RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

Mata Pelajaran : Matematika

Materi Ajar : Vektor

Kelas/Semester : XI/Ganjil

Pertemuan Ke- : ....

Alokasi Waktu : 2 x 45 Menit

A. Standar Kompetensi

Memahami vektor dalam ruang tiga dimensi, serta operasi dan resultannya.

B. Kompetensi Dasar

1. Memahami vektor dalam ruang tiga dimensi.

C. Indikator

1.1. Menjelaskan titik di ruang tiga dimensi.

1.2. Menggambar vektor garis di ruang tiga dimensi.

1.3. Mengenal operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dua buah vektor di

ruang tiga dimensi.

1.4. Mencari resultan dari beberapa vektor.

D. Tujuan Pembelajaran

Setelah proses pembelajaran :

1.1.1. Siswa dapat menjelaskan titik di ruang tiga dimensi menggunakan cerita

kontekstual yang relevan;

1.1.2. Siswa dapat menjelaskan titik di ruang tiga dimensi menggunakan model

yang terkait dengan cerita kontekstual yang relevan;

1.2.1. Siswa dapat menggambar vektor garis di ruang tiga dimensi menggunakan

cerita kontekstual yang relevan;

1.2.2. Siswa dapat menggambar vektor garis di ruang tiga dimensi menggunakan

model yang terkait dengan cerita kontekstual yang relevan;

1.3.1. Siswa dapat mengenal operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian

dua buah vektor di ruang tiga dimensi menggunakan cerita kontekstual yang

relevan;

1.3.2. Siswa dapat mengenal operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian

dua buah vektor di ruang tiga dimensi menggunakan model yang terkait

dengan cerita kontekstual yang relevan;

1.4.1. Siswa dapat mencari dan menentukan resultan dari beberapa vektor

menggunakan cerita kontekstual yang relevan;

1.4.2. Siswa dapat mencari dan menentukan resultan dari beberapa vektor

menggunakan model yang terkait dengan cerita kontekstual yang relevan;

E. Materi Ajar

1.1.1.1. Pemahaman tentang titik di ruang tiga dimensi menggunakan cerita

kontekstual yang relevan;

1.1.2.1. Pemahaman tentang titik di ruang tiga dimensi menggunakan model yang

terkait dengan cerita kontekstual yang relevan;

1.2.1.1. Pemahaman tentang bagaimana menggambar vektor garis di ruang tiga

dimensi menggunakan cerita kontekstual yang relevan;

1.2.2.1. Pemahaman tentang bagaimana menggambar vektor garis di ruang tiga

dimensi menggunakan model yang terkait dengan cerita kontekstual yang

relevan;

1.3.1.1. Pengenalan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dua buah

vektor di ruang tiga dimensi menggunakan cerita kontekstual yang relevan;

1.3.2.1. Pengenalan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dua buah

vektor di ruang tiga dimensi menggunakan model yang terkait dengan cerita

kontekstual yang relevan;

1.4.1.1. Pemahaman tentang pengertian resultan vektor dan bagaimana mencari dan

menentukan resultan dari beberapa vektor menggunakan cerita kontekstual

yang relevan;

1.4.2.1. Pemahaman tentang pengertian resultan vektor dan bagaimana mencari dan

menentukan resultan dari beberapa vektor menggunakan model yang

terkait dengan cerita kontekstual yang relevan;

F. Pendekatan

Pendekatan yang digunakan adalah :

Pendekatan Contekstual Teaching and Learning

G. Metode Pembelajaran

Metode :

Pengajaran langsung

Ekspositori dan demonstrasi

Diskusi kelompok

Penugasan

H. Model Pembelajaran

Model pembelajaran yang digunakan adalah pembelajaran kooperatif.

I. Langkah-Langkah Pembelajaran

A. Pendahuluan

No.

Tahapan Kegiatan

Alokasi Waktu

Guru Siswa

1. Mengucapkan salam Menjawab salam 1 menit

2. Memberi apersepsi kepada

siswa menggunakan metode

tanya jawab.

Misalnya :

Guru mengingatkan definisi

tentang vektor.

Vektor adalah besaran yang

mempunyai besar dan arah.

Guru mengingatkan kembali

Merespons apersepsi

dan antusias dalam

tanya jawab yang

dilakukan guru.

