreviver, deve transmitir-se de geração a geração. Em todos os seus níveis. Sempre foi assim, em todas as culturas. O professor é o encarregado dessa transmissão, dessa passagem, dessa entrega. Mais ainda, é ele quem é capaz de inspirar os jovens, indicar-lhes o caminho, despertar-lhes a vocação, amaciar o trajeto, esclarecer-lhes as dúvidas, provocar-lhes novas questões, mostrar-lhes um mundo novo.

O papel e a importância do professor, através do tempo, sofreram muitas mudanças. O conhecimento sempre foi, como é ainda hoje, fonte de poder. Nas antigas civilizações esse poder era ligado ao sobrenatural e o conhecimento era detido nas mãos dos sacerdotes, que previam o futuro, as estações do ano, as enchentes e os eclipses. A transmissão do saber, assim como das tradições, se fazia oralmente. Mesmo depois da invenção da escrita, quando, de uma forma ou de outra, sobre papiros, folhas de vários tipos, peles de animais ou tabletes de argila, livros eram compostos, a figura do mestre era indispensável e fundamental. Livros eram produzidos, mas era muito difícil reproduzi-los. O ensino, a instrução era algo que se fazia pela palavra falada. Daí a grande relevância do professor. Essa dependência do contato pessoal para a aquisição do conhecimento era obviamente um fator de limitação para a divulgação do mesmo, o que favorecia o caráter secreto da instrução a que nos referimos acima.

O ensino institucionalizado tem suas origens na Mesopotâmia, no Egito e, principalmente, na China, onde se inventou o papel e se criou o sistema de concursos para o ingresso no serviço público. Em todos esses casos, o ensino da Matemática estava subordinado ao interesse de administrar o Estado, manter o poder religioso e, muitas vezes, ambas estas coisas.

O professor era a figura central. Suas aulas eram sempre ditadas, às vezes anotadas pelos alunos, que deviam depois relê-las em voz alta, para que o professor verificasse se foram fielmente recebidas. Daí o nome “colégio”, dado ao lugar onde todos liam em conjunto. Assim eram lidos em voz alta, na Idade Média, os livros-texto, ditados para os alunos.

Bem antes disso, no Museu de Alexandria, muitos historiadores hoje crêem que o texto de Euclides foi transmitido oralmente e copiado por muitos alunos sem que nunca tenha havido uma versão completa por ele escrita.

A bem da verdade, o hábito de ditar as aulas para que os alunos a copiem não desapareceu de todo. Ainda há muitos professores que o utilizam, hoje disfarçados pelo quadro-


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negro. Eu mesmo tive um professor de Geometria na Escola Militar, cujas aulas consistiam em copiar seu caderno no quadro-negro, lendo-o em voz alta à medida que escrevia. Suas figuras, traçadas com giz, a mão livre, eram maravilhosas e nelas se resumia a maior atração do curso. Muitos anos depois, ao ensinar numa conhecida universidade inglesa, fui surpreendido por um pedido inusitado de um aluno, que dizia falar em nome da turma. Educadamente, ele me pedia que não desse mais explicações. Admirado, perguntei por quê. Seria meu inglês incompreensível? Ele disse que não e eu acreditei, pois trazia uma longa experiência de ensinar em universidades americanas sem problema de comunicação. Disse-me ele então qual o motivo: é que enquanto dava minhas explicações eu não escrevia no quadro e então os alunos não tinham tempo de copiar. Depois, fora da sala, ele me contou que as aulas dos outros professores eram inteiramente escritas no quadro-negro. Havia mesmo um deles, disse-me, que não falava nada (ou quase nada, suponho…).

Seja como for, a exclusividade do mestre como transmissor de conhecimentos e preservador de tradições foi abalada por Gutenberg. Começaram a surgir autodidatas. Um dos mais famosos, no meu entender, foi Nicoló Tartaglia, aquele bresciano do qual há uma estátua em sua cidade natal. Ele dizia que “aprendeu sozinho, somente em companhia de uma filha da probreza chamada diligência, estudando continuamente as obras dos homens defuntos”. (Na verdade, Tartaglia teve um professor que lhe ensinou as primeiras letras, de A até N, quando acabou seu dinheiro e teve que prosseguir sozinho; dizem até que roubou a cartilha do seu mestre.)

