VEKTOR

Keep running

04/21/23 Fisika Dasar FR 203 1

VEKTOR

PERTEMUAN KE-2

TrigonometriTrigonometri

sampingsisi

depansisitan

miringsisi

sampingsisicos

miringsisi

depansisisin

θ

θ

θ

Teorema Phytagoras

c2 = a2 + b2

Skalar dan VektorSkalar dan Vektor

►Kuantitas Kuantitas skalar skalar dijelaskan hanya oleh dijelaskan hanya oleh besar saja (besar saja (temperatur, panjangtemperatur, panjang,…),…)

►Kuantitas Kuantitas vektorvektor perlu besar dan arah perlu besar dan arah untuk menjelaskannya (untuk menjelaskannya (gaya, kecepatangaya, kecepatan,,…)…)-- direpresentasikan oleh sebuah panah, panjang panah direpresentasikan oleh sebuah panah, panjang panah berkaitan dengan besar vektorberkaitan dengan besar vektor

-- kepala panah menunjukkan arah vektor kepala panah menunjukkan arah vektor

Notasi VektorNotasi Vektor► Tulis tangan, gunakan tanda panahTulis tangan, gunakan tanda panah► Cetak (print), gunakan cetak tebal Cetak (print), gunakan cetak tebal AA

Sifat VektorSifat Vektor► Dua vektor dikatakan Dua vektor dikatakan sama sama apabila besar apabila besar

dan arahnya samadan arahnya sama► Dua vektor adalah Dua vektor adalah negatifnegatif apabila apabila

besarnya sama dan arahnya berlawananbesarnya sama dan arahnya berlawanan► Vektor Vektor resultanresultan adalah jumlah dari adalah jumlah dari

beberapa vektorbeberapa vektor

A

Penjumlahan VektorPenjumlahan Vektor

►Ketika menjumlahkan vektor, arah Ketika menjumlahkan vektor, arah vektor dimasukan dalam vektor dimasukan dalam perhitunganperhitungan

►Satuan harus samaSatuan harus sama►Metode grafikMetode grafik►Metode aljabarMetode aljabar

Metoda GrafikMetoda Grafik

Apa beda Apa beda jarak jarak

&& perpindahanperpindahan

?? 200 m

250 m

150 m

Jarak =

Perpindahan =

AB

C450 m

150 m


CONTOH SOALCONTOH SOAL

Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 60 km, kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km dan bergerak ke Selatan sejauh 30 km. Tentukan jarak perpindahan mobil itu !

40 km

S

30 km

60 km

U

B


JAWABANJAWABAN

Jawab :40 km

30 km

60 km

30 km

40 km

A

B

C

D = A + B + C

A

B

10 meter

10 meter

Putu berlari di sekeliling taman berbentuk persegi dengan sisi 10 meter dari titik A ke titik B. Berapakah jarak yang ditempuh Putu? Berapakah perpindahan Putu?

Metode AljabarMetode Aljabar

► Pilih sebuah sistem koordinat dan gambarkan Pilih sebuah sistem koordinat dan gambarkan vektor-vektornyavektor-vektornya

► Cari komponen x dan komponen y masing-Cari komponen x dan komponen y masing-masing vektormasing vektor

► Jumlahkan semua vektor komponen x = RJumlahkan semua vektor komponen x = Rxx

► Jumlahkan semua vektor komponen y = RJumlahkan semua vektor komponen y = Ryy

► Besar vektor resultan dan arahnya:Besar vektor resultan dan arahnya:

x

y12y

2x R

RtanRRR

Perkalian atau Pembagian Vektor oleh Perkalian atau Pembagian Vektor oleh SkalarSkalar► Hasil perkalian atau pembagian vektor Hasil perkalian atau pembagian vektor

oleh skalar adalah sebuah oleh skalar adalah sebuah vektorvektor

► Besar vektor hanya dapat dikali atau Besar vektor hanya dapat dikali atau dibagi oleh dibagi oleh skalarskalar