5 menit

tentang vektor dalam ruang

dua dimensi, dengan cara

menyuruh siswa maju secara

acak ntuk menentukan vektor

dari titik A (4,2) dan B (-2,-4).

Lalu dengan metode

ekspositori dan demonstrasi,

guru menjelaskan tentang

titik pada ruang tiga dimensi.

Jika pada ruang dua dimensi

dikenal hanya dengan 2

sumbu utama (x,y) maka pada

ruang tiga dimensi terdapat 3

sumbu utama (x,y,z).

3. Menyampaikan tujuan

pembelajaran yang akan

dicapai siswa.

Mencatat untuk

dijadikan acuan dalam

mengikuti kegiatan

belajar selanjutnya.

4 menit

B. Kegiatan Inti

No. Kegiatan Guru Kegiatan Siswa Alokasi Waktu

1. Guru membagi siswa dalam

beberapa kelompok kecil dan

menginstruksikan murid untuk

duduk berkelompok.

Siswa duduk

berkelompok.

1 menit

2. Dengan menggunakan media

pembelajaran yang telah

disiapkan, guru mengenalkan

konsep vektor dalam ruang

Siswa memperhatikan

materi melalui media

dan menyimak apa yang

disampaikan guru.

20 menit

dimensi tiga dengan

menyajikan permasalahan yang

telah disinggung pada

apersepsi mengenai titik dan

garis pada ruang dimensi tiga.

Setelah diberikan apersepsi

tentang titik pada ruang tiga

dimensi, guru menjelaskan

tentang menggambar vektor

garis pada ruang tiga dimensi .

Misalnya vektor akan terbentuk

jika terdapat minimal dua titik

pada ruang tiga dimensi, dan

memiliki besar dan arah.

Misal titik A (0,2,4) dan B

(4,6,8) sehingga ketika dua titik

dihubungkan dari A ke B akan

membentuk vektor AB.

Contoh :

3. Selanjutnya guru menjelaskan

tentang operasi penjumlahan,

pengurangan, dan perkalian

pada vektor tiga dimensi.

a. Penjumlahan :

a + b = PQ + QR = PR

Siswa memperhatikan

materi melalui media

dan menyimak apa yang

disampaikan guru.

15 menit

b. Pengurangan

A-B = A + (-B)

c. Perkalian

Perkalian Titik (vektor

dengan vektor)

A.B = AB cos θ

AB cos θ merupakan

bilangan biasa (skalar).

Perkalian Vektor dengan

Skalar

4. Masih menggunakan media

pembelajaran, guru

menjelaskan kepada siswa

bagaimana mencari resultan

dari beberapa vektor dalam

ruang tiga dimensi.

R2 = |A2| + |B2|

Siswa memperhatikan

materi melalui media

dan menyimak apa yang

disampaikan guru.

10 menit

5. Guru memberikan suatu tanya

jawab terhadap siswanya

sebagai indikator akan

pemahaman siswa terkait

pengajaran dan pembelajaran

tentang konsep vektor dalam

ruang tiga dimensi.

1. Diketahui segitiga PQR

dengan P(0, 1, 4), Q(2, –3, 2),

Siswa merespons

pertanyaan yang

disampaikan oleh guru

dan berusaha

memecahkan soal yang

diberikan.

10 menit

dan R(–1, 0, 2). Besar sudut

PRQ = ….

2. Diketahui | a | = 2 , | b | = 1 ,

sinus sudut antara bdana

adalah 32

1 nilai | ba | = ...

3. Jika a =

9

4

1

, b =

3

5

2

,

c =

2

1

3

dan p = a – 2b + 3c , maka

panjang p =...

C. Penutup

No. Kegiatan Guru Kegiatan Siswa Alokasi Waktu

1. Guru membimbing siswa

untuk membuat

kesimpulan dari yang

telah disampaikan.

Vektor adalah besaran

yang memiliki besar dan

arah.

Titik pada ruang tiga

dimensi (x,y,z).

Minimal dua titik pada

ruang dimensi tiga akan

membentuk vektor garis

Setiap siswa membuat

kesimpulannya.

3 menit

Penilaian :

Jumlah soal : 50 soal

Pedoman Penilaian:

Tiap soal jika benar bernilai 2, dan jika salah bernilai 0.

