[TP-2014.06.20] Konvergen dalam distribusi - TLP.pdf

Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231) - Unsoed 2014

4.3 Konvergen dalam Distribusi

Pada Subbab 4.2 telah dibahas konsep ”konvergen dalam peluang” yangdapat digunakan untuk memeriksa kedekatan estimator dengan parameteryang diestimasinya. Pada subbab ini dibahas jenis kekonvergenan lainnya,yaitu ”konvergen dalam distribusi”. Materi ini merupakan konsep dasaryang perlu dipelajari untuk pembahasan Teorema Limit Pusat dan pemba-hasan distribusi asimtotik serta selang kepercayaan suatu estimator.

Definisi 4.3.1 (Konvergen dalam distribusi). Misal {Xn} barisan variabelacak dengan CDF masing-masing FXn

, dan X suatu variabel acak denganCDF FX . Variabel acak Xn dikatakan konvergen dalam distribusi ke X,dinotasikan

XnD−→ X

jikalimn→∞

FXn(x) = FX(x),

untuk setiap x ∈ C(F (x)), dengan C(F (x)) menyatakan himpunan semuatitik sehingga FX kontinu.

Pada Definisi 4.3.1, distribusi dari X yang dinyatakan dalam CDF F (x),disebut distribusi asimtotik atau distribusi limit dari barisan {Xn}.

Sebagai contoh, pernyataan ”Xn yang berdistribusi asimtotik normalstandar” dapat ditulis

XnD−→ X, dengan X ∼ N(0, 1),

atauXn

D−→ N(0, 1).

Pada konvergen dalam peluang, ketika n membesar yang diperhatikanadalah peluang dari peristiwa Xn berada di luar interval (X − ε,X + ε),sedangkan pada konvergen dalam distribusi, yang diperhatikan adalahperilaku barisan CDF dari FXn

apakah menuju suatu CDF tertentu atautidak.

Berikut ini adalah contoh variabel acak Xn yang konvergen dalam distribusitetapi tidak konvergen dalam peluang.

Contoh 4.3.1. Misal X variabel acak kontinu dengan PDF fX(x) yang

175


simetri di sekitar x = 0, sehingga f(x) = f(−x). Dengan demikian, PDFvariabel acak −X mempunyai bentuk yang sama yaitu fX(x). Jadi meskipunberlawanan, X dan −X mempunyai distribusi yang sama. Sekarang, defin-isikan barisan variabel acak Xn sebagai

Xn =

{

X, jika n ganjil−X, jika n genap

Jelas CDF FXn= FX(x) untuk setiap x ∈ SX , sehingga Xn

D−→ X. Dilain fihak, Xn tidak dekat dengan X dalam arti Xn tidak konvergen dalampeluang ke X. �

Berikut ini adalah contoh bagaimana menentukan distribusi asimtotik darisuatu variabel acak.

Contoh 4.3.2. Misal Xn mempunyai CDF

Fn(x̄) =

∫ x̄

−∞

1√

1/n√2πe−nw

2/2dw.

Jika dimisalkan v =√nw maka

Fn(x̄) =

∫

√nx̄

−∞

1√2πe−v

2/2dv

sehingga

limn→∞

Fn(x̄) =

0, x̄ < 01/2, x̄ = 01, x̄ > 0

Definisikan fungsi

F (x̄) =

{

0, x̄ < 01, x̄ ≥ 0

makalimn→∞

Fn(x̄) = F (x̄)

untuk setiap titik x̄ sedemikian sehingga F (x̄) kontinu. Artinya, ketika Ftidak kontinu di x = 0, Fn(0) tidak harus konvergen ke F (0). Jadi, yangdiperhatikan hanya titik-titik sedemikian sehingga F kontinu. Berdasarkanhasil ini, maka barisan X1, X2, X3, . . . konvergen dalam distribusi kevariabel acak yang berdistribusi degenerate di x̄ = 0. �

Contoh 4.3.3. Misal X1, . . . , Xn sampel acak dari distribusi U(0, θ). Jika

176


Yn = max{X1, . . . , Xn}, dan Zn = n(θ − Yn),(a). tentukan CDF dari Yn;

(b). tunjukkan Zn konvergen dalam distribusi dan tentukan distribusiasimtotiknya.

