Transformasi Laplace untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial

Penyelesaian persamaan diferensial dengan mencari tanggapan homogen dan

tanggapan paksa yang telah dibahas dalam Bab sebelumnya. Penyelesaian dengan cara

tersebut memerlukan perumpamaan tanggapan yang tepat. Cara yang lebih mudah untuk

menyelesaikan persamaan diferensial tanpa harus menggunakan perumpamaan tanggapan

adalah dengan transformasi Laplace.

Untuk mendapatkan solusi persamaan diferensial yang pertama dilakukan adalah

pengubahan persamaan ke bentuk s. Untuk lebih jelasnya disajikan contoh berikut:

Contoh:

Carilah penyelesaian untuk persamaan diferensial berikut ini:

x+ 3 x+ 2 x = 0 , x (0 ) = a , x (0 ) = b

Penyelesaian:

ℓ ¿¿

ℓ (x¿

) = s x (s ) − sx (o )

ℓ ¿¿¿

¿maka,

(s2 + 3 s + 2 ) x (s ) = as + b +3a

X ( s ) = as + b + 3as2 + 3 s + 2

= as + b + 3a(s+1 ) (s+2 )

= 2a + bs+1

− a+bs+2

Laplace balik dari X (s) menghasilkan:

X ( t ) = ℓ−1 [X (s ) ]= ℓ−1 [2a + b

s+1 ] − ℓ−1 [a+bs+2 ]= (2a + b ) e−t − (a+b ) e−2 t ( t ≥ 0 )

7

a) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Konstan

Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menentukan selesaian suatu

persamaandiferensial dengan koefisien konstan.

Misal ditentukan persamaan diferensial

d2Ydx

+ p dYdx

+qY=F ( x ) atau Y ''+pY '+qY=F ( x ) dengan p,q adalah konstanta dan

persamaan tersebut mempunyai syarat awal atau batas Y(0)=A dan Y’(0)=B, A dan B adalah

konstanta yang diberikan.

Selesaian persamaan diferensial yang diketahui dapat ditentukan dengan cara

melakukan transformasi Laplace pada masing-masing persamaan dan selanjutnya gunakan

syarat awal yang diberikan. Akibatnya diperoleh persamaan Aljabar L {Y ( x )}= y ( s ).Selesaian yang diperlukan diperoleh dengan menggunakan transformasi Laplace

invers dari y(s). Cara ini dapat diperluas pada persamaan-pers amaan diferensial tingkat

tinggi.

Contoh

Tentukan selesaian persamaan diferencial berikut.

1) Y ''+Y=x dengan Y(0) = 0 dan Y’(0)=-2

Jawab

Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan diferensial

diperoleh

L {Y +Y rbrace =L left lbrace Y¿}+L {Y }=L{x }

Menurut sifat transformasi Laplace

L {F(n)( t )}=sn L{F( t )}−sn−1F(0 )−sn−2F \( 0 \) - . . . . - ital sF rSup { size 8{n - 2} } \( 0 \) - F rSup { size 8{n - 1} } \( 0 \) } { ¿, sehingga

={s2 L {Y }−sY (0 )−Y ' (0 )}−L {Y }=L( x )

⇔(s2 y−s+2 )+ y= 1s2

⇔(s2+1 ) y= 1s2

+(s−2)

8

⇔ y= 1s2 (s2+1 )

+ s−2s2+1

=

1s2

− 1s2+1

+ ss2+1

− 2s2+1

=

1s2

+ ss2+1

− 3s2+1

Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers

Y=L−1{ 1s2 +

ss2+1

−3s2+1 }

=L−1{ 1

s2 }−L−1{ ss2+1 }−L−1{ 3

s2+1 } =x+cos x−3sin x

Untuk pemeriksaan jawab di atas

Y=1+cos x−3sin x

Y '=−sin x−3cos x

Y ''=−cos x+3 sin x

Y ''+Y=(−cos x+3sin x )+( x+cos x−3 sin x )=x dan Y(0) = 1, Y’(0)=-2

2) Y ''−3Y '+2Y=4e2 x dengan Y(0) = -3 dan Y’(0)=5

Jawab

Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan diferencial diperoleh

L ¿¿Menurut sifat (5) transformasi Laplace

L {F(n)( t )}=sn f ( s )−sn−1F(0 )−sn−2F \( 0 \) - . . . . - ital sF rSup { size 8{n - 2} } \( 0 \) - F rSup { size 8{n - 1} } \( 0 \) } {¿, sehingga

