Cálculo de los puntos de inflexiónPara hallar los puntos de inflexión, seguiremos

los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:

f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.

3. Calculamos la imagen (en la función) del puntode inflexión.

EjemploHallar los puntos de inflexión de:

f(x) = x 3 − 3x + 2

f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.

f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.

f(0) = (0) 3 − 3(0) + 2 = 2

Punto de inflexión: (0, 2)

Si ya hemos estudiado la concavidad y convexidad de una función habrá:

Puntos de inflexión en los puntos en que ésta pasa de cóncava a convexa o vicecersa.

EjemploCalcular los puntos de inflexión de la función:

Tenemos un punto de inflexión en x = 0, ya que lafunción pasa de convexa a concava.

Punto de inflexión (0, 0)

2.4 Problema Flujo Máximo Abril 9, 2010

En algunas redes circula por los arcos un flujo (envío o circulación deunidades homogéneas de algún producto: automóviles en una red de carreteras,litros de petróleo en un oleoducto, bits por un cable de fibra óptica) desdeel origen o fuente al destino, también denominadosumidero o vertedero. Losarcos tienen una capacidad máxima de flujo, y se trata de enviar desde lafuente al sumidero la mayor cantidad posible de flujo, de tal manera que:

El flujo es siempre positivo y con unidades enteras. El flujo a través de un arco es menor o igual que la capacidad. El flujo que entra en un nodo es igual al que sale de él.

En el caso de que el origen o el destino no existan en el problema, se añadenficticiamente utilizando arcos unidireccionales de capacidad infinita, como en grafo mostrado a continuación:

  

Corte: Un corte define una serie de arcos cuya supresión de la red causa una interrupción completa del flujo entre el origen y el destino. Lacapacidad de corte es igual a la suma de las capacidades de los arcos asociados. Entre todos los cortes posibles en la red , el corte con lamenorcapacidad proporciona el flujo máximo en la red.

 El siguiente grafo ilustra 3 cortes: el Corte 1 con capacidad 60, el Corte 2con capacidad 110 y el Corte 3 con capacidad 70. Todo lo que podemos obtenerde los 3 cortes es que el flujo máximo en la red no excede de 60 unidades. Nopodemos saber cual es el flujo máximo hasta que se hayan enumerado todos loscortes en la red:

 Las capacidades se identifican como sigue: por ejemplo, para el arco (3,4), el límite de flujo es de 10 unidades de 3 a 4 y de 5 unidades de 4a 3.

  

Algoritmo de Ford-Fulkerson El algoritmo de Ford-Fulkerson propone buscar caminos en los que se pueda aumentar el flujo, hasta que se alcance el flujo máximo.La idea es encontrar una ruta de penetración con un flujo positivo neto que una los nodos origen y destino.Consideraremos las capacidades iniciales del arco que une el nodo i y el nodo j como Cij y Cji. Estas capacidades iniciales irán variando a medida que avanza el algoritmo, denominaremos capacidades residuales a las capacidades restantes del arco una vez pasa algún flujo por él, las representaremos como cij y cji.Para un nodo j que recibe el flujo del nodo i, definimos una clasificación [aj,i] donde aj es el flujo del nodo i al nodo j.Los pasos del algoritmo se definen como sigue: 

Paso 1: Inicializamos las capacidades residuales a las capacidadesiniciales, hacemos (cij,cji)=(Cij,Cji) para todo arco de la red. Suponiendo elnodo 1 como el nodo origen, hacemos a1=∞ y clasificamos el nodo origencon [ ,-]∞ . Tomamos i=1 y vamos al paso 2.

Paso 2: Determinamos Si como un conjunto que contendrá los nodos a los quepodemos acceder directamente desde i por medio de un arco con capacidadpositiva, y que no formen parte del camino en curso. Si Si contiene algúnnodo vamos al paso 3, en el caso de que el conjunto sea vacío saltamos alpaso 4.

Paso 3: Obtenemos kЄSi como el nodo destino del arco de mayor capacidad quesalga de i hacia un nodo perteneciente a Si. Es decir, cik = max{cij} con jЄSi.Hacemos ak=cik y clasificamos el nodo k con [ak,i]. Si k es igual al nododestino o sumidero, entonces hemos encontrado una ruta de penetración,vamos al paso 5. En caso contrario continuamos con el camino, hacemos i=k yvolvemos al paso 2.

Paso 4 (retroceso): Si i=1, estamos en el nodo origen, y como Si es vacío,entonces no podemos acceder a ningún nodo, ni encontrar algún nuevo camino,hemos terminado, vamos al paso 6.

En caso contrario, i=�1, le damos al valor i el del nodo que se haclasificado inmediatamente antes, eliminamos i del conjunto Si actual yvolvemos al paso 2.

