I. Pendahuluan

Perpindahan panas merupakan salah satu bagian penting dalam permasalahan kalor

atau panas. Perpindahan panas dapat terjadi pada sebuah benda ke benda lainnya yang

bersentuhan maupun tidak apabila terjadi perbedaan temperature antara kedua benda.

Hal ini dapat berlangsung dalam tiga bentuk yang berbeda yaitu konduksi, konveksi dan

radiasi.

Peristiwa konduksi, konveksi dan radiasi selalu terjadi di alam dalam berbagai cara

yang berbeda – beda. Meski dalam betuk abstrak yang tidak terlihat namun dapat selalu

dirasakan oleh panca indera manusia

Dalam tinjauan komputasi konsep – konsep yang bersifat abstrak seperti

perpindahan panas dapat di analisa kedalam bentuk nyata melalui pembuatan simulasi.

Komputasi merupakan solusi untuk memecahkan masalah – masalah analitik yang

kompleks menjadi perumusan numerik untuk penyelesaian secara interaktif dengan

bantuan komputer.

Fortran merupakan salah satu bahasa pemrograman yang dapat digunakan untuk

menggambarkan konsep – konsep abstrak perpindahan panas agar dapat terlihat jelas

mengenai fenomena yang terjadi pada perpindahan panas.

II. Dasar Teori

II. 1. Perpidahan Panas

Perpindahan panas adalah bentuk kalor yang dapat berpindah dari benda yang

bersuhu tinggi ke benda yang bersuhu rendah. dan berlangsung sampai terjadi

suhu kesetimbangan. Suhu kesetimbangan adalah kondisi ketika proses

perpindahan panas berhenti yang ditandai dengan kesamaan suhu dari kedua

benda yang mengalami proses perpindahan panas. Sedangkan kalor ini merupakan

suatu bentuk energi atau dapat juga didefinisikan sebagai jumlah panas yang ada

dalam suatu benda. Kecepatan perpindaha panas tergantung pada perbedaan suhu

antara kedua bahan, semakin besar perbedaan suhu antara kedua bahan, maka

semakin besar kecepatan pindah panas antara kedua bahan tersebut.

Perbedaan suhu antara sumber panas dan penerima panas merupakan gaya tarik

dalam pindah panas. Peningkatan perbedan suhu akan meningkatkan gaya

tarik sehingga meningkatkan kecepatan pindah panas.

Distribusi temperatur merupakan hal yang penting untuk mengetahui aliran

kalor. Distribusi temperatur dan perpindahan kalor merupakan sesuatu yang

menarik pada banyak penelitian dan aplikasi teknik, seperti dalam merancang

penukar kalor inti reaktor nuklir, system pemanas dan sistem pendingin ruangan,

serta sistem energi solar.

Dalam pembagiannya perpindahan kalor dibagi menjadi tiga mekanisme

perpindahan kalor yaitu : konduksi, konveksi dan radiasi.

II. 1. 1. Perpindahan Panas Konduksi

Perpindahan kalor konduksi adalah perpindahan energi yang terjadi pada

medium yang diam (padat atau zat yang dapat mengalir) apabila terdapat

gradien temperatur dalam medium tersebut.

Laju perpindahan panas konduksi dinyatakan dengan persamaan :

Dimana :

Qx = Laju perpindahan panas (W)

A = Luas penampang dimana panas mengalir (m2)

dTdx

= Gradien suhu pada penampang, atau laju perubahan suhu T terhadap

jarak dalam arah aliran panas x

K = Konduktivitas thermal bahan (W/m oC)

II. 1. 2. Perpindahan Panas Konveksi

Perpindahan panas konveksi terjadi antara permukaan dengan fluida yang

mengalir apabila keduanya pada temperatur yang berbeda. Ketika fluida melaju

melalui benda padat, dan dengan temperatur yang berbeda, perpindahan kalor

terjadi diantara fluida dan permukaan padat sebagai hasil dari pergerakan

fluida.

