Bab VII

Getaran dan Gelombang

Materi

•Gerak Harmonik Sederhana (GHS)

•Energi pada GHS

•Periode dan Sifat Sinusoidal GHS

•Bandul Sederhana

•Gerak Harmonik Teredam

•Gaya Vibrasi dan Resonansi

•Penjalaran Gelombang

•Tipe Gelombang: Transversal dan Longitudinal

Tujuan Perkuliahan

• Menentukan besaran-besaran frekuensi,

amplituda, perioda, dan energi pada

getaran harmonis

• Menentukan besaran-besaran frekuensi,

amplituda, perioda, panjang gelombang,

kecepatan gelombang pada gelombang

mekanik

Gerak Kipas

Getaran adalah gerakan berulang

pada lintasan yang sama.

Gerak Harmonik Sederhana

Ketika sebuah benda

bergetar (berosilasi) ke

depan dan belakang,

melalui lintasan yang

sama, dalam selang waktu

yang sama, maka gerakan

tersebut disebut periodik.

Sebuah benda bermassa m

dan dihubungkan dengan

pegas dapat dipergunakan

sebagai model dari gerak

periodik.

http://www.physics.byu.edu/research/acoustics/animationsSHO.aspx

Gerak Harmonik SederhanaAsumsi:

1. Gesekan dengan permukaan

diabaikan.

2. Massa pegas diabaikan.

Terdapat sebuah titik, dimana pegas tidak

ditarik atau ditekan, pada titik ini disebut

posisi keseimbangan, (gambar a).

Jika benda ini ditarik (gambar b) atau

ditekan (gambar a), maka pegas akan

memberikan gaya pada benda yang

arahnya ke posisi kesetimbangan. Gaya

ini disebut gaya pemulih (a restrosing

force).

Besar gaya pemulih ini sebanding dengan

simpangan x dari pegas yang ditekan atau

ditarik, yaitu:

Gerak Harmonik Sederhana

• Persamaan di atas dikenal sebagai persamaan hukum

Hooke.

• Tanda negatif pada gaya mengindikasikan bahwa gaya

pemulih memiliki arah yang berlawanan dengan arah

simpangannya.

• k adalah konstanta pegas.

• Gaya pemulih tidak bernilai tetap (konstan), tetapi

berubah-ubah terhadapa posisi (simpangan).

• Begitu pula dengan percepatan, nilainya tidak tetap

F = - k x

Gerak Harmonik Sederhana

Simpangan (x) : posisi benda

terhadap titik setimbang

Amplitudo (A) : simpangan

maksimum

Periode (T) : waktu yang diperlukan

untuk menempuh satu getaran

penuh

Frekuensi (f) : banyak getaran yang

dilakukan tiap satuan waktu

Frekuensi sudut () : 2f = 2/T

Getaran Pegas

Gerak Harmonis Sederhana

Jika pegas digantung

secara vertikal, yang

berubah hanyalah posisi

keseimbangan, dimana

pada titik ini gaya pegas

adalah sebanding dengan

gaya gravitasi.

F = m.g – kx0 = 0

m.g = kx0

x0 = (m.g) / k

Ketika sebuah keluarga yang

berjumlah 4 orang, dengan massa

total 200 kg menaiki mobil

mereka yang bermassa 1200-kg,

pegas mobil tertekan 3,0cm. (a)

berapakah nilai konstanta pegas

mobil tersebut, anggap pegas

tersebut bekerja sebagai satu

kesatuan)? (b) berapa jauh pegas

mobil tertekan jika diberi muatan

300 kg?

Pegas Mobil

Penyelesaian:

cm.5,4cm0,3kg200

kg300

, b.

N/m.105,6m100,3

m/s8,9kg200 a.

1

1

22

2

2

1

1

4

2

xF

Fx

x

F

x

F

x

Fk

Gaya pegas berbanding lurus dengan simpangannya.

Setiap sistem yang bergetar dimana gaya

pemulih berbanding lurus dengan nilai negatif

dari simpangan dikatakan melakukan gerak

harmonik sederhana (GHS).

Suatu benda yang mengalami GHS disebut

sebuah osilator harmonik sederhana (a simple

harmonic oscillator).

