Materi
•Gerak Harmonik Sederhana (GHS)
•Energi pada GHS
•Periode dan Sifat Sinusoidal GHS
•Bandul Sederhana
•Gerak Harmonik Teredam
•Gaya Vibrasi dan Resonansi
•Penjalaran Gelombang
•Tipe Gelombang: Transversal dan Longitudinal
Tujuan Perkuliahan
• Menentukan besaran-besaran frekuensi,
amplituda, perioda, dan energi pada
getaran harmonis
• Menentukan besaran-besaran frekuensi,
amplituda, perioda, panjang gelombang,
kecepatan gelombang pada gelombang
mekanik
Gerak Harmonik Sederhana
Ketika sebuah benda
bergetar (berosilasi) ke
depan dan belakang,
melalui lintasan yang
sama, dalam selang waktu
yang sama, maka gerakan
tersebut disebut periodik.
Sebuah benda bermassa m
dan dihubungkan dengan
pegas dapat dipergunakan
sebagai model dari gerak
periodik.
http://www.physics.byu.edu/research/acoustics/animationsSHO.aspx
Gerak Harmonik SederhanaAsumsi:
1. Gesekan dengan permukaan
diabaikan.
2. Massa pegas diabaikan.
Terdapat sebuah titik, dimana pegas tidak
ditarik atau ditekan, pada titik ini disebut
posisi keseimbangan, (gambar a).
Jika benda ini ditarik (gambar b) atau
ditekan (gambar a), maka pegas akan
memberikan gaya pada benda yang
arahnya ke posisi kesetimbangan. Gaya
ini disebut gaya pemulih (a restrosing
force).
Besar gaya pemulih ini sebanding dengan
simpangan x dari pegas yang ditekan atau
ditarik, yaitu:
Gerak Harmonik Sederhana
• Persamaan di atas dikenal sebagai persamaan hukum
Hooke.
• Tanda negatif pada gaya mengindikasikan bahwa gaya
pemulih memiliki arah yang berlawanan dengan arah
simpangannya.
• k adalah konstanta pegas.
• Gaya pemulih tidak bernilai tetap (konstan), tetapi
berubah-ubah terhadapa posisi (simpangan).
• Begitu pula dengan percepatan, nilainya tidak tetap
F = - k x
Gerak Harmonik Sederhana
Simpangan (x) : posisi benda
terhadap titik setimbang
Amplitudo (A) : simpangan
maksimum
Periode (T) : waktu yang diperlukan
untuk menempuh satu getaran
penuh
Frekuensi (f) : banyak getaran yang
dilakukan tiap satuan waktu
Frekuensi sudut () : 2f = 2/T
Gerak Harmonis Sederhana
Jika pegas digantung
secara vertikal, yang
berubah hanyalah posisi
keseimbangan, dimana
pada titik ini gaya pegas
adalah sebanding dengan
gaya gravitasi.
Ketika sebuah keluarga yang
berjumlah 4 orang, dengan massa
total 200 kg menaiki mobil
mereka yang bermassa 1200-kg,
pegas mobil tertekan 3,0cm. (a)
berapakah nilai konstanta pegas
mobil tersebut, anggap pegas
tersebut bekerja sebagai satu
kesatuan)? (b) berapa jauh pegas
mobil tertekan jika diberi muatan
300 kg?
Pegas Mobil
Penyelesaian:
cm.5,4cm0,3kg200
kg300
, b.
N/m.105,6m100,3
m/s8,9kg200 a.
1
1
22
2
2
1
1
4
2
xF
Fx
x
F
x
F
x
Fk
Gaya pegas berbanding lurus dengan simpangannya.
Setiap sistem yang bergetar dimana gaya
pemulih berbanding lurus dengan nilai negatif
dari simpangan dikatakan melakukan gerak
harmonik sederhana (GHS).
Suatu benda yang mengalami GHS disebut
sebuah osilator harmonik sederhana (a simple
harmonic oscillator).