Paso 5: Llegados a este paso tenemos un nuevo camino: Np={1,k1,k2,…,n}, estaserá la p-ésima ruta de penetración desde el nodo origen al nodo destino. Elflujo máximo a lo largo de esta ruta será la capacidad mínima de lascapacidades residuales de los arcos que forman el camino, esdecir: fp=min{a1,ak1,ak2,…,an}.La capacidad residual de cada arco a lo largo de la ruta de penetración sedisminuye por fp en dirección del flujo y se incrementa por fp en direccióninversa, es decir, para los nodos i y j en la ruta, el flujo residual secambia de la (cij,cji) actual a (cij-fp,cji+fp) si el flujo es de i aj, o (cij+fp,cji-fp) si el flujo es de j a iInicializamos i=1 y volvemos al paso 2 para intentar una nueva ruta depenetración.

Paso 6 (solución): Una vez aquí, hemos determinado m rutas de penetración.El flujo máximo en la red será la suma de los flujos máximos en cada rutaobtenida, es decir: F=f1+f2+…+fm. Teniendo en cuenta que las capacidadesresiduales inicial y final del arco (i, j) lasdan(Cij,Cji) y (cij,cji) respectivamente, el flujo máximo para cada arco se calculacomo sigue: sea (α, β)=(Cij-cij, Cji-cji), si α>0, el flujo óptimo de i a j es α, de locontrario, si β>0, el flujo óptimo de j a i es β. Es imposible lograr quetanto α como β sean positivas.

  Ejemplo: Determinar el flujo máximo en la red siguiente:

 Iteración 1:

 

 Determinamos las residuales iniciales (cij,cji) iguales a las capacidades iniciales (Cij,Cji).

Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1. Paso 2: S1={2,3,4} (no vacío). Paso 3: k=3 ya que c13=max{c12,c13,c14}={20,30,10}=30. Hacemos a3=c13=30 y

clasificamos el nodo 3 con [30,1]. Tomamos i=3 y repetimos el paso 2. Paso 2: S3={4,5} Paso 3: k=5 y a5=c35=max{10,20}=20. Clasificamos el nodo 5 con [20,3]. Logramos

la penetración, vamos al paso 5. Paso 5: La ruta de la penetración se determina de las clasificaciones

empezando en el nodo 5 y terminando en el nodo 1, es decir,5→[20,3]→3→[30,1]→1.

Entonces la ruta es N1={1,3,5} y f1=min{a1,a3,a5}={ ,30,20}=∞ 20. Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son:(c13,c31)=(30-20, 0+20)=(10,20)(c35,c53)=(20-20, 0+20)=(0,20)  Iteración 2:

  

Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1. Paso 2: S1={2,3,4}. Paso 3: k=2 y a2=c12=max{20,10,10}=20. Clasificamos el nodo 2 con [20,1].

Tomamos i=2 y repetimos el paso 2. Paso 2: S2={3,5} Paso 3: k=3 y a3=c23=max{30,40}=40. Clasificamos el nodo 3 con [40,2].

Tomamos i=3 y repetimos el paso 2. Paso 2: S3={4} (c35=0, el nodo 1 ya ha sido clasificado y el nodo 2 cumple

ambas condiciones, por tanto los nodos 1, 2 y 5 no pueden ser incluidos en S3).

Paso 3: k=4 y a4=c34=10. Clasificamos el nodo 4 con [10,3]. Tomamos i=4 y repetimos el paso 2.

Paso 2: S4={5} Paso 3: k=5 y a5=c45=20. Clasificamos el nodo 5 con [20,4]. Logramos la

penetración, vamos al paso 5. Paso 5: La ruta de la penetración es: 5→[20,4]→4→[10,3]→3→[40,2]→2→[20,1]→1.

Entonces la ruta es N2={1,2,3,4,5} y f2=min{ ,20,40,10,20}=∞ 10. Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son:(c12,c21)=(20-10, 0+10)=(10,10)(c23,c32)=(40-10, 0+10)=(30,10)(c34,c43)=(10-10, 5+10)=(0,15)(c45,c54)=(20-10, 0+10)=(10,10)  Iteración 3:

  

Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1. Paso 2: S1={2,3,4}. Paso 3: k=2 y a2=c12=max{10,10,10}=10, rompemos el empate arbitrariamente.

Clasificamos el nodo 2 con [10,1]. Tomamos i=2 y repetimos el paso 2. Paso 2: S2={3,5} Paso 3: k=3 y a3=c23=max{30,30}=30. Clasificamos el nodo 3 con [30,2].

Tomamos i=3 y repetimos el paso 2. Paso 2: S3 vacío ya que c34=c35=0. Vamos al paso 4 para retroceder. Paso 4: La clasificación [30,2] nos dice que el nodo inmediatamente

precedente es el 2. Eliminamos el nodo 3 de una consideración posterior en esta iteración. Tomamos i=2 y repetimos el paso 2.

Paso 2: S2={5} Paso 3: k=5 y a5=c25=30. Clasificamos el nodo 5 con [30,2]. Logramos la

penetración, vamos al paso 5. Paso 5: La ruta de la penetración es: 5→[30,2]→2→[10,1]→1.