Penyelesaian.

(a). Diketahui Yn = max{X1, . . . , Xn} maka DYn= {y ; 0 < y ≤ θ}. Misal

diambil y ∈ (0, θ]. Fungsi distribusi (CDF) dari Yn adalah

FYn(y) = P (Yn ≤ y) = P (max{X1, . . . , Xn} ≤ y)

= P (X1 ≤ y, . . . , Xn ≤ y)

= [P (X ≤ y)]n (karena X1, . . . , Xn independen)

= [FX1(y)]n

Karena X1 berdistribusi U(0, θ), maka

FX1(y) = P (X1 < y) =

∫ y

0

1

θdx =

y

θ,

sehingga untuk 0 < y ≤ θ,

P (Yn ≤ y) = [FX1(y)]n =

(y

θ

)n.

Jadi CDF dari Yn adalah

FYn(y) =

0, y < 0(y

θ

)n, 0 < y ≤ θ

1, y ≥ θ

(b). Diketahui Zn = n(θ − Yn), maka DZn= {z ; 0 < z ≤ nθ}. Misal

diambil z ∈ (0, nθ]. Karena Zn = n(θ − Yn) ekivalen dengan Yn =θ − Zn/θ, maka fungsi distribusi dari Zn adalah

FZn(z) = P (Zn ≤ z) = P [Yn ≥ θ − (z/n)]

= 1− P (Yn ≤ θ − (z/n))

= 1−(

θ − (z/n)

θ

)n

= 1−(

1− z/n

θ

)n

danlimn→∞

FZn(z) = 1− e−z/θ

177


sehingga

Znd−→ Z.

Berikut akan ditunjukkan Z berdistribusi eksponensial denganparameter θ.Misal Z berdistribusi eksponensial dengan parameter θ, maka PDFdari Z,

f(z) =1

θe−z/θ, z > 0

dan 0 untuk z lainnya, sehingga CDF dari Z

FZ(z) =

∫ z

0

1

θe−x/θdx = 1− e−z/θ, z > 0

dan 0 untuk z lainnya.

Jadi, distribusi asimtotik dari Zn adalah distribusi eksponensialdengan parameter θ. �

Hubungan konvergen dalam distribusi dan konvergen dalam peluangdinyatakan dalam sifat-sifat berikut:

(a). Jika Xnp→ X maka Xn

D−→ X. Pernyataan sebaliknya belum tentubenar dan berlaku benar hanya jika X degenerate. Karena itu,konvergen dalam distribusi disebut juga konvergen lemah.

(b). Jika b suatu konstanta dan XnD−→ b maka Xn

p→ b.

(c). Jika XnD−→ X dan Yn

D−→ 0, maka Xn + YnD→ X.

(d). Jika XnD−→ X dan g fungsi yang kontinu pada support dari X maka

g(Xn)D−→ g(X).

(e). (Teorema Slutsky). Misal Xn, X,An, Bn, variabel-variabel acak.

Misalkan pula a dan b konstanta. Jika XnD−→ X, An

p→ a, dan

BnD−→ b maka An +BnXn

D−→ a+ bX.

Teknik Fungsi Pembangkit Momen. Selain menggunakan CDF,distribusi asimtotik suatu barisan variabel acak yang konvergen dalamdistribusi, juga dapat dicari menggunakan teknik fungsi pembangkit momen(teknik MGF).

Teorema 4.3.1. Misal {Xn} barisan variabel acak dengan MGF MXn(t)

yang ada untuk −h < t < h dan untuk setiap n. Misalkan pula X variabel

178


acak dengan MGF M(t) yang ada untuk |t| < h1 < h untuk setiap n. Jika

limn→∞

MXn(t) =M(t)

makaXn

d−→ X.