Gerak Harmonis Sederhana
Subsitusi F = - kx kedalam persamaan
hukum Newton kedua diperoleh
persamaan geraknya adalah:
xm
ka
dt
xd
xm
k
dt
xd
dt
xdm
dt
dx
dt
dm
dt
dvmkxF
2
2
2
2
2
2
0
Konstanta A dan φ menunjukkan kondisi
awal dari bendam dimana A adalah
amplitudo dan φ merupakan fase dari gerak
benda pada saat t = 0.
02
2
xm
k
dt
xd
Dengan penyelesaiannya berbentuk:
Kecepatan dapat diperoleh dengan mengambil
turunan daro persamaan sebelumnya:
Gambar yang menunjukkan hubungan x dan v
terhadap t:
Tentukanlah periode dan frekuensi dari sebuah
mobil yang bermassa 1400 kg dari sebuah
peredam kejut ynag memiliki konstanta pegas
sebesar 6,5x 104 N/m, setelah mobil tersebut
menabrak sebuah gundukan.
Asumsikan bahwa peredam kejutnya jelek,
sehingga mobil berosilasi ke atas dan ke
bawah.
Pegas Mobil
Periode dan Sifat Sinusoidal
GHS
Jika kita melihat proyeksi gerak
melingkar, dimana jari-jari
lingkaran adalah A dan benda
bergerak dengan kecepatan
konstan vmax, maka kecepatan
dalam sumbu x adalah:
Getaran lantai.
Sebuah motor di sebuah pabrik,
menyebabkan lantai bergetar pada
frekuensi 10Hz. Amplitudo dari pergerakan
lantai dekat motor adalah sebesar 3,0 mm.
perkirakan percepatan maksimum dari
lantai dekat motor tersebut.
Penyelesaian:
Asumsikan bahwa gerak dari lantai
adalah harmonik sederhana
12m/s.=m100,36,3s
,6,3s=Hz1022
3212
max
1
Aa
f
Corong pengeras suara bergetar dalam GHS dengan
frekuensi 262 Hz. Amplitudo di pusat corong adalah A =
1.5 x 10-4 m, pada t = 0, x = A.
a) Bagaimana persamaan yang mendeskripsikan gerak
di pusat corong?
b) Berapa kecepatan maksimum dan percepatan
maksimumnya sebagai fungsi dari waktu?
c) Bagaimana posisi corong pada waktu t = 1 x 10-3 s?
Pengeras Suara (loudspeaker)
Penyelesaian:
m.102,1
s1000.1rad/s1650cosm105,1
ms,00,1 Pada c.
1650cosm/s410)(
;1650sinm/s25,0)( b.
5
34
2
x
t
tdt
dvta
tdt
dxtv
Perhitungan pegas.
Sebuah pegas meregang 0,150 m ketika massa sebuah
benda 0,300-kg digantungkan padanya. Pegas kemudian
diregangkan 0,100 m dari titik setimbang ini, dan
dilepaskan. tentukan:
a) Konstanta pegas (k),
b) Amplitudo osilasi (A),
c) Kecepatan maksimum vmax,
d) Besar percepatan maksimum massa tersebut.
Penyelesaian:
.m/s53,6 .
m/s.808,0 c.
m.100,0 b.
rad/s.08,8kg300,0
N/m6,19
N/m,6,19m150,0
m/s80,9kg300,0 a.
22
max
max
2
Aad
Av
A
m
k
x
Fk
Pegas yang awalnya ditekan.
Misalkan pegas pada contoh sebelumnya
(dimana ω = 8,08 s-1) adalah ditekan 0,100 m
dari keseimbangan (x0 = -0.100 m) akan tetapi
ini menghasilkan kecepatan dalam arah +x
yaitu v0 = 0,400 m/s.
Tentukan:
a) Sudut fase φ,
b) Amplitudo A,
c) Perpindahan x sebagai fungsi dari waktu
x(t).
Penyelesaian:
)60,308,8cos()m112,0( c.
m.112,0cos
b.
rad.60,3arctan ,tan
,sin ),sin(
,cos ),cos( a.
