Bioestatística Aula 5 Profa. Dra. Patrícia Calil

Bioestatística

Aula 5

Profa. Dra. Patrícia Calil

Bioestatística | Aula 5 2

Olá, seja bem-vindo!

Assista ao vídeo a seguir e conheça o conteúdo que será trabalhado

nesta aula.

Introdução

Primeiramente devemos lembrar que a distribuição de uma população

pode ser demonstrada por meio de uma “curva de distribuição”. Para a

elaboração dessa curva é necessário que conheçamos, para a variável em

questão, pelo menos a média para a população e seu desvio-padrão.

Uma grande parte das populações pode ser representada por uma curva

chamada de “curva normal”, ou “curva de Gauss”, cujas aplicações serão

discutidas nesta aula. Inicialmente pode parecer um estudo difícil e abstrato,

mas à medida que se trabalha com exemplos reais, podemos perceber a

importância desse tema. Sendo assim, abordaremos a curva da normalidade

de maneira prática, ou seja, inserida no contexto real do pesquisador que

coleta dados em campo, seja em um laboratório, em uma clínica ou em um

ambiente externo associado a um determinando habitat (no caso específico da

Biologia).

Compreendendo a Curva Normal

A curva normal (ou de normalidade) dos dados pode ser calculada por

fórmulas matemáticas inseridas em diversos programas estatísticos. Contudo,

no nosso caso, o cálculo não será estudado, já que focaremos nossa atenção

sobre o uso prático da curva normal. Vamos, então, conhecer a curva normal

(figura 19):


x

Figura 19 - Curva normal. Simbologia: = média da população; = desvio-padrão da população.

Fonte: criada por Patrícia Calil.

Observando a figura acima (figura 19), devemos primeiramente

compreender que a área existente entre a curva normal e o eixo X é igual a

100%, ou seja, qualquer probabilidade, de qualquer tipo de variável, em

qualquer população que se esteja analisando será representada por uma área

específica entre a curva normal e o eixo X.

Figura 20 - Representação da área entre a curva normal e o eixo X. Simbologia: = média da

população.

Fonte: criada por Patrícia Calil.

Observe que a curva normal possui uma divisão exatamente no meio (50% para

cada lado) da média da população () (figura 20).

50%50%

50%50%


É importante conhecer mais algumas características da curva normal

(GUEDES e GUEDES, 1988):

Possui a aparência de um sino;

É simétrica ao redor do ponto em que X se iguala à média da

população (x = );

Estende-se infinitamente em ambas as direções (direita e esquerda);

Aproxima-se do eixo horizontal à medida que se afasta do ponto central

(assíntota);

Possui uma pequena área correspondente a valores negativos de X;

Existe uma curva normal específica para cada valor diferente de média

e de desvio-padrão de uma determinada população;

A área sob a curva normal é de 100%.

Vejamos o exemplo a seguir: um herpetólogo obteve a medida de

diversos sapos de uma espécie e dividiu-os em machos e fêmeas. Os machos

apresentaram um comprimento médio de 7,5cm, com desvio-padrão de 1,5cm.

Já as fêmeas, maiores que os machos na espécie em estudo,

apresentaram um comprimento médio de 15,0cm, com um desvio-padrão de

2,7cm.

Mesmo as medidas sendo diferentes, a distribuição dos comprimentos dos sapos

machos e fêmeas será representada por curvas normais (figura 21).


7,5 15,0

Figura 21 - Curvas normais representando os valores de comprimento médio de uma população

de sapos machos ( = 7,5cm) e fêmeas ( = 15,0cm).

Fonte: criado por Patrícia Calil.

Duas populações podem ser igualmente representadas por curvas

normais de distribuição, entretanto, a forma de cada curva pode ser diferente

de acordo com a variação dos dados que as compõem. Se uma população

possuir um desvio-padrão maior do que a outra, sua curva normal será mais

achatada e espalhada.

Vejamos o nosso exemplo sobre as populações de sapos:

Machos: = 7,5cm; = 1,5cm;

Fêmeas: = 15,0cm; = 2,7cm.

Com base nesses dados (e sabendo que ambos possuem distribuição

normal) podemos observar que a curva normal para os machos será mais

afilada e menos espelhada (curtose) do que a curva normal das fêmeas (figura

22), porém ambas são totalmente simétricas. Assim, a altura que o ápice da

curva normal apresentar é chamada de “curtose”, ou “achatamento”.