Mekanisme perpindahan ini disebut sebagai konveksi, ketika pergerakan

fluida berperan dalam laju perpindahan kalor. Jika pergerakan fluida

disebabkan oleh mekanisme dari luar secara paksa seperti oleh blower, pompa,

atau fan, mekanisme laju kalor dapat dikatakan sebagai konveksi paksa (forced

convection). Jika pergerakan fluida dikontrol sebagai hasil dari perbedaan

massa jenis (densitas) yang disebabkan oleh perbedaan temperatur diantara

fluida, mekanisme dari laju kalor dapat dikatakan sebagai konveksi

bebas/natural (free/natural convection).

II. 1. 3. Perpindahan Panas Radiasi

Berbeda dengan mekanisme konduksi dan konveksi, dimana perpindahan

panas terjadi melalui bahan antara, panas juga dapat berpindah melalui daerah-

daerah hampa. Mekanisme perpindahan panas di daerah hampa terjadi karena

adanya radiasi elektromagenetik. Jadi radiasi adalah energi yang dipancarkan

oleh bahan tertentu dalam bentuk gelombang elektromagnetik (photon) sebagai

hasil dari perubahan konfigurasi elektron dari atom atau molekul.

Energi radiasi matahari berupa gelombang elektromagnetik yang

merambat pada ruang hampa di angkasa luar. Lapisan terluar matahari sebagai

sumber pancaran radiasi ekuivalen dengan benda hitam (black body) yang

bersuhu 6000 oC. Laju pemancaran energi matahari ini sangat besar yaitu

3,8x1023 kW. Dari total energi radiasi matahari ini hanya sebagian kecil saja

yang ditangkap bumi di luar atmosfer, yaitu 1,7x1014 kW

Laju radiasi maksimum yang dapat dipancarkan dari sebuah permukaan

(blackbody) pada suhu absolut diberikan oleh hukum Stefan-Boltzmann

Q = (W/m2)

Dimana : σ=5,67 x10−8W /m2. K4

II. 2. Metode Beda Hingga

Metode beda hingga merupakan metode klasik yang dipergunakan

sebagai pendekatan dalam menghitung turunan numerik dalam rangka

menyelesaikan suatu pemodelan yang memiliki bentuk persamaan

diferensial. Metode beda hingga dapat diturunkan dengan dua cara, yaitu

dengan deret Taylor dan dengan hampiran polinom interpolasi. Kedua cara

tersebut menghasilkan rumus beda hingga yang sama.

Deret Taylor

f ( x+ Δx)=f ( x )+( Δx ) ∂ f∂ x

+( Δx)2

2 !∂2 f∂ x2

+( Δx )3

3 !∂3 f∂ x3

+⋯

Pendekatan beda hingga untuk turunan pertama

Pendekatan beda maju (forward difference)

Pendekatan beda mundur (backward difference)

Pendekatan beda tengah (central difference)

Pendekatan beda hingga untuk turunan kedua

Untuk turunan kedua pendekatan yang biasa dipakai adalah pendektan beda

tengah(central difference)

Metode beda hingga yang diaplikasikan pada kasus perpindahan panas,

meliputi : Metode FTCS (Forward in Time Central in Space), Metode

Laasonen, Metode Crank-Nicolson

II. 2. 1. Metode FTCS ( Forward in Time Central in Space)

Metode FTCS merupakan gabungan dari pendekatan beda hingga yakni

turunan pertama terhadap waktu dengan beda maju dan turunan kedua terhadap

ruang dengan beda tengah sehingga Solusi FTCS termasuk ke dalam solusi

solusi stabil bersyarat dengan syarat kestabilan α

ΔtΔx

≤12 .

2

2

x

f

2

211

2

2 2x

x

fff

x

f iii

x

f

f ( x−Δx )=f ( x )−( Δx) ∂ f∂ x

+( Δx)2

2!∂2 f∂ x2

−( Δx )3

3 !∂3 f∂ x3

+⋯

f ( x+ Δx)=f ( x )+∑n=1

∞ ( Δx)n

n !∂n f∂ xn

∂ f∂ x

=f i+1−f i

Δx+Ο( Δx )

∂ f∂ x

=f i−f i−1

Δx+Ο( Δx)

∂ f∂ x

=f i+1−f i−1

2 Δx+Ο( Δx )2

Skema metode FTCS

Dimana : i = indeks ruang

n = indeks waktu

Diskretisasi persamaan konduksi 1D dengan metode FTCS

Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju

Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah

Sehingga :

