2. 5 BERKAS GARIS

Kita dapat menyatakan persamaan garis dalam

berbagai bentuk. Persamaan-persamaan tersebut

diantaranya sebagai berikut

y=mx+b dan

xa

+yb=1

Masing-masing persamaan tersebut mempunyai dua

konstanta yang mempunyai makna geometris. Konstanta-

konstanta dari persamaan pertama adalah m dan b. Konstanta m menunjukkan kemiringan garis, sedangkan konstanta b menunjukkan perpotongan garis dengan sumbu Y. Pada persamaan kedua, konstanta a menunjukkan perpotongan garis dengan sumbu X, sedangkan konstanta bmenunjukkan perpotongan garis dengan sumbu Y. Ketika

nilai tertentu diperuntukkan untuk konstanta-konstanta

tersebut, suatu garis ditentukan secara lengkap. Nilai

yang berbeda untuk konstanta tersebut tentu saja

menentukan garis yang berbeda pula. Dengan demikian,

nilai m dan b ditentukan untuk sebarang garis tertentu tetapi nilai m dan b berbeda untuk satu garis dan garisyang lain. Konstanta ini disebut parameter. Pada

persamaan kedua a dan b yang akan menjadi parameter.Persamaan linier dengan satu parameter

merepresentasikan semua garis dengan sifat-sifat

khusus. Sebagai contoh, persamaan y=3x+b merepresentasikan suatu garis dengan gradien 3 dan

perpotongannya dengan sumbu Y adalah b. Kita memperhatikan b sebagai parameter yang dapat diasumsikan sebarang nilai real. Gradien garis sama

untuk semua nilai b, maka persamaan tersebut merepresentasikan himpunan garis-garis sejajar.

Keseluruhan garis yang ditentukan demikian disebut

berkas garis. Tentu saja, terdapat tak hingga garis

dalam berkas garis. Pada kenyataanya, garis dari berkas

garis melalui masing-masing titik pada bidang

koordinat.

Contoh 1

Tuliskan persamaan dari berkas garis dengan gradien 23.

Penyelesaian

Kita memilih persamaan

2x−3y=kuntuk merepresentasikan berkas garis. Grafik dari

persamaan ini adalah garis dengan gradien 23 untuk

sebarang nilai khusus dari parameter k. Dengan demikian, dengan nilai k yang bervariasi, merepresentasikan keluarga dari garis paralel. Gambar

di bawah menunjukkan beberapa garis dari berkas garis

yang bersesuaian dengan nilai k tertentu.

Contoh 2

Diskusikan berkas garis yang direpresentasikan oleh

persamaan

y−2=m(x−4)

Penyelesaian

y−2=m(x−4) merupakan persamaan berkas garis yang

melalui (4,2). Berkas garis memuat semua garis yang

melalui titik (4,2) kecuali garis vertikal (x=4). Tidak

ada nilai parameter m yang memenuhi untuk garis vertikal. Beberapa garis dari berkas garis y−2=m(x−4)

digambarkan pada gambar berikut

Contoh 3

Tuliskan suatu persamaan berkas garis yang tegak lurus

dengan garis

3x−2y=5Penyelsaian:

Gradien garis 3x−2y=5 adalah 32.

Karena kita menginginkan berkas garis yang tegak lurus,

maka berkas garis tersebut haruslah bergradien −23 .

Oleh karena itu kita memilih persamaan

2x+3y=k

Contoh 4

Tuliskan persamaan berkas garis yang mempunyai hasil

kali perpotongan dengan sumbu koordinat sama dengan 4

Penyelesaian

Missal a digunakan sebagai parameter, kita memperoleh

hasil perpotongan dengan sumbu koordinat a dan 4a.

Dengan demikian kita dapat menuliskan persamaan

xa

+ x4a

=1

Berkas garis dapat juga dinyatakan

4x+a2y=4a,a≠0

Contoh 5

Tuliskan persamaan berkas garis yang sejajar dengan

garis 5x+12y+7=0. Tentukan persamaan dari garis yang

berjarak 3 satuan dari titik (2,1) yang merupakan

anggota berkas garis tersebut.