7,5

1,5

15,0

2,7

7,5

1,5

15,0

2,7

Figura 22 - Curvas normais representando os valores de comprimento médio de uma população

de sapos machos ( = 7,5cm; = 1,5cm) e fêmeas ( = 15,0cm; = 2,7cm).


Existem três tipos possíveis de curtose (figura 23):

1. Platicúrtica: curva com pico muito achatado;

2. Mesocúrtica: curva com pico nem muito achatado e nem muito pontudo

(elevado). É considerada a curva normal padrão;

3. Leptocúrtica: curva com pico muito pontudo (elevado).

platicúrtica

mesocúrtica

leptocúrtica

Figura 23 - Representação dos três tipos de curtose em curvas normais.



Agora que você já entendeu as características principais da curva

normal, deve haver algumas perguntas no ar:

Qual é a importância de uma curva normal? Por que estudar essa curva?

Por que é vantajoso que os dados tenham distribuição normal?

Vamos às respostas! É vantajoso que quaisquer dados possuam uma

distribuição normal porque algumas características dessa curva já foram

determinadas para qualquer dado, medida ou valor que você possa obter. Se

os seus dados forem “normais”, ou seja, se eles estiverem distribuídos de

acordo com a curva de normalidade, você poderá utilizar a inferência estatística

para analisá-los e chegar a conclusões para qualquer população, utilizando os

parâmetros da curva normal.

Veremos logo mais como se faz isso de forma prática, utilizando a curva

normal para analisar dados de uma população. Mas agora você deve estar se

perguntando:

Mas e se os dados não forem normais? Nesse caso eles não podem ser

analisados estatisticamente?

Os dados que não se encaixarem dentro da distribuição normal também

podem ser analisados estatisticamente, o que é feito por meio dos chamados

“testes não paramétricos”. Esses testes não serão abordados nesta aula, mas

serão citados, e resumidamente explicados, na próxima aula.

O vídeo a seguir reforca o que acabamos de estudar sobre a curva

normal naquilo que se refere a suas características, sua simbologia, seus tipos

e sua importância.


Utilização Prática da Curva Normal: Distribuição

Normal Reduzida (Teste Z)

Para entender bem como se usa a curva normal em qualquer população

que possua distribuição normal, você deve primeiramente saber que existem

tabelas construídas para essa curva e que indicam, por exemplo, quantos

porcento de uma população se encontram dentro de cada parte (ou faixa) da

curva normal. Para realizar esse salto entre a teoria e a prática, utilizamos a

“distribuição normal reduzida” ou “padronizada”, como veremos a seguir.

Sendo assim, há 100% de chance de que um valor pertencente a uma

população possa ser encontrado entre – e + . De acordo com a quantidade

de desvios-padrão () que o valor X tenha em relação à média, a área que ele

ocupará, ou a área de sua probabilidade de ocorrência, será calculada de

acordo com a área entre a curva e o eixo X. Veja alguns desses princípios

abaixo (BERQUÓ et al., 1981) (figura 24):

A área sob a curva compreendida entre a média -1 desvio-padrão ( -

) e média +1 desvio-padrão ( + ) vale aproximadamente 68%;

A área sob a curva compreendida entre média -1,96 desvios-padrão (-

1,96) e média +1,96 desvios-padrão (+1,96) vale,

aproximadamente, 95%;

A área sob a curva compreendida entre média -2,58 desvios-padrão

(-2,58) e média +2,58 desvios-padrão (+2,58) vale,

aproximadamente, 99%;

Perceba que, se a área entre a curva normal e o eixo X tem valor de 100%, todas

as áreas sob a curva podem ser entendidas como medidas de probabilidade.


Para efeitos práticos, considera-se que a área sob a curva

compreendida entre média -3 desvios-padrão (-3) e média +3

desvios-padrão (+3) vale cerca de 100%. A amplitude máxima de

variação de X é de 6 desvios-padrão (6).

( + )

( + 1,96)

( + 2,58)

( - )

( - 1,96)

( - 2,58)

68%

99%

95%

Figura 24 - Representação da probabilidade (%) das áreas entre a curva normal e o eixo

X de uma curva normal. Simbologia: = média; = desvio-padrão.


