Tugas 2 Elplas (Autosaved)

SI-5111

ELASTISITAS DAN PLASTISITAS

TUGAS #2

Kelompok 3

Cendekia Raihan Al-Bairuni 15012119

Mega Suci Ramadhita 25015045

Darwinton Rumapea 25015051

PROGRAM STUDI MAGISTER TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN LINGKUNGAN

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

2015

2

Soal 1

Balok dengan kedua perletakan terkekang penuh, bekerja beban segitiga sama kaki q.

Tetapkan lendutan maksimum, gaya-gaya dalam, dan putaran sudut balok.

Jawab:

Untuk

(

)

(

)

(

)

Syarat batas:

( ) , memberikan

( ) , memberikan

( ) , memberikan

Sehingga,

(

)

Lendutan maksimum diperoleh pada yang menghasilkan

.

3

Maka, lendutan maksimumnya adalah

(

)

(

(

)

(

)

( )

)

(

)

(

)

(

)

Soal 2

Balok diatas tumpuan sederhana (sendi-sendi) dibebani beban luar q(x)=q_0 sin(x/l).

Tetapkan fungsi lendutan, putaran sudut balok, dan gaya-gaya dalam sepanjang bentang.

Jawab:

Beban ( ) dapat disubstitusi menjadi beban terpusat ( ):

( ) ( )

(

)

( ) [

(

)]

( )

( )

( )

Reaksi perletakan pada titik A dan B:

Gaya dalam lintang sepanjang balok:

4

( ) ( )

(

)

( )

[

(

)]

( )

(

)

( )

(

)

Gaya dalam momen sepanjang balok:

( ) ( )

(

)

( ) [ (

)

(

)]

( ) (

)

(

)

Fungsi putaran sudut balok:

( )

( )

( ) (

)

( )

( )

[

(

)]

( )

(

)

Dengan syarat batas (

)

, maka

( )

(

)

( )

(

)

Fungsi lendutan sepanjang balok:

( )

( )

( )

(

)

( )

[

(

)]

( )

(

)

Saat , ( ) , maka

5

( )

(

)

( )

(

)

Soal 3

Balok diatas tumpuan sendi-jepit seperti gambar.

Pertanyaan: tetapkan frekuensi alami balok.

Jawab:

Persamaan lendutan:

Syarat batas:

1. Lendutan di ( )

2. Momen di ( )

3. Lendutan di ( )

4. Rotasi di ( )

Keempat syarat batas tersebut disubstitusi ke persamaan lendutan dan turunannya.

1. Lendutan di x = 0

( )

2. Momen di x = 0

( )

Dari syarat batas (1) dan (2) diperoleh

3. Lendutan di x = L

( )

4. Rotasi di x = L

( )

( )

Dari syarat batas (3) dan (4) bila ditulis dalam bentuk matriks:

[

] {

}

Solusi non-trivial jika determinan = 0

6

|

|

Dengan menyelesaikan persamaan di atas diperoleh,

a. Mode pertama:

b. Mode kedua:

c. Mode ketiga:

Maka frekuensi natural untuk balok jepit-sendi yaitu:

(

)

(

)

Soal 4

Balok kantilever bentang dibebani beban seperti pada gambar. Tetapkan kurva garis

elastisitas balok, besaran gaya-gaya dalam sepanjang bentang.

Jawab:

Reaksi perletakan pada titik A:

(

)

Persamaan gaya dalam sepanjang balok AB:

Untuk

7

( )

Untuk

(

)

(

)

(

)

(( )

(

) )

(

)

(

( )

(

)

)

Untuk

( )

( )

Fungsi putaran sudut dan lendutan sepanjang bentang:

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

Putaran sudut untuk

adalah

( )

(

)

Dengan syarat batas saat , ( ) , sehingga

( )

( )

( )

Fungsi lendutan untuk

adalah

8

( ) (

)

( )

( )

( )

( )

Putaran sudut untuk

adalah

( )

( (

))

(

)

( )

(( )

(

)

(

) )

( )

(

)

( )

(

)

( )


adalah

( ) (

(

))

