BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Geometri adalah sistem pertama yang memahami ide.

Dalam geometri beberapa pernyataan diasumsikan, dan

kemudian ditarik menjadi pernyataan-pernyataan yang

lebih kompleks. Sistem seperti ini disebut sistem

deduktif. Geometri mengenalkan tentang ide konsekuensi

deduktif dan logika yang dapat digunakan sepanjang

hidup. Dalam mendefinisikan sebuah kata, pertama

digunakan kata yang lebih sederhana kemudian kata yang

lebih sederhana ini pada gilirannya didefinisikan

menjadi kata yang lebih sederhana lagi, sehingga pada

akhirnya, proses tersebut akan berakhir. Pada beberapa

tingkatan, definisi harus menggunakan sebuah kata yang

artinya sudah sanggat jelas. Ini dikarenakan agar

artinya diterima tanpa melakukan definisi lagi,dengan

kata lain dapat disebut istilah tak terdefinisikan.

Geometri adalah struktur matematika yang

membicarakan unsur dan relasi yang ada diantara unsur

tersebut. Titik, garis, bidang, dan ruang merupakan

benda abstrak yang menjadi unsur dasar geometri.

Berdasarkan unsur-unsur inilah didefinisikan

pengertian-pengertian baru atau berdasar pada pengertian

baru sebelumnya.

1Garis Bagi

Didalam geometri terdapat juga sifat-sifat pokok,

yaitu sifat-sifat pertama yang tidak berdasarkan sifat-

sifat yang mendahuluinya yaitu aksioma dan polsulat.

Berdasarkan sifat pokok tersebut dapat diturunkan

sifat-sifat yang disebut teorema. Teorema tersebut juga

dapat dibentuk berdasarkan teorema yang ada sebelumnya.

Dan pada makalah ini kita akan membahas garis-garis

istimewa pada segitiga dan dalil stewart beserta

buktinya.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang telah

diuraikan, dapat dirumuskan masalah-masalah yang akan

dibahas pada penulisan kali ini. Masalah yang dimaksud

adalah sebagai berikut :

1. Membahas pengertian dan penjelasan detail tentang

garis bagi (angle bisector).

1.3 Tujuan Pembelajaran

Tujuan dari dibuatnya makalah ini adalah untuk mengajak

para Pembaca, mengerti tentang apa itu garis bagi.

2Garis Bagi

BAB IIPEMBAHASAN

Garis bagi dalam adalah garis yang melalui titiksudut segitiga dan membagikedua sudut di sebelahnya samabesar. Garis ini terletak dalamsegitiga.

Garis bagi juga memilikikeistimewaan.Lihat gambar di

atas. p : q = b:a. Perbandingan iniselalu berlaku untuk garis bagi dalam.Selain itu, perbandingan p: (p + q) =b: (b+a) juga berlaku.

Garis bagi dalam ini berpotongan di satu titik(namanya incenter), dan titik ini merupakan pusat darilingkaran dalam segitiga (incircle). Lihat gambar dibawah. Jari-jarinya dapat dicari dengan menggunakanprinsip Luas segitiga = Luas 3 segitiga dalam.

2.1 Garis Bagi Dalam Segitiga

Panjang garis bagi dalam dapat diketahui denganmenggunakan perhitungan rumus:

3Garis Bagi

4Garis Bagi

Teorema 1

Perhatikan segitiga ABC berikut(Gambar 1).

Garis CD adalah garis bagi sudut ACB (sudut ACD=sudutBCD).Selanjutnya dari titik A ditarik sebuah garis sejajarCD yang memotong perpanjangan garis BC di E(Gambar 2).