Como existem infinitas populações para serem estudadas e que, se

analisadas, revelarão infinitos valores de média e de desvio-padrão, podermos

imaginar que deveria haver tantas tabelas de curvas normais quantas fossem

as combinações de e , já que somente desses elementos depende uma

distribuição normal. Mas parece razoável que precisemos construir uma tabela

de distribuição para cada caso? Seria tal procedimento possível? Basta você

se lembrar que em uma pesquisa podem ser obtidos dados de diversas

variáveis, o que, por inviabilidade de tempo e de esforço estatístico, inviabuliza

essa possibilidade (BERQUÓ et al., 1981; GUEDES e GUEDES, 1988).


Dessa maneira, somente uma tabela chamada de tabela de distribuição

normal reduzida (tabela 28), ou padronizada, será suficiente para resolver

todos os casos do plano real. Essa transformação de dados pode ser feita por

uma fórmula bastante simples (BERQUÓ et al., 1981; GUEDES e GUEDES,

1988):

z = x –

Nessa fórmula podemos interpretar o z como sendo a quantidade de

desvios-padrão que o valor de x está afastado da média ().

Todas as vezes que se desejar utilizar uma tabela de distribuição normal,

devemos fazer antes uma transformação dos dados, passando da distribuição

normal comum a distribuição normal reduzida, ou padronizada, que nada mais

é do que uma distribuição normal na qual = 0 e = 1.


Tabela 28 - Tabela de distribuiçãoo normal reduzida.

Cada casa na tabela fornece a proporção sob toda a curva entre z - 1 e um valor

positivo de z. As áreas para os valores negativos de z são obtidas por simetria

(VIEIRA, 1998).


O vídeo a deguir introduz a tabela de distribuição reduzida e sua

utilização na prática.

Exemplos Práticos de Distribuição Normal Reduzida

Nesta seção vamos entender como se usa a tabela de distribuição

reduzida (tabela 28) para encontrar probabilidades dentro de qualquer conjunto

de dados (amostra) que esteja sendo estudado.

Vamos supor que você queira encontrar uma área sob a curva normal na

tabela, mas que possua média diferente de zero e desvio-padrão diferente de

1. Para isso, inicialmente você terá que transformar os seus dados utilizando a

fórmula citada anteriormente. Podemos dizer que os seus dados reais e

originais serão agora dados reduzidos, sendo só então possível a sua

interpretação pela tabela de distribuição reduzida (tabela 28).

Há outras formas de utilizar a distribuição normal reduzida, confira na aula que

indicamos a seguir. Disponível em:

<http://www.ime.usp.br/~chang/home/mae116/aulas/Aula%206_distribui%E7%E3

o%20Normal.pdf>


Exemplo

Em uma pesquisa que visa a controlar o peso e a porcentagem de

gordura corporal de uma amostra de pacientes diabéticos que frequentam um

centro de controle dentro de um hospital, um pesquisador determinou que a

porcentagem média de gordura corpórea dos pacientes é de 26,56% () e o

desvio padrão é de 15,94% ().

Sabendo que a população em estudo possui distribuição próxima à

normal, o pesquisador deseja saber a proporção de indivíduos que se encontra

em determinados níveis de gordura corporal, já que são admitidos como

normais valores entre 14,5% e 24,0% para homens adultos, e de 22,0% a

27,0% para mulheres adultas. Homens e mulheres com níveis de gordura

corporal respectivamente superiores a 35% e 40% são considerados obesos

mórbidos, correndo risco iminente de sofrer doenças cardiovasculares. Esse

quadro é agravado pela condição de diabéticos dos pacientes dessa pesquisa,

o que aumenta o interesse em analisar essa variável.

a) Deseja-se calcular a proporção de pessoas que possui porcentagem

de gordura corporal entre 26,56% e 36,0% (note que seria o mesmo que

perguntar: qual a probabilidade de algum paciente possuir porcentagem de

gordura corporal entre 36,0% e 26,56%).

Primeiramente vamos transformar os dados utilizando a devida fórmula:

z = x –

Neste caso: x = 36,0; = 26,56; = 15,94.

Obtémos o seguinte: 36,0 - 26,56 ÷ 15,94 z = 0,59 (arredonde os

valores no centesimal com a finalidade de padronizar os dados, já que os

valores da tabela de ditribuição normal reduzida estão no centesimal).