(

)

( )

(( )

(

)

(

)

(

) )

( )

(

)

( )

(

)

( )

Putaran sudut untuk

adalah

( )

(

( )

)

(

)

( )

( )

(

(

)

(

)

( )

)

( )

9

( )

(

)


adalah

( ) (

(

))

(

)

( )

( )

(

(

)

(

)

( )

(

) )

( )

( )

(

)

Kurva garis elastis:

Soal 5

Balok tertumpu di atas tiga tumpuan: jepit sendi sendi menerima beban seperti pada

gambar. Tetapkan kurva garis elastis balok, besaran gaya-gaya dalam sepanjang bentang.

Jawab:

Struktur ini merupakan struktur statis tak tentu. Reaksi perletakan struktur akan ditentukan

dengan menggunakan metoda gaya / unit load. Pertama dipilih 2 buah reaksi perletakan

sebagai redundan yaitu dan .

0.5 1.0 1.5 2.0

70

60

50

40

30

20

10

10

Struktur 1

( )

(

) (

) (

) (

)

( )

Persamaan gaya dalam momen:

untuk

untuk

(

)

untuk

(

)

( )

Struktur 2

( )

(

) ( )


untuk

(

)

11

untuk

Struktur 3

( )

( )

Persamaan gaya dalam momen untuk :

( )

Struktur 4 (dengan Beban Maya 1 Satuan di B)

( )

( )


untuk

untuk

12

Struktur 5 (dengan Beban Maya 1 Satuan di C)

( )

( )


untuk

[

]

[

]

[

(

)]

[

]

[ (

)]

[

]

[ ( )]

[

]

[

]

[ ]

[

(

)]

[ ]

[

(

)

( )

]

[ ]

13

[ (

)]

[ ]

[ ( )]

[ ]

Eliminasi kedua persamaan: dan tersebut

untuk memperoleh nilai RB dan RC.

Dengan menggunakan Wolfram Mathematica, diperoleh

dan

(

)

(

) (

) (

) (

) (

) ( )

(

) (

) (

) (

) (

) ( )

(

)

( )

( )

Menentukan persamaan gaya dalam:

untuk dari titik A

14

[

]

[

]

Saat x = 0

[

]

[

]

[

]

Saat x = 0

[

]

untuk dari titik A

(

)

15

[

]

[

]

Saat x = l/8

[

(

)

(

) ]

[

(

)

(

)

(

)]

[

]

[

]

[

]

Saat x = l/8

[

(

)

(

)

(

) ]

[

(

)

(

)

(

)

]

[

]

untuk dari titik C

[

]

16

[

]

Saat x = l/2

[

(

)

(

)

]

[

(

)

(

)

]

[

]

[

]

[

]

Saat x = l/2

[

(

)

(

)

(

) ]

[

(

)

(

)

(

)

( )

]

[

]

RESUME:

untuk dari titik A

[

]

[

]

untuk dari titik A

17

[

]

[

]

untuk dari titik C

[

]

[

]

Kurva garis elastis:

Soal 6

Balok sederhana dengan konsentrasi massa M seperti pada Gambar.

18

Buktikan penyelesaian eksak dari balok berupa persamaan transcendental

(

)

hal dimana

Dan bila diperoleh

Jawab:

Soal 7

Balok sederhana dengan beban terpusat aksial ( ) seperti pada gambar.

Syarat-syarat batas:

( ) ( )

( ) ( )

Buktikan:

Jawab:

Soal 8-9-10

Tentukan dari sistem struktur balok dengan pola beban pada gambar (soal 8, 9, dan 10),

besarnya lendutan ditengah bentang (

)

Jawab:

19

Struktur 1

Persamaan beban : q(x) = q

Hitung reaksi tumpuan di A

2

RA RB

qlRA

Hitung persamaan gaya geser batang sejauh x dari titik A

2

Qx RA qx

qlQx qx

Hitung persamaan momen batang sejauh x dari titik A

2

2

22

xMx RAx qx

qxqlxMx

Hitung persamaan rotasi batang sejauh x dari titik A

2

2

2 3

1

22

2

12 2 3

d M

dx EI

d qxqlx

dx EI

qd x dxlx

EI

q xlxC

EI

Untuk menhitung C1, masukan nilai x = l/2, dimana nilai rotasi batang di tengah bentang = 0

