DIMENSI METRIK LOKAL, DIMENSI METRIK KETETANGGAAN, …

DIMENSI METRIK LOKAL, DIMENSI METRIK KETETANGGAAN, DAN DIMENSI

METRIK KETETANGGAAN LOKAL GRAF PIRAMIDA

SKRIPSI

PANGGIH PERMONO

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS AIRLANGGA

SURABAYA

2016

ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA

SKRIPSI DIMENSI METRIK LOKAL ... PANGGIH P.

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam

lingkungan Universitas Airlangga. Diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi

kepustakaan, tetapi pengutipan seizin penulis dan harus menyebutkan sumbernya

sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini memiliki hak milik Universitas

Airlangga.



KATA PENGANTAR

Dengan menyebut asma Allah SWT yang Maha Pengasih dan Maha

Penyayang. Segala puji syukur tercurahkan kepada Allah SWT atas segala nikmat

dan karunia yang tercurah tanpa jeda. Shalawat serta salam senantiasa tercurahkan

kepada junjungan kita, Nabi Besar Muhammad SAW, sebaik-baiknya pemimpin

sekaligus sebaik-baiknya suri tauladan bagi kehidupan umat manusia,

memberikan tuntunan hingga kita umat manusia dapat terlepas dari jaman

kebodohan. Secara langsung atau tak lansung yang pasti tak lepas dari jasa beliau

juga pada akhirnya penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Dimensi

Metrik Lokal, Dimensi Metrik Ketetanggaan, dan Dimensi Metrik Ketetanggaan

Lokal Graf Piramida”.

Pada kesempatan ini pula penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang

sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah berperan sehingga skripsi ini

dapat terselesaikan, antara lain:

1. Universitas Airlangga serta Fakultas Sains dan Teknologi yang telah

memberikan fasilitas, sarana dan prasarana selama menyelesaikan S1

Matematika.

2. Dra. Inna Kuswandari, M.Si selaku pembimbing I dan Dra. Utami Dyah

Purwati, M.Si. selaku pembimbing II yang memberikan bimbingan, arahan

serta masukan dalam penyelesaian skripsi ini.



3. Drs. Sediono, M.Si selaku dosen wali selama menjadi mahasiswa Fakultas

Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.

4. Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si. dan Dr. Windarto, M.Si. selaku dosen

penguji yang senantiasa penuh kesabaran dalam memberikan saran berupa

arahan dan masukan kepada penulis.

5. Orang tua dan keluarga yang selalu memberikan doa, dukungan serta

semangat sehingga menjadi motivasi dalam penulisan skripsi ini.

6. Teman-teman Departemen Matematika 2010 Universitas Airlangga atas

dukungan, motivasi serta semangat yang diberikan selama ini.

7. Semua pihak yang tidak dapat Penyusun sebutkan seluruhnya yang telah

membantu dalam penyusunan skripsi ini.

Penyusun menyadari bahwa skripsi ini masih belum sempurna, sehingga

saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan untuk menyempurnakan

skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat sebagai bahan pustaka dan dapat

menambah informasi bagi pembaca.

Surabaya, 9 Februari 2016

Panggih Permono



Panggih Permono, 2016, Dimensi Metrik Lokal, Dimensi Metrik Ketetangaan, dan Dimensi Metrik Ketetanggaan Lokal Graf Piramida. Skripsi ini di bawah bimbingan Dra. Inna Kuswandari, M.Si dan Dra. Utami Dyah Purwati, M.Si. Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya.

ABSTRAK

Graf banyak digunakan untuk memodelkan suatu objek diskrit ke dalam himpunan titik dan garis. Graf G didefinisikan sebagai himpunan berhingga tak kosong dari objek yang disebut titik (vertex) dan himpunan (yang mungkin kosong) yang elemennya merupakan pasangan tak terurut dari dua titik berbeda pada graf G yang disebut garis (edge). Beberapa hal yang dikaji dalam graf adalah dimensi metrik lokal, dimensi metrik ketetanggaan, dan dimensi metrik ketetanggaan lokal.

Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah menemukan rumus umum dimensi metrik lokal, dimensi metrik ketetanggaan, dan dimensi metrik ketetanggaan lokal graf piramida. Dengan melakukan observasi terhadap graf piramida dengan tinggi 1 sampai piramida dengan tinggi tertentu diperoleh pola untuk himpunan pembeda lokal, himpunan pembeda ketetanggaan, dan himpunan pembeda ketetanggaan lokal. Selanjutnya dibuktikan bahwa pengambilan himpunan pembeda lokal, himpunan pembeda ketetanggaan, dan himpunan pembeda ketetanggaan lokal graf piramida tersebut merupakan pengambilan yang minimal.

Dari langkah-langkah yang sudah dikerjakan didapatkan rumus umum dimensi metrik lokal graf piramida adalah 2. Pada pembahasan dimensi metrik ketetanggaan diperoleh dimA(Pr1)= 2, sedangkan untuk Prn dengan n>1

didapatkan batas atas dimensi metrik ketetanggaan adalah ∑+

=

22

2

n

pp untuk n genap

dan ∑+

=

+

+2

1

2 31

n

p

np untuk n gasal, dengan x menyatakan bilangan bulat terbesar

yang lebih kecil atau sama dengan x. Pada pembahasan dimensi metrik ketetanggaan lokal, didapatkan dimA,l(Pr1)=2, dimA,l(Pr2)=2, batas atas dimA,l(Pr3) adalah 3, dan batas atas dimA,l(Pr4)adalah3 sedangkan untuk n>4 didapatkan batas atas dimensi metrik ketetanggaan lokal adalah

∑∑−

=

−

=

+++ 6

7

0

61

024

342

n

i

n

iiin untuk n=6a+1, ∑∑

−

=

−

=

+++ 6

8

0

62

024

322

n

i

n

iiin untuk n=6a+2,

∑∑−

=

+

=

+6

3

0

63

024

n

i

n

iii untuk n=6a+3, ∑∑

−

=

+

=

+6

4

0

62

024

n

i

n

iii untuk n=6a+4, ∑∑

+

=

+−

=

+6

1

0

61

024

n

i

n

iii untuk



n=6b+5, dan ∑∑==

+6

0

6

024

n

i

n

iii untuk n=6a, dengan a bilangan asli dan b bilangan

bulat non negatif. Dalam penelitian ini bukti bahwa himpunan pembeda ketetanggaan dan himpunan pembeda ketetanggaan lokal graf piramida memiliki kardinalitas yang minimal belum cukup kuat sehingga hanya diperoleh batas atas dimensi metrik ketetanggaan dan batas atas dimensi metrik ketetanggaan lokal graf piramida. Pada penelitian selanjutnya diharapkan dapat diperoleh rumus umum dimensi metrik ketetanggaan dan dimensi metrik ketetanggaan lokal graf piramida.

Kata Kunci: Graf Piramida, Dimensi Metrik Lokal, Dimensi Metrik Ketetanggaan, Dimensi Metrik Ketetanggaan Lokal.



Panggih Permono, 2016, Local Metric Dimension, Adjecency Metric Dimension, and Local Adjecency metric dimension of pyramid graph . Tihis undergraduate thesis is supervised by Dra. Inna Kuswandari, M.Si and Dra. Utami Dyah Purwati, M.Si. Mathematics Department, Faculty of science and technology, Airlangga University, Surabaya.

ABSTRACT

Graf is widely used to model a discrete object to a set of vertex and edge. Graph G is defined as a nonempty finite set of objects called a vertex and the set (which may be empty) whose elements are unsorted couples from two different vertex on a graph G is called a edge. Some things that are studied in the graph is the local metric dimension, adjacency metric dimensions, and local adjacency metric dimensions.

The purpose of this thesis is to find a common formula of local metric dimension, adjacency metric dimensions, and local adjacency metric dimensions of pyramid graph. By observation of the pyramid graph with a height of 1 to a certain high, obtained a distinguishing locally set, a distinguishing adjacency set, and a distinguishing local adjacency set of pyramid graph. Subsequently proved that the decision of a distinguishing locally set, a distinguishing adjacency set, and a distinguishing local adjacency set of the pyramid graph is minimal decision.