Penyelesaian

Setiap garis anggota dari berkas garis 5x+12y+C=0

sejajar dengan garis 5x+12y+7=0. Kita mencari

parameter C yang menghasilkan garis yang berjarak 3 satuan dari titik (2,1), satu garis di atas titik (2,1)

dan satu garis di bawah titik (2,1). Menggunakan rumus

jarak dari titik ke garis, diperoleh persamaan

5(2)+12 (1)+C13

=3

dan

5(2)+12 (1)+C13

=−3

Penyelesaian dari persamaan tersebut adalah C=17 dan

C=−61. Dengan demikian persamaan garis yang

dimaksudkan adalah

5x+12y+17=0 dan 5x+12y−61=0

Selanjutnya kita akan membahas berkas garis yang

melalui perpotongan dua garis lain yang diberikan

dengan persamaan sebagai berikut

2x−3y+5=0 dan 4x+y−11=0

Perpotongan kedua garis dapat diperoleh dengan

subtitusi. Perhatikan

4x+y−11=0⇔y=−4x+11Subtitusikan y=−4x+11 pada persamaan 2x−3y+5=0

2x−3(−4x+11)+5=0⟺ 2x+12x−33+5=0

⟺ 14x=28

⟺ x=2Sehingga diperoleh,

y=−4(2)+11=3Dengan demikian diperoleh perpotongan kedua garis

adalah (2,3).

Dari persamaan-persamaan garis tersebut, kita

dapat membentuk persamaan berkas garis sebagai berikut

(2x−3y+5)+k(4x+y−11)=0

dengan k sebagai parameter. Persamaan ini merupakan persamaan berderajat satu untuk x dan y untuk sebarang nilai k. Kemudian, dengan menggunakan nilai x=2 dan

y=3, kita memperoleh

(4−9+5)+k(8+3−11)=0 ⟺ 0+k(0)=0

⟺ 0=0

Hasil ini menunjukkan bahwa persamaan

(2x−3y+5)+k(4x+y−11)=0 dipenuhi oleh koordinat (2,3),

untuk sebarang nilai k. Dengan demikian persamaan tersebut mendefinisikan berkas garis yang melalui

perpotongan kedua garis yang diberikan.

Secara umum, misal diberikan persamaan

ax+by+c=0px+qy+r=0

mendefinisikan perpotongan dua garis. Maka persamaan

(ax+by+c)+k(px+qy+r)=0merepresentasikan berkas garis yang melalui perpotongan

dua garis. Untuk membuktikan pernyataan ini, pertama-

tama kita mengamati bahwa persamaan tersebut linier

untuk sebarang nilai k. Selanjutnya kita catat bahwa koordinat titik potong kedua garis menyebabkan bagian

pada tanda kurung menjadi 0, dan dengan demikian

memenuhi persamaan untuk sebarang nilai k.

Contoh 6

Tuliskan persamaan berkas garis yang melalui

perpotongan garis 2x−y−1=0 dan garis 3x+2y−12=0.

Tentukan anggota berkas garis yang melalui (−2,1).

Sketsalah grafiknya.

Penyelesaian

Persamaan berkas garis yang melalui perpotongan garis

yang diberikan adalah

(2x−y−1)+k(3x+2y−12)=0Untuk menentukan anggota berkas garis yang melalui

(−2,1), kita ganti x dengan −2 dan y dengan 1, sehingga diperoleh

(−4−1−1)+k(−6+2−12)=0

⟺ −6−16k=0

⟺ k=−¿ 38

Selanjutnya kita ganti k pada persamaan

(2x−y−1)+k(3x+2y−12)=0 dengan −38 , diperoleh

(2x−y−1)−38

(3x+2y−12)=0

⟺ 8(2x−y−1)−3(3x+2y−12)=0

⟺ 16x−8y−8−9x−6y+36=0

⟺ 7x−14y+28=0

⟺ x−2y+4=0

Gambar dari persamaan garis tersebut sebagai berikut

Contoh 7

Tuliskan persamaan berkas garis yang melalui

perpotongan garis x−7y+3=0 dan 4x+2y−5=0. Tentukan

anggota berkas garis yang mempunyai gradien 3.

