RELASI

RELASI

Sebuah relasi bisa dipikirkan sebagai sebuah tabel yang mendaftar hubungan anggota-anggota dengan anggota lain. Sebagai ilustrasi dapat diperhatikan Tabel 2.1 yang menunjukkan mahasiswa yang mengambil mata kuliah tertentu. Dari Tabel 2.1 tersebut dapat dilihat bahwa Badu mengambil mata kuliah Ilmu Komputer dan Aljabar, dan Siti mengambil Matematika Diskrit. Dalam terminologi relasi, kita akan mengatakan bahwa Badu dikaitkan dengan Ilmu Komputer dan Aljabar, serta Siti dikaitkan dengan Matematika Diskrit.

Tentu saja, Tabel 2.1 benar-benar hanya merupakan sebuah himpunan dari pasangan terurut. Pada keadaan ini, kita menetapkan anggota pertama dari pasangan terurut dikaitkan dengan anggota kedua pasangan terurut.

Tabel 2.1 Relasi Mahasiswa dan Matakuliah

MahasiswaMatakuliah

Badu

Siti

Badu

Dadap

Dadap

EniIlmu Komputer

Matemtika Diskrit

Aljabar

Teori Graf

Ilmu Komputer

Matematika Diskrit

Definisi 2.1

Relasi (binair) R dari himpunan X ke himpunan Y adalah sebuah subhimpunan dari hasil kali Cartesius X x Y. Jika (x,y) ( R, kita tuliskan x R y dan kita katakan bahwa x dikaitkan dengan y, atau x berada dalam relasi R dengan y. Dalam hal X=Y kita sebut R sebuah relasi (binair) pada X

Himpunan

{x(X|(x,y) ( R untuk beberapa y ( Y}

disebut daerah asal (domain) dari R. Himpunan

{y(Y|(x,y) ( R untuk beberapa x ( X}

disebut daerah hasil (range) dari R.

Jika relasi diberikan dalam bentuk tabel, domain terdiri dari anggota yang berada pada kolom pertama dan range terdiri dari anggota kolom kedua.

Contoh 2.1.

Jika kita misalkan

X = {Badu, Siti, Dadap, Eni}

Dan

Y = {Ilmu Komputer, Matematika Diskrit, Aljabar, Teori Graf},

Relasi kita R dari Tabel 2.1 bisa ditulis

R = {(Badu, Ilmu Komputer), (Siti, Matematika Diskrit), (Badu, Aljabar),

(Dadap, Teori Graf), (Dadap, Ilmu Komputer), (Eni, Matematika

Diskrit)}.

Oleh karena (Dadap, Teori Graf) ( R, kita bisa menuliskan pula dalam bentuk Dadap R Teori Graf. Domain (kolom pertama) dari R adalah himpunan X dan range dari R (kolom kedua) adalah himpunan Y. (Contoh 2.1 menunjukkan bahwa sebuah relasi bisa diberikan secara sederhana dengan menjelaskan pasangan-pasangan terurut yang termasuk dalam relasi tersebut. Contoh kita berikutnya menunjukkan bahwa kadang-kadang adalah mungkin untuk mendefinisikan sebuah relasi dengan memberikan aturan bagi keanggotaan dalam relasi tersebut.

Contoh 2.2.

Misalkan

X = {2, 3, 4}dan Y = {3, 4, 5, 6, 7}.

Jika kita mendefinisikan relasi R dari X ke Y dengan

(x, y) ( R jika x membagi y (tanpa sisa),

kita peroleh

R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}.

Jika kita tulis ulang R sebagai tabel, kita peroleh

XY

2

2

3

3

44

6

3

6

4

Domain dari R adalah himpunan {2, 3, 4} dan range R adalah himpunan {3, 4, 6}. (Contoh 2.3.

Misalkan R adalah relasi pada X = {1, 2, 3, 4} yang didefinisikan oleh (x, y) ( R jika x ( y, x, y ( X. Maka

R = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}.

Domain dan range dari R keduanya sama dengan X. (Defini 2.2.

Relasi R pada himpunan X disebut refleksif jika (x, x) ( R untuk setiap x ( X.

Contoh 2.4.

Relasi pada X = {1, 2, 3, 4} pada Contoh 2.3 adalah refleksif karena untuk setiap anggota x ( X, (x, x) ( R; khususnya (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4) masing-masing berada di R.

Contoh 2.5.

Misalkan X = {a, b, c, d}. Didefinisikan suatu relasi R pada himpunan X yaitu R = {(a,a), (b,c), (c,b), (d,d)}. Relasi R pada X ini tidak refleksif, karena dapat kita lihat bahwa b ( X, tetapi (b,b) ( R. (Definisi 2.3.