L ¿¿

={s2 L {Y }−sY (0 )−Y ' (0 )}−3 {sL{Y }−Y (0 )}+2L {Y }=L(4e2 x )

={s2 y+3 s−5 }−3 {sy+3}+2 y= 4s−2

⇔(s2−3 s+2) y= 4s−2

+3 s−14

⇔ y= 4(s2−3 s+2)(s−2 )

+ 3 s−14s2−3 s+2

9

=−3 s2+20 s−24

(s−1 )(s−2 )2

= −7s−1

+ 4s−2

+ 4(s−2 )2

Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers

Y=L−1{ −7s−1 +

4s−2+

4(s−2)2 }

=L−1{ −7

s−1 }+L−1{ 4s−2 }+L−1{ 4

(s−2 )2 } =−7ex+4e2 x+4 xe2 x

b) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Variabel

Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menentukan selesaian persamaan

diferensial dengan koefien variable. Khususnya persamaan diferensial yang berbentuk

xnY (n )( x ) sehingga transformasi Laplace diperoleh L {xmY (n)( x )}={(−1)m d

m

dsmL {Y (n)(x )}}

Hal ini sesuai dengan sifat transformasi Laplace

Jika L {F ( t )}=f ( s ) maka L {tnF ( t )}= (−1 )n d

n

dsnf (s )= (−1 ) f (n )(s )

Untuk jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut

Tentukan selesaian persamaan diferensial

1) xY ''+2Y '+xY=0 dengan Y(0) = 1 dan Y(π )= 0

Jawab

Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diperoleh:

L ¿¿⇔L¿¿

⇔(−1 )1 dds {s2 y−sY (0 )−Y ' (0 )}+2( sy−Y ( 0))+(−1)1 d

ds( y )=0

⇔−1 dds

{s2 y−s−1 }+2(sy−1)+(−1 )1 dds

( y )=0

⇔−{2 sy+s2 dyds−1−0 }+2( sy−1 )+(−1) dyds

=0

10

⇔−2 sy−s2 y '+1+2 sy−2− y '=0

⇔−(s2+1) y '=1

⇔ y '=− 1(s2+1 )

Diperoleh y=−∫ 1

(s2+1)ds=−arctan s +C

Karena y→0 bila s→∞ kita dapatkan c= π

2 , sehingga

y= π2−arctan s=arctan 1

s

Akhirnya didapat Y=L {arctan 1

s }=sin tt , hal ini memenuhi Y(π )=0

2) Y ''−xY '+Y=1 , dengan Y(0) = 1 dan Y’(0) = 2

Jawab

Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diperoleh:

L ¿¿⇔L¿¿

⇔ {s2 y−sY (0 )−Y ' (0 )}−(−1)1 dds

{sy−Y (0 )}+ y= 1s

⇔ {s2 y−s .1−2}+ dds

(sy−1)+ y=0

s

ysyysys 1')'(22

ssyssy 12)1(' 2

Persamaan di atas merupakan persamaan difererensial liner tingkat satu derajat satu dan

dapat diubah menjadi:

⇔ y '+(s+ 1s ) y=1+2

s+ 1s2

Faktor integral persamaan di atas adal e∫(s+ 1 )ds

=e12s2+2 ln s

=s2 e12s2

11

Maka

dds

( s2e12s2

y )=(1+2s+

1s2 )s2 e

s2

2

Sehingga y=1sesy∫(1+2

s+ 1s2

)s2es2

2 ds

=1s+ 2s2

+ cs2es2

2

Akhirnya diperoleh y=1+2 t

Soal-soal :

2xyy’ – y2 + x2 = 0

12