PEMBAHASAN

TEOREMA GREENJika R adalah suatu daerah tertututp dalam bidang xy yang dibatasi oleh sebuah kurva tertututp sederhana C dan jika M dan N adalah fungsi- fungsi kontinu dari x dan y yang memiliki turunan turunan kontinu dalam R, maka: ) Bukti: y f F B Av e E 0 a bx

Misalkan persamaan kurva AEB dan AFB adalah masing masing y = y1(x) dan y=y2(x). jika R adalah daerah yang dibatasi oleh C, maka diperoleh:

..(1)

Dengan cara yang sama, misalkan persamaan kurva EAF dan EBF adalah masing masing x = x1 (y) dan x= x2 (y, maka:

..(2)

Jika persamaan (1) dan (2) dijumlahkan maka: ) Teorema-teoorema yang berkaitan:a. Teorema identitas green b. Teorema simetrik c. Teorema divergensi d. e. Misalkan menyatakan sebuah fungsi vektor atau skalar

Menyatakan Teorema Green pada Bidang dalam Notasi Vektor Kita tahu Dimana A = Mi + Nj r = xi + yj dr = i j k M N 0Sehingga : Maka teorema green dapat ditulis , dimana dR = dx dyInterpretasi Secara Fisis dari Teorema GreenBila A menyatakan medan gaya yang bekerja pada sebuah partikel,maka adalah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan partikel tersebut mengelilingi suatu lintasan tertutup C dan ditentukan oleh harga atau ekivalen dengan , maka integral mengelilingi suatu lintasan tertutup adalah nol. Ini sama artinya dengan menyatkan bahwa usaha yang dilakukan dalam menggerakkan partikel dalam satu titik dalam bidang ketitik lain tak bergantung pada lintasan dalam bidang yang menghubungkan titik-titik ini atau medan gaya adalah konservatif.sebalikya jika integralnya tak bergantung pada lintasan yang menghubungkan dua buah titik sebarang dari suatu daerah, yang berarti jika integral mengelilingi sebarang kurva tertutup adalah nol,maka dalam bidang kondisi ekivalen dengan kondisi dimana .Mencari Luas Daerah yang dibatasi oleh Kurva Tertutup Sederhana C adalah: .Bukti: Ambil M = -y maka N = x maka ) = = = = 2A; dengan A adalah luas daerah yang dicari.2A = A = (1)Substitusikan M= sehingga diperoleh:A = CONTOH :1. Periksalah apakah teorema green berlaku untuk , Dimana C adalah kurva tertutup yang dibatasi oleh berpotongan pada (0,0) dan (1,1).arah positif dari pergerakan dari pergerakan C adalah seperti terlihat pada gambar

Sepanjang integral garis adalah untuk

dx

Sepanjang

Maka integral garis pada kurva tertutup Jika kita hitung dengan menggunakan ruas kanan teorema green.

Maka teorema green berlaku.2. Hitunglah mengelilingi batas dari daerah yang didefenisikan oleh y2 = 8x dan x = 2Jawab:y2 = 8x maka y = M= maka dan N = maka )

=dx====3. Hitunglah mengelilingi batas dari daerah yang didefenisikan oleh y = dan y = x2 Jawab:Berdasarkan grafik yang dibentuk oleh persamaan y = dan y = x2 diperoleh x=0 dan x = 1M = 3x2 8y2 maka dan N = 4y 6xy maka = )

=dx=== =4. Hitunglah dimana C sebuah lingkaran berjejari 2 dengan pusat pada titik asal dari bidang xy, dilintasi dalam arah positifJawab:Diketahui: r = 2, M = 3x+ 4y maka , N= 2x 3y maka 2 )

5.tentukan disekeliling jajaran genjang yang titik-titik sudutnya (0.0), (2,0),(3,1) dan (1,1) Jawab:Diketahui M= maka , N= maka Tinggi = 1 dan panjang alas = 2 )

= = = -3 x luas jajar genjang=-3 x(2x 1)= -6

SOAL SOAL DAN PEMBAHASANGRADIEN, DIVERGENSI DAN ROTASI1. Jika , carilah dan pada titik (2, -2, 1).Penyelesaian.

1. Jika (x, y, z) = , dimana r = xi + yj + zk carilah Penyelesaian.

rJadi r

1. Tentukanlah turunan berarah fungsi pada titik (1, 1, 2) dalam arah vektor U = i + 2j + 2k. Penyelesaian.Misalkan u sebagai vektor satuan dalam arah UU =

Maka turunan berarahnya adalah 4

1. Jika , dan . Carilah dan pada titik (1, -1, 1).Penyeesaian.

1. Misalkan , tentukanlah :1. pada titik (1, 2, 1)1. pada titik (1, 2, 1)1. n, jika n vektor satuan dari pada titik (1, 2, 1)Penyelesaian.1.