Valores negativos de z devem ser considerados como positivos.


O valor de z = 0,59 deve, então, ser procurado na tabela de distribuição

normal reduzida da seguinte forma:

Procure, na coluna da esquerda, os dois primeiros dígitos do seu

número (0,5);

Procure na linha superior da tabela o último dígito do seu número (9);

Ao encontrar a coluna (0,5) e a linha (9) selecionadas, você obterá o

valor de 0,2224;

Esse valor deve sempre ser multiplicado por 100 para que a

probabilidade seja expressa em %, unidade que temos mais

familiaridade (22,24%);

O valor 22,24% é então a probabilidade, ou proporção de pessoas que

possuem porcentagem de gordura corporal entre 26,56% e 36,0%.

Observe a plotagem desses valores na curva normal reduzida:

O valor da média (26,56) é colocado sob o ponto que anteriormente

estava indicado como a média da população () e o valor de x (36,0) foi plotado

à direita da média por ser um valor positivo. Se fosse negativo, seria plotado à

esquerda da média, sendo realizados os mesmo procedimentos.

36,0

22,24%

x26,56


b) Deseja-se agora calcular a proporção de pessoas que possui

porcentagem de gordura corporal maior do que 36,0%. Isto é: qual a

probabilidade de algum paciente possuir porcentagem de gordura corporal

maior do que 36,0%?

Utilizamos a mesma fórmula:

z = x –

Neste caso: x = 36,0; = 26,56; = 15,94. Obtémos: 36,0 - 26,56 ÷

15,94 z = 0,59

Como acabamos de ver, o valor de z = 0,59 vale, na tabela de

distribuição normal reduzida, uma probabilidade de 22,24%. Já sabemos

também que o valor 22,24% representa a probabilidade, ou a proporção de

pessoas, que possuem porcentagem de gordura corporal entre 26,56% e

36,0%.

Plotando esses valores na curva normal reduzida, temos exatamente o

mesmo exemplo dado anteriormente:

Você deseja agora saber a probabilidade de pessoas que possuem porcentagem

de gordura corporal maior do que 36,0%.


x

26,56 36,0

22,24%

Nesse exemplo, contudo, você deseja saber o valor da área maior do

que 36,0. Isto é, você quer saber o valor da área que está à direita desse valor.

A partir de agora vamos padronizar a cor cinza para o preenchimento das

áreas das quais se deseja obter o valor. Já sabemos que a curva normal

representa 100% dos valores de probabilidade existentes e que sua metade

representa 50%. Para saber o valor da área rachurada em cinza (maior do que

36,0), basta reduzir o valor que se tem (22,24%), de 50%. Assim, o resultado é:

50% - 22,24% = 27,76%.

Os 27,76% é então a probabilidade de pessoas que possuem

porcentagem de gordura corporal maior do que 36,0%. Esse valor corresponde

à área rachurada de cinza na curva normal reduzida.

22,24%

x

26,56 36,0

22,24%

x

26,56 36,0

c) Deseja-se agora calcular a proporção de pessoas que possui

porcentagem de gordura corporal menor do que 36,0%. Sendo o n igual ao do

exemplo anterior, não iremos calcular o valor de probabilidade. Vamos direto à

representação gráfica:


22,24%

x26,56 36,0

50,0%

72,24%

22,24%

x26,56 36,0

50,0%

72,24%

22,24%

x26,56 36,0

50,0%

72,24%

Nesse exemplo você quer saber o valor de uma área menor do que 36,0,

ou seja, o valor da área que está à esquerda desse valor (rachurada em cinza).

Se metade da curva normal reduzida representa 50%, para saber o valor da

área em cinza (menor do que 36,0), basta somar o valor que se tem (22,24%),

com 50%. Assim, o resultado é: 50% + 22,24% = 72,24%.

Os 72,24% é, portanto, a probabilidade de pessoas que possuem

porcentagem de gordura corporal menor do que 36,0%.

d) Deseja-se agora calcular a proporção de pessoas que possui

porcentagem de gordura corporal entre 18,5% e 36,0%?

Utilizamos a mesma fórmula, porém duas vezes: para 18,5 e para 36,0:

z = x –

1o valor de x: x = 18,5; = 26,56; = 15,94. Obtém-se: 18,5 - 26,56 ÷

15,94 z = 0,51. O valor de z = 0,51 vale, na tabela de distribuição normal

reduzida, uma probabilidade de 19,50%.

