Transformasi-z dan Inversserta aplikasinya

1

2

Kegunaan Transformasi -zMengurangi perhitungan dalam operasi konvolusi dua sinyal

Solusi persamaan beda dapat ditemukan dengan perhitungan aljabaryang lebih mudah

Fungsi transfer pada sistem LTI

3

DEFINISITransformasi-z, F(z), dari fungsi waktu diskrit f(n) adalah:

∑∞

−∞=

−==k

kzkfzFnfZ )()()]([ )1(

dengan z adalah variabel kompleksHubungan pada Pers. (1) Transformasi-z bilateral.Pers. (1) dapat ditulis:

∑∑∞

=

−

−∞=

− +=0

0

)()()(k

k

k

k zkfzkfzF

Jika f(n)=0 untuk n<0, maka:

∑∞

=

−=0

)()(k

kzkfzF )2(

Hubungan pada Pers. (2) Transformasi-z unilateral (satu sisi)

4

Region Of Convergence (ROC)Karena Transformasi-z adalah deret pangkat tak hingga

Himpunan seluruh nilai z, agar F(z) konvergen ROC

Transforamsi-z hanya berlaku untuk nilai-nilai z yang konvergen

5

Tentukan Transformasi-Z dari sinyal berhingga waktu diskrit berikutserta ROC-nya:

↑=

1} 0, 7, 5, 2, ,1{(n)x 2

1} 0, 7, 5, 2, ,1{(n)x 1

Contoh dan Soal-soal Latihan

=

)((n)x 3 nδ=

0),((n)x 4 >−= kknδ

0),((n)x 5 >+= kknδ

Tentukan juga transformasi-Z dari sinyal berikut:a) x(n)=u(n), sinyal step unitb) x(n)=anu(n), sinyal eksponensial untuk n >= 0c) x(n)=n, sinyal rampd) x(n)=e-2n

e) x(n)=n e-2n

f) x(n)=e2ncos(3n)

6

JAWAB1} 0, 7, 5, 2, {1,(n)1x =

5321

51

41

31

21

11

01

5

0k

k1

-k

k11

z7z5z2z1(5)zx(4)zx(3)zx(2)zx(1)zx(0)zx

(k)zx(k)zx(z)X

−−−−

−−−−−−=

−∞

∞=

−

++++=+++++=

== ∑∑

δ(n)(n)x 3 =

0),((n)x 4 >−= kknδ

1z1(k)zx(k)zx(z)X 00

0k

k3

-k

k33 ==== ∑∑

=

−∞

∞=

−

kkk

k

−−

=

−∞

∞=

− ==== ∑∑ zz1(k)zx(k)zx(z)Xk

k4

-k

k44

7

JAWAB)(ux(n) n=

1z11

zzz1u(3)zu(2)zu(1)zu(0)z

u(k)zx(k)zX(z)

1

321

32100k

k

-k

k

−=

−=

++++=++++=

==

−

−−−

−−−−

∞

=

−∞

∞=

− ∑∑

zz

LL

Deret geometridengan a=1, r=z-1

raS−

=∞ 1

)(x(n) nua n=

azz

a

a

−=

−=

++++=++++=

==

−

−−−

−−−−

∞

=

−∞

=

− ∑∑

1

33221

332211000k

kk

0k

k

z11

zazaz1zazazaza

zax(k)zX(z)

LL

Deret geometridengan a=1, r=az-1

raS−

=∞ 1

8

Tabel Transformasi-zF(n) F(z) ROC

1 All z

z-k 0≠z

δ(n)

( ) 0k ,k-nδ >

1−zz 1>z

( )21−zz

( )31)1(

−

+

zzz

u(n)

n

2n

1>z

1>z

na azz− az >

nna ( )2azaz−

az >

F(n) F(z) ROC

1>z( )3

)(az

azaz−

+

sin(bn) 1>z

sin(bn)a n az >

az >

n2 an

12zcosbzzsin(b)

2 +−

cos(bn) 1>z12zcosbz

cosb)-z(z2 +−

22 a2azcosbzazsin(b)

