54 | h a n d o u t

Indikator Pencapaian Hasil Belajar : Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam : Menghitung luas daerah dan volum dari daerah yang dibatasi suatu kurva sederhana pada suatu selang Ringkasan Materi Perkuliahan Kita review dulu konsep penjumlahan berulang yang anda miliki

294

2

16942423222

i

i

n

i

nni

1

)1(...321

n

inaaaia

1

...21

Berikut akan diperlihatkan contoh bagaimana menghitung luas daerah dengan menggunakan gagasan limit.

Teorema :

(Rumus Jumlah Khusus ) Misalkan c adalah konstanta dan n bilangan bulat

positif, maka :

(a)

n

i

n

1

1 (b) ncn

i

c

1

(c) 2

)1(

1

nnn

i

i (d)

n

i

nnni

16

)12)(1(2

(e)

n

i

nni

1

2

2

)1(3

PENGGUNAAN INTEGRAL TENTU

55 | h a n d o u t

Bagaimana anda menhitung luasan daerah berikut? Ya,,kita bisa menghitung

dengan menjumlahkan persegi-persegi yang ada, karena luasan tersebut tidak

beraturan.

Begitupun pada konsep yang nanti akan kita pelajari. Kita gunakan kata ” potong-

jumlahkan-limit”

Misal akan ditentukan luas daerah R yang dibatasi oleh parabola 2)( xxfy ,

sumbu- x dan garis tegak 2x .

2)( xxfy

Benar /tdk bahwa luas daerah di bawah kurva y= x 2 tsb , sumbu x positif dan di atas sumbu y adalah jumlahan dari luas persegi panjang-persegi panjang yang kita buat? Bagaimana kalau kita buat persegi panjangnya sejumlah tak hingga n, bukankah akan mendekati luas daerah kurva sebenarnya? Jadi apa yang akan kita lakukan untuk mengitung luas daerah di atas? Buat n buah persegi

panjang Hitung luas

persegipanjangmu Jumlahkan Buat pendekatan untuk n

tak hingga

56 | h a n d o u t

Misal nxxxx ...210 adalah titik-titik pada selang 2,0 demikian

sehingga panjang setiap selang bagian yang terbentuk oleh titik-titik itu adalah

nxix

2 , ni ,...,2,1

0x 1x 2x 3x 1nx nx

00 x

nxx

21

nxx

422

nxx

633

.......

nnxnnx

2)1()1(1

22

nnxnnx

Pandang persegipanjang ke- i dengan alas ixix ,1 , tinggi 21)1( ixixf

sehingga luasnya xixf )1( . Gabungan dari semua persegi panjang yang

demikian membentuk poligon dalam nD

)1( ixf

x 0x 1x 2x 1nx nx

Poligon dalam Luas )( nDA dapat dihitung ,

Luas = xxf i )( 1

2)( xxfy

57 | h a n d o u t

23

44

3

8

)2332(33

4

)12)(2(33

4

6

)1)1(2)()(1(

3

8

1

2)1(3

8

1

22

2)1(

2

1

2)1(

1

)1()(

nn

nnnn

nnnn

nnn

n

n

i

in

n

inn

in

n

iix

n

i

xixfnDA

Hal yang sama juga bisa kita lakukan jika poligon ( persegi panjang ) yang kita

buat berada di luar kurva atau kita sebut penjumlahan untuk poligon luar nL

)( ixf

x 0x 1x 2x 1nx nx

Poligon luar

2)( xxfy

Luas = 2)( xxfy

58 | h a n d o u t

Jika banyaknya persegi panjang dibuat sejumlah tak hingga banyaknya ( n

makin besar ), maka )( nDA akan makin mendekati )(RA . Dengan bahasa limit

kita katakan )(lim)(lim)( nn

nn

RADARA

23

44

3

8lim)(lim

nnnnDA

n

3

8

3

44

3

8lim)(lim

2

nnDA

nn

n

Coba kita cek dengan menggunakan

3

8

0

2

3

32

0

2

xdxx .............jadi apa yang dapat kita simpulkan?

TEOREMA DASAR KALKULUS

Jika kita membuat n , artinya kita membuat besar 0

Jika f adalah fungsi kontinyu pada interval [a,b] dan F adalah anti derivatif f pada

[a,b], maka

b

a

aFbFdxxf )()()(

Dari teorema tersebut dapat kita aplikasikan untuk mencari luas daerah yang

dibatasi oleh kurva maupun volum benda putar.

1. PENGGUNAAN INTEGRAL TENTU UNTUK MENCARI LUAS DAERAH

Luas Daerah Antara Kurva d SUMBU X Apabila kita mempunyai sebuah kurva seperti gambar berikut :

59 | h a n d o u t

Bagaimanakah kita menghitung luas kurva tersebut yang dibatasi oleh kurva y =

f(x), sumbu X, garis x = a dan x = b (daerah yang diarsir).

Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita harus membuat pendekatan luas,

yaitu dengan membuat beberapa garis vertical (strip) sehingga membentuk

persegi panjang. Jumlah luas persegi panjang tersebut merupakan pendekatan

luas daerah tersebut.

Jumlah luas persegi panjang dari x = a sampai dengan x = b dapat dinyatakan

dengan :

n

i

xiyiTotalLuas1

dengan n adalah banyak persegi panjang.

n

ix

xiyiTotalLuas1

0lim

Bentuk diatas dapat kita tuliskan sebagai bentuk integral seperti di bawah ini : x

60 | h a n d o u t

b

a

dxyL karena y = f(x)

b

a

dxxfL )( = = F(b) – F(a)

b

a

b

a aFbFxFdxxf )()()]([)(

Integral yang dituliskan dalam notasi b

a

dxxf )( akan menghasilkan nilai tertentu

sehingga integral tersebut disebut dengan Integral Tertentu, a disebut batas

bawah dan b disebut batas atas integral.

Jadi dari bukti di atas dapat diketahui bahwa integral tertentu dapat kita

gunakan untuk menghitung luas daerah suatu kurva dengan sumbu koordinat

yang dibatasi oleh dua buah garis.

Besar luas daerah yang ditunjukkan pada gambar bernilai negatif, sebab hasil

kali perkalian f(x) dan x adalah negatif. Karena luas daerah selalu bernilai

positif, maka :

b

a

dxxfL )(

Contoh :

Hitunglah luas daerah di bawah sumbu X yang dibatasi oleh kurva y = 4 – 2x,

sumbu X dan garis x = 4

Jawab :

61 | h a n d o u t

4

2O X

Y

4

y = 4 - 2x

Daerah yang diarsir berada di bawah sumbu X, maka luasnya :

4

)48()1616(

)22.4()44.4(

4

)24(

)24(

22

4

2

2

4

2

4

2

xx

dxx

dxxL

Jadi, luasnya adalah 4 satuan luas

LUAS DAERAH ANTARA KURVA DAN SUMBU Y

Lalu bagaimana dengan luas daerah kurva tertutup yang dibatasi sumbu Y ?

O X

Yx=f(y)

a

b

Bagaimanakah kita menghitung luas kurva tersebut yang dibatasi oleh kurva x =

f(y), sumbu Y, garis y = a dan y = b (daerah yang diarsir) ? Permasalahan ini tidak

jauh berbeda dengan luasan kurva yang dibatasi sumbu x. Hanya saja batas atas

dan batas bawah kurva adalah koordinat di sumbu y

62 | h a n d o u t

O X

Yx=f(y)

a

b

Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita harus membuat pendekatan luas,

yaitu dengan membuat beberapa garis vertikal (strip) sehingga membentuk

persegi panjang. Jumlah luas persegi panjang tersebut merupakan pendekatan

luas daerah tersebut.

n

iy

yixiTotalLuas1

0lim

Bentuk diatas dapat kita tuliskan sebagai bentuk integral seperti di bawah ini :

b

a

dyxL

Contoh 3: hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2, sumbu Y, garis y

= 1 dan garis y = 2

Jawab :

Y

2

1

O

x = y2

X

63 | h a n d o u t

3

12

3

1

3

8

)1.3

1()2.

3

1(

3

1

33

2

1

3

2

1

2

y

dyyL

Jadi luasnya adalah 3

12 satuan luas.

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA DAN SUMBU X

Misalkan :

f dan g adalah fungsi yang kontinyu di [a,b] dan f(x) ≥ g(x) dalam interval

tersebut, dengan syarat y1 = f(x) dan y2 = g(x) tidak saling berpotongan pada

[a,b] seperti pada gambar (fungsi f dan g non negatif)

tampak pada gambar bahwa luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g dalam

[a,b] adalah :

L = (luas daerah f) – (luas daerah g)

b

a

b

a

dxxgdxxfL )()(

64 | h a n d o u t

b

a

dxxgxfL ))()((

Contoh : Hitunglah luas yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 3x dan y = 2x + 2

Jawab :