0
0
0
0
0
0
0
tx
xA
x
v
x
v
AvtAv
AxtAx
Energi potensial dari sebuah pegas adalah
Energi mekanik total adalah:
Energi totak mekanik akan tetap (konstan),
jika tidak ada gesekan dalam sistem.
Energi dalan GHS
Pada simpangan
maksimum, energi yang
disimpan dalam pegas
adalah energi potensial.
Pada titik keseimbangan,
seluruh energinya
berupa energi kinetik.
Energi pad GHS
Total energi pegas adalah:
dapat ditulis pula:
penyelesaian yang didapatkan kecepatan
sebagai fungsi dari posisi.
dimana:
Grafik ini menunjukkan energi potensial
sebagai fungsi dari posisi pegas. Dimana
energi totalnya adalah konstan.
Energi pada GHS
Bandul Sederhana
Sebuah bandul sederhana
terdiri atas sebuah benda
yang digantung pada
sebuah kawat (tali) yang
ringan.
Asumsikan bahwa tali
tersebut tidak teregang dan
massanya relatif kecil
terhadap benda sehingga
massanya dapat diabaikan.
Bandul Sederhana
Untuk memperoleh GHS, gaya
pemulih harus sebanding
dengan nilai negatif dari
perpindahant. Sehingga:
Dimana F sebanding dengan
nilai sin θ dan bukan θ .
Bagaimanapun, jika
sudutnya kecil maka:
sin θ ≈ θ.
Bandul Sederhana
Sehingga, untuk sudut yang kecil, diperoleh:
dimana
Besar periode dan frekuensinya adalah
Bandul Sederhana
Jadi, sepanjang massa tali
dapat diabaikan dan
amplitodo yang dihasilkan
kecil, maka periode tidak
bergantung pada massa.
Gerak Harmonis Teredam
Gerak harmonis teredam adalah gerak
harmonik dengan gesekan atau hambatan
udara. Jika redaman yang dihasilkan kecil,
maka kita dapat memperlakukannya
sebagai “amplop” yang dapat dimodifikasi
sebagai osilasi tak teredam.
Gerak Harmonis Teredam
Bagaimanapun, jika redaman
adalah besar maka getaran
tersebut tidak lagi GHS.
A. redaman kecil, ada
beberapa ayunan (osilasi)
sebelum berhenti
B. redaman kritis: cara tercepat mencapai
keseimbangan.
C. redaman besar: sistem bergerak secara pelan
sehingga membutuhkan waktu yang lama untuk
mencapai keseimbangan.
Gerak Harmonis Teredaman
Ada beberapa sistem dimana redaman tidak
diinginkan, seperti pada jam.
Kemudian, ada juga sistem menginginkan, dan
sering dibutuhkan dan jika mungkin mendekati
redaman kritis, seperti peredam kejut pada motor,
dan pada pelindung gempa pada bangunan.
Getaran yang Dipaksakan; Resonansi
Getaran yang dipaksakan terjadi ketika Forced
vibrations occur when there is a periodic driving
force. This force may or may not have the same
period as the natural frequency of the system.
If the frequency is the same as the natural
frequency, the amplitude becomes quite large.
This is called resonance.
Getaran yang dipaksakan
The sharpness of the
resonant peak depends
on the damping. If the
damping is small (A), it
can be quite sharp; if
the damping is larger
(B), it is less sharp.
Like damping, resonance can be wanted or
unwanted. Musical instruments and TV/radio
receivers depend on it.
Gelombang
• Adalah getaran yang merambat.
• Gelombang dapat dibagi menjadi dua
macam:
1. Gelombang elektromagnetik (EM).
2. Gelombang mekanik.
Macam Gelombang
Gelombang MekanikMemerlukan medium untuk menjalar
Persamaan Newton
Gelombang longitudinal dan transversal
Gelombang Elektromagnetik
Tidak memerlukan medium untuk menjalar
Persamaan Maxwell
Gelombang transversal
Gelombang EM
Cahaya tampak
Sinar infra merah
Sinar ultra ungu
Gelombang radio AM
Gelombang radio FM
Gelombang televisi VHF
Gelombang televisi UHF
Sinar – x
Sinar -
GELOMBANG MEKANIK
Gelombang tali
Gelombang permukaan air
Gelombang seismik
Gelombang tegangan
Gelombang akustik
• Gelombang infrasonik (f < 20 Hz)
• Gelombang suara (20 Hz < f < 20 kHz)
• Gelombang ultrasonik (f > 20 kHz)
Gerak Gelombang
Gelombang
merambat
membutuhkan
medium, tetapi
patikel itu sendiri
hanya bergerak ke
atas dan ke bawah.
