TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3

5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3

24

BAB III

PEMBAHASAN

.

3.1 Ruang 2-Metrik Semi Quasi

Pada bagian ini akan dibahas tentang peluasan ruang metrik, yaitu ruang 2-

metrik semi quasi yang merupakan perumuman dari ruang 2-metrik. Untuk

mengawali pembahasan mengenai ruang 2-metrik semi quasi, diberikan terlebih

dahulu definisi tentang ruang 2-metrik, seperti diberikan oleh definisi berikut ini.

Definisi 3.1 [2]

Misalkan adalah himpunan tak kosong yang elemen-elemennya disebut titik dan

∶ × × → ℝ suatu fungsi tak negatif yang memenuhi :

(M1) untuk

∀

,

∈ dan

≠ , terdapat

∈ sehingga

(

,

,

)

≠0

(M2) (,,) = 0 jika sedikitnya dua dari ,, sama

(M3) (,,) = (,,) = (,,) untuk ∀ ,, ∈

(M4) (,,) ≤ (,,) + (,,) + (,,) untuk ∀ ,,, ∈ .

Fungsi yang demikian disebut fungsi 2-metrik pada dan pasangan (X,)

disebut ruang 2-metrik.

Secara geometris, fungsi 2-metrik dapat ditafsirkan sebagai fungsi luas

untuk segitiga. Adapun sifat-sifat dari fungsi 2-metrik pada Definisi 3.1 di atas

dapat dijelaskan dengan memperhatikan dua gambar berikut:



25

A

C B

Sifat (M1) menyatakan bahwa untuk sebarang dua titik berbeda pada

Gambar 3.1, misal titik A dan B, dapat dipilih titik diluar garis AB, misal C,

sedemikian sehingga luas ∆ABC tidak sama dengan nol. Sifat (M2) menyatakan

bahwa jika dua atau tiga titik pada ∆ABC (Gambar 3.1) sama maka ∆ABC berupa

sebuah garis atau sebuah titik yang masing-masing tidak mempunyai dimensi

luas, sehingga luas ∆ABC sama dengan nol. Sifat (M3) menyatakan bahwa urutan

dari ketiga titik pada ∆ABC tidak mempengaruhi nilai dari luas ∆ABC. Sifat ini

biasa disebut dengan sifat simetri. Dengan memperhatikan Gambar 3.2 sifat (M4)

menyatakan bahwa luas segitiga pada alas tetrahedron selalu lebih kecil daripada

jumlah luas segitiga pada sisi-sisi tegaknya atau secara matematis dituliskan

sebagai

luas ∆ABC ≤ luas ∆ADB + luas ∆BDC + luas∆ADC

sehingga sifat (M4) ini biasa disebut dengan sifat ketidaksamaan bidang empat

(tetrahedral inequality).

Gambar 3.1 Segitiga ABC dan tetrahedron ABCD dengan alas segitiga ABC

C

A

B

D



26

= (, , ) = (, , )

= (, , )

Contoh 3.1

Luas segitiga yang disusun oleh tiga titik

= (

,

,

),

= (

,

,

) dan

= (, , ) yang merupakan elemen-elemen di ℝ (diperlihatkan pada

gambar 3.3) didefinisikan dengan

(,,) =1

2 − − − × − − −

Akan ditunjukkan merupakan fungsi 2-metrik pada ℝ.

1. Untuk setiap ≠ di ℝdapat dipilih = (,,1 + ) di ℝ sehingga

(,,) =

− − − × − − (1 + ) −

=

− − − × 001

=

det

−

−

−

0 0 1

=det − −

0 1 − det − −

0 1 +

det − − 0 0

Gambar 3.2 Segitiga siku-siku xyz



27

= ‖( − ) − ( − ) + 0‖

= ( − ) + ( − ) + ( 0)

= ( − ) + ( − )

Karena ≠ dan ≠ maka ( − ) ≠ 0 dan ( − ) ≠ 0, maka

(,,) = ( − ) + ( − ) ≠ 0.

2. Jika sedikitnya dua dari ,, sama, maka

untuk

=

(,,) =

− − − × − − − =

000

× − − −

=det

0 0 0 − − −

= det 0 0 − − − det 0 0 − − +

det 0 0 − −

= ‖0 − 0 + 0‖

= (0) + (0) + ( 0) = 0

untuk =

(

,

,

) =

− − −

×

− − −

=det − − − − − −



28

=det − − − − − det − − − − +

det − − − −

= ‖0 − 0 + 0‖

= (0) + (0) + ( 0) = 0

untuk =

(

,

,

) =

− − −

× − − −

=

− − −

× 000

=det − − −

0 0 0

=det − −

0 0 − det − −

0 0 +

det − − 0 0

= ‖

0

−0

+ 0

‖

= (0) + (0) + ( 0) = 0

untuk = =

(,,) =

− − − × − − − =

000

× 000

=det

0 0 00 0 0

=det 0 0

0 0 − det 0 0

0 0 + det 0 0

0 0

= ‖0 − 0 + 0‖

= (0) + (0) + ( 0) = 0.



29

3. Untuk setiap ,, ∈ ℝ berlaku

(,,) =

−

− − ×

−

− −

=

− + − − + − − + − × − − −

=

− − − × − − − + − − − × − − −

= − − − ×

− − − =

− − − ×

− − −

=

− − − × − − − = (,,)

=

− + − − + − − + − × − − −

=

− − −

×

− − −

+

− − −

×

− − −

=

− − − × − − − =

− − − × − − −

=

− − − × − − − = (,,)

Jadi kondisi (,,) = (,,) = (,,) dipenuhi.

4. Misalkan = (,,) adalah elemen di ℝ, maka untuk setiap

,,, ∈ ℝ diperoleh

(,,) =

− − − × − − −



30

=

− + − − + − −

+

− × − + − − + −

− +

−

=

− − − × − − −

+ − − − × − − − +

− − − × − − − + − − − × − − −

=

− − − × − − −

+ − − − × − − − +

− − − × − − −

≤

− − − × − − −

+

− − − × − − − +

− − − × − − −

= − − − × − − − + − − − × − − − +

− − − × − − −

= (,,) + (,,) + (,,)

= (,,) + (,,) + (,,)

= (,,) + (,,) + (,,)

Jadi kondisi (,,) ≤ (,,) + (,,) + (,,) dipenuhi,

sehingga merupakan fungsi 2-metrik pada ℝ dan pasangan (ℝ,)

merupakan ruang 2-metrik.



31

Jika fungsi 2-metrik hanya memenuhi sifat (M1) dan (M2) saja, maka

dipunyai Definisi 3.2 berikut ini.