Of the steps that have been done obtained a general formula of local metric dimensions of pyramid graph is 2. while for Print with n> 1 obtained the upper limit of the adjacency metric dimensions of pyramid graph with n even is

∑+

=

22

2

n

pp , while the upper limit of the adjacency metric dimensions of pyramid graph

with n odd is ∑+

=

+

+2

1

2 31

n

p

np , while x denote the largest integer value that is less

than or equal to x. The general formula for the local adjacency metric dimension of pyramid graph with a height of 1 is 2, while height of 2 is 2, while height of 3 is 3, while height of 4 is 3. whereas while for n> 4 obtained the upper limit of the local adjacency metric dimension is divided into 6, for n=6a+1 is

∑∑−

=

−

=

+++ 6

7

0

61

024

342

n

i

n

iiin , for n=6a+2 is ∑∑

−

=

−

=

+++ 6

8

0

62

024

322

n

i

n

iiin , for n=6a+3

is ∑∑−

=

+

=

+6

3

0

63

024

n

i

n

iii , for n=6a+4 is ∑∑

−

=

+

=

+6

4

0

62

024

n

i

n

iii , for n=6a+5 is ∑∑

+

=

+−

=

+6

1

0

61

024

n

i

n

iii , and for

n=6a is ∑∑==

+6

0

6

024

n

i

n

iii . In this study evidence that the set of distinctive



neighborhoods and distinguishing set of local adjacency graph of the pyramid have minimal cardinality not strong enough so that only gained the upper limit adjacency metric dimensions and metric dimensions of the upper limit of the local adjacency graph pyramid. In a subsequent study is expected to obtain a general formula adjacency metric dimensions and metric dimensions local adjacency graph pyramid.

Keyword: Graph Pyramid, Local Metric Dimensions, Adjacency Metric Dimensions, Local Adjacency Metric Dimensions.



DAFTAR ISI

Halaman

LEMBAR JUDUL ......................................................................................... i

LEMBAR PENGESAHAN .......................................................................... ii

LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI ........................................................... iii

PEDOMAN PENGUNAAN SKRIPSI... ....................................................... iv

PERNYATAAN ORISINALITAS... ............................................................. v

KATA PENGANTAR ................................................................................... vi

ABSTRAK... .................................................................................................. viii

ABSTACT ....................................................................................................... x

DAFTAR ISI... ............................................................................................... xii

DAFTAR TABEL... ....................................................................................... xiv

DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... xv

BAB I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang ..................................................................... 1

1.2. Rumusan Masalah ................................................................ 3

1.3. Tujuan .................................................................................. 4

1.4. Manfaat ................................................................................ 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Graf ...................................................................................... 5

2.2 Graf Piramida ....................................................................... 8

2.3 Dimensi Metrik dan Dimensi Metrik Lokal ......................... 10

2.4 Dimensi Metrik Ketetanggaan dan Ketetanggaan Lokal ..... 14

BAB III METODE PENELETIAN............................................................. 19

BAB IV PEMBAHASAN

4.1. Dimensi Metrik Lokal Graf Prn............................................ 21

4.2. Dimensi Metrik ketetanggaan Graf Prn................................. 25

4.3. Dimensi Metrik ketetanggaan Lokal Graf Prn...................... 33

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN.................................................... 62



DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 64



DAFTAR TABEL

Nomor Judul Tabel Halaman

4.1. Analisa ketetanggaan titi ujk dengan j genap dan k genap 36

4.2. Analisa ketetanggaan titi ujk dengan j genap dan k gasal 37

4.3. Analisa ketetanggaan titi ujk dengan j gasal dan k genap 39



DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Gambar Halaman

2.1. Graf G 6

2.2. Graf H 7

2.3. Graf P4 8

2.4. Graf Terhubung dan Graf Tak Terhubung 8

2.5. Graf Ular 9

2.6 (a) Graf Piramida dengan tinggi 1 9

2.6 (b) Graf Piramida dengan tinggi 3 9

2.7. Graf Prn 10

2.8. Graf L4 12

4.1. Titik elemen W pada Pr2 34






DIMENSI METRIK LOKAL, DIMENSI METRIK KETETANGGAAN, …

Documents

Transcript of DIMENSI METRIK LOKAL, DIMENSI METRIK KETETANGGAAN, …