Dalam semua tipe penjalaran gelombang yang
ditransfer adalah energi bukan materi.
Study of a single wave
pulse shows that it is
begun with a vibration
and transmitted through
internal forces in the
medium.
Continuous waves start
with vibrations too. If the
vibration is SHM, then the
wave will be sinusoidal.
Gerak Gelombang
Karakteristik dari gelombang:
• Amplitudo, A
• Panjang gelombang, λ
• Frekuensi f and periode T
• Kecepatan gelombang
Tipe Gelombang:
Transversal dan Longitudinal
Gerak partikel dalam gelombang dapat dalam arah
tegak lurus maupun sejajar dengan arah
gelombang.
Gelombang Transversal :
Arah perpindahan/simpangan/getaran tegak lurus arah
perambatan gelombang.
Contoh: gelombang tali.
Gelombang Longitudinal :
Arah perpindahan/simpangan/getaran searah dengan arah
perambatan gelombang.
Contoh: gelombang bunyi, gelombang pada pegas.
Tipe Gelombang:Transversal dan Longitudinal
Gempa bumi memproduksi kedua jenis
gelombang longitudinal dan transversal. Kedua
tipe dapat menjalar melalui benda padat, tetapi
hanya gelombang longitudinal yang dapat
menjalar dalam fluida- dalam arah transversal,
fluida tidak memiliki gaya pemulih.
Permukaan gelombang adalah gelombang yang
bergerak di sekitar dua media.
Persamaan Penjalaran Gelombang
Persamaan matematik yang dapat menunjukkan
gelombang adalah perpindahan dari tiap titik
sebagai fungsi dari jarak dan waktu:
)(sin txkAy
Persaman Penjalaran Gelombang
Frekuensif
sudutFrekuensif
gelombangPanjang
gelombangBilangank
AmplitudaA
2
2
)(sin txkAy
Gelombang Sinusoidal Dalam Domain Ruang
)2
(sin xAy
Amplituda
x
A
Panjang gelombang
Bilangan gelombang
)(sin xkAy
x
Gelombang Sinusoidal Dalam Domain Waktu
)2
(sin tT
Ay
t
A
T
Perioda
Amplituda
)(sin tAy
)2(sin tfAy
Frekuensi sudut
Frekuensi
Sebuah gelombang perpindahan dinyatakan dengan :
(x,t) = 0,02 sin [ 2 ( 0,5 x – 10 t ) ] m
Tentukan panjang gelombang, frekuensi dan kecepatannya.
)22
(sin)(sin),( tfxAtxkAtx
)105,0(2sin02,0)1
(2sin),( txtfxAtx
Hzf 10
m2Tc
smfT
c /20)10)(2(
Tf
1
Contoh Soal
Jawab :
Latihan Soal
• Persamaan suatu gelombang yang bergerak
transversal
3001.02sin2
xty
Dimana x dan y dalam cm dan t dalam detik.
Berapa amplituda, panjang gelombang,
frekuensi dan kecepatan rambat gelombang itu
74
Contoh
Frekuensi gelombang radio pendek (short wave
radio) seperti gelombang radio FM dan televisi VHF
berkisar antara 1,5 MHz – 300 MHz. Tentukan
daerah panjang gelombangnya.
Kecepatan gelombang elektromagnetik di
udara adalah 3x108 m/s.
Jawab :
f
c
m110x300
10x36
8
1
m20010x5,1
10x36
8
2
75
Contoh
Panjang gelombang dari cahaya tampak berkisar
antara 400 nm untuk warna ungu dan 700 nm untuk
warna merah. Tentukan daerah frekuensi dari cahaya
tampak ini.
Kecepatan gelombang elektromagnetik di
udara adalah 3x108 m/s.
Jawab :
cf
Hz10x3,410x700
10x3f 14
9
8
merah
Hz10x5,710x400
10x3f 14
9
8
ungu
76
Contoh
Sinar-x mempunyai panjang gelombang yang
berkisar antara (0,01 – 5) nm. Tentukan daerah
frekuensi dari sinar-x ini.
Kecepatan gelombang elektromagnetik di
udara adalah 3x108 m/s.
Jawab :
cf
Hz10x610x5
10x3f 16
9
8
1
Hz10x310x01,0
10x3f 19
9
8
2
77
Contoh
Frekuensi dari gelombang akustik yang dapat
didengar oleh manusia berkisar antara 20 Hz – 20
kHz. Tentukan daerah panjang gelombangnya.
Kecepatan gelombang suara atau bunyi di udara
adalah 343 m/s.
Jawab :
f
c
mm15,1710x20
34331
m15,1720
3432
78
Contoh
Gelombang akustik yang digunakan dalam uji tak rusak (UTR) pada baja biasanya berfrekuensi tinggi antara 2 – 10 MHz yang disebut gelombang ultrasonik. Tentukan daerah panjang gelombang dari gelombang ultrasonik di dalam baja ini.
Kecepatan gelombang ultrasonik di dalam baja
adalah 5850 m/s.
Jawab :
f
c
mm585,010x10
585061
mm925,210x2
585062
79
Contoh
Gelombang ultrasonik yang digunakan dalam
pengukuran aliran gas biasanya berfrekuensi antara
40 -100 kHz. Tentukan daerah panjang gelombang
dari gelombang ultrasonik di dalam gas ini.
Kecepatan gelombang ultrasonik di dalam gas
adalah sekitar 400 m/s.
Jawab :
f
c
mm410x100
40031
mm1010x40
40032
80
Contoh
Suatu gelombang ultrasonik berfrekuensi 100 kHz menjalar di
dalam gas yang mempunyai kecepatan gelombang sebesar 400
m/s. Gelombang ini berupa gelombang sinusoidal dengan
amplituda tekanan akustik sebesar 2 Pa. Nyatakan gelombang
tersebut secara matematis sebagai fungsi ruang dan waktu.
Jawab :
s/rad10x628,0)10x100(2f2 63
PaX10x571,1t10x628,0Sin2kXtSin2p 36
m10x410x100
400
f
c 3
3
m/rad10x57,110x4
22k 3
3
Kesimpulan
• Untuk GHS, gaya pemulihnya sebanding
dengan perpindahan.
• Periode adalah waktu yang dibutuhkan untuk
melakukan satu kali putaran (siklus) dan
frekuensi adalah banyaknya putaran dalam
satu detik.
• Periode dari benda yang dihubungkan dengan
pegas:
• GHS adalah sinusoidal.
• Selama GHS, total energi potensial dan kinetik
berubah.
Kesimpulan
• Bandul sederhana menggunakan pendekatan
GHS jika amplitudo dari getaran tidak besar.
Dimana periodenya adalah:
• Ketika terdapat gesekan, gerak dari benda
menjadi teredam.
• Jika gaya osilasi diterapkan pada osilator
harmonik sederhana, amplitudo
bengantung pada seberapa dekat
frekuensi pembawa dengan frekuensi
alami. Jika frekuensi ini dekat, maka
amplitido yang dihasilkan menjadi besar.
Peristiwa ini dinamakan reseonsi.
Kesimpulan
• Benda yang bergetar merupakan sumber
gelombang, dimana gelombangnya dapat
berupa pulsa gelombang atau gelombang
kontinyu (berjalan).
• Panjang gelombang: jarak antara dua puncak
berturut-turut.
• Frekuensi: jumlah puncak yang melewati suatu
titik per satuan waktu
• Amplitudo: ketinggian maksimum dari sebuah
puncak.
• Kecepatan gelobang :