Tentukan terlebih dahulu titik potong kedua kurva tersebut, sebagai batas atas

dan batas bawahnya

x2 + 3x = 2x + 2

x2 + x – 2 = 0

(x + 2)(x – 1) = 0

x = -2 atau x = 1

Jadi, batas-batasnya adalah x = -2 dan x = 1

1

2

O X

Y

-2 -1

-3

21

1

2

32

1

2

2

1

2

2

4

3

824

3

1

2

12

3

1

2

12

)2(

)]3()22[(

xxx

dxxx

dxxxxL

Jadi luasnya 214 satuan luas

65 | h a n d o u t

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA DAN SUMBU Y

Misalkan :

f dan g adalah fungsi yang kontinyu di [a,b] dan f(y) ≥ g(y) dalam interval

tersebut, dengan syarat x1 = f(y) dan x2 = g(y) tidak saling berpotongan pada

[a,b] seperti pada gambar (fungsi f dan g non negatif)

g(y)f(y)

b

O X

Y

a

tampak pada gambar bahwa luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g dalam

[a,b] adalah :

L = (luas daerah f) – (luas daerah g)

b

a

b

a

dyygdyyfL )()(

b

a

dyygyfL ))()((

Contoh : hitunglah luas yang dibatasi oleh kurva x = 4 - y, garis x = y dan sumbu

X

Jawab :

Tentukan terlebih dahulu titik potong kedua kurva tersebut sebagai batas atas

dan bawahnya

y = 4 - y

2y = 4

y = 2

Jadi, batas-batasnya adalah y = 0 (karena berbatasan dengan sumbu X) dan y = 2

66 | h a n d o u t

Y

2

x = 4 - y

O

x = y

X

4

0048

4

)24(

)]()4[(

2

0

2

2

0

2

0

yy

dyy

dyyyL

Jadi luasnya 4 satuan luas

PENGGUNAAN INTEGRALTENTU UNTUK MENGHITUNG VOLUME BENDA

PUTAR

Dalam bahasan ini kita mencoba untuk mencoba untuk menghitung volume

benda putar tersebut dengan metode integral.

Perhatikan bangun-bangun di bawah ini :

Setelah kita putar 3600 bagaimanakah bentuknya ? mari kita lihat.

67 | h a n d o u t

Untuk menghitung volume benda pejal, langkah-langkah yang digunakan tetap

sama yakni potong, hampiri dan integralkan

Apabila suatu daerah rata yang terletak seluruhnya pada satu dari sebuah garis

tetap pada bidangnya diputar mengelilingi garis tersebut akan diperoleh benda

putar. Garis tersebut dinamakan sumbu putar

Pembahasan berikut ini dibatasi pada benda putar yang diperoleh dengan

pemutaran pada sumbu- x , sumbu- y atau garis-garis yang sejajar dengannya

VOLUME BENDA PUTAR MENGELILINGI SUMBU X

Perhatikan daerah yang dibatasi kurva y = f(x), garis x = a dan garis x = b yang

diputar mengelilingi sumbu X sebesar 3600.

a b

y = f(x)

Untuk mendapatkan volume benda putar tersebut, dibuatlah potongan tabung

kecil-kecil sebagai pendekatan volume benda tersebut.

a b

y = f(x)

Perhatikan salah satu potongan tabung !

68 | h a n d o u t

Metode Cakram

Bentuk cakram di samping dapat

dianggap sebagai tabung dengan jari-

jari r = f(x), tinggi h = x. Sehingga

volumenya dapat diaproksimasi

sebagaiV r2h atau V f(x)2x.

Dengan cara jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam

integral diperoleh:

V f(x)2 x

V = lim f(x)2 x

dxxf

a

0

2)]([v

x

h=x

x

x

y

0 x

y

xa

)(xf

)(xfr

Perhatikan benda yang dibentuk dari salah satu potongan tabung tersebut.

Berbentuk apakah? Ya seperti cakram pejal. Lalu apa rumus untuk volum dari

suatu cakram:

TinggilingkaranLuasVolume . ( dengan tinggi = tebal dari cakram =

x )

xyVolume 2

Volume benda putar tersebut merupakan jumlah potongan tabung-tabung

tersebut, sehingga :

n

i

ii xyV1

2

Untuk x yang cukup kecil (mendekati nol) akan dihasilkan pendekatan volume

sehingg dapat dinyatakan dengan menggunakan integral sebagai berikut :

b

a

dxyV 2 = b

a

dxxf 2)]([

Contoh :

hitunglah volume benda yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = 3x + 2,

sumbu X, garis x = 1 dan x = 4 diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360o

Jawab :

r=f(x)

69 | h a n d o u t

4

3

O X

Y

2

1-2

291

)463()1696192(

463

)4129(

)23(

4

1

23

4

1

2

4

1

2

4

1

2

V

xxx

dxxx

dxx

dxyV

Jadi volumenya adalah 291 satuan volume

Lalu bagaimana untuk volume benda putar yang diputar mengelilingi

sumbu Y.