Definisi 3.2 [2]

Misalkan adalah himpunan tak kosong yang elemen-elemennya disebut titik dan

∶ × × → ℝ suatu fungsi tak negatif yang memenuhi:

(M1) untuk ∀ , ∈ dan ≠ , terdapat ∈ sehingga (,,) ≠ 0

(M2)

(

,

,

) = 0 jika sedikitnya dua dari

,

,

sama.

fungsi d yang demikian disebut fungsi 2-metrik semi quasi pada dan pasangan

( ,) disebut ruang 2-metrik semi quasi.

Contoh 3.2

Fungsi pada Contoh 3.1 memenuhi sifat (M1) dan (M2), sehingga fungsi

merupakan fungsi 2-metrik semi quasi pada ℝ dan pasangan (ℝ,) merupakan

ruang 2-metrik semi quasi.

Contoh 3.3

Diberikan himpunan semua bilangan real ℝ. Akan ditunjukkan bahwa fungsi

:ℝ × ℝ → ℝ yang didefinisikan dengan

(,,) = () − () ||() () − 1

untuk setiap ,, ∈ ℝ merupakan fungsi 2-metrik semi quasi yang bukan

merupakan fungsi 2-metrik.



32

1. Untuk sebarang , ∈ ℝ dan ≠ , dapat dipilih ∈ ℝ dimana ≠

dan

≠ sehingga berlaku

(,,) = () − () ||()() − 1 ≠ 0.

2. Jika sedikitnya dua dari ,, ∈ ℝ sama, maka akan diperoleh hasil

sebagai berikut:

untuk =

(,,) = (,,) = () − () ||()() − 1

= 0.||()() − 1 = 0

untuk =

(,,) = (,,) = () − ()||()() − 1

= () − () ||()() − 1

= () − () (1 − 1)

= () − () (0)

= 0

untuk =

(,,) = (,,) = () − () ||()() − 1

= () − () ||()() − 1

=

(

)

− (

)

(1

−1)

= () − () (0)

= 0



33

untuk = =

(

,

,

) =

(

,

,

) =

(

)

− (

)

|

|(

)(

)

−1

= 0.(0) = 0.

3. Berikut ini diberikan contoh yang menyangkal bahwa memenuhi sifat

(M3) dari fungsi 2-metrik, yaitu (,,) ≠ (,,) ≠ (,,).

Misalkan diambil = 1, = 2 dan = 3 maka

(,,) = (1,2,3) = 1(.) − 2(.) |3|()( ) − 1

= |1 − 2|.(8)

= 1984

(,,) = (2,3,1) = 2(.) − 3(.) |1|()() − 1

= |2 − 3|.(0) = 0

(,,) = (3,1,2) = 3(.) − 1(.) |2|()() − 1

= |3

−1|.(2

−1)

= 6,5

sehingga (,,) ≠ (,,) ≠ (,,).

Jadi merupakan fungsi 2-metrik semi quasi pada ℝ, tetapi bukan merupakan

fungsi 2-metrik pada ℝ, sehingga pasangan (ℝ, ) merupakan ruang 2-metrik

semi quasi, tetapi bukan merupakan ruang 2-metrik.

3.2 Kontraksi dalam Ruang 2-Metrik Semi Quasi

Dalam subbab ini akan didefinisikan fungsi kontraksi. Kemudian akan

diselidiki bahwa dengan syarat ketidaksamaan tertentu yang diberikan, fungsi



34

: → dalam ruang 2-metrik semi quasi (,) mempunyai titik tetap yang

tunggal. Namun sebelumnya, akan diberikan terlebih dahulu definisi tentang

fungsi pra-kontraksi.

Definisi 3.3 [2]

Fungsi bernilai real ∶ ℝ × ℝ × ℝ → ℝ dikatakan sebagai fungsi pra-

kontraksi jika memenuhi sifat-sifat berikut:

(a)

(1,1,1) =

ℎ< 1 dengan

ℎ ∈ ℝ.

(b) Misalkan , ∈ ℝ sedemikian hingga jika salah satu dari ketiga

pernyataan ≤ (,,) atau ≤ (,,) atau ≤ (,,)

berlaku, maka ≤ . untuk suatu [ℎ,1).

Selanjutnya himpunan semua fungsi pra-kontraksi ini dinotasikan dengan Φ.

HimpunanΦ pada Definisi 3.3 di atas bukan merupakan himpunan kosong

atau ≠ ∅. Hal ini diperlihatkan dalam Teorema 3.1 berikut.

Teorema 3.1 [2]

Fungsi nol :ℝ × ℝ × ℝ → ℝ yang didefinisikan dengan (,,) = 0

untuk setiap ,, ∈ ℝ merupakan anggota dari himpunan Φ.

Bukti:

(a) (1,1,1) = 0 < 1.



35

(b) Untuk sebarang v ∈ ℝ dan u = 0 maka u ≤ (v,. v, u), u ≤ (v,. u, v) dan

u ≤

(u,. v, v) dipenuhi sehingga diperoleh u ≤ kv untuk

∀ k

∈[0, 1).

Jadi fungsi merupakan anggota dari himpunan Φ. ∎

Contoh 3.4

Misalkan fungsi :ℝ × ℝ × ℝ → ℝ didefinisikan dengan

(,,) = 0 untuk semua,, ≥ 1

min[

,

,

] untuk

,

,

yang lainnya

∀ x, y, z ∈ ℝ. Akan diperlihatkan merupakan anggota dari himpunan

(a) (1,1,1) = 0 < 1.

(b) Untuk sebarang u, v ∈ ℝ +dengan u < v dan u < 1 maka

u ≤ (v, u, v) = u ⟺ u ≤ u

u ≤ (v, v, u) = u ⟺ u ≤ u

u ≤

(u , v, v) = u

⟺ u ≤ u.

Mengingat u, v ∈ ℝ +serta u < v dan u < 1, maka v > 0 dan 0 ≤ u < 1

sehingga 0 ≤ < 1 dan ≤

. Kemudian dipilih = sehingga

diperoleh = untuk suatu ∈ [0,1).

Jadi fungsi adalah anggota dari himpunan .

Contoh 3.5

Misalkan fungsi :ℝ × ℝ × ℝ → ℝ didefinisikan dengan

(,,) =| + − 2|

2

untuk ∀ x, y, z∈ ℝ. Akan ditunjukkan merupakan anggota dari himpunan .



36

(a) (1, 1, 1) =|.() |

= 0 < 1.

(b) Untuk sebarang , ∈ ℝ diperoleh

Jika ≤ (,,) =+ −2

2= |−|

2, maka

≤ |−|

2 ⟺ 2 ≤ | − | ⟺ − ≤ −2 atau − ≥ 2.

Untuk − ≤ −2 maka 3 ≤ ⟺ ≤ 13 dengan k =

∈ [0,1).

Untuk − ≥ 2 maka ≤ −. Hal ini tidak mungkin terjadi,

karena ≥ 0, kecuali untuk = 0 dan = 0.

