Trigonometri

BAB 8

• Ukuran Sudut

1 putaran = 360 derajat (360°) = 2π radian

• Perbandingan trigonometri

Catatan:Sin = sinusCos = cosinusTan/Tg = tangensSec = secansCosec/Csc = cosecansCot/Ctg = cotangens

(sec merupakan kebalikan dari cos,csc merupakan kebalikan dari sin, dancot merupakan kebalikan dari tan)

Dari gambar tersebutdapat diperoleh:

• Contoh:

• Dari segitiga berikut ini:

• Diketahui panjang AB = 12 cm, AC = 13 cm. Hitung semua nilai perbandingantrigonometri untuk sudut A!

• Pertama, hitung dulu panjang BC dengan menggunakan rumus Phytagoras:

• A. Bentuk Umum B. Sudut-Sudut Istimewa

C. Hubungan Sudut Berelasi antara Sin, Cos dan Tangen

D. Rumus-rumus Trigonometri

• 1. Aturan sinus

• 2. Aturan Cosinus

• 3. Luas Segitiga ABC

• 4. Jumlah dan Selish Dua Sudut

• 5. Sudut 2A (Sudut Kembar) 7. Jumlah Selisih Dua Fungsi Trigonometri

• 6. Hasil Kali Dua Fungsi Trigonometri 8. Persamaan Trigonometri

• 9. Bentuk a Cos x + b Sin x

• 10. Bentuk a Cos x + b Sin x = c

• 11. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi f(x) =a Cos x + b Sin x

• Nilai perbandingan trigonometri beberapa sudut istimewa

* tambahan: sin 37° = cos53° = 0,6

Kuadran

Kuadran adalah pembagian daerah pada sistem koordinat kartesius → dibagi dalam 4 daerahNilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran memenuhi aturanseperti pada gambar:

Untuk sudut b > 360° → b = (k . 360 + a) → b = a(k = bilangan bulat > 0)

Mengubah fungsi trigonometri suatu sudut ke sudut lancipJika menggunakan 90 ± a atau 270 ± a maka fungsi berubah:sin ↔ costan ↔ cotsec ↔ cscJika menggunakan 180 ± a atau 360 ± a maka fungsi tetapSudut dengan nilai negatifNilai negatif diperoleh karena sudut dibuat dari sumbu x, diputar searah jarum jam

Untuk sudut dengan nilai negatif, sama artinya dengan sudut yang berada di kuadran IVContoh:Cos 120º = cos (180 – 60)º = – cos 60º = – 1/2 (120º ada di kuadran II sehingga nilai cos-nya negatif)Cos 120º = cos (90 + 30)º = – sin 30º = – 1/2Tan 1305º = tan (3.360 + 225)º = tan 225º = tan (180 + 45)º = tan 45º = 1 (225º ada di kuadran III sehingga nilai tan-nya positif)Sin –315º = – sin 315º = – sin (360 – 45)º = –(– sin 45)º = sin 45º = 1/2 √2

• Identitas Trigonometri

• Sehingga, secara umum, berlaku:• sin2a + cos2a = 1• 1 + tan2a = sec2a• 1 + cot2a = csc2a

Grafik fungsi trigonometri

• y = sin x

• y = cos x

• y = tan x

• y = cot x

• y = sec x

• y = csc x

Menggambar Grafik fungsi y = A sin/cos/tan/cot/sec/csc (kx ± b) ± c

• Periode fungsi untuk sin/cos/sec/csc = 2π/k → artinya: grafik akanberulang setiap kelipatan 2π/k

Periode fungsi untuk tan/cot = π/k → artinya: grafik akan berulangsetiap kelipatan π/k• Nilai maksimum = c + |A|, nilai minimum = c – |A|• Amplitudo = ½ (ymax – ymin)• Cara menggambar:

Gambar grafik fungsi dasarnya seperti pada gambar di atasHitung periode fungsi, dan gambarkan grafik sesuai dengan periodefungsinyaJika A ≠ 1, kalikan semua nilai y pada grafik fungsi dasar dengan AUntuk kx + b → grafik digeser ke kiri sejauh b/k

Untuk kx – b → grafik digeser ke kanan sejauh b/kUntuk + c → grafik digeser ke atas sejauh c

Untuk – c → grafik digeser ke bawah sejauh c

• Contoh: y = 2 sin (3x + 90)° + 3→ periode fungsi = 2p/3 = 120°Langkah-Langkah:Grafik fungsi y = sin x

Karena periode fungsinya 2π/3, maka dalam selang 0 hingga 2π, terjadi 3 gelombang sinus → y = sin 3x

• Ampitudo dikali 2 → y = 2 sin 3x

Grafik digeser ke kiri sejauh 90°/3 = 30° = π/6 → y = 2 sin (3x + 90)°

• Grafik digeser ke atas sejauh 3 satuan → y = 2 sin (3x + 90)° + 3

• Aturan-Aturan pada Segitiga ABC

• Aturan SinusDari segitiga ABC di atas:

• Sehingga, secara umum, dalam segitiga ABC berlaku rumus:

Sehingga, secara umum, dalam segitiga ABC berlaku rumus:

• Aturan Cosinus

• Dari segitiga ABC di atas:

•

• Sehingga, secara umum:

•

Luas SegitigaDari segitiga ABC di atas diperoleh:

Sehingga, secara umum:

• Sehingga secara umum

• Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

• Dari segitiga ABC berikut:

AD = b.sin αBD = a.sin βCD = a.cos β = b.cos α

Untuk mencari cos(α+β) = sin (90 – (α+β))°

• Untuk fungsi tangens:

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:

Rumus Sudut Rangkap

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:

Penurunan dari rumus cos2α:

Rumus Perkalian Fungsi Sinus dan KosinusDari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut dapat diturunkan rumus-

rumus baru sebagai berikut:

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh:

• Rumus Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus dan Kosinus

• Dari rumus perkalian fungsi sinus dan kosinus dapat diturunkan rumusjumlah dan selisih fungsi sinus dan kosinus.

Maka akan diperoleh rumus-rumus:

Contoh-contoh soal:(1) Tanpa menggunakan daftar, buktikan bahwa:

(2) Buktikan bahwa dalam segitiga ABC berlaku: