LEMBAR KERJA SISWA (LKS)

PETUNJUK:

1. Berdoalah sebelum dimulai.

2. Berdiskusilah dengan kelompokmu.

Nama : 1.

2.

3.

Nama kelompok :

Materi : vektor

Kd:

3.4 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan

masalah.

Indikator:

3.4.2 Menentukan hasil operasi aljabar vektor.

TUJUAN Pembelajaran:

1. Siswa dapat menentukan hasil operasi aljabar vektor.

OPERASI ALJABAR VEKTOR

A. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN VEKTOR

Diketahui titik-titik A(a1,a2), B(b1,b2), C(c1,c2).

Gambarkan pada bidang koordinat Cartesius.

y

O x

Gambar 1.

Titik A(a1,a2), dan B(b1,b2), dan C(c1,c2)

Pada koordinat Cartesius

Lengkapi gambar 1 dengan:

Lalu hubungkan titik A dengan dua titik lainnya, dimana titik A sebagai

pangkalnya.

Lalu hubungkan titik B dan C dengan pangkal di titik B.

Dimisalkan: a = vektor AB

b = vektor BC

c = vektor AC

perhatikan gambar diatas, verktor a, b, dan c dapat ditulis sebagai

berikut:

a = (b1 - a1 , b2 – a2)

Dapat pula ditulis, a = 1 1

2 2

b a

b a

b = (c1 - b1 , …)

Dapat pula ditulis, b = (

)

c =( … , … )

Dapat pula ditulis, c = (

)

Jumlahkan vektor a dan b. Karena vektor merupakan matriks kolom, maka

dapat menjumlahkan vektor a dan b dengan menggunakan aturan

penjumlahan matriks, maka diperoleh

a + b = 1 1

2 2

b a

b a

+ (

) = (

) = (

)

perhatikan bahwa 1 1

2 2

c a

c a

=c.

Uraian tersebut menunjukkan bahwa a + b = c

Secara geometris, penjumlahan antara dua vektor a dan b dapat dilakukan

dengan dua cara, yaitu:

a. Cara Segitiga

Buatlah dua vektor a dan b, dimana vektor a vektor b.

Gambarlah kedua vektor tersebut dengan titik pangkal vektor b

berimpit ruas dengan titik ujung vektor a.

Lalu tarik ruas garis dari titik pangkal vektor a ke titik ujung vektor b.

Ruas garis ini dimisalkan c, yang merupakan hasil jumlahan vektor a dan

vektor b.

Jadi, jumlah vektor a dan b didapat dengan menarik ruas

garis dari titik pangkal vektor a ke titik ujung vektor b.

Akibatnya a + b = c.

b. Cara Jajargenjang

Gambarlah:

1. Vektor a yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke

titik B

2. Vektor b mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal C ke titik

pangakal D

Dalam jajargenjang, titik pangkal vektor a berimpit dengan titik

pangkal vektor b, yaitu A = C.

Dengan membuat jajargenjang ABCD , akan diperoleh:

AB AD AB BE ( oleh karena AD = BE )

AE (Gunakan cara segitiga)

APA YANG TERJADI?

Jika vektor a dijumlahkan dengan invers vektor b, maka didapatkan

a + (-b) sebagai berikut:

Oleh karena AB =a , AD = b dan AE =c , maka a + b = c.

a + (-b) dapat dituliskan juga a – b.

Secara geometris, dapat dengan mengurangkan a dengan b sebagai

berikut:

Dengan menggunakan aturan penjumlahan dan pengurangan matriks

kolom, kalian dapat menyatakan aturan penjumlahan dan pengurangan

vektor sebagai berikut.

Untuk a dan b vektor-vektor di R2, berlaku

a + b = 1 1 1 1

2 2 2 2

a b a b

a b a b

a – b = 1 1 1 1

2 2 2 2

a b a b

a b a b

Dengan menggunakan pasangan terurut, dapat

dituliskan

1 2 1 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )a b a a b b a b a b

1 2 1 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )a b a a b b a b a b

Perhatikan gambar berikut!