Total nilai maksimum yaitu 100.

J. Alat dan Sumber Belajar

Buku Teks, LCD projektor, laptop, spidol, papan tulis, bahan ajar materi, LKS.

pada ruang dimensi tiga.

Adapun operasi pada

vektor yaitu

penjumlahan,

pengurangan, perkalian,

serta resultan dari

beberapa vektor dengan

beberapa cara.

2. Guru memberikan tugas-

tugas kepada siswa

terkait materi dari

konsep-konsep yang

telah dipelajari.

(Tugas terlampir pada

LKS)

Siswa mengerjakan tugas-

tugas yang diberikan oleh

guru.

20 menit

3. Menutup pembelajaran

dengan mengucap salam.

Menjawab salam yang

diucapkan guru.

1 menit

LEMBAR KERJA SISWA

Untuk menentukan letak suatu titik dalam ruang tiga dimensi diperlukan patokan

mula. Salah satu patokan mula yang diambil adalah tiga garis lurus yang saling

berpotongan tegak lurus yang biasanya diberi nama sumbu x, sumbu y, dan sumbu z.

sistem ini dinamakan system koordinat cartesius dalm ruang tiga dimensi. Dalam

system ini suatu titik ditentukan oleh pasangan tiga bilangan (tripel), misalnya P(

111 ,, zyx ). Disebut koordinat absis, y disebut koordinat y atau ordinat dan z disebut

koordinat z atau aplikat dari titik P. tiap dua sumbu menentukan sebuah bidang yang

dinamakan bidang koordinat. Tiga bidang koordinat yaitu xy, yz, dan xz membagi ruang

menjadi 8 ruang bagian yang masing-masing disebut oktan.

Oktan-oktan I, II, III dan IV diatas bidang xy dan lainnnya dibawah bidang xy.

Oktan-oktan V, VI, VII, VIII berturut-turut berada tepat dibawah oktan oktan I, II, III

dan IV.

Pada gambar berikut berturut-turut adalah contoh letak titik P (2,3,4) dan Q (4,-2,3) :

Jarak dua titik

Jarak dua titik P( 111 ,, zyx ) dan Q ( 222 ,, zyx ) adalah

|PQ | = 2

12

2

12

2

12 )()()( zzyyxx

Vektor dalam ruang tiga dimensi

Vector posisi titik P ( 111 ,, zyx ) terhadap titik asal O adalah OP=( 111 ,, zyx )=

kzjyix 111 , i,j,k disebut vektor-vektor basis yang berturut-turut adalah vector-

vektor satuan yang searah dengan sumbu x positif, y positif dan z positif.

Rumus perbandingan vektor

Jika a =( 111 ,, zyx ) adalah vektor posisi dari titik A, dan b=( 222 ,, zyx ) adalah vector

posisi titk B, serta titik C berada pada ruas garis AB sedemikian sehingga |AC| : |CB| =

m : n , maka vektor posisi titik C adalah

nm

bmanc

Jika vector posisi titik C adalah c = ( ccc zyx ,, ) diperoleh hubungan bahwa

nm

mxnxxc

21 ;

nm

mynyyc

21 ;

nm

mznzzc

21

Jika a = ( 321 ,, aaa ) maka panjang vector a

adalah:

2

3

2

2

2

1 aaaa

Jika a =( 321 ,, aaa ) adalah vector posisi A, dan b =( 321 ,, bbb ) vector posisi B, maka

| AB |= 2

33

2

22

2

11 )()()( ababab

Perkalian dua vektor

Jika u = ),,( 321 uuu dan v = ),,( 321 vvv maka perkalian titiknya adalah

cosvuvu dengan 0< <

Mengingat )0,0,1(i , )0,1,0(j dan )1,0,0(k

Maka, mudah dimengerti dari sefinisi tersebut bahwa

0 kikjji dan

1 kkjjii

Sehingga dapat diturunkan

),,(),,( 321321 vvvuuuvu

332211 vuvuvuvu

Hasil kali kedua vector adalah suatu skalar.