Jika ≤ (,,) =+−2

2= |−|

2, maka

≤ |−|

2 ⟺ 2 ≤ | − | ⟺ − ≤ −2 atau − ≥ 2.

Untuk − ≤ −2 maka 3 ≤ ⟺ ≤ 13 dengan =

13

∈ [0,1).

Untuk − ≥ 2 maka ≤ −. Hal ini tidak mungkin terjadi,

karena ≥ 0, kecuali untuk = 0 dan = 0.

Jika ≤ (,,) =+ −2

2= 2−2

2, maka

≤ 2−22

⟺ 2 ≤ 2| − | ⟺ ≤ | − |

⟺ − ≤ − atau − ≥

Untuk

− ≤ −maka

≤0. Hal ini tidak mungkin terjadi, karena

≥ 0. Kecuali untuk = 0.

Untuk − ≥ maka 2 ≤ ⟺ ≤ 12 dengan k =

∈ [0,1).

Jadi fungsi adalah anggota dari himpunan .



37

Selanjutnya dengan menggunakan Definisi 3.3 dipunyai definisi tentang

fungsi kontraksi sebagai berikut :

Definisi 3.4 [2]

Fungsi : → dalam ruang 2-metrik semi quasi (,) disebut fungsi

kontraksi jika terdapat fungsi Φ sedemikian hingga untuk ∀,, ∈

berlaku

(

,

,

)

≤

(

,

,

),

(

,

,

),

(

,

,

)

(3.1)

Contoh 3.6

Misalkan = (, , ), = (, , ) dan = (,,) adalah elemen-

elemen di ℝ. Didefinisikan fungsi konstan :ℝ → ℝ dengan =

(,,) = (1, 1, 1), adalah fungsi yang didefinisikan pada Contoh 3.5 dan

adalah fungsi 2-metrik semi quasi yang didefinisikan pada Contoh 3.1. Akan

ditunjukkan merupakan fungsi kontraksi. Untuk setiap ,, ∈ ℝ berlaku

(,,) ≤ (,,) ,(,,) ,(,,) ⟺ (1,1,1),(1,1,1),(,,) ≤ (,,),(,,),(,,) ⟺

1− 11− 11

−1

× − 1 − 1 − 1 ≤ (,,),(,,) ,(,,)

⟺

000

× − 1 − 1 − 1 ≤ (,,),(,,) ,(,,)



38

⟺ 1

2det

0 0 0

−1

−1

−1

≤ (,,),(,,) ,(,,) det 0 0 − 1 − 1

− det 0 0 − 1 − 1 + det 0 0 − 1 − 1

≤ (,,),(,,),(,,) ⟺ 1

2‖0 − 0 + 0‖ ≤ (,,),(,,),(,,)

⟺1

2 (0) + (0) + (0) ≤ (,,) ,(,,),(,,) ⟺ 0 ≤ |(,,) + (,,) − 2(,,)|

2

Ketidaksamaan di atas selalu dipenuhi untuk setiap ,, ∈ ℝ, sehingga

merupakan fungsi kontraksi.

Contoh 3.7

Misalkan = (, , ), = (, , ) dan = (,,) adalah elemen-

elemen di ℝ. Diberikan fungsi identitas :ℝ → ℝ yang didefinisikan dengan

= dan adalah fungsi 2-metrik semi quasi yang didefinisikan pada Contoh

3.1. Andaikan adalah suatu fungsi kontraksi. Akan tetapi, untuk tiga titik ,,

yang semuanya berbeda diperoleh

(,,) ≤ (,,),(,,) ,(,,) ⟺ (,,) ≤ (,,),(,,),(,,) ⟺ (,,) ≤ ((,,),0,0)



39

Berdasarkan Definisi 3.3 bagian (b) diperoleh (,,) ≤ .0 = 0. Karena

adalah fungsi tak negatif, maka

(

,

,

) = 0. Ini bertentangan dengan sifat

(M1) dari fungsi 2-metrik semi quasi yang menyatakan untuk dua titik berbeda

atau ≠ dapat dipilih ≠ dan ≠ sedemikian hingga (,,) ≠ 0. Jadi

pengandaian salah, sehingga bukan merupakan fungsi kontraksi.

Selanjutnya dengan menggunakan definisi fungsi kontraksi, dipunyai

beberapa teorema beserta akibatnya berikut ini :

Teorema 3.2 [2]

Diberikan ruang 2-metrik semi quasi (,) dan merupakan fungsi kontraksi.

Jika terdapat titik ∈ sedemikian hingga untuk a ∈ berlaku

(,,) = {(,,) | ∈ } (3.2)

maka adalah titik tetap yang tunggal dari .

Bukti:

Andaikan ∈ yang memenuhi kondisi (3.2) bukan merupakan titik tetap dari

fungsi atau ≠ . Misalkan = dan = , kemudian disubstitusikan

pada kondisi (3.1) diperoleh

(,,) ≤ ((,,) ,(,,) ,(,,)).

Dengan menggunakan Definisi 3.3 bagian (b) diperoleh

(,,) ≤ .(,,)

⇔ (,,) ≤ .(,,) untuk suatu ∈ [ℎ,1).



40

Karena < 1 maka

(

,

,

) <

(

,

,

)

Karena ∈ maka (,,) ∈ {(,,) | ∈ }, sehingga terjadi

kontradiksi dengan kondisi (3.2) yang menyatakan bahwa (,,) adalah

infimum dari himpunan {(,,) | ∈ }. Oleh karena itu = . Hal ini

menunjukkan adalah titik tetap dari .

Untuk menunjukkan ketunggalan , diandaikan adalah titik tetap yang

lain dari , yaitu = , maka(,,) = (,,) ≤ ((,,),(,,),(,,))

≤ ((,,),(,,) ,(,,))

≤ ((,,),0,0)


(,,) ≤ .0 = 0.

Karena adalah fungsi tak negatif maka

(,,) = 0.

Kemudian andaikan ≠ . Mengingat adalah sebarang anggota dari , maka

ada tiga kemungkinan nilai dari , yaitu: (1) = , (2) = , (3) ≠ dan

≠ . Pada khususnya jika ≠ dan ≠ , maka ( , ,) = 0

bertentangan dengan sifat (M1) yang menyatakan bahwa untuk ≠ terdapat

≠ dan ≠ sedemikian hingga ( , ,) ≠ 0, sehingga = .

Jadi adalah titik tetap yang tunggal dari. ∎



41

Kondisi (3.2) pada Teorema 3.2 merupakan syarat perlu dan cukup untuk

keberadaan titik tetap bagi

. Artinya, fungsi

mempunyai titik tetap jika dan

hanya jika terdapat titik ∈ sedemikian hingga untuk ∈ berlaku

(,,) = inf {(,,) | ∈ }.