2o valor de x: x = 36,0; = 26,56; = 15,94. Obtém-se: 36,0 - 26,56 ÷

15,94 z = 0,59. O valor de z = 0,59 vale, na tabela de distribuição normal

reduzida, uma probabilidade de 22,24%.


Plotando esses dois valores na curva normal reduzida, temos:

26,56 36,018,5

22,24%19,5%

x

41,74

26,56 36,018,5

22,24%19,5%

x

26,56 36,018,5

22,24%19,5%

x

22,24%19,5%

x

41,74

Como você deseja saber o valor da área entre 18,5 e 36,0, basta somar

as probabilidades de ambas: 19,50% + 22,24% = 41,74%.

Os 41,74% é a proporção de pessoas que possuem porcentagem de

gordura corporal entre 18,5 e 36,0%.

e) Deseja-se, por fim, saber qual a proporção de pessoas que possui

porcentagem de gordura corporal entre 15,5% e 18,5%?

Vamos calcular apenas o valor de z para 15,5% e 18,5%, utilizando

novamente a fórmula:

z = x –

1o valor de x: x = 15,5; = 26,56; = 15,94. Obtemos: 15,5 - 26,56 ÷

15,94 z = 0,69. O valor de z = 0,69 vale, na tabela, uma probabilidade de

25,49%.

2o valor de x: x = 18,5; = 26,56; = 15,94. Obtemos: 18,5 - 26,56 ÷

15,94 z = 0,51. O valor de z = 0,51 vale, na tabela, uma probabilidade de

19,50%.


Plotando esses dois valores na curva normal reduzida, temos:

x26,5618,515,5

19,5%

5,99%

25,49

x26,5618,515,5

19,5%

5,99%

x26,5618,515,5

19,5%

5,99%

26,5618,515,5

19,5%

5,99%

26,5618,515,5

19,5%

5,99%

25,49

Como desejamos saber o valor da área entre 15,5 e 18,5, basta subtrair

a probabilidade da área referente à distância entre 15,5 a 26,56 (25,49%) pela

probabilidade da área referente à distância entre 18,5 e 26,56 (19,50%). Assim:

25,49% - 19,50% = 5,99%.

Os 5,99% é a proporção de pessoas que possuem porcentagem de

gordura corporal entre 15,5 e 18,5%.

Observe:

1002 pessoas ----- 100%

x pessoas ----------- 5,99% 60,02 60 pessoas

Se, por exemplo, você desejar conhecer a quantidade de pessoas em uma

população de 1002 indivíduos que possuam a chance de apresentar porcentagem

de gordura corporal entre 15,5 e 18,5%, basta encontrar o valor (em porcentagem,

como feito no exemplo anterior) e aplicar uma simples regra de três, na qual o

tamanho da população (1002 nesse caso) equivale a 100%.


Conclui-se que, em uma população de 1002 pessoas, aproximadamente

60 pessoas têm chance de possuir uma porcentagem de gordura corporal entre

15,5 e 18,5%.

No vídeo a seguir todos esses exemplos serão explicados visulamente

para facilitar a compreensão dos cálculos e transformações numéricas, confira!

Testes Estatísticos para a Determinação da

Normalidade

Existem vários testes estatísticos utilizados por softwares para

determinar se uma amostra possui um padrão normal de distribuição. Essa

determinação é muito importante e deve ser feita antes da realização de

qualquer teste estatístico (de inferência).

A partir daí você poderá escolher algum teste paramétrico para analisar

os seus dados, como é o caso do Teste-t e da Anova (que veremos com mais

detalhes na próxima aula). Ou então, se sua amostra não possuir normalidade,

você terá que optar por um teste não paramétrico (Kruskall-Wallis, Mann

Whitney-U etc.) para realizar a análise inferencial dos dados.

Para determinar o tipo de teste que será utilizado para analisar um conjunto de

dados, devemos primeiramente saber se a amostra é normal.