Se, entretanto, o professor perdeu para o livro impresso a exclusividade da transmissão do conhecimento e da tradição, inclusive por se tratar de um ser efêmero, em contraste com a longevidade do papel, por outro lado sua presença viva, sua experiência, sua possibilidade de responder perguntas, sugerir soluções, propor novas abordagens e, sobretudo, travar diálogos e fomentar discussões são aspectos que salientam a incompleteza da formação do autodidata. Por isso mesma esta palavra carrega consigo dois significados contraditórios: é um elogio à perseverança e uma crítica às lacunas da formação.

Na verdade, cada um de nós é, numa certa medida, um autodidata. Há quem diga, com uma boa dose de razão, que não existe a mágica da transmissão direta do conhecimento do professor para o aluno. Para que este aprenda é preciso antes de tudo que tenha vontade, espírito aberto, dedicação e, sem dúvida, algum talento. E qual é então o papel do professor?

Acima de tudo, dentro do sistema atual de ensino em nossas escolas, o professor é principalmente um pacemaker. É ele quem dita o ritmo dos estudos. Em seguida, o professor deve ter a experiência necessária para salientar o essencial e menosprezar o supérfluo, ou seja, mostrar aos alunos quais são os personagens principais, quais são os argumentos essenciais, em contraposição com os elementos de mera circunstância ou as conclusões irrelevantes. O professor também deve provocar, instigar, pôr questões, propor problemas e, o que é de extrema importância, enxergar e exibir conexões entre temas matemáticos aparentemente independentes. Este é, em essência, o papel do professor, esta é a sua tarefa. O resto cabe ao aluno. Este é que tem de trabalhar, esforçar-se, suar a camisa (para usar o jargão do futebol). Cabe aqui a pequena história do nascimento da libélula.

Sentado à varanda de sua casa de campo, um homem assistiu o nascimento de uma libélula e compadeceu-se do longo e extenuante esforço que ela fizera para libertar-se do casulo, onde entrara como lagarta. Mais tarde, diante da mesma situação, decidiu ajudar, abrindo um buraco no casulo e libertando o animal que, trôpego, após alguns passos desajeitados, sem conseguir sequer abrir as asas, nem mesmo respirar direito, estrebuchou e morreu. O esforço, que deveria ter feito para esgueirar-se pela estreita passagem, estimularia a circulação, faria funcionar seus órgãos. Sem isso, faleceu.

Dito isto, cabe a pergunta: existe um método ideal para ensinar Matemática?

A resposta mais simples é NÃO. Quer dizer, ideal mesmo, não. Existem porém algumas condições necessárias para se ser um bom professor. As condições de primeira ordem são três: gostar, amar, ter grande entusiasmo por Matemática, apreciar uma boa demonstração, ficar ligado


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durante horas, ou dias, num problema intrigante e desafiador, essas coisas constituem a primeira condição.

A segunda é conhecer aquilo que se vai ensinar. Isto parece tão óbvio; como se pode pensar em ensinar algo que não se sabe? Mais precisamente, é necessário conhecer mais sobre o assunto do que aquilo que se vai ensinar. Do contrário, as ênfases serão postas nos lugares errados, respostas corretas dos alunos com base em argumentos aparentemente incorretos ficarão sem explicações e, principalmente, a segurança do professor, tão indispensável para que a classe se sinta confiante em sua liderança, fica prejudicada.

A terceira condição é que o professor não somente goste de Matemática mas que goste também de ensiná-la. Isto implica, por exemplo, em colecionar problemas interessantes, procurar as soluções mais claras e elegantes dos mesmos, buscar as demonstrações mais simples, os exemplos mais atraentes e os métodos mais eficazes de efetuar os cálculos. Isto implica ainda em tentar descobrir quais as maiores dificuldades dos alunos, procurar ajudá-los a preencher lacunas prévias e, ao mesmo tempo, tratar com esmero e paciência os pontos mais sutis e delicados da matéria (denunciando cada “tournant dangereux”, como fazia Bourbaki).

Mas é preciso evitar o perigo apontado por Kepler no prefácio da sua “Astronomia Nova” e relembrado por Seifert e Threlfall: evitar tanto a exposição lacônica como as explicações super-abundantes, pois a pessoa não enxerga quando a luz é insuficiente mas também fica ofuscada quando a luz é excessiva. A experiência acumulada nas salas de aula é uma grande ajuda no sentido de transformar em ações concretas o desejo de ser um bom professor.