Relasi R pada himpunan X disebut simetris jika untuk semua x, y ( X, jika (x,y) ( R, maka (y,x) ( R.Contoh 2.6.

Relasi pada Contoh 2.5 adalah simetris karena untuk semua x, y ( X, jika (x,y) ( R, maka (y,x) ( R. Sebagai contoh (b,c) di R dan (c,b) juga di R. (Contoh 2.7.

Relasi pada Contoh 2.3 tidak simetris. Sebagai contoh (2,3) ( R, tetapi (3,2) ( R. (Definisi 2.4.

Relasi R pada himpunan X disebut antisimetris jika untuk semua x, y ( X, jika (x, y) ( R dan x ( y, maka (y,x) ( R.

Contoh 2.8.

Relasi pada Contoh 2.3 adalah antisimetris karena untuk semua x, y, jika (x,y) ( R dan x ( y, maka (y,x) ( R. Sebagai contoh, (1,2) ( R tetapi (2,1) ( R. (Contoh 2.9.

Relasi pada Contoh 2.5 adalah tidak antisimetris karena dapat kita lihat bahwa baik (b,c) maupun (c,b) ada di dalam R. (Contoh 2.10.

Jika relasi R pada X tidak mempunyai anggota dari bentuk (x,y) dengan x ( y, maka R antisimetris. Pada kasus ini, jika x dan y adalah sembarang anggota di X, proposisi

Jika (x,y) ( R dan x ( y, maka (y,x) ( R

Adalah benar karena hipotesis atau anteseden dari proposisi ini adalah salah. Sebagai contoh,

R = {(a,a), (b,b), (c,c)}

pada X = {a, b, c} adalah antisimetris. Dapat kita perhatikan bahwa relasi R juga refleksif dan simetris. Contoh ini memperlihatkan pada kita bahwa antisimetris tidak sama dengan tidak simetris. (Definisi 2.5.

Relasi R pada himpunan X disebut transitif jika untuk semua x, y, z ( X, jika (x, y) dan (y,z)( R, maka (x,z) ( R.

Contoh 2.11.

Relasi pada Contoh 2.3 adalah transitif karena untuk semua x, y, z, jika (x,y), (y,z) ( R, maka (x,z) ( R. untuk menjelaskan secara formal bahwa relasi ini memenuhi definisi 2.5, kita harus membuat daftar semua pasangan dari pasangan berbentuk (x,y) dan (y,z) di R dan selanjutnya menjelaskan bahwa dalam setiap kasus, (x,z) ( R:

Pasangan BerbentukPasangan Berbentuk

(x,y),(y,z)(x,z)(x,y),(y,z)(x,z)

(1,1)

(1,1)

(1,1)

(1,1)

(1,2)

(1,2)

(1,2)

(1,3)

(1,3)

(1,4)(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(3,3)

(3,4)

(4,4)(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,3)

(1,4)

(1,4)(2,2)

(2,2)

(2,2)

(2,3)

(2,3)

(2,4)

(3,3)

(3,3)

(3,4)

(4,4)(2,2)

(2,3)

(2,4)

(3,3)

(3,4)

(4,4)

(3,3)

(3,4)

(4,4)

(4,4)(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,3)

(2,4)

(2,4)

(3,3)

(3,4)

(3,4)

(4,4)

Dalam penentuan apakah sebuah relasi R transitif secara langsung dari definisi 2.5, pada kasus x = y atau y = z, kita tidak perlu secara eksplisit menjelaskan bahwa kondisi

Jika (x,y) dan (y,z) ( R, maka (x,z) ( R

dipenuhi karena hal ini secara otomatis benar. Andaikan, sebagai contoh, bahwa x = y dan (x,y) dan (y,z) di R. Oleh karena x = y, (x,z) = (y,z) di R dan kondisi tersebut dipenuhi. Dengan menghilangkan kasus x = y dan y = z membiarkan hanya yang berikut untuk diuji secara eksplisit untuk menjelaskan bahwa relasi pada Contoh 2.3 adalah transitif.

Pasangan Berbentuk (x,y), (y,z) (x,z)

(1,2)

(1,2)

(1,3)

(2,3)(2,3)

(2,4)

(3,4)

(3,4)(1,3)

(1,4)

(1,4)

(2,4)

Dengan hanya menyelidiki yang terakhir ini, maka proses untuk menunjukkan bahwa suatu relasi merupakan suatu relasi transitif atau bukan akan lebih efisien. (Contoh 2.12.