Penyelesaian

Persamaan berkas garis yang melalui perpotongan garis

x−7y+3=0 dan 4x+2y−5=0 adalah

(x−7y+3)+k(4x+2y−5)=0Dengan mengumpulkan suku yang sejenis, diperoleh

(1+4k)x+(2k−7)y+3−5k=0Gradien dari masing-masing garis pada berkas garis ini,

kecuali pada garis vertical, adalah – (1+4k)(2k−7)

. Diketahui

bahwa garis yang akan dicari bergradien 3, maka d

diperoleh persamaan

– (1+4k)(2k−7)

=3

−1−4k=6k−2110k=20k=2

Jadi, anggota berkas garis tersebut untuk k=2 adalah

(1+4.2)x+(2.2−7)y+3−5.2=09x−3y−7=0

2.6 LINGKARAN

Kita telah melihat bagaimana menuliskan persamaan

garis yang posisinya pada bidang koordinat terinci.

Kita akan menemukan bahwa sama mudahnya menuliskan

persamaan lingkaran jika posisi pusat dan jari-jarinya

diketahui. Bagaimanapun, pertama kita akan memberikan

definisi eksplisit dari lingkaran.

Definisi LingkaranLingkaran adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tetap pada bidang. Titik tetap itu disebut titik pusat dan jarak dari pusat ke sebarang titik pada lingkaran disebut jari-jari.

Misal titik pusat suatu lingkaran adalah A (a,b)

dan jari-jarinya sama dengan r. Jika P(x,y) merupakan

sebarang titik pada lingkaran, jarak dari titik A ke P sama dengan r. Kondisi ini memenuhi persamaan

√(x−a)2+(y−b)2=rSelanjutnya, dengan mengkuadratkan kedua ruas,diperoleh

(x−a)2+(y−b)2=r2

Rumus ini memperlihatkan koordinat titik pusat dan

panjang jari-jari lingkaran, akibatnya persamaan ini

sering disebut persamaan lingkaran bentuk pusat – jari-

jari.

Sebaliknya, grafik dari persamaan (x−a)2+(y−b)2=r2

adalah lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r. Fakta ini terbukti karena persamaan (x−a)2+(y−b)2=r2

hanya dipenuhi oleh titik-titik yang jaraknya terhadap

(a,b) adalah r. Oleh karena itu, mudah untuk menuliskanpersamaan lingkaran yang titik pusat dan jari-jarinya

diketahui serta mudah pula untuk menggambar lingkaran

yang mempunyai persamaan yang dinyatakan dalam bentuk

(x−a)2+(y−b)2=r2.

Jika pusat lingkaran adalah titik pusat koordinat

(berarti a=0 dan b=0) dan jari-jarinya r, persamaannyaadalah

x2+y2=r2

Contoh 1

Tentukan persamaan lingkaran berjari-jari 4 yang

berpusat di (3,−2)

Penyelesaian

Jika titik pusat lingkaran (3,−2) dan jari-jarinya 4,

maka persamaan lingkarannya adalah

(x−3)2+(y+2)2=42

Dengan menjabarkan bentuk kuadrat dan menjumlahkan

suku-suku sejenis pada persamaan di atas, diperoleh

bentuk

x2−6x+9+y2+4y+4−16=0

⇔ x2+y2−6x+4y−3=0

Persamaan (x−a)2+(y−b)2=r2 dapat ditampilkan dalam

bentuk lain melalui pengkuadratan serta menjumlahkan

suku-suku sejenis. Dengan demikian,

(x−a)2+(y−b)2=r2

⇔ x2−2ax+a2+y2−2by+b2−r2=0

⇔ x2+y2−2ax−2by+a2+b2−r2=0

Persamaan yang terakhir merupakan bentuk

x2+y2+Dx+Ey+F=0Bentuk ini disebut bentuk umum persamaan lingkaran.