Resumindo: estas são as três condições necessárias de primeira ordem para o bom professor de Matemática:

1. Amar a Matemática e ter grande entusiasmo por ela.

2. Conhecer bem aquilo que vai ensinar. Na verdade, conhecer um pouco mais do que o que vai ensinar.

3. Gostar de ensinar e interessar-se pelos alunos.

Desses três princípios decorrem vários outros, que são as condições de segunda ordem. (É bem conhecido que toda lista abundante de condições necessárias termina por tornar-se um rol de condições suficientes.) Mencionemos algumas:

a) Esforçar-se para ser um bom comunicador: falar alto e claramente, escrever de modo ordenado e com boa caligrafia, evitar ficar todo o tempo de frente para o quadro-negro e de costas para a turma.

b) Ser gentil e paciente com os alunos; não humilhá-los.

c) Fazer com que todos trabalhem. Uma aprendizagem passiva é, na melhor das hipóteses, efêmera: “easy come, easy go”.

São muitas e variadas as atitudes e numerosos os hábitos do professor que resultam das três condições necessárias acima mencionadas. Por exemplo: o costume de preceder o estudo de cada assunto novo pela apresentação de um problema cuja solução utilize a matéria que vai ser tratada; sempre que possível um problema que se refira a situações da vida real ou a outras áreas da Matemática, dando assim ocasião para o estabelecimento de conexões entre temas aparentemente independentes.

O dia-a-dia das aulas, o contato com os alunos, as boas leituras, a troca de experiências com os colegas são de grande valia para a concretização do desejo de ser um bom professor.


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Estamos falando aqui de táticas. Mas é preciso ter em conta também a estratégia. O ensino bem equilibrado da Matemática deve ser montado sobre o tripé formado por suas componentes básicas: a conceituação, a manipulação e as aplicações. É claro que, ao prosseguir seus estudos, do ensino fundamental para o médio e depois para o superior, o aluno vai deparar-se com a predominância de uma ou duas dessas componentes. Nos primeiros quatro anos de escola, a manipulação sobressai-se. Nos quatro anos seguintes, ele já começa a ter maturidade suficiente para assimilar doses um pouco maiores de conceituação e disporá de matéria suficiente para abordar, embora timidamente, algumas aplicações interessantes. Nos três últimos anos da escola os alunos (geralmente entre 15 e 17 anos) já podem assimilar as três componentes com a mesma ênfase. Quanto ao ensino superior, os interesses, os objetivos e as necessidades profissionais se diversificam a tal ponto que fica difícil estabelecer regras gerais. Mas, em qualquer caso, deve-se sempre ressaltar que, mesmo para aqueles que visam ter a Matemática como instrumento de aplicação, a conceituação é mais importante do que a manipulação.

Ao colocar-se, como deve, no lugar do aluno a fim de melhor organizar seu projeto didático, o professor não pode deixar de reviver as reações de seus colegas estudantes no passado, compará-las com as de seus alunos de hoje e reconhecer (um tanto relutantemente) que Matemática é, para muitos, uma matéria difícil de aprender e consequentemente (agora com mais ênfase) concluir que mais difícil ainda é ensiná-la. Sempre foi assim. É bem conhecido o episódio do rei Ptolomeu indagando a Euclides se não havia um modo mais simples de aprender Geometria e ouvindo como resposta que não havia caminhos reais nesta matéria. A história é provavelmente apócrifa, e é bem melhor que o seja pois assim mostra que houve necessidade de inventá-la, a fim de ilustrar quão arduo é o labor de aprender, como também de ensinar Matemática.

Há outros indícios históricos que se referem às agruras dos alunos e professores. Por exemplo, algumas proposições de Geometria eram conhecidas como “pons asinorum”, uma das quais era o Teorema, devido a Tales, de que os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais. Pons asinorum, ou ponte dos burros, é um tipo rústico de ponte sobre um regato, formado por finos troncos de madeira, cilíndricos e adjacentes, a qual pode facilmente ser percorrida por uma pessoa (ou um pequeno veículo) mas não por um asno, que teria suas patas presas entre os troncos. (Existem em todas as parte da Matemática algumas noções cruciais que requerem mais atenção e esforço para entendê-las. Este é o caso, por exemplo, da continuidade e da convergência uniformes em Análise.)

Outra manifestação da crença de que Matemática é difícil se encontra na idéia, que teve um considerável número de seguidores no século dezenove, de que havia no cérebro humano uma protuberância, chamada a “bossa da Matemática”, cujo maior ou menor volume era responsável pelo êxito ou fracassso na aprendizagem dessa matéria. Assim como a hipótese de Lombroso, que caracterizava a propensão ao crime por meio do formato cerebral, também a idéia da bossa da Matemática teve vida efêmera. Mas o mero fato de que um dia foi considerada já diz algo sobre o difícil que é e o medo que causa em muitos o estudo da Matemática. Para encerrar esta lista de exemplos, acrescento um trecho do grande matemático francês Henri Poincaré, publicado há quase 100 anos. (Ver H. Poincaré, L’invention mathématique, Enseignement Mathématique 10 -1908.)