 

Karena AE sejajar CD,maka sudut CAE=sudut AEC=sudutACD=sudut BCD. Dari segitiga BCD dan segitiga BEAdiperoleh,

 

Sudut BCD=sudut BEA

Sudut BDC=sudut BAE

Sudut DBC=sudut ABE

 

5Garis Bagi

Dengan demikian segitiga BCD sebangun dengan segitigaBEA,sehingga berlaku perbandingan

Dari dapat ditulis

atau

 

Sebab EC=AC.Garis bagi dalam sebuah sudut pada suatusegitiga membagi sisi dihadapan atas dua bagian yangberbanding sebagai sisi-sisi yang berdekatan.Selanjutnyadengan menggunakan sifat perbandingan senilai diperoleh

 

dan

 

 

6Garis Bagi

Karena AD+BD=AB,maka

7Garis Bagi

Teorema 2

Garis yang membagi sisi didepannya menjadi dua bagian yangberbanding seperti sisi-sisi yang berdekatan.p : q = b : a

Bukti:Lihat  dan .             (sudut dari garis bagi)                           (berhimpit)              (jelas)         (kongruen)

Tarik garis  dan , maka DE = DF  ().

Lihat  dan .

                                                                 

        (ii) Jika garis tinggi dari titik C adalah    (CD).

                                                                      

Jadi,               (terbukti)

Teorema 3

8Garis Bagi

Kuadrat garis bagi dalam sama dengan hasil kali sisi sebelah dikurangi hasil kali bagian sisi dihadapannya.

Bukti:CD adalah garis bagi, maka a : b = q : p atau ap = bq.Menurut teorema Stewart,                                                                       (terbukti)

Teorema 4

Perhatikan gambar di samping!

CD = disebut garis bagi dalam C. ACD = DCB.Berlaku:

Karena + = c, maka:

9Garis Bagi

===>

===>

Dengan menggunakan dalil Stewart, maka didapat:

10Garis Bagi

2.2 Garis Bagi Luar SegitigaMerupakan garis yang berasal dari titik sudut segitiga yang membagi dua sudut yang sama antara suatu sisi segitiga dengan perpanjangan sisi yang lain. Garis ini terletak di luar segitiga.

Maka, perbandingan yang selalu terjadi ialah: : = b:a.

Panjang garis bagi luar dapatdiketahui dengan menggunakanperhitungan rumus:

Teorema 1Diketahui segitiga ABC seperti dibawah ini (Gambar 3).

11Garis Bagi

Sisi BC dan AB masing-masing diperpanjang sampai E dan D.Melalui titik D tarik garis ke C sehingga garis CD membagisudut ACE menjadi dua bagian sama besar(Gambar 4).Garis CDdisebut garis bagi luar.Selanjutnya dari titik A tarikgaris ke sisi BC yang sejajar CD(Gambar 5).

Dari Gambar 5 jelas sudut CAE=sudut CFA=sudut ACD=sudutDCE.Karena itu segitiga CAF sama kaki.Dari Gambar5,segitiga AFB sebangun dengan segitiga DCF(sebab sudutABF=sudut DBC,sudut BFA=sudut BCD dan sudut BAF=sudutBDC),sehingga diperoleh perbandingan

 

Juga karena ,maka diperoleh

 

12Garis Bagi

Panjang garis bagi luarsegitiga dapat dihitung dengan cara berikut.Anggap b>a, - = c, maka:

===>

===>

Maka, dengan menggunakan dalil Stewart, didapat:

2.3 Melukiskan Garis Bagi Dalam SegitigaGaris bagi dapat kita lukiskan, dengan menggunakan jangka dan penggaris, berikut ini adalah langkah-langkah untuk melukiskan garis bagi, sebagai berikut:

Diketahui segitiga ABC. Jika ingin membuat garis bagi padasudut A, maka:

1. Lukislah busur lingkaran dari titik A sehinggamemotong garis AB dan AC

13Garis Bagi

2. Dari titik potong garis AB dan AC, lukislah busurlingkaran dengan jari-jari yang sama

3. Kedua busur lingkaran bertemu di satu titik4. Hubungkan titik A ke perpotongan kedua busur tadi.

2.4 Contoh

Soal:1. Pada suatu

segitiga ABC,diketahui a=6cm, b=12 cm, dan c=4

cm. Hitunglah panjang garisbagi dalam titik C(CD)!