Berikut aturan limit di Kalkulus yang berguna dalam penentuan distribusiasimtotik berdasarkan Teorema 4.3.1:

Jika diberikan bentuk limit berikut

limn→∞

[

1 +b

n+ψ(n)

n

]cn

,

dengan b dan c tidak bergantung pada n dan limn→∞ ψ(n) = 0, maka

limn→∞

[

1 +b

n+ψ(n)

n

]cn

= limn→∞

(

1 +b

n

)cn

= ebc (4.3.1)

Sebagai contoh, untuk menghitung

limn→∞

[

1 +t2

n+

t2

n3/2

]−n/2

= limn→∞

(

1− t2

n+t2/√n

n

)−n/2

dapat dimisalkan b = −t2, c = −12 , dan ψ(n) = t2/

√n sehingga

limn→∞ t2/√n = 0 dan

limn→∞

[

1 +t2

n+

t2

n3/2

]−n/2

= et2/2.

Contoh 4.3.4. Misal Yn berdistribusi B(n, p) sehingga mean dari Ynadalah µ = np. Akan ditentukan distribusi asimtotik dari distribusi binomialdengan p = µ/n, dengan cara mencari limit dari MGF

M(t;n) = E[etYn ] =[

(1− p) + pet]n

=

[

1 +µ(et − 1)

n

]n

, −∞ < t <∞

Dengan memisalkan b = µ(et−1), c = 1 dan ψ(n) = 0, maka dari persamaan(4.3.1) dapat diperoleh

limn→∞

M(t;n) = eµ(et−1), −∞ < t <∞,

yang tidak lain merupakan bentuk MGF dari distribusi Poisson dengan

179


parameter µ. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa untuk n →∞, distribusi B(n, p) dapat diaproksimasi oleh distribusi Poisson denganparameter µ = np.

Sebagai ilustrasi, jika Y berdistribusi B(n, p) dengan n = 50 dan p = 125

maka

P (Y ≤ 1) =

(

24

25

)50

+ 50

(

1

25

)(

24

25

)49

= 0, 400

Peluang tersebut juga dapat dihitung melalui aproksimasi distribusi Poissonyaitu dengan memisalkan µ = np = 2, sehingga

P (Y ≤ 1) = e−2 + 2e−2 = 0, 406. �

Contoh 4.3.5. Misal Zn berdistribusi χ2(n). Akan ditunjukkan bahwadistribusi limit dari Yn = (Zn − n)/

√2n adalah N(0, 1).

Diketahui Yn = (Zn − n)/√2n, maka MGF dari Yn

M(t;n) = E[etYn ] = E

[

exp

{

t

(

Zn − n√2n

)}]

= e−tn/√2nE[etZn/

√2n]

= exp

[

−(

t

√

2

n

)

(n

2

)

]

(

1− 2t√2n

)−n/2

, t <

√2n

2.

Bentuk MGF ini juga dapat ditulis sebagai

M(t;n) =

(

et√

2/n − t√

2

net√

2/n

)−n/2

, t <

√2n

2.

Menurut rumus Taylor, terdapat bilangan ξ(n), antara 0 dan t√

2/n,sehingga

et√

2/n = 1 + t

√

2

n+

1

2

(

t

√

2

n

)2

+eξ(n)

6

(

t

√

2

n

)3

.

Akibatnya,

M(t;n) =

(

1− t2

n+ψ(n)

n

)−n/2

,

dengan

ψ(n) =

√2t3eξ(n)

3√n

−√2t3√n− 2t4eξ(n)

3n.

180


Karena ξ(n) → 0 ketika n → ∞, maka limn→∞ ψ(n) = 0 untuk setiap nilait.

Dari persamaan (4.3.1) dapat diperoleh

limn→∞

M(t;n) = et2/2, −∞ < t <∞.

Karena bentuk pada ruas kanan merupakan MGF dari distribusi normalstandar, maka dapat disimpulkan bahwa distribusi asimtotik dari Yn = (Zn−n)/√2n adalah normal standar. �

Latihan

1. Diberikan X1, . . . , Xn sampel acak berukuran n dari distribusiN(µ, σ2). Jika Xn rata-rata sampel, tentukan distribusi limit dari Xn.