II. 2. 2. Metode Laasonen

Dimana : i = indeks ruang

n = indeks waktu

Diskretisasi persamaan konduksi 1D dengan metode Laasonen

Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju

∂T∂ t

=α∂2 T∂ x2

∂T∂ t

=T i

n+1−T in

Δt+Ο ( Δx )

∂2T∂ x2

=T i−1

n −2 T in +T i+1

n

( Δx )2+Ο ( Δx )2

T in+1−T i

n

Δt=α

T i−1n −2T i

n+T i+1n

( Δx )2

T i

n+1 =T i

n+ αΔt

( Δx )2(T i−1

n −2T in +T i+1

n )

∂T∂ t

=α∂2 T∂ x2

∂T∂ t

=T i

n+1−T in

Δt+Ο ( Δx )

Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah

Sehingga :

Persamaan diatas disebut persamaan tridiagonal matriks Dimana :

Persamaan Tridiagaonal matriks dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut :

T1 dan Tnx berada pada kondisi batas (boundary candition)Untuk menyelesaikan persamaan tridiagonal matriks digunakan Algoritma Thomas (dalam program komputer berupa Subroutine Tridi)

d2d3d4dnx-2dnx-1

=

T1T2T3T4Tnx-2Tnx-1Tnx

a2 b2 c2 a3 b3 c3 a4 b4 c4

anx-2 bnx-2 cnx-2 anx-1 bnx-1 cnx-1

∂2T∂ x2

=T i−1

n+1−2 T in+1+T i+1

n+1

( Δx )2+Ο ( Δx )2

T in+1−T i

n

Δt=α

T i−1n+1−2T i

n+1+T i+1n+1

( Δx )2

⇔T in+1−T i

n =αΔt

( Δx )2(T i−1

n+1−2T in+1+T i+1

n+1 )

⇔−αΔt

( Δx )2(T i−1

n+1−2T in+1+T i+1

n+1)+T in+1=T i

n

⇔−αΔt

( Δx )2T i−1

n+1+(1+2αΔt

( Δx )2 )T in+1−αΔt

( Δx )2T i+1

n+1 =T in

⇔ai T i−1n+1+bi T i

n+1+c iT i+1n+1 =d i

a i=−αΔt

( Δx )2

b i=1+2αΔt

( Δx )2

c i=−αΔt

( Δx )2

d i=T in

II. 2. 3. Metode Crank-Nicolson

Dimana : i = indeks ruangn = indeks waktu

Diskretisasi persamaan konduksi 1D dengan metode Crank-Nicolson

Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah

Metode Crank-Nicoson terdiri dari dua langkah waktu yaitu :

Langkah waktu ( nàn+1/2) Diskretisasi turunan waktu

Diskretisasi turunan ruang

Langkah waktu ( n+1/2àn+1) Diskretisasi turunan waktu

Diskretisasi turunan ruang

∂T∂ t

=α∂2 T∂ x2

∂T∂ t

=T i

n+1 /2−T in

( Δt /2 )+Ο ( Δx )

∂2T∂ x2

=T i−1

n −2 T in +T i+1

n

( Δx )2+Ο ( Δx )2

T in+1/2−T i

n

( Δt /2 )=α

T i−1n −2T i

n+T i+1n

( Δx )2

∂T∂ t

=T i

n+1−T in+1 /2

( Δt /2 )+Ο ( Δx )

∂2T∂ x2

=T i−1

n+1−2 T in+1+T i+1

n+1

( Δx )2+Ο ( Δx )2

Jika langkah waktu ( nàn+1/2) dan ( n+1/2àn+1) dijumlahkan menjadi :

+

Dimana :

Persamaan tridiagonal matriks diselesaikan dengan Algoritma thomas

III. Penyelesaian Kasus Perpindahan Panas

Sebuah plat besi mempunyai temperatur 27 oC dengan tebal plat 90 mm.

Kemudian plat tersebut di panaskan pada kedua sisinya masing – masing 100oC dan

45oC secara konstan. Apabila massa jenis besi = 7874 Kg/m3, kalor jenis besi = 448

J/KgoC dan konduktifitas termal besi 78 W/m oC. Hitunglah distribusi temperatur pada

besi tersebut selama a) 0,20 detik b) 20 detik. Gunakan metode FTCS, Metode

Laasonen dan Metode Crank-Nicolson.