Relasi pada Contoh 2.5 adalah tidak transitif. Sebagai contoh, (b,c) dan (c,b) ada di dalam R, tetapi (b,b) tidak di dalam R. (Relasi dapat digunakan untuk mengurutkan anggota-anggota suatu himpunan. Sebagai contoh, relasi R yang didefinisikan pada himpunan bilangan bulat dengan

(x,y) ( R jika x ( y

mengurutkan bilangan-bilangan bulat. Perhatikan bahwa relasi R refleksif, antisimetris, dan transitif. Relasi seperti ini disebut urutan parsial (partial orders).

Definisi 2.6.

Relasi R pada himpunan X disebut urutan parsial jika R refleksif, antisimetris, dan transitif.

Contoh 2.13.

Relasi R yang didefinisikan pada bilangan bulat positif oleh

(x,y) ( R jika x membagi y (tanpa sisa).

Dapat ditunjukkan bahwa relasi R ini adalah refleksif, antisimetris, dan transitif. Oleh karena itu relasi R ini adalah relasi urutan parsial. (Jika R sebuah urutan parsial pada himpunan X, notasi x ( y kadang-kadang digunakan untuk menunjukkan bahwa (x,y) ( R. Notasi ini mengesankan bahwa kita sedang menginterpretasikan relasi sebagai pengurut anggota-anggota di X.

Andaikan bahwa R adalah sebuah urutan parsial pada himpunan X. Jika x,y ( X dan x ( y atau y ( x, kita katakan bahwa x dan y terbandingkan (comparable). Jika x,y ( X dan x ( y atau y ( x, kita katakan bahwa x dan y tak terbandingkan (incomparable). Jika setiap pasangan anggota di X terbandingkan , kita sebut R urutan total (total orders). Relasi kurang dari atau sama dengan pada bilangan bulat adalah urutan total karena jika x dan y bilangan bulat, maka x ( y atau y ( x. Alasan mengapa pada Definisi 2.5 di atas menggunakan insitilah urutan parsial adalah bahwa secara umum beberapa anggota di X mungkin takterbandingkan. Relasi membagi pada bilangan bulat positif (lihat Contoh 2.13) mempunyai anggota terbandingkan dan takterbandingkan. Sebagai contoh, 2 dan 3 takterbandingkan (karena 2 tidak membagi 3 dan 3 tidak membagi 2), tetapi 3 dan 6 terbandingkan (karena 3 membagi 6).

Salah satu penerapan dari urutan parsial adalah penjadwalan tugas.

Contoh 2.14. Penjadwalan Tugas

Perhatikan himpunan T dari tugas-tugas yang harus diselesaikan dalam pemotretan dalam ruangan.

1. Bukalah tutup lensa.

2. Fokuskan kamera.

3. Matikan kunci pengaman.

4. Nyalakan lampu kilat.

5. Tekan tombol foto.

Beberapa dari tugas-tugas tersebut harus dilakukan sebelum yang lain. Sebagai contoh, tugas 1 harus dilakukan sebelum tugas 2. Di lain pihak, tugas-tugas lain bisa dilakukan pada urutan yang saling dipertukarkan. Contohnya, tugas 2 dan 3 bisa dilakukan pada urutan yang dipertukarkan.

Relasi R yang didefinisikan pada T oleh

iRj jika dan hanya jika tugas i harus dilakukan sebelum tugas j.

Mengurutkan tugas-tugas. Meskipun R antisimetris dan transitif, tetapi R ini tidak refleksif, sehingga R bukan urutan parsial. Kita bisa memperoleh urutan parsial dengan memasukkan semua pasangan (i,i) untuk i = 1, , 5. Secara formal, relasi

R ( {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5)}

adalah urutan parsial pada T. Solusi masalah penjadwalan tugas-tugas sehingga kita bisa memotret adalah pengurutan total dari tugas-tugas yang konsisten dengan urutan parsial. Secara lebih tepat, kita memerlukan sebuah pengurutan total dari tugas

t1, t2, t3, t4, t5sehingga jika tiRtj, maka ti mendahului tj dalam daftar. (Jika diberikan relasi R dari X ke Y, kita bisa mendefinisikan sebuah relasi dari Y ke X dengan membalik urutan dari setiap pasangan terurut di R. berikut ini adalah definisi formalnya.

Definisi 2.7.

Misalkan R adalah relasi dari X ke Y. Invers dari R, dinotasikan R-1, adalah relasi dari Y ke X yang didefinisikan oleh

R-1 = {(y,x) | (x,y) ( R}.