2 3

3 3

3

0 12 2 2 3 2

0 14 6

112

q l l llC

EI

l lC

lC

Selanjutnya substitusikan nilai C1 sehingga didapat persamaan rotasi batang :

2 3 3

2 2 3 12

q x llx

EI

(1)

Hitung persamaan lendutan batang sejauh x dari titik A

20

2 3 3

2 3 3

2 3 4 3

1

2 2 2 3 12

1

2 2 2 3 12

22 2 2 6 12 12

dw Q

dx KG

dw ql q x llxqx

dx KG EI

ql q x llxdw qx dx dx

KG EI

q lx x q x l xlxw C

KG EI

Karena titik A merupakan tumpuan sendi maka lendutan pada titik A = 0, sehingga untuk x

= 0; w = 0; sehingga apa bila disubstitusikan ke persamaan di atas akan didapatkan C2 = 0,

sehingga persamaan menjadi

2 3 4 3

2 2 2 6 12 12

q lx x q x l xlxw

KG EI

(2)

Hitung lendutan di tengah bentang, x = l/2

2 3 4 3

2 2 4 4 4

2 4

1 1

2 2 2 2 2 6 2 12 2 12 2

4 8 2 48 192 24

5

8 384

q l l l q l l l llw

KG EI

q l l q l l lw

KG EI

ql qlw

KG EI

Struktur 2

Persamaan beban : q(x) = 2qx/l untuk x l/2


1

2 2 4

RA RB

ql qlRA


22

2 4

qx x ql qxQx Ra

l l


2 3

3 4 3

qx x qlx qxMx Rax

l l


21

3

3

2

2 4

2

1

4 3

4 3

18 12

d M

dx EI

d qlx qx

dx EI l

ql x xdx

EI l

ql x xC

EI l


2 4

2

2 2

2

1 10 1

8 2 12 2

0 132 192

51

192

ql l lC

EI l

l lC

lC

Selanjutnya substitusikan nilai C1 sehingga didapat persamaan rotasi batang :

2 4 2

2

5

8 12 192

ql x x l

EI l

(1)


2 2 4 2

2

2 2 4 2

2 2

3 3 5 2

2 2

1 5

4 8 12 192

1 5

4 8 12 192

52

4 3 24 60 192

dw Q

dx KG

dw ql qx ql x x l

dx KG l EI l

ql x ql x x lw dx dx

KG l EI l

ql x x ql x x l xw C

KG l EI l




3 3 5 2

2 2

5

4 3 24 60 192

ql x x ql x x l xw

KG l EI l

(2)


22

3 3 5 2

2 2

3 3 3

2 4

1 1 1 1 5

4 2 3 2 24 2 60 2 192 2

5

8 24 192 1920 384

12 120

ql l l ql l l l lw

KG l EI l

ql l l ql l l lw

KG EI

ql qlw

KG EI

Struktur 3

Persamaan beban : ( )

Persamaan beban : ( ) ( )


2

qaRA RB


Untuk x a 2 2

2 2 2

qx qa qxQx RA

a a

Untuk a x ( l - a )

0Qx


Untuk x a 2 3

2 3 2 6

qx x qax qxMx Rax

a a

Untuk a x ( l - a ) 22

2 3 2 2 3 3

qa a qax qa a qaMx Rax x a x


Untuk x a

3 3

3

1 1

2 6 2 6

1

2 6

d M

dx EI

d qax qx qax qx

dx EI a EI a

qax qxdx

EI a

23

2 411

4 24

qax qxC

EI a

(1)

Untuk a x ( l - a )

2

2

2

1

3

1

3

23

d M

dx EI

d qa

dx EI

qadx

EI

qa xC

EI

Untuk menhitung C2, masukan nilai x = l/2, dimana nilai rotasi batang di tengah bentang = 0 2

