Teori Dualitas

2

Konsep Dualitas

3

• Setiap permasalahan LP mempunyaihubungan dengan permasalahan LP lain

• Masalah dual adalah sebuah masalah LP yang diturunkan secara matematis dari satumodel LP primal

1

Bentuk Standar

Masalah Primal Masalah Dual

4

njx

mibxa

ST

xcZ

j

i

n

j

jij

n

j

jj

,...,2,1,0

,...,2,1,

:

,max

1

1

dibatasi tak

,...,2,1,

:

,min

1

1

i

j

m

i

iij

m

i

ii

y

njcya

ST

ybW

1

Bentuk Standar

Masalah Primal Masalah Dual

5

njx

mibxa

ST

xcZ

j

i

n

j

jij

n

j

jj

,...,2,1,0

,...,2,1,

:

,min

1

1

dibatasi tak

,...,2,1,

:

,max

1

1

i

j

m

i

iij

m

i

ii

y

njcya

ST

ybW

Aturan-aturan (Hillier & Lieberman)

6

• Koefisien fungsi tujuan dari permasalahanprimal adalah ruas kanan kendalafungsional pada permasalahan dualnya

• Ruas kanan kendala fungsional padapermasalahan primal merupakan koefisienfungsi tujuan pada permasalahan dualnya

• Koefisien variabel kendala fungsional padapermasalahan primal menjadi koefisienpada kendala fungsional padapermasalahan dualnya

Aturan-aturan (Taha)

7

• Untuk setiap batasan primal terdapatsebuah variabel dual

• Untuk setiap variabel primal terdapatsebuah batasan dual

• Koefisien batasan dari sebuah variabelprimal membentuk koefisien sisi kiri daribatasan dual yang bersesuaian; dankoefisien tujuan dari variabel yang samamenjadi sisi kanan dari batasan dual

Masalah dual diperoleh secarasimetris dari masalah primal

8

Variabel Primal

x1 x2 … xj … xn

Sisi kanan daribatasan dual

c1 c2 … cj … cn

Koefisien sisi kiridari batasan dual

a11 a12 … a1j … a1n b1 y1

Variabeldual

a21 a22 … a2j … a2n b2 y2

: : : : : :

am1 am2 … amj … amn bm ym

↑

Batasan dual ke-j↑

tujuan dual

Hubungan Primal-Dual

9

TujuanPrimalStandar

Dual

Tujuan Batasan Variabel

Maksimisasi

Minimisasi ≥Tidak

dibatasi

MinimisasiMaksimisas

i≤

Tidakdibatasi

Contoh:

10

• Primal

Max z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3

x1 + 2 x2 + x3 ≤ 10

2 x1 - x2 + 3 x3 = 8

x1, x2, x3 ≥ 0

Contoh:

11

• Primal Standar

Max z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3

x1 + 2 x2 + x3 + s1 = 10

2 x1 - x2 + 3 x3 = 8

x1, x2, x3, s1 ≥ 0

Contoh:

12

• Dual

Min W = 10 y1 + 8 y2

y1 + 2 y2 ≥ 5

2 y1 - y2 ≥ 12

y1 + 3 y2 ≥ 4

y1 + 0 y2 ≥ 0 (y1 ≥ 0)

y1, y2 tak dibatasi

Pemecahan Masalah Dual

13

Nilai tujuan dalam satu pasangan masalah primal dan dual harus memenuhi hubungan berikut

1. Untuk setiap pasangan pemecahan primal dan dual yang layak

(nilai tujuan dalammasalah maksimisasi)

≤ (nilai tujuan dalammasalah minimisasi)

2. Di pemecahan optimum untuk kedua masalah

(nilai tujuan dalammasalah maksimisasi)

= (nilai tujuan dalammasalah minimisasi)

1

Contoh

Primal Dual

14

Min z = 5 x1 + 2 x2

ST

x1 – x2 ≥ 3

2 x1 + 3 x2 ≥ 5

x1, x2 ≥ 0

Max w = 3 y1 + 5 y2

ST

y1 + 2 y2 ≤ 5

- y1 + 3 y2 ≤ 2

- y1 ≤ 0 (y1 ≥ 0)