Nesta aula não falaremos sobre a formulação das hipóteses de

normalidade e nem sobre os cálculos realizados para tal, mas daremos uma

pincelada nos testes mais utilizados, diferenciando-os quanto à possibilidade

de uso. Isso pode ser de grande ajuda porque os softwares que podem ser

utilizados para realização dos cálculos normalmente oferecem diferentes tipos

de teste de normalidade. Isso geralmente gera dúvidas nos estudantes e

mesmo nos pesquisadores, embora seja algo bastante simples.

Os testes que serão descritos a seguir foram retirados do manual do

programa estatístico BioEstat versão 3.0, desenvolvido na Universidade

Federal do Pará (AYRES et al., 2003). Esse programa possui explicações

claras e objetivas sobre diversos testes específicos das áreas da saúde e

biológica. Há abaixo um resumo do principal uso dos testes mais comuns para

a determinação da normalidade de uma ou mais amostras:

1. Teste D’ Agostinho: utilizado para qualquer número de amostras que

possuam um número total de dados (n) maior ou igual a 10. Normalmente

usado para testar pequenas amostras, sendo recomendado que se usem

números com 5 decimais;

2. Teste D’ Agostinho-Pearson: utilizado para qualquer número de amostras

que possuam um número total de dados (n) maior ou igual a 20;

3. Teste de Kolmogorov-Smirnov: utilizado somente para uma amostra.

Compara a distribuição de uma amostra com uma distribuição teórica

esperada;

4. Teste de Lilliefors: utilizado para qualquer número de amostras. Compara

a distribuição de uma amostra com uma distribuição teórica esperada;

5. Teste de Shapiro-Wilk: utilizado para qualquer número de amostras que

possuam um número total de dados (n) maior do que 2 e menor do que 51.

Pode ser feito para várias amostras simultaneamente;

6. Teste para valores extremos (outliers): utilizado para valores que estejam

muito afastados da média e da maior parte dos valores da distribuição. O


programa determina os possíveis outliers com base em uma equação,

sendo cinco a quantidade máxima de valores extremos que podem ser

detectados em uma amostra normal. Nota-se que os valores extremos

podem ter sido introduzidos na amostra por algum tipo de erro (amostragem

incorreta, registro errado de dados etc.) ou simplesmente constituem dados

diferentes, porém corretos. Nesse caso, e principalmente na área da saúde

e biológica, a determinação da distribuição dos outliers pode ser importante

para a adequada conclusão da pesquisa.

Assista ao vídeo a seguir para reforçar a importância dos testes

estatísticos para a determinação da normalidade.

Resumindo

A curva normal foi o tema desta aula, na qual estudamos sua aplicação

prática e suas características, que são:

A área sob a curva normal é de 100%;

Ela se assemelha a um sino;

É simétrica ao redor do ponto em que x é igual a da população;

Estende-se infinitamente em ambas as direções;

Existe uma curva normal para cada valor diferente de e de uma

população.

Síntese


O vídeo a seguir encerra a aula e retoma os pontos mais importantes

que foram discutidos, acompanhe!

1. O tempo médio de permanência de 259 pacientes transplantados em um

hospital é de 50 dias, com um desvio padrão igual a 10 dias. Assinale a

alternativa que representa a quantidade de pacientes que permanecem

internados por menos do que 30 dias?

a. Aproximadamente 253 pacientes;

b. Aproximadamente 2 pacientes;

c. Aproximadamente 6 pacientes;

d. Aproximadamente 124 pacientes.


2. Suponha que a quantidade de chuva média de um local seja de 120mm,

com desvio padrão de 8mm. Nessas condições, assinale a alternativa que

representa os valores corretos da probabilidade (%) de chover entre 110 e

130mm.

a. 78,88%

b. 39,44%

c. 10,56%

d. 39,44%


Referências

AYRES, M., AYRES JÚNIOR, M., AYRES, D. L., SANTOS, A. BioEstat 3.0:

aplicações estatísticas nas áreas das ciências biológicas e médicas. Belém:

Sociedade Civil Mamirauá; Brasília: CNPq, 2003.

BERQUÓ, E. S., SOUZA, J. M. P., GOTLIEB, S. L. D. Bioestatística. São

Paulo: Editora Pedagógica e Universitária Ltda., 1981.

GUEDES, M. L. S., GUEDES, J. S. Bioestatística para profissionais de

saúde. Brasília: MCT – CNPq; Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico S.A. 1988.

VIEIRA, S. Introdução à bioestatística. Rio de Janeiro: Campus, 1998.

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