Sebaliknya, suatu persamaan dengan bentuk

x2+y2+Dx+Ey+F=0 dapat diubah menjadi bentuk

(x−a)2+(y−b)2=r2 melalui kuadrat sempurna untuk suku-

suku dalam variabel x dan y. Kita mengilustrasikan caramengubahnya. Perhatikan bentuk

x2+y2+Dx+Ey+F=0

Untuk membuat bentuk tersebut menjadi bentuk kuadrat

sempurna, kita pisahkan suku dengan variabel x dan y dan meletakkan konstanta ke sebelah kanan. Dengan

demikian, diperoleh

x2+y2+Dx+Ey=−FSelanjutnya kita menambahkan kuadrat setengah koefisien

x pada suku dengan variabel x dan setengah koefisien y pada suku dengan variabel y serta menambahkan nilai yang sama pada ruas kanan. Hal ini menjadikan persamaan

x2+Dx+D2

4 +y2+Ey+E2

4 =D2

4 +E24 −F

Sekarang kita ubah bentuk di atas menjadi kuadrat

sempurna. Oleh karena itu, kita bisa menuliskan

(x+D2)

2

+(y+E2 )

2

=D24

+E2

4−F

Persamaan di atas merupakan persamaan dalam bentuk

pusat – jari-jari dengan r2=D24

+E2

4−F. Persamaan

tersebut dapat digambarkan jika bentuk

D24

+E2

4−F

positif. Kita juga akan bisa menggambarkan grafiknya

jika bentuk D2

4+E2

4−Fsama dengan nol. Kemudian grafiknya

akan mencakup satu titik (−D2 ,−E2 ). Dalam kasus ini

titik ini disebut titik pusat lingkaran. Secara jelas,

tidak ada bilangan real x dan y memenuhi persamaan saatD24

+E2

4−F negatif.

Contoh 2

Ubahlah persamaan 2x2+2y2−8x+5y−80=0 menjadi

persamaan bentuk pusat – jari-jari

Penyelesaian

Pertama kita akan membagi persamaan di atas dengan 2

agar menjadi persamaan bentuk umum.

x2+y2−4x+52y−40=0

Selanjutnya, kita akan melengkapkan kuadrat untuk

masing-masing variabel x dan y.

x2−4x+y2+52y=40

⇔ (x2−4x+4 )+(y2+52y+

2516 )=4+

2516

+40

⇔ (x−2 )2+(y+54 )

2

=72916

⇔ (x−2 )2+(y+54 )

2

=(274 )2

Persamaan di atas dalam bentuk yang diinginkan, dan

memperlihatkan bahwa persamaan yang diberikan merupakan

lingkaran dengan pusat (2,−54 ) dan berjari-jari 274 .

Grafik dari persamaan tersebut sebagai berikut

Kalkulator grafik hanya menggambar fungsi, dan

tidak akan menggambar relasi yang bukan fungsi. Jika

ingin menggambar grafik lingkaran, kita perlu membagi

lingkaran menjadi dua, yaitu, setengah lingkaran atas

dan setengah lingkaran bawah, yang masing-masing

merupakan fungsi. Dengan demikian, untuk menggambar

lingakaran seperti pada contoh 2 pada kalkulator

grafik, pertama harus menuliskan persamaan untuk y, diperoleh

y=−54±√(274 )

2

−(x−2)2

Kemudian, kita menggambarkan grafik dari kedua fungsi

pada satu layar. Layar yang tampak harus cukup luas

untuk menampilkan interval [−6,10] pada domain dan[−10,6 ] pada range. Hasil grafiknya mungkin tidak terlihat seperti lingkaran jika skala vertical dan

horizontal tidak sama.

Soal Latihan

Exercise 2.5 Halaman 80-81 nomor 33

Sisi-sisi dari suatu segitiga terletak pada garis

3x−5y+2=0, x+y−2=0, dan 4x−3y−3=0. Tanpa menentukan

titik puncak segitiga terlebih dahulu, tentukan

persamaan garis tingginya.

Penyelesaian

Segitiga tersebut memiliki tiga garis tinggi.

i) Misal sisi yang terletak pada garis 4x−3y−3=0

merupakan sisi alas.

