TEOREMA RESIDUE

Teorema residu sangat berguna untuk menghitung integral. Teorema residudinyatakan dalam bentuk

Jika titik singular terasing fungsi f maka sehingga f analitik di dalam daerah

. Selanjutnya, fungsi f dapat dinyatakan dalam deret Laurent di dalam D,

yaitu

=

dengan dan C adalah sebarang lintasan tertutup

berarah positif di dalam D yang mengelilingi .

Khusus untuk n = 1 diperoleh,

Bilangan kompleks yaitu koefisien dari pada deret Laurent fungsi f di sekitar titik

singular terasing disebut residu f di titik singular terasing , ditulis

.

Setiap fungsi mempunyai residu di titik singularnya.

Contoh 6.3

Diketahui . mempunyai titik singular terasing , sehingga f analitik di

dalam daerah . Deret Laurent fungsi f di dalam D yaitu

Diperoleh . □

Deret Laurent fungsi di sekitar titik singular terasing yaitu

Bagian utama f di titik singular digunakan untuk membedakan jenis titik singular terasing.

1. Jika bagian utama f di titik singular terasing memuat paling sedikit satu suku tak nol

dan jumlah suku tak nol tersebut berhingga, maka terdapat bilangan asli m sehingga ,

sedangkan . Deret Laurent fungsi f menjadi

.

Selanjutnya disebut kutub (pole) tingkat m. Jika m = 1 maka disebut kutub tunggal

(simple pole).

Contoh 6.4

a. , mempunyai titik singular terasing .

Jadi merupakan kutub tunggal.

b. , mempunyai titik singular terasing .

Jadi merupakan kutub tingkat 2.

2. Jika bagian utama f di titik singular terasing mempunyai tak berhingga banyak suku ,

maka disebut titik singular terasing essensial.

Contoh 6.5

, mempunyai titik singular terasing .

Jadi merupakan titik singular terasing essensial.

3. Jika koefisien pada bagian utama f di titik singular terasing semuanya nol, maka

disebut titik singular yang dapat dihapus (removable).

Contoh 6.6

, mempunyai titik singular terasing .

Jadi merupakan titik singular yang dapat dihapus (removable).

Teorema 6.1

Misalkan diberikan fungsi dengan titik singular . Jika

terdapat bilangan asli m sehingga fungsi dapat ditulis sebagai

dan analitik di dengan maka

mempunyai kutub tingkat m di dan

.

Jika maka . □

Contoh 6.7

, mempunyai titik singular terasing dan .

Untuk titik singular terasing .

dapat ditulis sebagai dengan .

analitik di dan .

Jadi merupakan kutub tunggal dan

.

Untuk titik singular terasing .

dapat ditulis sebagai dengan .

analitik di dan .

Jadi merupakan kutub tingkat 2, dan

sehingga diperoleh .

PENGGUNAAN TEOREMA RESIDUE

Pada bab sebelumnya, perhitungan integral dilakukan hanya untuk satu titik singular

dalam lintasan tertutup C. Residu dapat digunakan untuk menghitung integral sepanjang

lintasan tertutup C di dalam daerah D yang memuat satu atau lebih titik singular.

Apabila lintasan tertutup C di dalam daerah D hanya memuat satu titik singular maka

menggunakan persamaan (6.1) diperoleh

.

Contoh 6.8

Jika , hitung .

Penyelesaian :

mempunyai titik singular terasing , sehingga dapat diperoleh deret Laurent pada

daerah , yaitu

Diperoleh , sehingga dengan . □

Apabila lintasan tertutup C di dalam daerah D memuat satu satu atau lebih titik singular,

maka integral sepanjang lintasan tertutup C dapat ditentukan menggunakan teorema berikut.

Teorema 6.2

(Teorema Residu Cauchy)

Jika f analitik di dalam dan pada lintasan tertutup C yang berarah

positif kecuali di titik singular terasing maka

. □

Contoh 6.9

Hitung , .

Penyelesaian :

mempunyai titik singular terasing dan di dalam C, sehingga

dan

Jadi,

Note :

Apabila lintasan tertutup C di dalam daerah D memuat satu satu atau lebih titik singular, maka integral sepanjang lintasan tertutup C dapat ditentukan menggunakan teorema Residu Cauchy.