Sedangkan kondisi (3.1) pada Definisi 3.4 merupakan syarat perlu untuk

ketunggalan titik tetap bagi jika telah diketahui memenuhi kondisi (3.2). Ini

berarti, terdapat yang mempunyai titik tetap tunggal tetapi bukan merupakan

fungsi kontraksi dan juga terdapat yang tidak mempunyai titik tetap tetapi

merupakan fungsi kontraksi.

Contoh 3.8

Didefinisikan fungsi 2-metrik semi quasi dan fungsi :ℝ → ℝ berturut-turut

dengan

(,,) = 0 jika sedikitnya dua dari ,, sama| + + | ji ka yang lainnya

∀ ,, ∈ ℝ dan = 2 –1.

Fungsi = 2 –1 tersebut mempunyai sebuah titik tetap, yaitu = 1 sehingga

inf {(,,)} = 0. Dengan demikian terdapat 1 ∈ ℝ sedemikian hingga

untuk ∀ ∈ ℝ berlaku

(1,(1),) = (1,2.(1) – 1,) = (1,1,) = 0⇔ (1,(1),) = inf { (,,)}

sehingga memenuhi kondisi (3.2).



42

Andaikan merupakan fungsi kontraksi. Akan tetapi, jika diambil

= 1,

= 2 dan

= 3 kemudian disubstitusikan ke kondisi (3.1), maka

diperoleh

((2),(3),4) ≤ ((2,3,4),(2,(2),4),(3,(3),4))

⇔ (2.(2) − 1,2.(3) – 1,4)

≤ ((2,3,4),(2,2.(2) – 1,4),(3,2.(3) – 1,4))

⇔ (3,5,4) ≤ ((2,3,4),(2,3,4),(3,5,4)).


(3,5,4) ≤ (2,3,4)

karena < 1 maka

(3,5,4) < (2,3,4)

⇔ |3 + 5 + 4| < |2 + 3 + 4|

⇔ 12 < 9.

Hal ini tidak mungkin terjadi, sehingga tidak memenuhi kondisi (3.1). Oleh

karena itu, bukan merupakan fungsi kontraksi.

Contoh 3.9

Didefinisikan fungsi :ℝ → ℝ dengan = 2. Kemudian dipilih dan

berturut-turut adalah fungsi yang didefinisikan pada Contoh 3.5 dan Contoh 3.3.

Telah ditunjukkan dalam Contoh 2.4 bahwa fungsi = 2 tidak mempunyai

titik tetap. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa fungsi = 2 merupakan

fungsi kontraksi. Dengan mensubstitisikan fungsi = 2 dan ke dalam

kondisi (3.1) diperoleh



43

(,,) ≤ ((,,),(,,),(,,)

⟺ (2 ,2,

)

≤

(

(

,

,

),

(

,2,

),

(

,2 ,

)

⟺ (2) () − (2) () ||() − 1 = 0

≤ (,,)(,,)(,,)

⟺ 0 ≤ (,,)(,,)(,,)

Ketidaksamaan di atas selalu dipenuhi untuk setiap ,, ∈ ℝ, sehingga fungsi

yang didefinisikan dengan

= 2 merupakan fungsi kontraksi.

Akibat 3.1 [2]

Misalkan : → adalah fungsi dalam ruang 2-metrik semi quasi (,) yang

memenuhi kondisi berikut :

(i) Terdapat bilangan bulat positif dan ∈ sedemikian hingga untuk

setiap ,, ∈ berlaku

(,,) ≤ ((,,) ,(,,),(,,) (3.3)

(ii) Terdapat titik ∈ sedemikian hingga untuk ∀ ∈ berlaku

(,,) = {(,,) | ∈ } (3.4)


Bukti :

Misalkan = , maka dengan menggunakan cara yang sama seperti pada bukti

untuk Teorema 3.2, mempunyai titik tetap yang tunggal. Oleh karena itu,

juga mempunyai titik tetap yang tunggal. Misalkan adalah titik tetap tunggal



44

dari , maka = . Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa juga

merupakan titik tetap tunggal dari

.

Karena () = () = , maka adalah titik tetap dari .

Jika ≠ , maka terjadi kontradiksi terhadap ketunggalan titik tetap dari T n,

sehingga = . Hal ini menujukkan bahwa adalah titik tetap dari .


lain dari , yaitu = , maka diperoleh

() = T ∘ T ∘ …∘ T (y

)= ysebanyak n fungsi T

sehingga adalah titik tetap dari . Jika ≠ maka terjadi kontradiksi

terhadap ketunggalan titik tetap dari , sehingga haruslah = . Jadi

adalah titik tetap yang tunggal dari . ∎

Jika Definisi 3.3 bagian (b) serta kondisi (3.1) pada Definisi 3.4 dan

kondisi (3.3) pada Akibat 3.1 berturut-turut dituliskan kembali dengan

(b’) Misalkan , ∈ ℝ sedemikian hingga jika salah satu dari ketiga

pernyataan < (,,) atau < (,,) atau < (.,)

berlaku, maka < , untuk ∈ ,

(,,) < ((,,),(,,),(,,)) (3.1’)

dan

(,,) < ((,,) ,(,,),(,,)) (3.3’)

untuk setiap ,, ∈ X, maka akan diperoleh akibat sebagai berikut :



45

Akibat 3.2 [2]

Misalkan

:

→ adalah fungsi dalam ruang 2-metrik semi quasi (

,

) yang

memenuhi kondisi berikut :

(i) Terdapat ∈ sedemikian hingga ∀,, ∈ berlaku

(,,) < ((,,) ,(,,),(,,)) (3.1’)

(ii) Terdapat titik ∈ sedemikian hingga ∀ ∈ berlaku

(,,) = {(,,) | ∈ } (3.2)

maka

adalah titik tetap yang tunggal dari

.

Bukti:


fungsi atau ≠ . Misalkan = dan = , kemudian disubstitusikan

pada kondisi (3.1’) akan diperoleh

(,,) < ((,,),(,,),(,,)).

Dengan menggunakan (b’) diperoleh

(,,) < (,,)

⇔ (,,) < (,,) .

Karena ∈ maka (,,) ∈ {(,,)| ∈ }, sehingga terjadi


infimum dari himpunan {(,,) | ∈ }. Oleh karena itu = . Hal ini



lain dari , yaitu = , maka



46

(,,) = (,,) < ((,,) ,(,,) ,(,,))

<

(

(

,

,

),

(

,

,

) ,

(

,

,

))

< ((,,),0,0)


(,,) < 0.