Jawab:

===>

===>

===>

2. Diketahui siku-siku di B. Garis CD merupakan garisbagi yang ditarik dari titik sudut C. Jika panjang AB = BC = 6cm, tentukan panjang AD!

Jawab:

CD Garis bagi segitga ABC

Langkah pertama adalah kita mencari panjang AC denganmenggunakan teorema phytagoras.

14Garis Bagi

Untuk mencari panjang AD kita dapat menggunakan teoremapada garis bagi yang sudah kita buktikan pada postingansebelumnya. Kita misalkan panjang , sehingga

. Berdasarkan gambar di samping, makaperbandingan sisi-sisinya adalah sebagai berikut:

Jadi, panjang cm

3. Pada gambar berikut ini, diketahui AB = BC = 10 cm dan garisAD adalah garis bagi. Tentukan panjang BD

15Garis Bagi

Jawab:Perhatikan ilustrasi gambar berikut:

Berdasarkan perbandingan sudut 450 pada segitiga, maka AC = 10√2Berdasarkan sudut, sisi, sudut maka segitiga ABD kongruendengan segitiga ADE, sehingga BD = ED, Kemudian:

16Garis Bagi

Jadi, panjang BD = 10√2 – 10

4. Sebuah segitiga ABC, mempunyai panjang AB = 4 cm dan AC = 3 cm. Sudut BAC besarnya 60 derajat. AD merupakan garis bagi pada sudut ABC. Ditanyakan panjang AD.

Garis Bagi = garis yang membagi suatu sudut menjadi dua sudut sama besar.

Jawaban:

Kita mencoba mencari panjang BC terlebih dahulu:

BC2= AC2+AB2-2AC.AB.cos 60.BC2= 9 + 16 -2.3.4.1/2BC2= 13BC=V13 cm

Jadi BD = 4xV13/7 = 4/7 V13 cmCD = 3xV13/7 = 3/7 V13 cm

Maka AD2 = 3x4 - 4/7V13.3/7/V13

= V8.82 cm.= 2.96 cm.

17Garis Bagi

BAB III

PENUTUP3.1Kesimpulan

Di dalam makalah ini dapat disimpulkan bahwagaris bagi adalah adalah garis yang melalui titiksudut segitiga dan membagi kedua sudut disebelahnya sama besar. Garis ini terletak dalamsegitiga. Garis dibedakan menjadi 2, yaitu garisbagi dalam segitiga dan garis bagi luar segitiga.Garis bagi dalam segitiga dapat kita lukiskandengan langkah-langkah yang sudah dijelaskan.Garis bagi juga terdapat rumus untuk memecahkanmasalah, dalam garis bagi luar dan dalam segitigajuga terdapat rumus tersendiri.

1.2 SaranDalam penulisan makalah ini saya meyadari bahwa

masih banyak kekeliruan dan kesalahan dalam halpenulisan dan penyusunannya masih jauh darikesempurnaan. Oleh karena itu,saya menantikansaran dan kritikan yang sifatnya membangun untukpembuatan makalah selanjutnya. Dan kami jugamengharapkan mudah-mudahan makalah ini bermanfaat.

18Garis Bagi

DAFTAR PUSAKA

http://beladina27.blogspot.com/2013/05/garis-garis-istimewa-pada-segitiga.html

http://ipaper4u.blogspot.com/2012/08/garis-garis-istimewa-pada-segitiga.html

http://dumatika.com/teorema-garis-bagi/

http://sejarahastrologimetafisika.blogspot.com/2014/10/soal-garis-bagi-pada-segitiga.html

http://www.rumusmatematikadasar.com/2014/10/garis-istimewa-pada-segitiga-dan-rumus-cara-menghitungnya.html

http://m2suidhat.blogspot.com/2013/06/soal-garis-bagi-segitiga.html

19Garis Bagi