► Jika skalar positif, maka arah vektor hasil Jika skalar positif, maka arah vektor hasil perkalian atau pembagian perkalian atau pembagian searahsearah dengan dengan vektor awalvektor awal

► Jika skalar negatif, maka arah vektor hasil Jika skalar negatif, maka arah vektor hasil perkalian atau pembagian perkalian atau pembagian berlawananberlawanan arah dengan vektor awal arah dengan vektor awal

Komponen dari Sebuah Komponen dari Sebuah VektorVektor

2y

2x AA A

A

• Komponen x dari sebuah

vektor adalah proyeksi vektor

terhadap sumbu x

Ax= cos

• Komponen y dari sebuah

vektor adalah proyeksi vektor

terhadap sumbu y

Ay= sin ji ˆAˆAA yx

A

A

Perkalian antar VektorPerkalian antar Vektor

Perkalian titik (dot product) didefinisikan sebagai

BA

BABABAθcosBABA zzyyxx

danantarasudutadalah

Perkalian silang (cross product) didefinisikan sebagai

melaluikedariberputaryangsekrupgerakmenurutiberarah

dandandibentukyangbidangtegaklurusyangvektoradalahn

danantarasudutadalah

BABAkBABAjBABAi

n

xyyxzxxzyzzy

BA

BAˆ

BA

ˆˆˆ

ˆθsinBABA

Sistem KoordinatSistem Koordinat

Digunakan untuk menjelaskan posisi suatu titik

dalam ruang

Sistem koordinat (kerangka) terdiri dari

- Titik acuan tetap yang dinamakan titik pusat

- Sumbu-sumbu dengan skala dan keterangan

Jenis Sistem Koordinat (dalam kuliah ini)

- Kartesian

- Polar

Sistem Koordinat Kartesian Sistem Koordinat Polar

• sumbu x dan sumbu y (2D)

• Sebuah titik ditulis (x,y)

• Sebuah titik adalah berjarak r dari titik

pusat dan bersudut dari garis acuan

( = 0)

• Sebuah titik ditulis (r, )

Posisi sembarang titik :

Posisi titik P :

ji ˆyˆxr

ji ˆ3ˆ5rP

Keep running


PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS

2z

2y

2x RRRR

Vektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + Rzk

Besar vektor R adalah :

R

Ry

Rz

Rx

Vektor dalam 2 Dimensi

Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu koordinat.

Keep running


CONTOH

Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan :

a. Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis

b. Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X

c. Panjang vektor

Jawab :

(2,2)

(-2,5)

x

y

Vektor perpindahan :

R = (xujung – xpangkal)i + (yujung – ypangkal)j

R = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4i + 3j

pangkal

ujung

Rx

Ry

a.

Keep running


CONTOH

o1

x

y1 374

3tan

R

Rtan

(2,2)

(-2,5)

x

y

pangkal

ujung

Rx

Ry

b.

Besar vektor R = 543RR 222y

2x c. satuan

Sudut yang dibentuk :

Keep running


PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITIS

Jika diketahui sebuah vektor A = xAi + yAj dan vektor B = xBi + yBj, maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j. Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku :

R = (x0 + …+xi + …+xn)i + (y0 + …+yi + …+yn)j

xAxB

yA

yB

A

B

xA + xB

A + B

A

B

yA + yB

(1.3)

Keep running


CONTOH

Diketahui dua buah vektor.

A = 3i + 2j

B = 2i 4j

Tentukan :

a. A + B dan A + Bb. A B dan A B

Jawab :a. A + B = 3i + 2j + 2i 4j

= 5i 2j

A + B = 29)2(5 22

b. A B = 3i + 2j (2i 4j) = i + 6j

A B = 3761 22

AB

A + B

-BA B

Keep running


KUIS 2

1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan arahnya 60o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan vektor satuannya!

2. Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan : a. Vektor perpindahan benda tersebut b. Jarak perpindahan c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut

3. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. Tentukan : a. A + B - C b. A + B + C

Keep running


DIFERENSIAL

Diferensial atau turunan pertama kali dibahas untuk menentukan garis singgung dari suatu kurva. Masalah ini sudah dibahas sejak jaman Archimedes sekitar abad ke 3 SM.

Dalam fisika, turunan pertama kali digunakan untuk menentukan besar kecepatan sesaat pada t tertentu dari persamaan posisi terhadap waktu.

f(x)

xc c+h

f(c+h)

f(c)Garis singgung

Lihat gambar di samping. Gradien dari garis singgung pada titik P dapat ditentukan oleh persamaan :

Ph

)c(f)hc(flim m

0h

(1.9)

Keep running


DIFERENSIAL

x

)x(flim

x'x

)x(f)'x(flim m

x'xx'x

Jika x = c dan x’ = c + h, maka persamaan (1.9) menjadi :

(1.10)

Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan oleh :

f’(x) Dxydx

dy

Berlaku untuk turunan :

1. Dx(cf(x)) = c Dxf(x) c : konstanta (1.11a)

2. Dx(f(x) + g(x)) = Dxf(x) + Dxg(x) (1.11b)

3. Dx(f(x)g(x)) = (Dxf(x))g(x) + f(x)(Dxg(x)) (1.11c)

4. Dx(f(g(x))) = Dg(x)f(g(x)).Dxg(x) (1.11d)

5. Dx(xn) = nXn-1 (1.11e)

Keep running


DIFERENSIAL

dC

dBA

Dalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan sebagai perbandingan besaran B terhadap besaran C selalu dinyatakan dalam bentuk :

Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B merupakan fungsi dari besaran C. Sebagai contoh :

waktu

JaraktanKecepa dt

dxv

waktu

UsahaDaya

dt

dWP

waktu

tanMuaArus

dt

dqI

Keep running


CONTOH

Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi :

Q(t) = q(1 – e-At)dengan q dan A adalah konstanta. Tentukan :a. Fungsi arus sebagai waktu b. Besar arus saat t = 0c. Gambarkan grafik I(t)

Jawab :

AtAt qAe)e1(qdt

d

dt

dQI

Besar arus I :a.

Pada saat t = 0 harga I adalah :

I = qAe-A.0 = qA

b.

qA

I(t)

t

c.

Keep running


INTEGRAL

Integral digunakan untuk menentukan luas daerah di antara kurva fungsi f(x) dan sumbu x.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

x

y

x0

x

x1 x2 x3 x4 x5x6 x7

Sebagai contoh diketahui y = f(x) = (x – 3)2 + 5 dan luas yang ditentukan pada batas dari x = 1 sampai dengan x = 8.

Keep running


Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat didekati dengan :

A(n = 7) = f(1)x + f(2)x + f(3)x + f(4)x + f(5)x + f(6)x + f(7)x

INTEGRAL

7

0ii x)x(f)7n(A

Nilai x = 1 ditentukan dengan membagi selang 1 < x < 8 dibagi dengan n = 7. Nilai A(n = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70 satuan persegi.

Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas sebenarnya. Nilai A sebenarnya diperoleh pada nilai n endekati tak hingga.

n

0i

8

1

inn

dx)x(fx)x(flim)n(AlimA

Keep running


INTEGRAL

dTSR

Dalam fisika, integral digunakan untuk suatu besaran yang merupakan hasil kali dari besaran-besaran lain dengan syarat masing-masing besaran tersebut tidak saling bebas satu sama lain.

Tinjau suatu besaran R = ST. Jika besaran S fungsi dari T, maka besaran R harus dinyatakan dalam bentuk :

Sebagai contoh :

Usaha = Gaya jarak

Fluks = Medan luas dAE

dsFW

Keep running


CONTOH

Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Tentukan :

a. Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegas

b. Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktu

Jawab :

Usaha yang dilakukan : 221 kxdxkxdxFWa.