2. MisalX1, . . . , Xn sampel acak berukuran n dari distribusi dengan PDFf(x) = e−(x−θ), θ < x < ∞, dan 0 untuk yang lainnya. Jika Y1 =min(X1, . . . , Xn) dan Zn = n(Y1 − θ), tentukan distribusi limit dariZn.

3. Diberikan X1, . . . , Xn sampel acak berukuran n dari distribusi kontinudengan CDF F (x) dan f(x) = F ′(x). Jika Yn = max(X1, . . . , Xn) danZn = n[1− F (Yn)], tentukan distribusi limit dari Zn.

4. Misal X1, . . . , Xn sampel acak berukuran n dari distribusi kontinudengan CDF F (x) dan f(x) = F ′(x). Jika Y2 variabel acak terkecilkedua dari X1, . . . , Xn dan Wn = nF (Y2)], tentukan distribusi limitdari Wn.

5. Misal PMF dari Yn adalah pn(y) = 1, untuk y = n dan 0 untuk y

lainnya. Tunjukkan Yn tidak mempunyai distribusi limit.

6. Diberikan X1, . . . , Xn sampel acak berukuran n dari distribusiN(µ, σ2). Tunjukkan Zn = Σn

i=1Xi tidak mempunyai distribusi limit.

7. Misal Xn berdistribusi gamma dengan parameter α = n dan β suatukonstanta yang bukan fungsi dari n. Jika Yn = Xn/n, tentukandistribusi limit dari Yn.

8. Misal Zn ∼ χ2(n) dan Wn = Zn/n. Tentukan distribusi limit dari Wn.

9. Misal X ∼ χ2(50). Tentukan nilai aproksimasi untuk P (40 < X < 60).

181


10. Misal p = 0, 95 peluang seseorang balita akan bertahan hidupsedikitnya 5 tahun lagi.

(a) Jika pengamatan secara independen dilakukan terhadap 60balita, tentukan peluang yang bertahan hidup lima tahun ataulebih, paling sedikit 56 balita.

(b) Tentukan nilai aproksimasi untuk soal (a) dengan menggunakandistribusi Poisson. Petunjuk: Definisikan p = 0, 05 dan 1 − p =0, 95.

11. Misal Zn ∼ Poisson(µ.) Tunjukkan bahwa distribusi limit dari variabelacak Yn = (Zn − n)/

√n adalah N(0, 1).

12. Misal Xn rata-rata dari sampel acak berkuran n yang diambil daridistribusi Poisson PDF dengan parameter µ = 1.

(a) Tunjukkan MGF dari Yn =√n(Xn−µ)/σ =

√n(Xn−1) adalah

MYn(t) = exp[−t

√n+ n(et/

√n − 1)], t <

√n

(b) Tentukan distribusi limit dari Yn. Petunjuk : Nyatakan et/√n

dalam bentuk deret MacLaurin.

13. Misal Xn rata-rata dari sampel acak berkuran n yang diambil daridistribusi dengan PDF f(x) = e−x, 0 < x < ∞, dan 0 untuk yanglainnya.

(a) Tunjukkan MGF dari Yn =√n(Xn − 1) adalah

MYn(t) = [et/

√n − (t/

√n)et/

√n]−n, t <

√n

(b) Tentukan distribusi limit dari Yn.

14. Misal Y1 < Y2 < . . . < Yn statistik terurut dari sampel acak yangdiambil dari distribusi dengan PDF f(x) = e−x, 0 < x < ∞, dan 0untuk yang lainnya. Tentukan distribusi limit dari Zn = (Yn − lnn).

15. Misal Y1 < Y2 < . . . < Yn statistik terurut dari sampel acak yangdiambil dari distribusi dengan PDF f(x) = 5x4, 0 < x < 1, dan 0untuk yang lainnya. Tentukan p sehingga Zn = npY1 konvergen dalamdistribusi.