- y2 ≤ 0 (y2 ≥ 0)

1

Contoh

Primal (min) Dual (max)

15

Pemecahan Layak

x1 = 3

x2 = 0

Nilai tujuan

z = 15

Pemecahan Layak

y1 = 3

y2 = 1

Nilai tujuan

w = 14

1

Contoh

Primal (min) Dual (max)

16

Pemecahan Tak Layak

x1 = 3

x2 = 1

Nilai tujuan

z = 17

Pemecahan Tak Layak

y1 = 4

y2 = 1

Nilai tujuan

w = 17

1

Contoh

Primal Dual

17

Pemecahan Optimal

x1 = 3

x2 = 0

Nilai tujuan

z = 15

Pemecahan Optimal

y1 = 5

y2 = 0

Nilai tujuan

w = 15

Programa Dual

Hubungan antara PRIMAL dan DUAL adalah sebagai berikut :

PRIMAL DUAL

RHS Fungsi Tujuan

MAX MIN

Constrain Variable

Programa Dual

x1 x2 xn RHS

y1 a11 a12 a1n b1

y2 a21 a22 a2n b2

ym am1 am2 amn bm

c1 c2 cn

Koefisien Fungsi Objektif

(Maksimisasi)

Ko

efi

sie

n F

un

gs

i

Ob

jek

tif

(Min

imis

as

i)

PRIMALD

UA

L

Contoh Programa DualPRIMAL : Max 3x1 + 5x2

s.t.

x1 4

2x2 12

3x1 + 2x2 18

x1, x2 0

DUAL : Min 4y1 + 12y2 + 18y3s.t.

y1 + 3y3 3

2y2 + 2y3 5

y1, y2 , y3 0

DUAL dari DUAL adalah PRIMAL

Primal of Diet problem

Diet Problem – Dual

PRIMAL – DUAL

Secara umum hubungan antara DUAL dan PRIMAL dapat digambarkan seperti pada tabel di bawah ini

MINIMASI MAKSIMASI

Unrestricted =

= Unrestricted

Vari

ab

le

Va

ria

ble

Co

nstr

ain

t

Co

nstr

ain

t

Contoh 2

Primal: Max. z = 3x1 + 2x2 (Obj. Func.)

subject to

2x1 + x2 100 (Finishing constraint)

x1 + x2 80 (Carpentry constraint)

x1 40 (Bound on soldiers)

x1, x2 0

Optimal Solution: z = 180, x1 = 20, x2 = 60

Dual : Min. w = 100y1 + 80y2 + 40y3 (Obj. Func.)

subject to

2y1 + y2 + y3 3

y1 + y2 2

y1, y2, y3 0

Hubungan PRIMAL – DUAL

Bila x adalah feasible terhadap PRIMAL dan yfeasible terhadap DUAL, maka cx yb

Nilai objektif problem Max Nilai objektif problem Min

DUAL Constraint y A c

x 0 y Ax cx

Ax b y b cx

Teorema Dualitas

● Bila x* adalah penyelesaian dari PRIMAL dan y*

adalah penyelesaian dari DUAL, maka cx* = y*b

● Bila x0 feasible terhadap PRIMAL dan y0 feasible terhadap DUAL sedemikian hingga cx0 = y0b, maka x0 dan y0 adalah penyelesaian optimal

Menyelesaikan

PRIMAL

Menyelesaikan

DUAL

zDUAL FR

PRIMAL FR

Optimal

(PRIMAL – DUAL FEASIBLE)

Teorema Dualitas

1. P optimal D optimal

2. P tak terbatas

D tak terbatas

D tidak feasible

P tidak feasible

3. P tidak feasible

D tidak feasible

D tak terbatas/tidak feasible

P tak terbatas/tidak feasible

Dual Simplex

Dual Simplex• Sekelompok masalah LP yang tidak memiliki

pemecahan dasar awal yang layak dansemuanya adalah variabel slack, tetapi dapatdipecahkan tanpa menggunakan variabelbuatan yaitu dengan menggunakan metodedual simplex

