Mahardika Yuslizal Fachruddin14412381SMTE 07

Muhammad Hamzah14412966SMTE 07

A. Poisson

A.1. Sejarah Distribusi PoissonDistribusi Poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi. Distribusi Poisson ditemukan oleh Simeon Denis Poisson ( 1781 1840 ), seorang ahli matematika berkebangsaan Perancis. Distribusi Poisson termasuk distribusi teoritis yang memakai variable random diskrit.

A.2. Definisi Distribusi PoissonDistribusi Poisson adalah : Distribusi nilai-nilai bagi suatu variable random X ( X diskrit ), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval tertentu atau disuatu daerah tertentu. Distribusi probabilitas diskrit yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir. Distribusi peluang acak poisson X yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu.

A.3. Ciri-ciri Distribusi Poisson Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu atau suatu daerah tertentu tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada interval waktu atau daerah lain yang terpisah. Probabilitas terjadinya hasil percobaan selama suatu interval waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang interval waktu atau besarnya daerah tersebut dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi diluar interval waktu atau daerah tersebut.

A.4. Rumus Distribusi PoissonDistribusi poisson sebagai suatu bentuk pembatasan distribusi binomial pada saat n besar, sedangkan p mendekati 0, dan n.p konstan. Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas binomial , dengan = n.p . Dalam menyatakan distribusi poisson dari sebuah variable random/acak perlu diperhatikan hal-hal sebagai berikut : Nilai peluang atau relasi matematika untuk menyatakan peluang. Variabel berikut daerahnya. Parameter-parameter dan daerahnya.Rumus pendekatan peluang poisson untuk binomial Dimana : e = 2,71828 = Rata-rata keberhasilan = n . p x = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel n = Jumlah / ukuran populasi p = Probabilitas kelas sukses

B. Distribusi Eksponensial

Waktu pelayanan adalah waktu yang dihabiskan seorang pelanggan pada fasilitas pelayanan. Waktu pelayanan antar seorang pelanggan dengan pelanggan lainnya biasanya tidak konstan. Distribusi probabilitas untuk waktu pelayanan biasanya mengikuti distribusi probabilitas eksponensial yang formulanya dapat memberikan informasi yang berguna mengenai operasi yang terjadi pada suatu antrian. Sifat dari distribusi eksponensial yang membuat distribusi tersebut mudah untuk dianalisis adalah bahwa distribusi ini tidak tergantung pada waktu. Formula untuk distribusi eksponensial ini adalah sebagai berikut :

F (x) = . e-x , x 0

Dimana : = Jumlah pelanggan rata-rata yang dilayani pada periode waktu tertentu x = Waktu pelayanan e = 2,718282

Tingkat probabilitas bahwa seseorang pelanggan akan dilayani dengan periode waktu tertentu dapat dihitung dengan menggunakan distribusi eksponensial sebagai berikut :

P (X x) = 1 e-xSedangkan mean dan varians dari distribusi eksponensial adalah sebagai berikut :

E [X] = ;Var [X] =

C. Distribusi Erlang-k

Distribusi Erlang-k dikembangkan oleh A.K. Erlang untuk menguji jumlah panggilan yang mungkin dilakukan dalam satu waktu pada suatu switching station milik operator. Distribusi ini bekerja pada perencanaan trafik telepon yang pemakaiannya meluas agar dapat menghitung waktu tunggu dalam system antrian secara umum. Berikut ini merupakan probabilitas fungsi dari distribusi Erlang-k :

Sedangkan mean dan varian dari distribusi Erlang adalah sebagai berikut :

Mean Varians

x = n. x2 = n.2

D. Teorema PalmTeorema Palm merupakan bagian penting dari proses poisson diantara semua proses titik yang ada, pertama kali dicetuskan oleh Swede Conny Palm. Dia menunjukan bahwa distribusi eksponensial memainkan peran yang sama untuk proses titik stokastik (stochastic point processes) seperti distribusi waktu antar-kedatangan, dimana proses titik dianggap sebagai distribusi normal ketika variable stokastik di tambakan (Teorema Batas Tengah).Teorema Palm berbunyi Dengan men-superposisikan beberapa proses titik tak terikat (Independent Point Processes) hasil total proses akan menjadi proses poisson.

Formula dari Teorema PalmContoh, waktu hidup rute pada sebuah jaringan ad-hocSebuah rute pada jaringan terdiri dari sejumlah link yang tersambung dengan end-point rute.Pada jaringan ad-hoc link ada pada periode waktu terbatas. Oleh karena itu waktu hidup dari sebuah rute adalah waktu sampai link pertama terputus. Dari Teorema Palm kita dapat melihat bahwa waktu hidup dari rute nampak sebagai distribusi eksponensial.

E. Teorema RaikovTeorema Raikov mirip sekali dengan Teorema Dekomposisi, berlaku ketika kita memisahkan sebuah proses titk kedalam sub-proses, yang terjadi secara acak. Jika ada sebanyak n waktu kejadian yang pendek dalam sebuah sub-proses, secara alami akan mengurangi sumbu waktu dengan faktor n.Teorema Raikov berbunyi Dengan dekomposisi acak dari sebuah proses titik kedalam sub-proses, masing-masing sub-proses menyatu menjadi sebuah proses poisson, ketika kemungkinan suatu kejadian yang dimiliki oleh sub-proses adalah nol.

F. Proses Poisson Terinterupsi (Interrupted Poisson Process)Dikarenakan kurangnya memori proses poisson sangat mudah untuk di aplikasikan. Bagaimana pun,dalam kasus tertentu proses poisson tidak lagi cukup untuk menjelaskan proses kedatangan real jika hanya terdapat satu parameter. Kuczura (1973) memaparkan generalisasi yang mana telah digunakan secara luas.Ide generalisasi tersebut datang dari masalah overflow (luap)Pelanggan datang ke sistem akan pertama kali dicoba untuk dilayani oleh sistem utama dengan kapasitas terbatas (n server). Jika sistem utama sibuk, maka pelanggan yang datang akan dilayani oleh sistem luap. Pelanggan yang datang akan dialihkan ke sistem luap hanya ketika sistem utama sibuk. Ketika periode sibuk pelanggan datang pada sistem luap berdasarkan proses poisson dengan intesitas . Ketika periode tidak sibuk tidak adalah panggilan yang datang ke sistem luap, sebagai contoh ketika intensitas kedatangan sama dengan nol. Maka kita bisa menganggap proses kedatangan ke sistem luap adalah sebuah proses poisson yang mana bisa nyala atau mati.

Gambar 2. Ilustrasi dari proses poisson terinterupsi (IPP)sebagai model sederhana yang menjelaskan interval nyala (mati) tersebut, Kuczura menggunakan distribusi interval waktu eksponensial dengan intensitas ( ) Dia menunjukan bahwa berkaitan dengan distribusi waktu antar kedatangan hiper-eksponensial pada overflow link, yang digambarkan sebagai diagram fasa pada gambar 3. Dapat dilihat bahwa parameter yang berhubungan sebagai berikut :

Gambar 3. IPP setara dengan proses kedatangan hiper-eksponensialKarena distribusi hiper-eksponensial dengan 2 fasa dapat ditransformasikan kedalam distribusi Cox-2, proses kedatangan IPP adalah proses kedatangan Cox-2 seperti yang terilhat pada Fig. 4.10. Kita mempunyai 3 variabel, disaat proses poisson hanya memiliki satu parameter. Hal ini membuat keleluasaan dalam pemodelan data empirik.