Dari gambar di atas, kalian dapat menyatakan:

b + … = a

… + e = c

b + … + e = a

Untuk a dan b vektor-vektor di R3, berlaku

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a b a b

a b a b a b

a b a b

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a b a b

a b a b a b

a b a b

Dengan menggunakan pasangan terurut, dapat

dituliskan

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3

( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

a b a a a b b b a b a b a b

a b a a a b b b a b a b a b

B. PERKALIAN SKALAR DENGAN VEKTOR

Diketahui :

Vektor u = (u1, u2, u3) dan k adalah skalar tak nol.

Apa yang terjadi jika vektor-vektor yang dijumlahkan adalah k vektor

yang sama ?

Jawab :

Jumlahan dari vektor u (sebanyak k vaktor)

= u + u + u + ... + u

...

= k x ...

= ku

= k (u1, u2, u3) = (ku1, ku2, ku3 )

Apa yang terjadi jika k > 0 dan k < 0 ?

Diberikan :

u u u u

...

k vektor u

a. Perkalian skalar dengan vektor u, dimana k > 0.

Gambarlah pada kotak yang disediakan, dengan vektor u sesuai pada

gambar diatas.

Jadi, jika k skalar tak nol dan vektor u = (u1, u2, u3) , maka

ku = (ku1, ku2, ku3 )

b. Perkalian skalar dengan vektor u, dimana k > 0.

Gambarlah pada kotak yang disediakan, dengan vektor u sesuai pada

gambar diatas.

ku

k > 0

ku

k < 0

C. SIFAT-SIFAT OPERASI HITUNG PADA VEKTOR

Jika a, b, dan c vektor-vektor di R2 atau di R3 dan k serta l skalar tak nol

maka berlaku hubungan berikut.

1. a b b a

2. ( ) ( )a b c a b c

3. 0 0a a a

4. ( ) 0a a

5. ( ) ( )k la kl a

6. ( )k a b ka kb

7. ( )k l a ka la

8. Ia a

Pembuktian :

Pembuktian sifat 1

Ambil sebarang vektor a = (a1, a2, a3 ) dan b = (b1 , b2, b3), maka :

a + b = (a1, a2, a3 ) + …

= (a1 + b1 , a2 + b2, … )

= ( … , b2 + a2 , … )

= … + (a1, a2, a3 )

= b + …

Jadi, dalam perkalian skalar dengan vektor:

Jika k > 0, maka vektor ku searah dengan vektor u.

Jika k < 0, maka vektor ku berlawanan arah dengan vektor u.

Jadi, a + b = b + a.

Pembuktian sifat 2

Ambil sebarang vektor a = (a1, a2, a3), b = (b1 , b2 , b3), dan c = (c1 , c2 , c3),

maka:

(a + b) + c = ((a1, a2, a3 ) + (b1, b2, b3 )) + (c1, c2, c3 )

= (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) + (c1 , c2 , c3)

= (a1 + b1 + c1 , … , a3 + b3 + c3 )

= (( … + ( b1 + c1), a2 + (b2 + c2), a3 + … ))

= ( … ) + (b1+ c1, b2 + c2, b3 + c3)

= (a1, a2, a3 )+ (( … + (c1, c2, c3))

= a + ( … + … )

Jadi, (a + b) + c = a + (b + c).

Pembuktian sifat 4

Ambil sebarang vektor a = (a1, a2, a3 ) maka :

a + (-a) = (a1, a2, a3 )+ ( … , … , … )

= (a1- a1, … , … )

= (0, 0, 0) = o

Jadi a + (-a) = o.

Pembuktian sifat 7

Ambil sebarang skalar k dan l serta vektor a =(a1, a2, a3 ), maka :

(k + l)a = (k + l)(a1, a2, a3 )

= ((k + l)a1, (k + l) … , (k + l) … )

= (ka1 + … , ka2 + … , ka3 + la3)

= (ka1, ka2, ka3) + …

= k … + l …

= ka + la

Jadi, (k + l)a = ka + la.