• Dalam prosedur dual simplex, pemecahandimulai tidak layak dan optimal (sebagaimanadiperbandingkan dengan metode primal simplex yang memulai layak tetapinonoptimal)

Dual Simplex• Gagasan umum dari prosedur dual simplex

adalah bahwa sementara iterasi dimulai tidaklayak dan (lebih baik daripada) optimal, iterasiberikutnya bergerak ke arah ruang layak tanpakehilangan sifat optimalitas (simpleks biasamempertahankan kelayakan sementarabergerak ke arah optimalitas)

• Pada iterasi dimana pemecahan menjadi layakuntuk pertama kalinya, proses tersebutberakhir

Dual Simplex• Kondisi Kelayakan:

– Variabel keluar adalah variabel dasar yang memiliki nilaipaling negatif (jika sama, tentukan secara sembarang).

– Jika semua variabel dasar adalah nonnegatif, proses berakhir.

• Kondisi Optimalitas:– Variabel masuk adalah variabel nondasar yang berkaitan

dengan rasio terkecil jika meminimumkan atau nilai absolutterkecil dari rasio jika memaksimumkan (jika sama, tentukan sembarang).

– Rasio ditentukan dengan membagi koefisien sisi kiripersamaan z dengan koefisien negatif yang bersesuaiandalam persamaan dengan koefisien negatif yang bersangkutan dengan variabel keluar.

– Jika semua penyebut adalah nol atau positif, tidak terdapatpemecahan yang layak

Contoh 1Min z = 3 x1 + 2 x2

3 x1 + x2 ≥ 3

4 x1 + 3 x2 ≥ 6

x1 + x2 ≤ 3

x1, x2 ≥ 0

Contoh 1Min z - 3 x1 - 2 x2 = 0

-3 x1 - x2 + s1 = -3

-4 x1 - 3 x2 + s2 = -6

x1 + x2 + s3 = 3

x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0

Contoh 1Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 RHS

z 1 -3 -2 0 0 0 0

s1 0 -3 -1 1 0 0 -3

s2 0 -4 -3 0 1 0 -6

s3 0 -1 1 0 0 1 3

3/4 2/3 ~ ~ ~

Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 RHS

z 1 -1/3 0 0 -2/3 0 4

s1 0 -5/3 0 1 -1/3 0 -1

x2 0 4/3 1 0 -1/3 0 2

s3 0 -1/3 0 0 1/3 1 1

1/5 ~ ~ 2 ~

Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 RHS

z 1 0 0 -1/5 -3/5 0 21/5

x1 0 1 0 -3/5 1/5 0 3/5

x2 0 0 1 4/5 -3/5 0 6/5

s3 0 0 0 -1/5 2/5 1 6/5

rasio

rasio

1

Contoh 1

• X1 = 3/5

• X2 = 6/5

• Z = 21/5

Contoh 2Max z = 2 x1 - x2

x1 + x2 = 1

2 x2 ≥ 1

x1, x2 ≥ 0

Contoh 2Max z - 2 x1 + x2 = 0

x1 + x2 = 1

- 2 x2 + s1 = -1

x1, x2 , s1 ≥ 0

========================================

x1 = 1 – x2, sehingga:

z – 2 (1 – x2) + x2 = 0

z + 3 x2 = 2

1

Contoh 2

• X1 = ½

• X2 = ½

• Z = ½

Dasar z x1 x2 s1 RHS

z 1 0 3 0 2

x1 0 1 1 0 1

s1 0 0 -2 1 -1

~ 1 1/2 ~

Dasar z x1 x2 s1 RHS

z 1 0 0 1 1/2 1/2

x1 0 1 0 1/2 1/2

x2 0 0 1 -1/2 1/2

rasio