Karena adalah fungsi tak negatif, maka 0 ≤ (,,) < 0, sehingga untuk

setiap bilangan real positif > 0, diperoleh 0 ≤ (,,) < . Andaikan

(,,) > 0, maka (,,) > (

,

,

)

> 0. Diambil = (

,

,

)

, maka

(,,) > > 0. Kontradiksi dengan pernyataan 0 ≤ (,,) < 0 untuk

setiap > 0. Jadi pengandaian salah, yang benar adalah (,,) = 0.

Andaikan ≠ . Mengingat adalah sebarang anggota dari , maka

ada tiga kemungkinan nilai dari , yaitu: (1) = , (2) = , (3) ≠ dan


bertentangan dengan sifat (M1) yang menyatakan bahwa untuk ≠ terdapat

≠ dan ≠ sedemikian hingga ( , ,) ≠ 0, sehingga haruslah

= . Jadi adalah titik tetap yang tunggal dari . ∎

Akibat 3.3 [2]


memenuhi kondisi berikut:

(i) Terdapat bilangan bulat positif dan ∈ sedemikian hingga

∀,, ∈ berlaku



47

(,,) < ((,,) ,(,,),(,,)) (3.3’)

(ii) Terdapat titik

∈ sedemikian hinnga untuk

∀ ∈ berlaku

(,,) = {(,,) | ∈ } (3.4)


Bukti:

Misalkan = , maka dengan menggunakan cara yang sama seperti pada bukti

untuk Akibat 3.2,

mempunyai titik tetap yang tunggal. Oleh karena itu

juga

mempunyai titik tetap yang tunggal. Misalkan adalah titik tetap tunggal dari

, maka = . Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa juga merupakan

titik tetap tunggal dari .

Karena () = () = , maka adalah titik tetap dari .

Jika ≠ , maka terjadi kontradiksi terhadap ketunggalan titik tetap dari T n.

Sehingga haruslah = yang berarti adalah titik tetap dari .



() = T ∘ T ∘ …∘ T (y) = ysebanyak n fungsi T

sehingga adalah titik tetap dari . Jika ≠ , maka terjadi kontradiksi

terhadap ketunggalan titik tetap dari

, sehingga haruslah

=

. Jadi

adalah titik tetap yang tunggal dari . ∎



48

3.3 Titik Tetap Bersama dalam Ruang 2-Metrik Semi Quasi

Dua fungsi

= 2

dan

=

−masing-masing mempunyai titik tetap

tunggal yang sama, yaitu titik = 0. Titik = 0 yang demikian biasa disebut

titik tetap bersama yang tunggal dari fungsi = 2 dan = −. Dalam

subbab ini akan diselidiki bahwa jika : → dan : → adalah pasangan

fungsi dalam ruang 2-metrik semi quasi, maka dengan syarat ketidaksamaan

tertentu, fungsi dan mempunyai titik tetap bersama yang tunggal.

Teorema 3.3 [2]

Misalkan : → dan : → adalah fungsi dalam ruang 2-metrik semi quasi

(,) sedemikian hingga ∀,, ∈ memenuhi kondisi berikut:

(,,) ≤ ((,,),(,,),(,,)) (3.5)

Jika terdapat titik ∈ sedemikian hingga ∀,, ∈ memenuhi

(,,) = {(,,) | ∈ } (3.6)

maka adalah titik tetap bersama yang tunggal dari dan .

Bukti:


atau ≠ . Misalkan = , = dan kemudian disubstitusikan pada

kondisi (3.5) akan diperoleh

(,() ,) ≤ ((,,),(,,),(,(),)).


(,(),) ≤ .(,,) untuk suatu ∈ [ℎ,1).



49

Karena < 1 maka

(

,

(

),

) <

(

,

,

)

⟺ (,,) < (,,)

Karena ∈ maka (,,) ∈ {(,,)| ∈ }, sehingga terjadi


infimum dari himpunan {(,,) | ∈ }. Oleh karena itu, = . Hal ini


Andaikan ∈ bukan merupakan titik tetap dari . Misalkan ≠ , maka(,,) = (,,) ≤ ((,,),(,,),(,,))

⟺ (,,) ≤ 0,0,(,,) ⟺ (,,) ≤ 0.

Karena adalah fungsi tak negatif, maka

(,,) = 0.

Kemudian andaikan ≠ . Mengingat sebarang anggota dari , maka ada

tiga kemungkinan nilai , yaitu: (1) = , (2) = , (3) ≠ dan ≠ .

Pada khususnya jika ≠ dan ≠ , maka (,,) = 0 bertentangan

dengan sifat (M1) yang menyatakan bahwa untuk ≠ terdapat ≠ dan

≠ sedemikian hingga (,,) ≠ 0, sehingga = . Jadi adalah

titik tetap dari .

Untuk menunjukkan ketunggalan , andaikan adalah titik tetap yang

lain dari dan , yaitu = = , maka

(,,) = (,,) ≤ ((,,),(,,),(,,))

⟺ (,,) ≤ ((,,),(,,),(,,))



50

⟺ (,,) ≤ ((,,),0,0)

⟺

(

,

,

)

≤0.

Karena adalah fungsi tak negatif, maka (,,) = 0.




dengan sifat (M1) yang menyatakan bahwa untuk ≠ terdapat ≠ dan

≠ sedemikian hingga ( , ,) ≠ 0, sehingga haruslah = . Jadi

adalah titik tetap bersama yang tunggal dari dan . ∎

Contoh 3.10

Pandang himpunan semua bilangan real ℝ. Didefinisikan fungsi :ℝ → ℝ dan

:ℝ → ℝ berturut-turut dengan = 0 dan = − untuk setiap ∈ ℝ. Baik

fungsi maupun fungsi tersebut masing-masing mempunyai titik tetap tunggal

yang sama, yaitu = 0. Maka terdapat = 0 ∈ ℝ sedemikian hingga

( , ,) = (0,0,) = (0,0,) = 0 = {(,,) | ∈ ℝ}

sehingga fungsi dan memenuhi kondisi (3.6). Dengan memilih , yaitu

fungsi 2-metrik semi quasi yang didefinisikan dengan

(

,

,

) = min {|xy

−x|,|xz

−x|, |zy

−y|}

untuk setiap ,, ∈ ℝ dan kemudian mensubstitusikan , dan ke dalam

kondisi (3.5) diperoleh

(,,) ≤ ((,,) ,(,,),(,,))

⟺ (0,−,) ≤ ((,,),(,0,),(,−,))



51

⟺ min{|0.(−y) − 0| ,|0. − 0|, |z(−y) − (−y)|} = min{0,0,|−zy− y|}

≤ (

(

,

,

) ,

(

,0,

) ,

(

,

−,

))

⟺ 0 ≤ ((,,),(,0,),(,−,))

Mengingat fungsi tak negatif ( ≥ 0) maka kondisi di atas selalu dipenuhi

∀,, ∈ ℝ, sehingga = 0 dan = − memenuhi kondisi (3.5).