Entonces la ruta es N2={1,2,5} y f3=min{ ,10,30}=∞ 10. Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son:(c12,c21)=(10-10, 10+10)=(0,20)(c25,c52)=(30-10, 0+10)=(20,10)    Iteración 4:

   

Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1. Paso 2: S1={3,4}. Paso 3: k=3 y a3=c13=max{10,10}=10. Clasificamos el nodo 3 con [10,1].

Tomamos i=3 y repetimos el paso 2. Paso 2: S3={2} Paso 3: k=2 y a2=c32=10. Clasificamos el nodo 2 con [10,3]. Tomamos i=2 y

repetimos el paso 2. Paso 2: S2={5} Paso 3: k=5 y a5=c25=20. Clasificamos el nodo 5 con [20,2]. Logramos la

penetración, vamos al paso 5. Paso 5: La ruta de la penetración es: 5→[20,2]→2→[10,3]→3→[10,1]→1.

Entonces la ruta es N4={1,3,2,5} y f4=min{ ,10,10,20}=∞ 10. Las capacidades residualesa lo largo de esta ruta son:(c13,c31)=(10-10, 20+10)=(0,30)(c32,c23)=(10-10, 30+10)=(0,40)(c25,c52)=(20-10, 10+10)=(10,20)  Iteración 5:

   

Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1. Paso 2: S1={4}.

Paso 3: k=4 y a4=c14=10. Clasificamos el nodo 4 con [10,1]. Tomamos i=4 y repetimos el paso 2.

Paso 2: S4={3,5} Paso 3: k=3 y a3=c23=max{15,10}=15. Clasificamos el nodo 3 con [15,4].

Tomamos i=3 y repetimos el paso 2. Paso 2: S3 vacío ya que c32=c34=c35=0. Vamos al paso 4 para retroceder. Paso 4: La clasificación [15,4] nos dice que el nodo inmediatamente

precedente es el 4. Eliminamos el nodo 3 de una consideración posterior en esta iteración. Tomamos i=4 y repetimos el paso 2.

Paso 2: S4={5} Paso 3: k=5 y a5=c45=10. Clasificamos el nodo 5 con [10,4]. Logramos la

penetración, vamos al paso 5. Paso 5: La ruta de la penetración es: 5→[10,4]→4→[10,1]→1.

Entonces la ruta es N2={1,4,5} y f3=min{ ,10,10}=∞ 10. Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son:(c14,c41)=(10-10, 0+10)=(0,10)(c45,c54)=(10-10, 10+10)=(0,20)  Iteración 6:

 No son posibles más penetraciones, debido a que todos los arcos fuera del nodo 1 tienen residuales cero. Vayamos al paso 6 para determinar la solución.

 Paso 6: El flujo máximo en la red es F=f1+f2+…+f5=60 unidades. El flujo en losdiferentes arcos se calcula restando las últimas residuales obtenidas en laúltima iteración de las capacidades iniciales:

 

Los problemas conocidos como problemas del camino mínimo o camino más corto,tratan como su nombre indica de hallar la ruta mínima o más corta entre dospuntos. Este mínimo puede ser la distancia entre los puntos origen y destino obien el tiempo transcurrido para trasladarse desde un punto a otro. Se aplicamucho para problemas de redes de comunicaciones.Este tipo de problemas pueden ser resueltos por el método del Simplex, sinembargo existen otros métodos más eficientes como por ejemplo el algoritmo deDijkstra o el de Bellman-Ford.EjemploUna persona tiene que desplazarse a diario de un pueblo 1 a otro 7. Está estudiando cual es el trayecto más corto usando un mapa de carreteras. Las carreteras y sus distancias están representadas en la figura siguiente:

Se determinan las variables de decisión, en este caso: Xij: acción de desplazarse del pueblo i al j (0 indica que no hay desplazamiento

y 1 que sí hay desplazamiento)Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen del balance entre los posibles caminos que parten desde cada pueblo y los que llegan hasta él (obviandolos caminos que nos devuelvan al punto de partida y los que provengan del punto de destino):

Balance de caminos del pueblo 1: X12 + X13 = 1 Balance de caminos del pueblo 2: X24 + X25 – X12 – X42 – X52 = 0 Balance de caminos del pueblo 3: X34 + X36 – X13 – X43 – X63 = 0 Balance de caminos del pueblo 4: X42 + X43 + X45 – X24 – X34 – X54 = 0 Balance de caminos del pueblo 5: X52 + X54 + X57 – X25 – X45 =

Balance de caminos del pueblo 6: X63 + X67 – X36 = 0 Balance de caminos del pueblo 7: – X57 – X67 = -1Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, … En este caso las restricciones son que las variables deben ser booleanas (0 no se toma el camino, 1 se toma), y por lo tantono pueden ser negativas:

Xij ≥ 0 Xij es booleano

Se determina la función objetivo: Minimizar Z = 12·X12 + 4·X13 + 5·X24 + 3·X25 + 2·X34 + 10·X36 + 5·X42 + 2·X43 +

10·X45 + 3·X52 + 10·X54 + 2·X57 + 10·X63 + 4·X67