“Um fato nos deveria causar admiração, se não estivéssemos tão acostumados com ele: como acontece que existam pessoas que não compreendem Matemática? Se a Matemática não invoca nada a não ser regras da Lógica, aquelas que são aceites por todos os indivíduos normais, e a evidência das mesmas se baseia em princípios que são comuns a todos os seres humanos, os quais ninguém pode negar sem parecer tolo, como acontece que existam tantas pessoas que são totalmente resistentes à Matemática?

Que nem todo mundo seja capaz de inventar não é mistério algum. Que nem todo mundo possa guardar na memória uma demonstração que certa vez aprendeu também se compreende. Mas que nem todos possam entender um argumento matemático quando nós o apresentamos, isto é o que mais surpreende. Além do mais, aqueles que não são capazes de seguir esse raciocínio a não ser com grande dificuldade formam a vasta maioria: isto é inegável e a experiência dos professores secundários certamente não me contradiz.”

Poincaré, ao escrever isto, estava começando a tratar do processo mental que conduz à descoberta matemática. Ele lança a provocante pergunta e logo deixa o caso no ar, sem voltar a ele depois. Não apenas provocante, a pergunta é crucial e respondê-la, mesmo que parcialmente, será uma forma de oferecer uma contribuição para melhorar a qualidade do ensino, de modo a alcançar um número maior de pessoas que conseguem entender o raciocínio matemático.


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Se tivesse que continuar nessa veia, Poincaré provavelmente teria dito que a Matemática, pelo menos aquela a que ele se referia no texto, lida com noções abstratas, trata de relações entre objetos que existem apenas em nossa imaginação e que, na melhor das hipóteses, são apenas modelos ideais de coisas e situações reais. Os objetos matemáticos que modelam tais coisas e situações, por serem abstratos e captarem apenas alguns (preferivelmente os mais relevantes) aspectos dessas situações reais são por isso aplicáveis numa grande variedade de casos que para os matemáticos são análogos mas que à primeira vista são, aos olhos do leigo, inteiramente distintos.

A capacidade de imaginar essas abstrações, lidar com elas como se fossem reais, requer talento especial e treinamente adequado, os quais constituem as principais diferenças entre o entender e o não entender Matemática. Mas talento inato e treinamento específico como condições prévias para o êxito não são exclusivos da Matemática. Valem para inúmeras outras atividades como esportes e artes. A diferença é que essas outras atividades, embora representem valores humanos e sociais respeitáveis, não são tão essenciais para o progresso, o conforto, o bem-estar e a sobrevivência como a Matemática.

É importante, porém, que o professor se conscientize de que a Matemática que é ensinada durante os sete ou oito primeiros anos da escola não requer nenhum pendor ou talento especial para ser aprendida, não mais do que nenhuma das outras disciplinas que são estudadas nessa idade. Certamente, mesmo aí, a Matemática exige mais atenção (un pequeno erro pode afetar grandemente o resultado, o que não ocorre nos outros estudos). Também a Matemática tem essa característica cumulativa: os assuntos dependem muito dos anteriores (não pode multiplica quem não sabe somar), mas isto pode ser considerado como vantajoso para quem se empenha em exercitar-se. (É bem conhecida a história do estudante que só aprendeu Álgebra quando estudou Trigonometria, que só aprendeu Trigonometria quando estudou derivadas e integrais, que só aprendeu estas últimas quando estudou equações diferenciais, etc.)

Deve-se entretanto observar, com toda a ênfase, que as dificuldades adicionais da Matemática em relação às outras disciplinas dos oitos primeiros anos de escola não requerem talento especial para serem vencidas. Dependem, sim, de certos hábitos e atitudes como empenho, trabalho, dedicação, cuidado, atenção, etc. Tais hábitos e atitudes são essenciais para o bom desempenho de quaisquer atividades na sociedade, de modo que, ao exigi-las dos estudantes, a Matemática está contribuindo para formar melhores cidadãos, mesmo que eles não venham a fazer, posteriormente, uso da maior parte das coisas matemáticas que estudaram na escola.