2

11

111

211

122

2/ x

TTT

x

TTT

t

TT ni

ni

ni

ni

ni

ni

nnii

T in+1−T i

n+1 /2

( Δt /2 )=α

T i−1n+1−2T i

n+1 +T i+1n+1

( Δx )2

T in+1/2−T i

n

( Δt /2 )=α

T i−1n −2T i

n+T i+1n

( Δx )2

T in+1−T i

n+1 /2

( Δt /2 )=α

T i−1n+1−2T i

n+1 +T i+1n+1

( Δx )2

⇔−αΔt

2 ( Δx )2T i−1

n+1+(1+αΔt

( Δx )2 )T in+1−

αΔt

2 ( Δx )2T i+1

n+1 =

T in+αΔt

2 ( Δx )2(T i−1

n −2T in +T i+1

n )

⇔ai T i−1n+1+bi T i

n+1+c iT i+1n+1 =d i

a i=−αΔt

2 ( Δx )2bi=1+

αΔt

( Δx )2

c i=−αΔt

2 ( Δx )2d i=T i

n+αΔt

2 ( Δx )2(T i−1

n −2T in+T i+1

n )

III. 1. Metode FTCS ( Forward in Time Central in Space )

Plat Besi

100oC 45oC

90 mm

27oC

ρ = 7874 Kg/m3

Cp = 448 J/KgoC

k = 78 W/m oC

a) Program FTCS untuk t = 0,2 detik

Hasil Program FTCS untuk t = 0.2 detik

b) Program FTCS untuk t = 20 detik

Hasil Program FTCS untuk t = 20 detik

III. 2. Metode Laasonen

a) Program Laasonen untuk t = 0,2 detik

Hasil Program Laasonen untuk t = 0,2 detik

b) Program Laasonen untuk t = 20 detik

Hasil Program Laasonen untuk t = 20 detik

III. 3. Metode Crank-Nicolson

a) Program Crank – Nicolson untuk t = 0.2 detik

Hasil Program Crank – Nicolson untuk t = 0.2 detik

b) Program Crank – Nicolson unyuk t = 20 detik

Hasil Program Crank – Nicolson untuk t = 20 detik

IV. Kesimpulan

Dari uraian dan persoalan kasus perpindahan panas konduksi 1 dimensi tersebut

dapat diambil berbagai kesimpulan sebagai berikut :

a. Perpindahan panas mengalir dari bagian yang bertempatur tinggi ke bagian yang

bertemperatur rendah.

b. Metode beda hingga mampu mempresentasikan perpindahan panas yang terjadi

pada plat besi sehingga dapat di ketahui besarnya distribusi temperature serta arah

persebarannya secara 1 dimensi.

c. Dari ketiga metode beda hingga yaitu metode FTCS, metode Laasonen dan Crank –

Nicolson mempunyai tingkat ketelitian yang berbeda – beda.

d. Penyelesaian permasalahan perpindahan panas konduksi 1 dimensi menggukan

komputasi dapat mempersingkat waktu.

V. Daftar Pustaka

Cengel, Yunus A.; 2003,” Heat Transfer A Practical Approach 2nd edition” McGraw-.

Hill Companies Inc, New York.

Hoffman, Klaus A & Chiang, Steve T. , 2000, “ Computational Fluid Dynamics 4th Vol 1

“,Vicita, Texas.

Incropera, Frank P. & DeWitt, David P. 1996,” Fundamental of Heat and Mass Transfer

4th Edition ”, United States of America, John Wiley & Sons.

Universitas Pendidikan Ganesha,”

http://www.mediabali.net/fisika_hypermedia/perpindahan_kalor.html”, 26 Oktober

2012.

TUGAS

KOMPUTASI PERPINDAHAN PANAS

“ Simulasi Numerik Perpindahan Panas Konduksi 1 Dimensi Menggunakan Pendekatan Beda Hingga “

Di Susun Oleh :

Nama : Joko Supriyanto

NIM : I0409026

JURUSAN TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2012