Akibat 3.4 [2]

Misalkan

:

→ dan

:

→ adalah fungsi dalam ruang 2-metrik semi quasi

(,) yang memenuhi kondisi berikut:

(i) Terdapat ∈ serta bilangan bulat positif dan sedemikian hingga

∀,, ∈ berlaku

(,,) ≤ ((,,),(,,),(,,)) (3.7)

(ii) Terdapat titik ∈ sedemikian hingga ∀, ∈

(,,) = {(,,) | ∈ } (3.8)


Bukti:


atau ≠ . Misalkan = dan = , kemudian disubstitusikan

pada kondisi (3.7) akan diperoleh

(,(),)

≤ ((,,),(,,),(,(),))



52

Dengan menggunakan definisi 3.3 bagian (b) diperoleh

(

,

(

),

)

≤ .

(

,

,

) untuk suatu

∈[

ℎ,1).

Karena < 1 maka

(,(),) < (,,)

⟺ (,,) < (,,)

Karena ∈ maka (,,) ∈ {(,,) | ∈ }, sehingga terjadi


infimumdari himpunan {(,,) |

}. Oleh karena itu, = . Hal

ini menunjukkan adalah titik tetap dari . Kemudian akan ditunjukkan bahwa

juga merupakan titik tetap dari .

Andaikan ∈ yang memenuhi kondisi (3.8) bukan merupakan titik

tetap dari . Misalkan ≠ . Maka

(,,) = (,,)

≤ ((,,) ,(,,) ,(,,))

⟺ (,,) ≤ (0,0,(,,))

⟺ (,,) ≤ 0.


Andaikan ≠ . Mengingat sebarang anggota dari , maka ada tiga

kemungkinan nilai dari , yaitu: (1) = , (2) = , (3) ≠ dan

≠ . Pada khususnya jika ≠ dan ≠ , maka kondisi

(,,) = 0 bertentangan dengan sifat (M1) yang menyatakan untuk

≠ terdapat ≠ dan ≠ sedemikian hingga ( , ,) ≠0, sehingga haruslah = . Jadi adalah titik tetap dari .



53


lain dari

dan

yaitu

=

=

, maka

(,,) = (,,)

≤ ((,,) ,(,,) ,(,,))

⟺ (,,) ≤ ((,,),(,,),(,,))

⟺ (,,) ≤ ((,,),0,0)

⟺ (,,) ≤ 0.

Karena adalah fungsi tak negatif, maka (,,) = 0. Kemudian andaikan

≠ . Mengingat adalah sebarang anggota dari , maka ada tiga

kemungkinan nilai , yaitu: (1) = , (2) = , (3) ≠ dan ≠ . Pada

khususnya jika ≠ dan ≠ , maka ( , ,) = 0 bertentangan dengan

sifat (M1) yang menyatakan bahwa untuk ≠ terdapat ≠ dan ≠

sedemikian hingga (,,) ≠ 0, sehingga = . Jadi adalah titik tetap

bersama yang tunggal dari dan .

Selanjutnya akan ditunjukkan adalah titik tetap tunggal bersama dari

dan . Karena () = () = dan () = () = ,

maka dan adalah titik tetap dari dan . Jika ≠ dan

≠ , maka terjadi kontradiksi terhadap ketunggalan titik tetap dari dan

. Sehingga haruslah

=

dan

=

. Hal ini menujukkan bahwa

adalah titik tetap dari dan .


lain dari dan , yaitu = dan = , maka diperoleh



54

() = ∘ ∘ …∘ (y) = ysebanyak n fungsi T

dan

() = ∘ ∘…∘ (y) = ysebanyak m fungsi S

sehingga y adalah titik tetap dari dan . Jika ≠ , maka terjadi

kontradiksi terhadap ketunggalan titik tetap bersama dari dan , sehingga

= . Jadi adalah titik tetap tunggal bersama dari dan . ∎

Jika fungsi dan pada Akibat 3.4 merupakan dua fungsi yang sama

( = ) , maka akan diperoleh akibat sebagai berikut.

Akibat 3.5 [2]



(i) Terdapat ∈ serta bilangan bulat positif dan sedemikian hingga

∀,, ∈ berlaku

(,,) ≤ ((,,),(,,),(,,)) (3.9)


(

,

,

) =

{

(

,

,

)|

∈ } (3.10)




55

Bukti:

Andaikan

∈ yang memenuhi kondisi (3.10) bukan merupakan titik tetap dari

atau ≠ . Misalkan = dan = , kemudian disubstitusikan

pada kondisi (3.9) akan diperoleh

(,(),)

≤ ((,,),(,,),(,(),)) .


(

,

(

),

)

≤ .

(

,

,

)

untuk suatu ∈ [ℎ,1). Karena < 1 maka

(,(),) < (,,)

⟺ (,,) < (,,)

Karena ∈ , maka (,,) ∈ {(,,)| }, sehingga terjadi


infimum dari himpunan {(,,) | }, maka = . Hal ini

menunjukkan bahwa adalah titik tetap dari . Kemudian akan ditunjukkan

bahwa juga merupakan titik tetap dari .

Andaikan ∈ bukan merupakan titik tetap dari atau ≠ ,

maka

(,,) = (,,)

≤ ((,,) ,(,,),(,,))

⟺ (,,) ≤ (0,0,(,,))

⟺ (,,) ≤ 0.




56

Kemudian andaikan ≠ . Mengingat adalah sebarang anggota dari ,

maka ada tiga kemungkinan nilai

, yaitu: (1)

=

, (2)

=

, (3)

≠

dan ≠ . Pada khususnya jika ≠ dan ≠ , maka

( , ,) = 0 bertentangan dengan sifat (M1) dari ruang 2-metrik semi

quasi yang menyatakan bahwa untuk ≠ dapat dipilih ≠ dan

≠ sedemikian hingga ( , ,) ≠ 0, maka = . Jadi

adalah titik tetap dari .


lain dari dan yaitu = = , maka

(,,) = (,,)

≤ ((,,) ,(,,) ,(,,))

⟺ (,,) ≤ ((,,),(,,),(,,))

⟺ (,,) ≤ ((,,),0,0)

⟺ (,,) ≤ 0.


Kemudian andaikan ≠ . Mengingat adalah sebarang anggota dari , maka

ada tiga kemungkinan nilai , yaitu: (1) = , (2) = , (3) ≠ dan


bertentangan dengan sifat (M1) dari ruang 2-metrik semi quasi yang menyatakan

bahwa untuk ≠ terdapat ≠ dan ≠ sedemikian hingga

( , ,) ≠ 0, sehingga = . Jadi adalah titik tetap bersama yang

tunggal dari dan .



57

Selanjutnya akan ditunjukkan adalah titik tetap yang tunggal dari .