Perhatikan daerah yang dibatasi kurva x = f(y), garis y = a dan garis y = b yang

diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 3600.

70 | h a n d o u t

Metode Cakram Volume Benda Putar

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2,

sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya

2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk

partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang

diputar, jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam

bentuk integral.

2

y

y

2xy

x

y

y

x

y

h=y

y

yr

Volume benda putar tersebut merupakan jumlah potongan tabung-tabung

tersebut, sehingga :

n

i

ii yxV1

2

dengan n adalah jumlah potongan tabung.

Untuk y yang cukup kecil (mendekati nol) akan dihasilkan pendekatan volume

yang sempurna, yaitu :

n

i

iiy

yxV1

2

0lim

Bentuk tersebut dapat dinyatakan dengan menggunakan integral sebagai berikut

:

b

a

dyxV 2

b

a

dyxV 2

71 | h a n d o u t

Contoh

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva

2

21 xy sumbu Y, garis y = 0 dan y = 2 diputar mengelilingi sumbu Y sebesar

3600

Jawab :

2

O X

Y 2

2

1 xy =

4

)0()4(

2

2

2

0

2

2

0

2

0

2

2

2

21

y

dyy

dyxV

yx

xy

Jadi volumenya adalah 4 satuan volume.

VOLUME BENDA PUTAR ANTARA DUA KURVA DENGAN SUMBU X

Misalkan f dan g merupakan fungsi yang kontinyu dan non negatif sedemikian

sehingga f(x) g(x) untuk [a,b] dan L adalah daerah yang dibatasi y1 = f(x), y2 =

g(x), garis x = a, serta x = b.

72 | h a n d o u t

a b

y1 = f(x)

y2 = g(x)

Y

O X

Jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu X sebesar 3600, maka volume

benda yang terjadi dapat dinyatakan sebagai berikut :

V = (Volume daerah f(x)) - (Volume daerah g(x))

b

a

b

a

dxxgdxxfV 22 )()(

b

a

dxxgxfV ))()(( 22

Contoh :

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2

dan y = x + 2 diputar mengelilingi sumbu X satu putaran penuh

Jawab :

Tentukan terlebih dahulu titik potong kedua kurva tersebut

x2 = x + 2

x2 – x – 2 = 0

(x – 2)(x + 1) = 0

x = 2 atau x = -1

Jadi batas-batas daerahnya adalah x = 2 dan x = -1, sehingga volume yang

dimaksud adalah

2

1

2

2

2

1 )( dxyyV

73 | h a n d o u t

5

2

5

1

3

1

5

2

3

2

2

1

5

5

123

3

1

2

1

42

2

1

222

14

426882

42

)44(

)()2(

xxxx

dxxxx

dxxxV

Jadi volumenya adalah 5214 satuan volume.

VOLUME DENGAN METODE SEL SILINDER

Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva

y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya

2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.

4. Aproksimasi volume partisi yang

diputar, jumlahkan, ambil limitnya,

dan nyatakan dalam bentuk integral. 0

x

1 2x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

Jawab

74 | h a n d o u t

0

x

1 2

x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

r = x

x

h = x2

0

x

1 21 2

y

1

2

3

4

Perhatikan, bagaimana jika persegi panjang ∆x yang berdiri kita putar searah

sumbu x. Ya benar kita akan mendapatkan bentuk silinder/tabung yang

berlubang ( kulitnya saja). Lalu bagaimana menghitung volumnya?

Volume = xixf )(

= tRtR2

1

2

2

= tRRRR ))((2

12 1212

= tRRR )(*2 12

= RtR *2 Jika R * adalah x dan xR , maka dengan kita buat n partisi dengan n tak hingga banyaknya, dan dengan Teorema dasar Kalkulus

Volum = 2 b

a

dxxxf )(

75 | h a n d o u t

Sehingga dari gambar di atas

∆V 2rhx

V 2(x)(x2)x

V 2x3x

V = limit 2x3x

Latihan terbimbing : 1. Misal 22 xy pada selang ]1,1[

a. Hitung luas poligon dalam dan poligon luar untuk 6n

b. Hitung luas daerah dibawah kurva 22 xy pada selang ]1,1[ dengan

menghitung luas poligon dalam dan poligon luar untuk n

2. Tentukan luas dan volumnya

3. Tentukan volume benda putar dari daerah yang dibatasi y= 4-x2 ( x )0 , x

=0 dan y =0 dan :

a. mengelilingi sumbu y

b. mengelilingi sumbu y = 2

4. Tentukan volume benda putar dari daerah yang dibatasi x= 12 y , y= 2 ,

x=0 dan y =0 mengelilingi garis y= 3

dxxV

2

0

32

822

0

4

4

1 xV