Jika dua vektor saling tegak lurus, maka hasil kali titiknya sama dengan nol

vuvu 0 atau 0u atau 0v

Untuk menentukan besarnya sudut yang dibentuk oleh dua vektor 321 ,, vvvu

dapat digunakan rumus:

vu

vu

cos

Atau

2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

1

332211cosvvvuuu

vuvuvu

Kosinus arah suatu vector

Misalkan )(),,( 321321 kajaiaaaaa adalah vektor posisi titik A dengan A

berimpit dengan O, sudut-sudut antara vektor a dengan vektor satuan kji ,, maka

sudut-sudut arah vektor a . Sudut-sudut , dan

Maka ,cos ,cos dan cos

a

a

ia

ia 1cos

a

a

ja

ja2cos

a

a

ka

ka 3cos

Dengan 1coscoscos 222

)(sin uabab

Hasil kali silang dua vektor

kajaiaa 321 dan kbjbibb 321

=sudut yang dibentuk oleh a dan b dengan 0< <

sin baba

Dengan u = vektor satuan, maka

sin baba

= - )(sin uba

= -( ba )

ab = -( ba ) sifat anti komutataif

Apabila a sejajar dengan b yaitu =0 maka,

sin baba u

ba = 0

Hasil kali silang dua vektor-vektor bersifat distributif terhadap penjumlahan vektor

yaitu:

)()()( cabacba

)()()( cbcacba

Untuk vektor i , j dan k :

kjiji 2

sin

kji

Dengan cara yang sama kita peroleh:

ikj kij oii

jik ijk ojj

iki okk

Selanjutnya dapat diturunkan teknik perhitungan dengan menggunakan determinan:

321

321

bbb

aaa

kji

ba

)( baab Sifat determinan

Luas jajaran genjang

Luas jajaran genjang yang sisi-sisinya a dan b adalah;

sin baba

Volume balok genjang

Volume balok genjang yang rusuknya a , b dan c adalah cba

cba =

321

321

321

ccc

bbb

aaa

LATIHAN

Nama :

Kelas :

No. Absen :

Pelajaran : Vektor

1. Diketahui | a | = 2 , | b | = 1 ,sinus sudut

antara bdana adalah 32

1.

Nilai | ba | =...

a. 7 c. 3 e. 6

b. 6 d. 7

2. Diketahui panjang proyeksi vektor a =

1

3

3

, pada

3

3

pb adalah 2

3.

Nilai p = . . . . .

a. 4 b. 9

26 c. 2 d.

2

1 e.

4

1

3. Diketahui | a | = 2 , | b | = 9 dan |

a + b | = 5 besar sudut antara a dan

b adalah...

a. 45o b. 60o c. 120o d. 135o

e. 150o

4. Diketahui a = 3 i – 4 j – 4 k , b = 2 i – j

+ 3 k dan c = 4 i – 3 j +5 k Panjang

proyeksi ( a + b ) pada c adalah...

a. 3 2 b. 4 2 c. 5 2 d. 6 2

e. 7 2

5. Diketahui A ( 1, 2, 3 ), B ( 3, 3, 1 ) dan C

( 7, 5, -3 ). Jika A, B, dan C segaris

(kolinier ), perbandingan AB : BC = ...

a. 1 : 2 b. 2 : 1 c. 2 : 5 d. 5 : 7

e. 7 : 5

6. Diketahui vektor u = a i +2 j + 4 k , v = 4 i

+ 2 j + 2k dan w = 4 i + 2 j + 6 k . Jika u

dan v saling tegak lurus, maka u + w

adalah ...

a. i + 4 j + 10 k b. i – 4 j + 10 k

c. 3 i + 4 j + 10 k d. 3 i – 4 j + 10 k

e. 4 i + j + 10 k

7. Vektor a dan vektor b membentuk

sudut . Diketahui | a | = 6 , | b | = 6 ,

dan cos = 0,7 maka nilai dari a.( a +

b ) = ...

a. 49 b. 89 c. 99 d. 109 e. 115

8. Diketahui | a | = 2 , | b | = 1 . kosinus

sudut antara a dan b adalah 0,5.

Nilai | a + b | = ...

a. 7 b. 6 c. 3 d. 7 e. 6

9. Diketahui vektor vektor a = ,

1

1

1

b =

1

2

1

, c =

x

4

0

dan a . ( b + c ) = a . a

Nilai x = ...

a. – 11 b. – 10 c. 8 d. 10 e. 11

10. Diketahui vektor a = 2i – 6j – 3k dan b

= 4i + 2j – 4k.