Karena

(

) =

(

) =

dan

(

) =

(

) =

, maka

adalah titik tetap dari dan . Jika ≠ , maka terjadi kontradiksi

terhadap ketunggalan titik tetap dari dan , sehingga = .




dan

() = ∘ ∘ …∘ (y) = ysebanyak m fungsi T



haruslah = . Jadi adalah titik tetap yang tunggal dari . ∎

Jika ruang 2-metrik semi quasi ( ,) memenuhi sifat (M3) dari ruang 2-

metrik, yaitu (,,) = (,,) = (,,) , dan kondisi (3.6) pada Teorema

3.3 dituliskan kembali dengan

(,,) = {(,,)| ∈ } (3.6’)

maka diperoleh akibat sebagai berikut :

Akibat 3.6 [2]


(,) sedemikian hingga untuk ∀,, ∈ memenuhi kondisi berikut :



58

(,,) ≤ ((,,),(,,),(,,) (3.5)

Jika terdapat titik

∈ sedemikian hingga

,

∈ memenuhi kondisi

(,,) = {(,,) | ∈ } (3.6’)

maka adalah titik tetap tunggal bersama dari dan .

Bukti:

Andaikan ∈ yang memenuhi kondisi (3.6’) bukan merupakan titik tetap dari

atau

≠ . Pada kondisi (3.4) diambil

=

dan

=

maka

((),,) ≤ ((,,) ,(,(),),(,,)).

Karena ruang 2-metrik semi quasi (,) memenuhi sifat simetri, maka

ketaksamaan di atas dapat dituliskan kembali dengan

(,(),) ≤ ((,,),(,(),) ,(,,))


(,() ,) ≤ .(,,) untuk suatu ∈ [ℎ,1).

Karena < 1 maka

(,(),) < (,,)

⟺ (,,) < (,,)

Karena ∈ maka (,,) ∈ {(,,) | }, sehingga terjadi

kontradiksi dengan kondisi (3.6’) yang menyatakan bahwa (,,) adalah


membuktikan adalah titik tetap dari . Kemudian akan ditunjukkan bahwa




59

Andaikan ∈ bukan merupakan titik tetap dari . Misalkan ≠ , maka

(

,

,

) =

(

,

,

)

≤ (

(

,

,

),

(

,

,

),

(

,

,

))

⟺ (,,) ≤ 0,0,(,,) ⟺ (,,) ≤ 0.

Karena adalah fungsi tak negatif, maka (,,) = 0

Kemudian andaikan ≠ . Mengingat adalah sebarang anggota dari ,

maka ada tiga kemungkinan nilai , yaitu: (1) = , (2) = , (3) ≠

dan ≠ . Pada khususnya jika ≠ dan ≠ , maka (,,) = 0



(,,) ≠ 0, sehingga = . Jadi adalah titik tetap dari .



(,,) = (,,) ≤ ((,,),(,,),(,,))

⟺ (,,) ≤ ((,,),(,,),(,,))

⟺ (,,) ≤ ((,,),0,0)

⟺ (,,) ≤ 0.





dengan sifat (M1) dari ruang 2-metrik semi quasi yang menyatakan untuk ≠



60

terdapat ≠ dan ≠ sedemikian hingga (,,) ≠ 0, sehingga

=

. Jadi

adalah titik tetap bersama yang tunggal dari

dan

.

∎

Jika Definisi 3.3 bagian (b) serta kondisi (3.5) pada Teorema 3.3, kondisi

(3.7) pada Akibat 3.4 dan kodisi (3.9) pada Akibat 3.5 berturut-turut dituliskan

kembali dengan

(b’) Misalkan , ∈ ℝ sedemikian hingga jika salah satu dari ketiga

pernyataan < (,,) atau < (,,) atau < (.,)

berlaku, maka < , untuk ∈ ,

(,,) < (,,),(,,) ,(,,) (3.5’)

(,,) < (,,),(,,),(,,) (3.7)

dan

(,,) < (,,) ,(,,) ,(,,) (3.9) untuk ∀,, ∈ , maka diperoleh akibat sebagai berikut :

Akibat 3.7 [2]

Misalkan : → dan : → adalah fungsi pada ruang 2-metrik semi quasi

(,) sedemikian hingga ,, ∈ memenuhi kondisi berikut :

(

,

,

) <

(

,

,

),

(

,

,

),

(

,

,

)

(3.5’)

Jika terdapat titik x0 ∈ sedemikian hingga x, a ∈ memenuhi kondisi

(,,) = {(,,)| ∈ } (3.6)

maka adalah titik tetap tunggal bersama dari dan .



61

Bukti:

Andaikan


atau ≠ . Pada kondisi (3.5’) diambil = dan = maka

(,() ,) < ((,,),(,,) ,(,(),)) .


(,() ,) < (,,)

⟺ (,,) < (,,)

Karena

∈

maka

(

,

,

)

∈{

(

,

,

) |

}, sehingga terjadi



menunjukkan adalah titik tetap dari . Kemudian akan ditunjukkan bahwa


Andaikan ∈ bukan merupakan titik tetap dari atau ≠ . Maka

(,,) = (,,) < ((,,),(,,),(,,))

⟺ (,, < (0,0,(,,))

⟺ (,,) < 0.

Karena adalah fungsi tak negatif, maka 0 ≤ (,,) < 0 , sehingga untuk

setiap bilangan real positif > 0, diperoleh 0 ≤ (,,) < . Andaikan

(,,) > 0, maka (,,) >(,,)

> 0. Ambil =

(,,)

,

maka (,,) > > 0. Kontradiksi dengan pernyataan 0 ≤ (,,) < untuk setiap > 0. Jadi pengandaian salah, yang benar adalah (,,) = 0.

Kemudian andaikan ≠ . Mengingat sebarang anggota dari ,




62

dan ≠ . Pada khususnya jika ≠ dan ≠ , maka ( , ,) = 0



( , ,) ≠ 0, sehingga = . Jadi adalah titik tetap dari .



(,,) = (,,) < ((,,) ,(,,) ,(,,))

⟺

(

,

,

) <

(

(

,

,

),

(

,

,

),

(

,

,

))

⟺ (,,) < ((,,),0,0)

⟺ (,,) < 0.


setiap bilangan real positif > 0, diperoleh 0 ≤ (,,) < . Dengan

mengandaikan (,,) > 0, maka (,,) >(,,)

> 0. Ambil

= (,,)

, maka (,,) > > 0. Kontradiksi dengan pernyataan

0 ≤ (,,) < 0 untuk setiap > 0. Jadi pengandaian salah, yang benar

adalah (,,) = 0.

Kemudian andaikan ≠ . Mengingat sebarang anggota dari , maka

ada tiga kemungkinan nilai , yaitu: (1) = , (2) = , (3) ≠ dan

≠ . Pada khususnya jika

≠ dan

≠ , maka

(

,

,

) = 0





63


tunggal dari

dan

.