W =½kx

2

W

x

b.

Keep running


SOAL

Sebuah partikel bergerak akibat gaya yang dinyatakan oleh persamaan F(x) = Ax Bx2. Jika diketahui nilai A = 103 N/m dan B = 5.103 N/m2. Tentukan :

a. Grafik F terhadap x

b. Perubahan Gaya F terhadap jarak

c. Usaha yang dilakukan gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm

1.

Di bawah ini grafik dari potensial listrik terhadap jarak.2.

x (m)10

8

4

V (volt) Tentukan :

a. Fungsi potensial V sebagai fungsi x

b. Jika diketahui medan listrik E adalah turunan pertama dari potensial listrik V, tentukan fungsi E(x)

c. Gambarkan grafik E terhadap x

Keep running


SOAL

Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 10t – 2t2 m/s bergerak dengan posisi awal di x = 1 m. Tentukan :

a. Gambarkan grafik v(t)

b. Kecepatan saat t = 1 detik dan t = 3 detik

c. Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t)

d. Gambarkan grafik a(t)

e. Fungsi posisi x(t) terhadap waktu

f. Posisi saat kecepatan v = 0

3.

Keep running


SOLUSI

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

x (cm)

F (N)1. a.

Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh

dx

dF= A – 2Bx = 103 – 104x

1. b.

Keep running


SOLUSI

Usaha yang dilakukan :

2

2

2

2

10.9

10.3

3312

21

10.9

10.3

2 xBxAdxBxAxdxFW

W = 36.10-4A – 234.10-6B = 2,43 Joule

1. c.

2. a. Dari grafik diketahui V(x) adalah fungsi linier yang menghubungkan titik (0,4) dan titik (10,8). Dengan menggunakan persamaan garis V = ax + b.

Untuk titik (0,4) 0.a + b = 4

Untuk titik (10,8) 10.a + b = 810

8

4

V (volt)

x (m)

Dengan metoda eliminasi diperoleh b = 4 dan a = 2,5. Dengan demikian fungsi V(x) = 2,5x + 4

Keep running


SOLUSI

Medan listrik E(x) =

dx

)x(dV

Dengan demikian nilai E(x) konstan.

x (m)

E (V/m)

2,5

2. b.

2. c.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

x (m)

v (m/s)

3. a.

= 2,5

Keep running


SOLUSI

Kecepatan saat t = 1 detik adalah v(1) = 10.1 – 2.12 = 6 m/s. Sedangkan kecepatan saat t = 3 detik adalah v(1) = 10.3 – 2.32 = 12 m/s.

3. b.

Percepatan a(t) = dt

)t(dv= 10 – 4t3. c.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20

-15

-10

-5

0

5

10

x (m)

a (m/s2)3. d.

Keep running


SOLUSI

Fungsi posisi x(t) = 33222 tt5dtt2t10dt)t(v 3. e.

Saat v = 10t – 2t2 = 0 terjadi saat t = 0 dan t = 5 detik. Pada

saat t = 0 posisi x(0) = 0. Sedangkan pada saat t = 5 detik

posisi x di :

323

322 41

3

12555.5

Dengan demikian kecepatan v = 0 di posisi x = 0 dan x = 41,67 m

3. f.

x(5) =

Keep running

PEKERJAAN RUMAH

KERJAKAN SOAL-SOAL DARI BUKU Serway And Jewett, Physics For Scientists

AndEngineers 8th edition, University of California, Halaman 70 – 76 silahkan tiap kelompok mengerjakan 2 soal pilih asal tidak sama tiap kelompok ( no soal sesuai yang di buku) UTS akan diambil soalnya dari buku tsb terutama yang ditandai kotak no soalnya


VEKTOR

Documents

Transcript of VEKTOR