2

0 23 2

26

qa lC

EI

qlaC

EI

Selanjutnya substitusikan nilai C2 sehingga didapat persamaan rotasi batang untuk nilai a

x ( l - a ) sebagai berikut :

2 2 2

23 6 6

qa x qla qax l

EI EI EI ; untuk a x ( l - a ) (2)

Persamaan (1) dan (2) akan memiliki nilai sama pada saat nilai x = a, dengan menggunakan

kondisi batas tersebut maka nilai C1 pada persamaan (1) dapat dicari sebagai berikut :

x = a;

2

2 4

3 2 3 3

3 2

12 1

6 4 24

13 6 4 24

18 6

qa qa qa l a a C

EI EI a

qa qla qa qaC

qa qlaC

Sehingga persamaan (1) dapat ditulis sebagai berikut :

2 4 3 21

4 24 8 6

qax qx qa qla

EI a

; untuk x a (3)


untuk x a

24




3 3 5 2

2 22 6 12 120 8 6

qa x x qa x x a x laxw

KG a EI a

; untuk x a (4)

untuk a x ( l - a )

2 2

2

02 2

6 6

26

dw Q

dx KG

dw qa qax l x l

dx KG EI EI

qaw x l dx

EI

22( ) 4

6

qaw x lx C

EI (5)



3 3 5 2 22

2 2

3 3 3 2 22

2 3 2 3 2

2 4

( ) 42 6 12 120 8 6 6

( ) 42 6 12 120 8 6 6

( ) 43 5 6 6 6

43 30

qa a a qa a a a a laa qaa la C

KG a EI a EI

qa a a qa a a a la qaa la C

KG EI EI

qa qa a la qa a laC

KG EI EI

qa qaC

KG EI


2 2 4 3 2

2 2 4 2

2 2

2 2 4 2

2 2

3 3

2

1 1

2 2 4 24 8 6

1

2 2 4 24 8 6

1

2 2 4 24 8 6

2 6

dw Q

dx KG

dw qa qx qax qx qa qla

dx KG a EI a

dw qa x qa x x a la

dx KG a EI a

qa x qa x x a law dx dx

KG a EI a

qa x x qa xw

KG a EI

5 2

23

12 120 8 6

x a x laxC

a

25

2 2 42( )

6 3 30

qa qa qaw x lx

EI KG EI ; untuk a x ( l - a ) (6)


22 2 4

2 2 2 4

22 2 2

6 2 2 3 30

24 3 30

6 4 5 3

qa l l qa qaw l

EI KG EI

ql a qa qaw

EI KG EI

qa l a qaw

EI KG

Struktur 4

Persamaan beban : ( )

Persamaan beban : ( ) ( )


1 1( ) 2 ( )

2 2 2

RA RB

qRA q l a qa l a


untuk x a 2 2

2

( )2 2 2

2

qx q qxQx RA l a

a a

q xQx l a

a

untuk a x ( l - a )

( ) ( ) ( )2 2 2

2

qa q qaQx RA q x a l a q x a

lQx q x


untuk x a 2 2

3

( )2 3 2 2 3

2 3

qx x q qx xMx RAx l a x

a a

q xMx lx ax

a

untuk a x ( l - a )

26

22

( )( )

2 3 2

( )( ) ( )

2 2 3 2

1

2 3

qa a x aMx RAx x a q x a

q qa a x aMx l a x x a q x a

aMx q x lx


untuk x a

3

3

2 3

2 3

d M

dx EI

d q xlx ax

dx EI a

q xlx ax dx

EI a

2 2 4

12 2 2 12

q lx ax xC

EI a

(1)

untuk a x ( l - a )

22

22

3 2 2

2 3

2 3

22 3 2 3

d M

dx EI

d q ax lx

dx EI

q ax lx dx

EI

q x lx a xC

EI


3 2 2

3 3 2

3 2

10 2

2 3 2 2 2 3 2

0 224 8 6

212 6

q l l l a lC

EI

l l a lC

l a lC

Selanjutnya substitusikan nilai C2 sehingga didapat persamaan rotasi batang untuk nilai