Perhatikan bahwa garis dengan persamaan 3x−5y+2=0

dan x+y−2=0 berpotongan, sehingga diperoleh

persamaan berkas garis

(3x−5y+2)+k(x+y−2)=0⇔ (k+3)x+(k−5)y+2−2k=0

Persamaan berkas garis ini mempunyai gradien

m1=−k+3k−5

Perhatikan bahwa garis 4x−3y−3=0 mempunyai gradien

m2=43

Garis tinggi yang akan dicari merupakan anggota

berkas garis yang tegak lurus terhadap garis

4x−3y−3=0. Oleh karena itu, diperoleh

m1.m2=−1

⇔ (−k+3k−5 ).(43) ¿−1

⇔ 4k+12−3k+15 ¿−1

⇔ 4k+12=3k−15

⇔ k=−27

Untuk nilai k=−2, maka diperoleh

(−27+3)x+(−27−5)y+2−2(−27)=0⇔ −24x−32y+52=0

⇔ 6x+8y−13=0

Jadi persamaan garis tinggi yang ditarik dari

perpotongan garis 3x−5y+2=0 dan x+y−2=0 adalah 6x+8y−13=0

ii)Misal sisi yang terletak pada garis 3x−5y+2=0

merupakan sisi alas.

Perhatikan bahwa garis dengan persamaan 4x−3y−3=0

dan x+y−2=0 berpotongan, sehingga diperoleh

persamaan berkas garis

(4x−3y−3)+k(x+y−2)=0

⇔ (k+4 )x+(k−3 )y−3−2k=0

Persamaan berkas garis ini mempunyai gradien

m1=−k+4k−3

Perhatikan bahwa garis 3x−5y+2=0 mempunyai gradien

m2=35

Garis tinggi yang akan dicari merupakan anggota

berkas garis yang tegak lurus terhadap garis

3x−5y+2=0 . Oleh karena itu, diperoleh

m1.m2=−1

⇔ (−k+4k−3 ).(35) ¿−1

⇔ 3k+12−5k+15 ¿−1

⇔ 3k+12=5k−15

⇔ 2k=−27

⇔ k=−272

Untuk nilai k=−272 , maka diperoleh

(−272 +4)x+(−272 −3)y−3−2(−272

)=0

⇔ −192

x−332y+24=0

⇔ 19x+33y−48=0

Jadi persamaan garis tinggi yang ditarik dari

perpotongan garis 4x−3y−3=0 dan x+y−2=0 adalah

19x+33y−48=0

iii) Dengan cara yang sama seperti i) dan ii)

Misal sisi yang terletak pada garis x+y−2=0

merupakan sisi alas.

Maka persamaan garis tinggi yang ditarik dari

perpotongan garis 4x−3y−3=0 dan 3x−5y+2=0 adalah11x−11y+4=0

Exercise 2.5 Halaman 80 – 81 nomor 34

Tentukan persamaan berkas garis yang dengan sumbu

koordinat membentuk segitiga dengan luas 17 satuan luas

b

a

Y

X

Penyelesaian

Misal persamaan berkas garis tersebut adalah

xa

+yb=1

Garis ini memotong sumbu X di (a,0) dan memotong sumbu

Y di (0,b) sehingga luas segitiga yang dimaksud bisa

dihitung

L∆=12.a.t

L∆=12.a.b

Karena diketahui L∆=17, maka diperoleh

17=12.a.b

ab=34

b=34a

Subtitusikan hasil ini pada persamaan

xa

+yb=1

diperoleh

xa

+ y

(34a )=1

⇔ xa+ay34 ¿1

⇔ 34x+a2y=34aJadi persamaan berkas garis tersebut adalah

34x+a2y=34a

Soal Problem Solving

Sebuah lingkaran berpusat di P berada

di dalam seperempat lingkaran besar

dengan jari-jari 8, seperti

ditunjukkan pada gambar di samping.

Tentukan jari-jari dari lingkaran yang

berpusat di P.

Penyelesaian

Gambar semen garis

PC dan PD berturut-

turut memotong ruas

garis AO dan BO.

Sehingga PC⊥AO danPD⊥BO.

Akibatnya segiempat PCOD merupakan persegi panjang.Karena PC=PD, maka PCOD merupakan persegi.Misal PC=PD=r, maka CO=OD=r.Dengan rumus Pythagoras diperoleh OP=r√2.Perhatikan bahwa PT=r. Dengan demikian diperoleh

OT=r+r√2.Selanjutnya diketahui bahwa jari-jari lingkaran besar

adalah 8, maka OT=8

Sehingga diperoleh persamaan

r+r√2=8r=8

√2+1r=8(√2−1)

Jadi jari-jari lingkaran dengan pusat P adalah 8(√2−1)