Contoh 2.14.

Invers dari relasi R pada Contoh 2.2 adalah

R-1 = {(4,2), (6,2), (3,3), (6,3), (4,4)}.

Dengan kata-kata, kita bisa menyebutkan relasi ini sebagai terbagi oleh. (Jika kita mempunyai sebuah relasi R1 dari X ke Y dan relasi R2 dari Y ke Z, kita bisa membentuk sebuah relasi dari x ke Z dengan menerapkan relasi R1 dulu kemudian relasi R2. Relasi yang dihasilkan dinotasikan R2 ( R1. Berikut ini adalah definisi formalnya.

Definisi 2.8.

Misalkan R1 adalah relasi dari X ke Y dan R2 adalah relasi dari Y ke Z. Komposisi dari R1 dan R2, dinotasikan R2 ( R1, adalah relasi dari X ke Z yang didefinisikan oleh

R2 ( R1 = {(x,z) | (x,y) ( R1 dan (y,z) ( R2 untuk beberapa y ( Y}.

Contoh 2.15.Komposisi dari relasi

R1 = {(1,2), (1,6), (2,4), (3,4), (3,6), (3,8)}

dan

R2 = {(2,u), (4,s), (4,t), (6,t), (8,u)}

adalah

R2 ( R1 = {(1,u), (1,t), (2,s), (2,t), (3,s), (3,t), (3,u)}. (Latihan 2.1

Pada latihan 1-4, tuliskan relasi sebagai himpunan pasangan terurut.

1.

325

328

441

532Karpet

Pukul Besi

Cat Kayu

Amplas

3.

Yugi

Ahmad

LusiFisika

Statistika

Ekonomi

Pada latihan 5-8, tuliskan relasi sebagai sebagai sebuah tabel.

5. R = {(a,6), (b,2), (a,1), (c,1)}

6. R = {(Reza, Musik), (Widya, Matematika), (Dani, Politik), (Widya, Fisika)}

7. Relasi R pada {1, 2, 3, 4}, didefinisikan oleh (x,y) ( R jika x2 ( y.

8. Relasi R dari himpunan X dari nama negara-negara Asia Tenggara yang diawali dengan huruf M ke himpunan Y dari nama kota yang didefinisikan oleh (S,C) ( X x Y jika C adalah ibukota dari S.

Latihan 9-14 mengacu pada relasi R pada himpunan {1, 2, 3, 4, 5} yang didefinisikan oleh aturan (x,y) ( R jika 3 habis membagi x-y.

9. Buatlah daftar anggota dari R.

10. Buatlah daftar anggota dari R-1.

11. Carilah domain dari R.

12. Carilah range dari R.

13. Carilah domain dari R-1.

14. Carilah range dari R-1.

15. Ulangi Latihan 9-14 untuk relasi R pada himpunan {1, 2, 3, 4} yang didefinisikan oleh aturan (x,y) ( R jika x + y ( 6.

16. Ulangi Latihan 9-14 untuk relasi R pada himpunan {1, 2, 3, 4} yang didefinisikan oleh aturan (x,y) ( R jika x = y - 1.

17. Apakah relasi pada Latihan 15 refleksif, simetris, antisimetris, transitif, dan/atau urutan parsial?

18. Apakah relasi pada Latihan 16 refleksif, simetris, antisimetris, transitif, dan/atau urutan parsial?

Pada Latihan 19 23, tentukan apakah setiap relasi yang didefinisikan pada himpunan bilangan bulat positif adalah refleksif, simetris, antisimetris, transitif, dan/atau urutan parsial.

19. (x,y) ( R jika x = y2.

20. (x,y) ( R jika x ( y.

21. (x,y) ( R jika x ( y.

22. (x,y) ( R jika x = y.

23. (x,y) ( R jika 3 habis membagi x - y.

24. Misalkan R1 dan R2 adalah relasi pada {1, 2, 3, 4} yang diberikan oleh

R1 = {(1,1), (1,2), (3,4), (4,2)}

R2 = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,4), (2,2)}

Buatlah daftar anggota dari R1 ( R2 dan R2 ( R1.

25. Misalkan X adalah himpunan tak kosong. Didefinisikan relasi pada P(X), yaitu himpunan kuasa dari X, sebagai (A,B) ( R jika A ( B. Apakah relasi ini refleksif, simetris, antisimetris, transitif, dan/atau urutan parsial?

---ooOoo---

2.

a

b

b

c3

1

4

1

4.

a

ba

b

6 Suwarno Matematika DiskritMatematika DiskritSuwarno5