Gerak Harmonis Sederhana

Subsitusi F = - kx kedalam persamaan

hukum Newton kedua diperoleh

persamaan geraknya adalah:

xm

ka

dt

xd

xm

k

dt

xd

dt

xdm

dt

dx

dt

dm

dt

dvmkxF

2

2

2

2

2

2

0

Konstanta A dan φ menunjukkan kondisi

awal dari bendam dimana A adalah

amplitudo dan φ merupakan fase dari gerak

benda pada saat t = 0.

02

2

xm

k

dt

xd

Dengan penyelesaiannya berbentuk:

Gambar yang menunjukkan pengaruh fase φ:

Kecepatan dapat diperoleh dengan mengambil

turunan daro persamaan sebelumnya:

Gambar yang menunjukkan hubungan x dan v

terhadap t:

x = Acos(wt +f),

v = -wAsin(wt +f)

=wAcos(wt +f +p

2),

a = -w 2Acos(wt +f)

= -w 2Asin(wt +f +p

2).

xm

kxa

tAa

tAx

2

2 )cos(

),cos(

m

k

m

k

2

Tentukanlah periode dan frekuensi dari sebuah

mobil yang bermassa 1400 kg dari sebuah

peredam kejut ynag memiliki konstanta pegas

sebesar 6,5x 104 N/m, setelah mobil tersebut

menabrak sebuah gundukan.

Asumsikan bahwa peredam kejutnya jelek,

sehingga mobil berosilasi ke atas dan ke

bawah.

Pegas Mobil

Penyelesaian:

Hz.1,11

s.92,0N/m105,6

kg140022

4

Tf

k

mT

Periode dan Sifat Sinusoidal

GHS

Jika kita melihat proyeksi gerak

melingkar, dimana jari-jari

lingkaran adalah A dan benda

bergerak dengan kecepatan

konstan vmax, maka kecepatan

dalam sumbu x adalah:

Getaran lantai.

Sebuah motor di sebuah pabrik,

menyebabkan lantai bergetar pada

frekuensi 10Hz. Amplitudo dari pergerakan

lantai dekat motor adalah sebesar 3,0 mm.

perkirakan percepatan maksimum dari

lantai dekat motor tersebut.

Penyelesaian:

Asumsikan bahwa gerak dari lantai

adalah harmonik sederhana

12m/s.=m100,36,3s

,6,3s=Hz1022

3212

max

1

Aa

f

Corong pengeras suara bergetar dalam GHS dengan

frekuensi 262 Hz. Amplitudo di pusat corong adalah A =

1.5 x 10-4 m, pada t = 0, x = A.

a) Bagaimana persamaan yang mendeskripsikan gerak

di pusat corong?

b) Berapa kecepatan maksimum dan percepatan

maksimumnya sebagai fungsi dari waktu?

c) Bagaimana posisi corong pada waktu t = 1 x 10-3 s?

Pengeras Suara (loudspeaker)

Penyelesaian:

.1650cosm105,1

)2sin()(

,2sin)0(

),sin()(

rad/s,1650Hz26222 a.

4 t

tAtx

AAx

tAtx

f

Penyelesaian:

m.102,1

s1000.1rad/s1650cosm105,1

ms,00,1 Pada c.

1650cosm/s410)(

;1650sinm/s25,0)( b.

5

34

2

x

t

tdt

dvta

tdt

dxtv

Perhitungan pegas.

Sebuah pegas meregang 0,150 m ketika massa sebuah

benda 0,300-kg digantungkan padanya. Pegas kemudian

diregangkan 0,100 m dari titik setimbang ini, dan

dilepaskan. tentukan:

a) Konstanta pegas (k),

b) Amplitudo osilasi (A),

c) Kecepatan maksimum vmax,

d) Besar percepatan maksimum massa tersebut.

Penyelesaian:

.m/s53,6 .

m/s.808,0 c.

m.100,0 b.

rad/s.08,8kg300,0

N/m6,19

N/m,6,19m150,0

m/s80,9kg300,0 a.

22

max

max

2

Aad

Av

A

m

k

x

Fk

Pegas yang awalnya ditekan.

Misalkan pegas pada contoh sebelumnya

(dimana ω = 8,08 s-1) adalah ditekan 0,100 m

dari keseimbangan (x0 = -0.100 m) akan tetapi

ini menghasilkan kecepatan dalam arah +x

yaitu v0 = 0,400 m/s.