+−

cos(bn)a n22 a2azcosbz

acosb)-z(z+−

9

Sifat-Sifat Trasformasi-z

1. Linearitas2. Time Shifting (pergesearan waktu)3. Convolusi4. Teorema nilai awal

10

Sifat-Sifat Transformasi-z

1. Linieritasjika

(z)X(n)x

(z)X(n)x

2Ζ

2

1Ζ

1

⎯→⎯

⎯→⎯ dan

makakonstana (z),Xa(z)Xa(n)xa(n)xa i2211

Ζ2211 +⎯→⎯+

ROC-nya adalah irisan dari x1(n) dan x2(n)

Contoh:Tentukan transformasi-z dan ROC-nya

u(n)))4(3)3(2(x(n) nn −=

11

Sifat-Sifat Transformasi-z

2. Time Shifting/Pergeseran waktujika

X(z)x(n) Ζ⎯→⎯

makaX(z)zk)x(n kΖ −⎯→⎯−

Contoh:Tentukan transformasi-z dari x(n-2) dan x(n+2) dan ROC-nya daricontoh sebelumnya

ROC sama

↑==

1} 0, 7, 5, 2, ,1{2)-x(n(n)x 2

1} 0, 7, 5, 2, {1,(n)x 1 = 53211 z7z5z2z1(z)X −−−− ++++=

....(z)X 2 =

12

Sifat-Sifat Transformasi-z

3. Convolusi

Contoh:Tentukan transformasi-z dari konvolusi pada contoh sebelumnya(pembahsan konvolusi)

jika

(z)X(n)x

(z)X(n)x

2Ζ

2

1Ζ

1

⎯→⎯

⎯→⎯ dan

maka(z)(z).XX(n)x*(n)x 21

Z21 ⎯→⎯

ROC-nya adalah irisan dari x1(n) dan x2(n)

13

Aplikasi Transformasi-z pada sistem LTI

M)-x(nb1)-x(nbx(n)bN)-y(na1)-y(nay(n)a M10N10 +++=+++ LL

maka

Bentuk umum pers. Beda pada LTI

Dengan menerapkan transf.z dan sifat time shifting, dengan:

Y(z)x(n)dan X(z)x(n) ΖΖ ⎯→⎯⎯→⎯

))zaza(a )zbzbb(

X(z)Y(z)

)X(z)zbzbb()Y(z)zaza(a

X(z)zbX(z)zbX(z)bY(z)zaY(z)zaY(z)a

N-N

1-10

M-M

1-10

M-M

1-10

N-N

1-10

-MM

-110

-NN

-110

+++

+++=

+++=+++

+++=+++

L

L

LL

LL

Fungsi transfer, H(z)

14

Contoh

u(n) )dengan x(nx(n),1.01)-y(n9.0y(n) ==−

Tentukan fungsi transfer sistem LTI yang dinyatakan dalam pers. Beda berikut

u(n)4)dengan x(n 1),-2x(nx(n)2)-4y(n-1)-3y(ny(n) n=+=−

15

Invers Transformasi-z

∫ −=c

1n dzx(z)zj2

1x(n)π

Invers transformasi-z didefinisikan sebagai:

dengan integralnya adalah integral kontur melalui lintasan tertutup c yang terdapat pada titik awal dan terletak dalam daerah konvergensi X(z)

MetodeEkspansi pecahan parsial

Karena perhitungan integral kontur sulit dan kompleks, maka untuk mencariinvers dari transformasi-z dapat dengan melihat tabel, atau digunakanmetode lain:

MetodePembagian panjang

16

Penyelesaian Persamaan Bedadengan Transformasi Z

Tentukan invers transformasi-z dari contoh sebelumnya

Langkah-langkah:

H(z)X(z)Y(z)

X(z)Y(z)

H(z)

=

=f(z)

Y(z)=

z n

n

azA

azA

azA

z −++

−+

−= L

2

2

1

1Y(z)x(n)y(n) =

z-1

inverskanLakukan ekspansiPecahan parsial

PratikumTransformasi-z dan Invers

serta aplikasinya

17

• Coba anda ulangi langkah-langkahprogram di atas untuk fungsi-fungsi yang diberikan Lakukan analisis kemudiansimpulkan! Wajib menggunakan GUIDE