(1,2,1) = 21. 1. n = INTEGRAL BIASA DARI VEKTOR1. Percepatan sebuah partikel pada setiap saat t , diberikan oleh 1Jika kecepatan v dan pergeseran r adalah nol pada t = 0. Carilah v dan r pada setiap saat dengan mengintegrasi,

4 cos 2t j + 8 Dengan mengambil v = 0, jika t = 0, kita peroleh

V = Sehingga 8Dengan mengintegrasi r = i

Dengan mengambil r = 0, jika t = 0 +

Maka t

1. Jika R(t) , carilah Penyelesaian.

1. tentukan jawab:= = =( 2 sin (2 sin = 2 i + 3 j1. diberikan f dari suatu percepatan parameter misal k, tentukan kecepatan pada t = 1Jawab:V = = = Pada saat t = 1= = = 1,3 k

1. Jika dan hitunglah dtJawab: = = = = = = INTEGRAL GARIS1. Tentukan besarnya usaha yang dilakukan medan vektor ( gaya ) , = ( x + 2y ) i + ( x - y ) j untuk memindahkan partikel sepanjang kurva / lintasan C yang diberikan dengan persamaan : x = 2 cos t , y = 4 sin t dengan 0.Jawab: W = = = = = = -2 - 8t + 4 sin 2t + 4t + 2 sin 2t 8 |= [-2 - 8 + 4 sin 2 + 4 + 2 sin 2. - 8 ] 0= 1-

1. Jika =(4xy + (3y 5x) j. tentukan kurva C pada bidang xy, dimana y = x2 dari titik (2,2) ke titik (3,5)Jawab: = (3y 5x) j].[ dxi + dyj]=Misal: x = t, dx = dt dan y = t2, dy = 2t dtSehingga: = = = = = = = = 1. Carilah usaha total yang dilakukan untuk menggerakkan sebuah partikel dalam medan gaya yang diberikan oleh = 5xyi - 4yj + 9xk sepanjang kurva x = t2 1, y = 3t2, z = t3 dari t = 2ke t = 3.Jawab: = .[ dxi + dyj + dzk]=Misal: x = t2-1, dx = 2dt dan y = 3t2, dy = 6t dt dan z = t3, dz = 3t2 dtSehingga: = = = = = = = = 10181. hitunglah , Dimana C adalah kurva tertutup yang dibatasi oleh berpotongan pada (0,0) dan (1,1).arah positif dari pergerakan dari pergerakan C adalah seperti terlihat pada gambar

Jawab:Sepanjang integral garis adalah untuk =

dx

Sepanjang =

Maka integral garis pada kurva tertutup 1. hitunglah dan C adalah kurva tertutp dalam bidang xy dengan x = cos t dan y = 3 sin t dari t = 0 ke t = jawab:

. = [(cos t-9 sin t) i + ( 3 sin t 2cos t) j].[-sin t i + 3 cos t j]= ( cos t - sin t)(- sin t) + ( 3 sin t 2cos t)( 3 cos t)= - sin t cos t + 9 sin2t + 9 sin t cos t 6 cos2t= 8 sin t cos t + 9 sin2t 6 cos2t+ 9 sin2t 6 cos2t) dt= 8 = 8( + 9((= [4 sin2 + = 3

INTEGRAL PERMUKAAN1. Hitunglah n dS, jika = yzi + 3xzj z2k dan S merupakan bagian dari bidang 2x + 2y + z = 4 yang terletak di oktan pertama dan n adalah sebuah normal satuan terhadap S.Jawab: . (2x + 2y + z 4) = . (2x + 2y + z 4)= 2i + 2j + kn = n . k = ().k = . n = (yzi + 3xzj z2k).(= 1. 2x + 2y + z = 4z = 0 y = 2 xy = 0 2 x = 0 x = 21. 2x + 2y + z = 4 z = 2 x yn dS = = = = = = dx=dx= = == 1. Hitunglah n dS, jika = i + x2j xyzk dan permukaan S yang dinyatakan oleh daerah yang dibatasi z = xy + 2, 0 x y dan 0 y yang terletak di oktan pertama dan n adalah sebuah normal satuan terhadap S.Jawab:. (xy + 2 z) = . (xy + 2 - z)= yi - kn = n . k = (k = . n = (i + x2j xyzk).(= n dS = = = = = = = = = 1. Hitunglah n dS, jika = xi - 2x2j + yzk dan permukaan S yang dinyatakan oleh daerah yang dibatasi z = x + y, 0 x y dan 0 y 2 yang terletak di oktan pertama dan n adalah sebuah normal satuan terhadap S Jawab:. (x + y z) = . (x + y - z)= i + j - kn = n . k = (k = . n = (xi - 2x2j + yzk).(= = n dS = = = = = = = = = 1. Hitunglah n dS, jika = 8xyi + 2y2zj + xzk dan S merupakan bagian dari bidang x + 4y + 2z = 8 yang terletak di oktan pertama dan n adalah sebuah normal satuan terhadap S.Jawab:. (x + 4y + 2z 8) = . (x + 4y + 2z 8)= i + 4j + 2kn = n . i = ().i = . n = (8xyi + 2y2zj + xzk).(= (8xy + 8y2z + 2xz)1. x + 4y + 2z = 8x = 0 z = 4 2yz = 0 4 2y = 0 y = 21. x + 4y + 2z = 8x = 4 2y zn dS = == = == = = = 1. Hitunglah n dS, jika = cos y i + sin y k dan permukaan S yang dinyatakan oleh daerah yang dibatasi z = x + y2, 0 x dan 0 y x yang terletak di oktan pertama dan n adalah sebuah normal satuan terhadap S.Jawab:. (x + y z) = . (x + y2 - z)= i + 2yj - kn = n . k = (k = . n = (cos y i + sin y k).(= n dS = = = = = = - cos x + sin x x |= 2 -

21