Tentukan:

a) Sudut fase φ,

b) Amplitudo A,

c) Perpindahan x sebagai fungsi dari waktu

x(t).

Penyelesaian:

)60,308,8cos()m112,0( c.

m.112,0cos

b.

rad.60,3arctan ,tan

,sin ),sin(

,cos ),cos( a.

0

0

0

0

0

0

0

tx

xA

x

v

x

v

AvtAv

AxtAx

Energi potensial dari sebuah pegas adalah

Energi mekanik total adalah:

Energi totak mekanik akan tetap (konstan),

jika tidak ada gesekan dalam sistem.

Energi dalan GHS

Pada simpangan

maksimum, energi yang

disimpan dalam pegas

adalah energi potensial.

Pada titik keseimbangan,

seluruh energinya

berupa energi kinetik.

Energi pad GHS

Total energi pegas adalah:

dapat ditulis pula:

penyelesaian yang didapatkan kecepatan

sebagai fungsi dari posisi.

dimana:

Grafik ini menunjukkan energi potensial

sebagai fungsi dari posisi pegas. Dimana

energi totalnya adalah konstan.

Energi pada GHS

Energi pada GHS

Bandul Sederhana

Sebuah bandul sederhana

terdiri atas sebuah benda

yang digantung pada

sebuah kawat (tali) yang

ringan.

Asumsikan bahwa tali

tersebut tidak teregang dan

massanya relatif kecil

terhadap benda sehingga

massanya dapat diabaikan.

Bandul Sederhana

Untuk memperoleh GHS, gaya

pemulih harus sebanding

dengan nilai negatif dari

perpindahant. Sehingga:

Dimana F sebanding dengan

nilai sin θ dan bukan θ .

Bagaimanapun, jika

sudutnya kecil maka:

sin θ ≈ θ.

Bandul Sederhana

Sehingga, untuk sudut yang kecil, diperoleh:

dimana

Besar periode dan frekuensinya adalah

Bandul Sederhana

Jadi, sepanjang massa tali

dapat diabaikan dan

amplitodo yang dihasilkan

kecil, maka periode tidak

bergantung pada massa.

Gerak Harmonis Teredam

Gerak harmonis teredam adalah gerak

harmonik dengan gesekan atau hambatan

udara. Jika redaman yang dihasilkan kecil,

maka kita dapat memperlakukannya

sebagai “amplop” yang dapat dimodifikasi

sebagai osilasi tak teredam.

Gerak Harmonis Teredam

Bagaimanapun, jika redaman

adalah besar maka getaran

tersebut tidak lagi GHS.

A. redaman kecil, ada

beberapa ayunan (osilasi)

sebelum berhenti

B. redaman kritis: cara tercepat mencapai

keseimbangan.

C. redaman besar: sistem bergerak secara pelan

sehingga membutuhkan waktu yang lama untuk

mencapai keseimbangan.

Gerak Harmonis Teredaman

Ada beberapa sistem dimana redaman tidak

diinginkan, seperti pada jam.

Kemudian, ada juga sistem menginginkan, dan

sering dibutuhkan dan jika mungkin mendekati

redaman kritis, seperti peredam kejut pada motor,

dan pada pelindung gempa pada bangunan.

Getaran yang Dipaksakan; Resonansi

Getaran yang dipaksakan terjadi ketika Forced

vibrations occur when there is a periodic driving

force. This force may or may not have the same

period as the natural frequency of the system.

If the frequency is the same as the natural

frequency, the amplitude becomes quite large.

This is called resonance.

Getaran yang dipaksakan

The sharpness of the

resonant peak depends

on the damping. If the

damping is small (A), it

can be quite sharp; if

the damping is larger

(B), it is less sharp.

Like damping, resonance can be wanted or

unwanted. Musical instruments and TV/radio

receivers depend on it.

Gelombang

• Adalah getaran yang merambat.