( ) sebagai berikut : 3 2 2 3 2

2 3 2 3 12 6

q x lx a x l a l

EI

3 2 2 3 24 6 4 224

qx lx a x l a l

EI ; untuk a x ( l - a ) (2)

27



x = a;

2 2 4

3 2 2 3 2

3 2 3 2 2 3 33

3 2 3

4 6 4 2 124 2 2 2 12

4 6 4 2 6 6 12 1

21

12

q q la aa aa la a a l a l C

EI EI a

a la a la la a a Cl

a la lC


2 2 4 2 3 32

2 2 2 12 12

q lx ax x la a l

EI a

42 2 2 3 36 6 2

24

q xlx ax la a l

EI a

; untuk x a (3)


untuk x a

2 42 2 2 3 3

2 42 2 2 3 3

3 53 3 2 3 3

6 6 22 24

6 6 22 24

2 2 2 32 3 24 5

dw Q

dx KG

dw q x q xl a lx ax la a l

dx KG a EI a

q x q xw l a dx lx ax la a l dx

KG a EI a

q x q xw lx ax lx ax la x a x l x C

KG a EI a




3 53 3 2 3 32 2 2

2 3 24 5

q x q xw lx ax lx ax la x a x l x

KG a EI a

;untuk x a (4)

untuk a x ( l - a )

3 2 2 3 2

3 2 2 3 2

4 6 4 22 24

2 4 6 4 22 24

dw Q

dx KG

dw q l qx x lx a x l a l

dx KG EI

q qw l x dx x lx a x l a l dx

KG EI

2 4 3 2 2 3 22 2 2 42 24

q qw lx x x lx a x l x a lx C

KG EI (5)



28

3 53 3 2 3 3 2 4 3 2 2 3 2

2 42 3 4 3 4 3 2 4 3 4 3 3

2 2 2 2 2 2 42 3 24 5 2 24

2 2 2 2 2 2 42 3 24 5 2 24

4

q a q a q qla aa la aa la a a a l a la a a la a a l a a la C

KG a EI a KG EI

q a q a q qla a la a la a l a la a a la a l a a l C

KG EI KG EI

C

4 2

120 6

qa qa

EI KG


4 2

2 4 3 2 2 3 22 2 22 24 120 6

q q qa qaw lx x x lx a x l x a lx

KG EI EI KG

2 42 4 3 2 2 3 22 2 2

2 3 24 5

q a q aw lx x x lx a x l x a lx

KG EI

; ( ) (6)


2 4 3 22 42 3 2

2 2 4 2 2 4

2 2 22 2 2 3 24 2 2 2 2 2 5

5

2 4 3 24 16 2 5

q l l a q l l l l l aw l l a l a l

KG EI

q l a q l a l aw

KG EI

Soal 11

Hitung besarnya reaksi perletakan jepit sempurna: FEM, FEV, dan FEN setiap balok dengan

pola beban pada gambar.

Jawab:

Struktur 1

Reaksi perletakan:

29

Syarat batas:

( )

Diketahui besarnya rotasi di tengah bentang (x=L/2) = 0

(

)

(

)

(

)

(

)

Struktur 2

Reaksi perletakan:

30

Syarat batas:

( )


(

)

(

)

(

)

(

)

Struktur 3

Reaksi perletakan:

31

Bentang

Syarat batas: ( )

( )

Bentang ( )

(

)

(

)

Syarat batas di x=a :


(

) (

)

(

)

32

Struktur 4

Reaksi perletakan:

( )

( )

Bentang

( )

Syarat batas: ( )

( )

( )

Bentang ( )

(

)

( )

33



(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

Struktur 5

Reaksi perletakan:

( )

( )

Bentang

34

Syarat batas: ( )

( )

Bentang ( )

( )

(

)

( )



(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

35

Struktur 6

Reaksi perletakan:

Bentang

Syarat batas:

( )


(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Tugas 2 Elplas (Autosaved)

Documents

Transcript of Tugas 2 Elplas (Autosaved)