Panjang proyeksi vektor a pada b

adalah ...

a.368.

83.

43.

98.

34 edcb

11. Jika titik A ( 1 , 2 , - 1 ) , B ( 3 , 0 , 2 ) ,

dan C ( 5 , - 2 , a + 1 ) terletak pada

satu garis lurus , nilai a = …

a. – 6 b. – 4 c. 4 d. 5 e. 6

12. Dikethui a = 2 i + x j + y k , b = y i + 2

j + z k dan a = x i + z j + 2 k , Jika a +

b = c maka ...

a. x = 1 , y = 3 , z = 3

b. x = 3 , y = 3 , z = 1

c. x = – 1 , y = 1 , z = 1

d. x = 3 , y = – 1 , z = 1

e. x = 1 , y = – 1 , z = 3

13. Jika a =

9

4

1

, b =

3

5

2

, c =

2

1

3

dan p = a – 2b + 3c , maka panjang p = ...

a. 12 b. 4 6 c 3 14 d. 3 17 e. 2 38

14. Jika a =

3

4, b =

2

1 , c =

7

2 , jika c = p a + q b , maka p.q = …

a. – 1 b. – 2 c. – 3 d. 2 e. 3

15. Jika | a | = 10 , | b | = 6 dan ),( ba = 60o maka | a - b | = …

a. 4 b. 8 c. 14 d. 2 17 e. 2 19

16. Pada segi empat sembarang OABC , S dan T masing-masing titk tengah OB dan AC .

Jika u = OA , v = OB dan w = OC maka ST =…

a. wvu2

1

2

1

2

1 b. wvu

2

1

2

1

2

1

c. wvu2

1

2

1

2

1 d. wvu

2

1

2

1

2

1

e. wvu2

1

2

1

2

1

17. Diketahui titik A ( 0 , 1 , 5 ) , B ( 0 , - 4 , 5 ) dan C ( 3 , 1 , - 2 ) . Titik P membagi AB

sehingga AP : PB = 3 : 2 maka vektor yang diwakili PC adalah ...

a.

7

1

3

b.

3

3

3

c.

7

3

3

d.

7

3

3

e.

7

3

3

18. Diketahui A ( - 2 , - 2 , - 2 ) , B ( 1 , 0 , - 1 ) dan titik M membagi AB di luar sedemikian

sehingga MB : MA = 1 : 2 Panjang vektor posisi M adalah...

a. 13 b. 20 c. 34 d. 42 e. 50

19. Diketahui segi tiga ABC dengan A ( -2 , 3 , 5 ) B ( 4 , 1 , 3 ) C ( 4 , -1 , 1 ) . Koordinat titik

berat segi tiga ABC adalah...

a. ( 2 , 3 , 3 ) b. ( 2 , 3 , 9 ) c. ( 2 , 1 , 9 ) d. ( 2 , 1 , 3 ) e. ( 3 , 12

1 , 42

1 )

20. Diketahui P ( -3 , -1 , -5 ) , Q ( -1 , 2 , 0 ) dan R ( 1 , 2 , -2 )Jika bPRQRdanaPQ

maka a . b = ...

a. 16 b. 22 c. 26 d. 30 e. 38

21. Diketahui

x

cba 4

0

,

1

2

1

,

1

1

1

dan a . ( b + c ) = a . a , nilai x = …

a. – 11 b. – 10 c. 8 d. 10 e. 11

22. Besar sudut antara

3

3

2

,

4

2

3

ba adalah…

a. 180o b. 90o c. 60o d. 30o e. 0o

23. Diketahui titik titik A ( 2 , -1 , 4 ) , B ( 4 , 1 , 3 ) dan C ( 2 , 0 , 5 ) . Nilai kosinus sudut

antara ACdanAB adalah...

a. 22

1.2

3

1.

3

1.2

6

1.

6

1edcb

24. Diketahui

x

bdana 4

2

,

2

1

3

saling tegak lurus nilai x adalah ...

a. – 5 b. – 1 c. 0 d. 1 e. 5

25. Diketahui P ( a , 0 , 3 ) , Q ( 0 , 6 , 5 ) dan R ( 2 , 7 , c ) agar QRlurustegakPQ ,

maka a – c = …

a. – 3 b. – 2 c. 2 d. 3 e. 5