• Gelombang dapat dibagi menjadi dua

macam:

1. Gelombang elektromagnetik (EM).

2. Gelombang mekanik.

Macam Gelombang

Gelombang MekanikMemerlukan medium untuk menjalar

Persamaan Newton

Gelombang longitudinal dan transversal

Gelombang Elektromagnetik

Tidak memerlukan medium untuk menjalar

Persamaan Maxwell

Gelombang transversal

Gelombang EM

Cahaya tampak

Sinar infra merah

Sinar ultra ungu

Gelombang radio AM

Gelombang radio FM

Gelombang televisi VHF

Gelombang televisi UHF

Sinar – x

Sinar -

Gelombang EM

GELOMBANG MEKANIK

Gelombang tali

Gelombang permukaan air

Gelombang seismik

Gelombang tegangan

Gelombang akustik

• Gelombang infrasonik (f < 20 Hz)

• Gelombang suara (20 Hz < f < 20 kHz)

• Gelombang ultrasonik (f > 20 kHz)

Gerak Gelombang

Gelombang

merambat

membutuhkan

medium, tetapi

patikel itu sendiri

hanya bergerak ke

atas dan ke bawah.

Dalam semua tipe penjalaran gelombang yang

ditransfer adalah energi bukan materi.

Study of a single wave

pulse shows that it is

begun with a vibration

and transmitted through

internal forces in the

medium.

Continuous waves start

with vibrations too. If the

vibration is SHM, then the

wave will be sinusoidal.

Gerak Gelombang

Karakteristik dari gelombang:

• Amplitudo, A

• Panjang gelombang, λ

• Frekuensi f and periode T

• Kecepatan gelombang

Tipe Gelombang:

Transversal dan Longitudinal

Gerak partikel dalam gelombang dapat dalam arah

tegak lurus maupun sejajar dengan arah

gelombang.

Gelombang Transversal :

Arah perpindahan/simpangan/getaran tegak lurus arah

perambatan gelombang.

Contoh: gelombang tali.

Gelombang Longitudinal :

Arah perpindahan/simpangan/getaran searah dengan arah

perambatan gelombang.

Contoh: gelombang bunyi, gelombang pada pegas.

Gelombang Air

TsunamiWave length, 500 to 600 km in ocean

Gelombang Longitudinal

Gelombang suara adalah gelombang

longitudinal.

Tipe Gelombang:Transversal dan Longitudinal

Gempa bumi memproduksi kedua jenis

gelombang longitudinal dan transversal. Kedua

tipe dapat menjalar melalui benda padat, tetapi

hanya gelombang longitudinal yang dapat

menjalar dalam fluida- dalam arah transversal,

fluida tidak memiliki gaya pemulih.

Permukaan gelombang adalah gelombang yang

bergerak di sekitar dua media.

Gelombang Berdiri: Resonansi

Panjang gelombang dan frekuensi dari

gelombang berdiri adalah:

Persamaan Penjalaran Gelombang

Persamaan matematik yang dapat menunjukkan

gelombang adalah perpindahan dari tiap titik

sebagai fungsi dari jarak dan waktu:

)(sin txkAy

Persaman Penjalaran Gelombang

Frekuensif

sudutFrekuensif

gelombangPanjang

gelombangBilangank

AmplitudaA

2

2

)(sin txkAy

Gelombang Sinusoidal Dalam Domain Ruang

)2

(sin xAy

Amplituda

x

A

Panjang gelombang

Bilangan gelombang

)(sin xkAy

x

Gelombang Sinusoidal Dalam Domain Waktu

)2

(sin tT

Ay

t

A

T

Perioda

Amplituda

)(sin tAy

)2(sin tfAy

Frekuensi sudut

Frekuensi

Sebuah gelombang perpindahan dinyatakan dengan :

(x,t) = 0,02 sin [ 2 ( 0,5 x – 10 t ) ] m

Tentukan panjang gelombang, frekuensi dan kecepatannya.

)22

(sin)(sin),( tfxAtxkAtx

)105,0(2sin02,0)1

(2sin),( txtfxAtx

Hzf 10

m2Tc

smfT

c /20)10)(2(

Tf

1

Contoh Soal

Jawab :

Latihan Soal

• Persamaan suatu gelombang yang bergerak

transversal

3001.02sin2

xty

Dimana x dan y dalam cm dan t dalam detik.

Berapa amplituda, panjang gelombang,

frekuensi dan kecepatan rambat gelombang itu

74

Contoh

Frekuensi gelombang radio pendek (short wave

radio) seperti gelombang radio FM dan televisi VHF

berkisar antara 1,5 MHz – 300 MHz. Tentukan

daerah panjang gelombangnya.

Kecepatan gelombang elektromagnetik di

udara adalah 3x108 m/s.