182


4.4 Teorema Limit Pusat

Pada Subbab 3.4 telah dibahas bahwa jika X1, X2, . . . , Xn sampel acakdari distribusi N(µ, σ2) maka variabel acak (Xn − µ)/(σ/

√n) berdistribusi

N(0, 1). Permasalahannya bagaimana perilaku variabel acak tersebut jikadistribusi asalnya sembarang? Jawabannya dapat ditemukan pada teorema

limit pusat.

Teorema 4.4.1 (Teorema Limit Pusat). Misal X1, X2, . . . , Xn sampelacak dari suatu distribusi dengan mean µ dan variansi σ2, maka variabelacak

Yn =Xn − µσ/√n

d−→ N(0, 1)

Bukti. Pembuktian dengan teknik MGF memerlukan asumsi tambahan,yaitu MGF M(t) = E[etX ] ada untuk −h < t < h. Dengan asumsi ini, makafungsi

m(t) = E[et(X−µ)] = e−µtM(t)

juga ada untuk −h < t < h. Karenam(t) MGF untukX−µ,makam(0) = 1,m′(0) = E[X − µ] = 0, dan m′′(0) = E[(X − µ)2] = σ2.

Menurut rumus Taylor, terdapat bilangan ξ antara 0 dan t sehingga

m(t) = m(0) +m′(0)t+m′′(ξ)t2

2

= 1 +m′′(ξ)t2

2

Melalui manipulasi σ2t2/2 − σ2t2/2 = 0, MGF m(t) dapat juga ditulissebagai

m(t) = 1 +σ2t2

2+m′′(ξ)t2

2− σ2t2

2

= 1 +σ2t2

2+

[m′′(ξ)− σ2]t22

. (4.4.1)

Berikut ini akan ditentukan MGF dari Yn:

Karena


=

∑ni=1Xi − nµσ√n

183


maka MGF dari Yn dapat ditulis

M(t;n) = E[etYn ] = E

[

exp

(

t

∑

Xi − nµσ√n

)]

= E

[

exp

(

tX1 − µσ√n

)

exp

(

tX2 − µσ√n

)

· · · exp(

tXn − µσ√n

)]

= E

[

exp

(

tX1 − µσ√n

)]

· · ·E[

exp

(

tXn − µσ√n

)]

=

{

E

[

exp

(

tX − µσ√n

)]}

=

[

m

(

t

σ√n

)]

, −h < t

σ√n< h.


m

(

t

σ√n

)

= 1 +t2

2n+

[m′′(ξ)− σ2]t22nσ2

,

dengan ξ antara 0 dan t/σ√n dengan −hσ√n < t < hσ

√n. Akibatnya

M(t;n) =

{

1 +t2

2n+

[m′′(ξ)− σ2]t22nσ2

}n

Karena m′′(t) kontinu di t = 0 dan karena ξ → 0 ketika n→∞, maka

limn→∞

[m′′(ξ)− σ2] = 0.


limn→∞

M(t;n) = et2/2, −∞ < t <∞

yang tidak lain merupakan MGF dari distribusi normal standar. Jadi dapatdisimpulkan bahwa


d−→ N(0, 1). �

Dengan adanya teorema limit pusat maka distribusi rata-rata sampelX yangberasal dari distribusi apapun dapat didekati (diaproksimasi) oleh distribusinormal yaitu N(µ, σ2/n). Berarti perhitungan peluang atau penentuanselang kepercayaan dari X juga dapat didekati oleh peluang distribusinormal.

184


Contoh 4.4.1. Misal X rata-rata dari sampel acak berukuran n = 75 daridistribusi uniform

f(x) =

{

1, 0 < x < 10, x lainnya.

Karena µ = 12 dan variansi σ2 = 1

12 , maka

P (0, 45 < X < 0, 55) ≈ P

(

0, 45− µσ/√n

< Z <0, 55− µσ/√n

)

= P (−1.5 < Z < 1.5)

= P (Z < 1.5)− P (Z < −1, 5)= 0, 9332− (1− 0, 9332)

= 0, 8664.