Depois da oitava série, realmente o estudante deve passar a estudar Matemática num nível maior do que antes e aí creio que cabe mais claramente a observação de Poincaré. A conclusão mais óbvia é que haja, nesse ponto, uma nítida separação entre os tipos de escola, como é feito em alguns países da Europa. E, para aqueles que se destinam às carreiras, digamos “técnicas” na Universidade, é tarefa do professor amenizar o aspecto abstrato das teorias matemáticas, lembrando sempre o tripé a que me referi acima pois dos 15 aos 17 anos o jovem já tem condições intelectuais e treinamento matemático suficiente para dominar situações “contextuais” em que as três componentes do ensino matemático podem aparecer com o mesmo grau de relevância.

Quanto ao ensino a nível universitário, não há muito o que acrescentar às observações acima feitas, as quais “mutatis mutantis”, continuam válidas, salvo para dizer que uma atenção toda especial deve ser dada à formação dos futuros professores, para que possam dar aos seus alunos uma dedicação e um treinamento melhor do que eles próprios receberam.

Lisboa, 16 de Fevereiro de 2005.

Fonte: < http://mat.fc.ul.pt/doc/eventos/2004/PalestrasAM/PalestraElon.pdf>.

Acesso em: 05 Jul. 2012.


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COMO ESTUDAR EM UM LIVRO DE CÁLCULO ( OU QUALQUER LIVRO DE MATEMÁTICA).

Você não deve ler um livro de matemática com sua mente desligada como se entivesse lendo um romance. Também não faz muito sentido ler matemática marcando as passagens que você considera importantes. São caminhos certos para uma boa soneca.

Ler um livro de matemática é um processo ativo. Você tem que participar. Um livro de Cálculo deve ser lido devagar, com cuidado e sabendo que uma grande parte dos detalhes é em geral omitida quando o livro é escrito. Qualquer livro de matemática que contivesse todos os detalhes seria imenso e seria impossível de ser lido. É usual encontrar em livros de matemática frases do tipo evidentemente ou é fácil ver que. Elas não significam que o que vem em seguida deve ser imediatamente entendido pelo leitor, mas que neste ponto alguns detalhes foram suprimidos e que você deve usar papel e lápis para preencher estes detalhes que estão faltando.

Quando for estudar matemática tenha à mão lápis e papel de rascunho. Leia o material com atenção e escreva (e não somente leia) os exemplos que aparecem no livro. Faça você mesmo as contas. Invente seus próprios exemplos a respeito do que esta sendo explicado.

Matemática é uma das poucas ciências em que você não precisa acreditar no autor. Se você estiver lendo um livro de física você, em geral, não terá condições de realizar as experiências a que ele se refere. Se estiver lendo um livro de história você não terá acesso as fontes que o autor teve. Quando estiver lendo um livro de matemática você pode e deve verificar todas as afirmativas do autor.

Esteja também prevenido que algumas vezes não entendemos uma passagem na primeira, segunda ou mesmo terceira vez que a estudamos. Se depois de várias tentativas você continuar sem entender alguma parte da matéria ou exercício, procure o tutor ou o professor.

(Adaptado do texto de Maria Aparecida Soares Ruas).


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BIBLIOGRAFIA

LIVROS

APOSTOL, Tom M. Cálculo. Rio de Janeiro: Editora Reverté, 1979.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática – Contexto e Aplicações. Vol. único (Ensino Médio). 2. ed. São Paulo: Ática,2007.

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um curso de Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 1998.

LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. Tradução: Cyro de Carvalho Patarra. São Paulo: Harbra, 1994.

LIMA, Elon Lages e outros. A Matemática no Ensino Médio, vol. 1. 9. ed. Rio de Janeiro: SBM,2006.

STEWART, James. Calculus. Tradução: Cyro de Carvalho Patarra et al. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2001.

SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. Tradução Alfredo Alves de Faria. São Paulo: Makron Books, 1994.

THOMAS, George B. Cálculo - Volume 1. Tradução: Paulo Boschcov. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2002.

SITES

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O Kit de sobrevivência em Cálculo é uma coleção de worksheets em Maple V organizadas para servirem de apoio ao estudante de Cálculo de várias variáveis: http://www.dma.uem.br/kit/

http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus

The MacTutor History of Mathematics archive

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Eric Weisstein's World of Mathematics

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Cálculo - Thomas

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História de Matemáticos Famosos

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El legado de las matemáticas: De Euclides a Newton, los genios a traves de sus libros

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E-Física: Mecânica

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Projeções cartográficas

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RECOMENDAÇÕES DE LEITURA

STEWART, Ian. Almanaque das Curiosidades Matemáticas. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Ed.;2009.

TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 75. ed. Rio de Janeiro: Record, 2009.

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SUPLEMENTO DE CÁLCULO PARA ENGENHARIA - UFSJ

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