∎

Akibat 3.8 [2]


(,) yang memenuhi kondisi berikut:

(i) Terdapat ∈ dan bilangan bulat positif dan sedemikian hingga

∀,, ∈ berlaku

(,,) < (,,),(,,),(,,) (3.7’)


(,,) = {(,,)| ∈ } (3.8)


Bukti:


, atau ≠ . Pada kondisi (3.7’) diambil = dan = , maka

(,(),) <

((,,),(,,),(,(),)) .


(,(),) = (,,) < (,,)

Karena ∈ maka (,,) ∈ {(,,) | }, sehingga terjadi





64

menunjukkan adalah titik tetap dari . Kemudian akan ditunjukkan bahwa

juga merupakan titik tetap dari

.

Andaikan ∈ bukan merupakan titik tetap dari , misalkan ≠ ,

maka

(,,) = (,,)

< ((,,),(,,),(,,))

⟺ (,,) < (0,0,(,,))

⟺ (

,,)

< 0

Karena adalah fungsi tak negatif, maka 0 ≤ (,,) < 0, sehingga

untuk setiap bilangan real positif > 0, diperoleh 0 ≤ (,,) < .

Andaikan (,,) > 0, maka (,,) >(,,)

> 0. Diambil

=(,,)

, maka (,,) > > 0. Kontradiksi dengan pernyataan

0

≤ (

,

,

) <

untuk setiap

> 0. Jadi pengandaian salah, maka

(,,) = 0.


maka ada tiga kemungkinan nilai dari , yaitu: (1) = , (2) = , (3)

≠ dan ≠ . Pada khususnya jika ≠ dan ≠ , maka

kondisi (,,) = 0 bertentangan dengan sifat (M1) yang menyatakan

untuk ≠ terdapat ≠ dan ≠ sedemikian hingga( , ,) ≠ 0, sehingga = . Jadi titik tetap dari .





65

(,,) = (,,)

<

(

(

,

,

) ,

(

,

,

) ,

(

,

,

))

⟺ (,,) < ((,,),(,,),(,,))

⟺ (,,) < ((,,),0,0)

⟺ (,,) < 0.

Karena adalah fungsi tak negatif maka 0 ≤ (,,) < 0, sehingga untuk


mengandaikan (,,) > 0, maka (,,) > (

,

,

)

> 0. Diambil

=(,,)

, maka (,,) > > 0. Kontradiksi dengan pernyataan 0 ≤(,,) < 0 untuk setiap > 0. Jadi pengandaian salah, yang benar adalah

(,,) = 0.

Kemudian andaikan ≠ . Mengingat sebarang anggota dari , maka

ada tiga kemungkinan nilai

, yaitu: (1)

=

, (2)

=

, (3)

≠ dan




(,,) ≠ 0, sehingga = . Jadi adalah titik tetap bersama yang

tunggal dari dan .

Selanjutnya akan ditunjukkan

adalah titik tetap tunggal bersama dari

dan . Karena () = () = dan () = () = ,

maka dan adalah titik tetap dari dan . Jika ≠ dan



66

≠ , maka terjadi kontradiksi terhadap ketunggalan titik tetap dari dan

, sehingga

=

dan

=

.


lain dari dan , yaitu = dan = , maka diperoleh


dan

() = ∘ ∘…∘ (y) = ysebanyak m fungsi S



haruslah = . Jadi adalah titik tetap tunggal bersama dari dan . ∎

Akibat 3.9 [2]



(i) Terdapat bilangan bulat positif dan sedemikian hingga ∀,, ∈

dan ∈ berlaku

(,,) < (,,) ,(,,),(,,) (3.9) (ii) Terdapat titik

∈ sedemikian hingga

∀,

∈

(,,) = {(,,)| ∈ } (3.10)




67

Bukti:

Andaikan


atau ≠ . Pada kondisi (3.9’) diambil = dan = , maka

(,() ,)

< ((,,),(,,),(,() ,)) .


(,(),) = (,,) < (,,) .

Karena

∈ maka

(

,

,

)

∈{

(

,

,

) |

∈ }, sehingga terjadi


infimum dari himpunan {(,,)| ∈ }, maka = . Hal ini

menunjukkan bahwa adalah titik tetap dari . Kemudian akan ditunjukkan

bahwa juga merupakan titik tetap dari .

Andaikan ∈ bukan merupakan titik tetap dari . Misalkan ≠ ,

maka

(,,) = (,,)

< ((,,) ,(,,),(,,))

⟺ (,,) < (0,0,(,,))

⟺ (,,) < 0.

Karena adalah fungsi tak negatif maka 0 ≤ (,,) < 0, sehingga untuk


mengandaikan (,,) > 0, maka (,,) >(,,)

> 0.

Diambil =(,,)

, maka (,,) > > 0. Kontradiksi dengan



68

pernyataan 0 ≤ (,,) < untuk setiap > 0. Jadi pengandaian salah,

maka

(

,

,

) = 0.



dan ≠ . Pada khususnya jika ≠ dan ≠ , maka

( , ,) = 0 bertentangan dengan sifat (M1) dari ruang 2-metrik semi

quasi yang menyatakan bahwa untuk ≠ dapat dipilih ≠ dan

≠ sedemikian hingga (,,) ≠ 0, sehingga = . Jadi

adalah titik tetap dari .



(,,) = (,,)

< ((,,) ,(,,) ,(,,))

⟺ (,,) < ((,,),(,,),(,,))

⟺ (,,) < ((,,),0,0)

⟺ (,,) < 0.


setiap bilangan real positif > 0 diperoleh 0 ≤ (,,) < . Andaikan

(

,

,

) > 0, maka

(

,

,

) >

(, ,)

> 0. Ambil

=

(, ,)

, maka

(,,) > > 0. Kontradiksi dengan pernyataan 0 ≤ (,,) < 0 untuk

setiap > 0. Jadi pengandaian salah, yang benar adalah (,,) = 0.

Kemudian andaikan ≠ . Mengingat adalah sebarang anggota dari

, maka ada tiga kemungkinan nilai , yaitu: (1) = , (2) = , (3) ≠



69

dan ≠ . Pada khususnya jika ≠ dan ≠ , maka (,,) = 0




tunggal dari dan .

Selanjutnya akan ditunjukkan adalah titik tetap yang tunggal . Karena

() = () = dan () = () = , maka adalah

titik tetap dari dan . Jika ≠ , maka terjadi kontradiksi terhadap

ketunggalan titik tetap dari dan , sehingga = .




dan

() = ∘ ∘ …∘ (y) = ysebanyak m fungsi T



haruslah = . Jadi adalah titik tetap yang tunggal dari . ∎

TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3

Documents

Transcript of TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3