Jawab :

f

c

m110x300

10x36

8

1

m20010x5,1

10x36

8

2

75

Contoh

Panjang gelombang dari cahaya tampak berkisar

antara 400 nm untuk warna ungu dan 700 nm untuk

warna merah. Tentukan daerah frekuensi dari cahaya

tampak ini.

Kecepatan gelombang elektromagnetik di

udara adalah 3x108 m/s.

Jawab :

cf

Hz10x3,410x700

10x3f 14

9

8

merah

Hz10x5,710x400

10x3f 14

9

8

ungu

76

Contoh

Sinar-x mempunyai panjang gelombang yang

berkisar antara (0,01 – 5) nm. Tentukan daerah

frekuensi dari sinar-x ini.

Kecepatan gelombang elektromagnetik di

udara adalah 3x108 m/s.

Jawab :

cf

Hz10x610x5

10x3f 16

9

8

1

Hz10x310x01,0

10x3f 19

9

8

2

77

Contoh

Frekuensi dari gelombang akustik yang dapat

didengar oleh manusia berkisar antara 20 Hz – 20

kHz. Tentukan daerah panjang gelombangnya.

Kecepatan gelombang suara atau bunyi di udara

adalah 343 m/s.

Jawab :

f

c

mm15,1710x20

34331

m15,1720

3432

78

Contoh

Gelombang akustik yang digunakan dalam uji tak rusak (UTR) pada baja biasanya berfrekuensi tinggi antara 2 – 10 MHz yang disebut gelombang ultrasonik. Tentukan daerah panjang gelombang dari gelombang ultrasonik di dalam baja ini.

Kecepatan gelombang ultrasonik di dalam baja

adalah 5850 m/s.

Jawab :

f

c

mm585,010x10

585061

mm925,210x2

585062

79

Contoh

Gelombang ultrasonik yang digunakan dalam

pengukuran aliran gas biasanya berfrekuensi antara

40 -100 kHz. Tentukan daerah panjang gelombang

dari gelombang ultrasonik di dalam gas ini.

Kecepatan gelombang ultrasonik di dalam gas

adalah sekitar 400 m/s.

Jawab :

f

c

mm410x100

40031

mm1010x40

40032

80

Contoh

Suatu gelombang ultrasonik berfrekuensi 100 kHz menjalar di

dalam gas yang mempunyai kecepatan gelombang sebesar 400

m/s. Gelombang ini berupa gelombang sinusoidal dengan

amplituda tekanan akustik sebesar 2 Pa. Nyatakan gelombang

tersebut secara matematis sebagai fungsi ruang dan waktu.

Jawab :

s/rad10x628,0)10x100(2f2 63

PaX10x571,1t10x628,0Sin2kXtSin2p 36

m10x410x100

400

f

c 3

3

m/rad10x57,110x4

22k 3

3

Kesimpulan

• Untuk GHS, gaya pemulihnya sebanding

dengan perpindahan.

• Periode adalah waktu yang dibutuhkan untuk

melakukan satu kali putaran (siklus) dan

frekuensi adalah banyaknya putaran dalam

satu detik.

• Periode dari benda yang dihubungkan dengan

pegas:

• GHS adalah sinusoidal.

• Selama GHS, total energi potensial dan kinetik

berubah.

Kesimpulan

• Bandul sederhana menggunakan pendekatan

GHS jika amplitudo dari getaran tidak besar.

Dimana periodenya adalah:

• Ketika terdapat gesekan, gerak dari benda

menjadi teredam.

• Jika gaya osilasi diterapkan pada osilator

harmonik sederhana, amplitudo

bengantung pada seberapa dekat

frekuensi pembawa dengan frekuensi

alami. Jika frekuensi ini dekat, maka

amplitido yang dihasilkan menjadi besar.

Peristiwa ini dinamakan reseonsi.

Kesimpulan

• Benda yang bergetar merupakan sumber

gelombang, dimana gelombangnya dapat

berupa pulsa gelombang atau gelombang

kontinyu (berjalan).

• Panjang gelombang: jarak antara dua puncak

berturut-turut.

• Frekuensi: jumlah puncak yang melewati suatu

titik per satuan waktu

• Amplitudo: ketinggian maksimum dari sebuah

puncak.

• Kecepatan gelobang :