Contoh 4.4.2. Misal X1, X2, . . . , Xn sampel acak dari distribusi B(1, p).Di sini µ = p dan σ2 = p(1− p). Telah diketahui di Subbab 3.1 bahwa jikaYn = X1 + . . .+Xn maka Yn berdistribusi B(n, p). Karena

Yn − np√

np(1− p)=√n

Xn − p√

np(1− p)=Xn − µσ/√n

konvergen dalam distribusi ke N(0, 1), maka Yn yang berdistribusi B(n, p)dapat didekati oleh distribusi N(µ, σ2) dengan µ = np dan σ2 = np(1− p).Distribusi normal yang terjadi hanya untuk sampel besar disebut distribusinormal asimtotik.

Contoh 4.4.3. Misal Y berdistribusi B(n, p) dengan n = 100 dan p = 12 .

Karena µ = np = 50 dan σ2 = np(1−p) = 25 atau σ = 5, maka dari Contoh4.4.2 dapat dihitung

P (Y = 48, 49, 50, 51, 52) = P (47, 5 < Y < 52, 5)

≈ P

(

47, 5− 50

5< Z <

52, 5− 50

5

)

= P (−0, 5 < Z < 0, 5) = 0, 382.

Di sini titik Y = 47, 5 dan Y = 52, 5 disebut angka koreksi kekontinuan.

Latihan 4.4

1. Misal X rata-rata sampel acak berukuran 100 dari distribusi χ2(50).Hitung nilai hampiran untuk P (49 < X < 51).

185


2. Misal X rata-rata sampel acak berukuran 128 dari distribusi distribusigamma dengan α = 2 dan β = 4. Hitung nilai hampiran untuk P (7 <X < 9).

3. Misal Y ∼ B(72, 13). Hitung nilai hampiran untuk P (22 ≤ Y ≤ 28).

4. Hitung peluang hampiran untuk rata-rata sampel berukuran 15 daridistribusi dengan PDF

f(x) =

{

3x2, 0 < x < 10 untuk x lainnya

yang terletak antara 35 dan 4

5 .

5. Misal Y menyatakan jumlah pengamatan terhadap 12 sampel acakdari distribusi dengan PMF

f(x) =

{

16 , x = 1, 2, 3, 4, 5, 60, untuk x lainnya

Hitung nilai hampiran untuk P (36 ≤ Y ≤ 48). Petunjuk : Karenaperistiwa yang menjadi perhatian adalah Y = 36, 37, . . . , 48, tulispeluang yang akan dicari sebagai P (35, 5 < Y < 48, 5).

6. Misal Y ∼ B(n; 0, 55). Tentukan n terkecil (nilai pendekatannya)sehingga P (Y/n > 1

2) ≥ 0, 95.

7. Misal variabel acak X mempunyai PDF f(x) = 1/x2, 1 < x <∞, dan0 untuk yang lainnya. Jika sampel acak berukuran 72 diambil darivariabel acak tersebut, hitung nilai pendekatan dari peluang bahwabanyak pengamatan yang nilainya kurang dari 3, lebih dari 50 penga-matan.

8. Empat puluh delapan hasil pengukuran dicatat sebagai bilangandengan menggunakan beberapa angka di belakang desimal. Masing-masing bilangan tersebut dibulatkan ke bilangan bulat terdekat.Jumlah 48 bilangan sebelum dibulatkan akan mendekati jumlah 48bilangan sesudah dibulatkan. Jika masing-masing error pembulatandianggap IID darin distribusi uniform pada interval (−1

2),12 , hitung

pendekatan peluang bahwa jumlah 48 bilangan sesudah dibulatkanberjarak 2 dari jumlah sebenarnya.

9. Diketahui bahwa untuk n yang besar, distribusi X mendekati

N(µ, σ2/n). Tentukan distribusi pendekatan untuk u(X) = X3,

asalkan µ 6= 0.

186

[TP-2014.06.20] Konvergen dalam distribusi - TLP.pdf

Documents

Transcript of [TP-2014.06.20] Konvergen dalam distribusi - TLP.pdf