perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi...

50
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user i ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI COM-POISSON UNTUK DATA TERSENSOR KANAN MENGGUNAKAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD Oleh DIAN ANGGRAENI NIM. M0107028 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012

Transcript of perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi...

Page 1: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

i

ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI COM-POISSON UNTUK DATA

TERSENSOR KANAN MENGGUNAKAN METODE MAKSIMUM

LIKELIHOOD

Oleh

DIAN ANGGRAENI

NIM. M0107028

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2012

Page 2: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

ii

Page 3: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

iii

ABSTRAK

Dian Anggraeni, 2012. ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI COM-

POISSON UNTUK DATA TERSENSOR KANAN MENGGUNAKAN METODE

MAKSIMUM LIKELIHOOD. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas Sebelas Maret.

Model regresi Poisson digunakan untuk menganalisis hubungan antara

variabel independen dan variabel dependen berupa data cacah yang

mengasumsikan equidispersi. Seringkali data cacah memperlihatkan overdispersi

atau underdispersi, untuk mengatasi permasalahan tersebut dibentuk model

regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan

dari model regresi Poisson memiliki dua parameter yaitu parameter regresi ( )

dan dispersi ( . Pada beberapa kasus untuk tujuan tertentu, nilai variabel

dependen perlu pembatasan batas bawah atau tersensor kanan.

Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji ulang estimasi parameter model

regresi COM-Poisson pada data tersensor kanan menggunakan metode maksimum

likelihood. Dalam memaksimumkan fungsi likelihood diperoleh sistem persamaan

yang nonlinear, sehingga untuk menyelesaikannya digunakan metode Newton

dengan prosedur iterasi . Selanjutnya, estimasi

parameter model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan diterapkan

pada faktor-faktor yang mempengaruhi banyaknya komplikasi penyakit dari suatu

penderita diabetes mellitus di Rumah Sakit Panti Waluyo dan Rumah Sakit

Umum Daerah Dr. Moewardi Surakarta dengan menggunakan Software R 2.15.0.

Kata Kunci : variabel dependen tersensor kanan, overdispersi, underdispersi,

model regresi COM-Poisson, maksimum likelihood

Page 4: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

iv

ABSTRACT

Dian Anggraeni, 2012. ESTIMATION PARAMETERS OF COM-POISSON

REGRESSION MODEL FOR RIGHT CENSORED DATA USING MAXIMUM

LIKELIHOOD METHOD. Mathematics and Natural Sciences Faculty, Sebelas Maret

University.

Poisson regression model is used to analyze relationship between

independent variable and dependent variable equidispersion. The count data often

showed overdipersion and underdispersion, to overcome the problems created

COM-Poisson regression model. COM-Poisson regression model is an expansion

of Poisson regression model. COM-Poisson regression model has two parameters,

they are the regression parameter and dispersion . In some cases for a

particular purpose, the value of the dependent variable should lower limit

restriction or right censored.

This study aims to review the estimated parameters COM-Poisson

regression model to the data right censored maximum likelihood method. In

maximizing the likelihood function of a nonlinear system of equations is obtained,

so that the Newton method is used to solve the iterative procedure

. Furthermore, the estimated parameters of the COM-

Poisson regression models for right-censored the data applied to the factors that

influence the number of complications from the disease of diabetes mellitus in

Panti Waluyo Hospital and District General Hospital Dr. Moewardi Surakarta

using software R 2.15.0.

Keyword : right censored dependent variable, overdispersi, underdispersi, COM-

Poisson regression model, maximum likelihood

Page 5: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

v

MOTO

“Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan”

-Q.S. Al-Insyrah:1-8-

“Kesabaran memang pahit, tetapi kesabaran akan berbuah segar dan manis”

- Hitam Putih-

“Hidup jangan mengalir, melainkan kita membuat aliran itu sendiri”

-Penulis-

Page 6: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

vi

PERSEMBAHAN

Karya ini saya persembahkan untuk

Bapak, Ibu, Kakak dan adikku tercinta atas doa, cinta dan dukungan

yang diberikan dalam menyusun skripsi ini

Page 7: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

vii

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-

Nya, sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini. Penyusunan skripsi ini tidak lepas

dari bimbingan dan motivasi dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis

menyampaikan ucapan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu

dalam penulisan skripsi ini, khususnya kepada

1. Ibu Dra. Sri Sulistijowati H, M.Si. selaku Dosen Pembimbing I atas

kesediaan dan kesabaran yang diberikan dalam membimbing penulis,

2. Bapak Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc. selaku Dosen Pembimbing II atas

kesediaan dan kesabaran yang diberikan dalam membimbing penulis,

3. Tia, Nurindah, dan seluruh teman-teman matematika angkatan 2007 atas

kerjasama dan motivasi yang diberikan saat penulis menghadapi kendala

dalam penyusunan skripsi ini,

4. Semua pihak yang turut membantu kelancaran penulisan skripsi ini.

Semoga penulisan skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.

Surakarta, Juli 2012

Penulis

Page 8: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

viii

DAFTAR ISI

JUDUL .......................................................................................................... i

PENGESAHAN ............................................................................................. ii

ABSTRAK .................................................................................................... iii

ABSTRACT .................................................................................................. iv

MOTTO ........................................................................................................ v

PERSEMBAHAN ......................................................................................... vi

KATA PENGANTAR .................................................................................. vii

DAFTAR ISI ................................................................................................. ix

DAFTAR TABEL ......................................................................................... x

I. PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah ........................................................................ 1

1.2 Rumusan Masalah .................................................................................. 3

1.3 Tujuan Penelitian ................................................................................... 3

1.4 Manfaat Penelitian ................................................................................. 3

II. LANDASAN TEORI 4

2.1 Tinjauan Pustaka ..................................................................................... 4

2.1.1 Konsep Dasar Statistik ............................................................... 5

2.1.2 Keluarga Distribusi Eksponensial .............................................. 6

2.1.3 Distribusi Poisson ....................................................................... 8

2.1.4 Model Regresi Poisson ............................................................... 9

2.1.5 Variabel Tersensor Kanan .......................................................... 10

2.1.6 Metode Maksimum Likelihood .................................................. 11

2.1.7 Metode Newton .......................................................................... 12

2.1.8 Pendekteksian Overdispersi dan Underdispersi ......................... 12

2.1.9 Uji Signifikansi Parameter ......................................................... 13

2.2 Kerangka Pemikiran................................................................................ 14

III. METODE PENELITIAN 15

IV. PEMBAHASAN 17

4.1 Model Regresi COM-Poisson ................................................................. 17

Page 9: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

ix

4.1.1 Distribusi COM-Poisson ............................................................... 17

4.1.2 Model Regresi COM-Poisson........................................................ 20

4.2 Estimasi Parameter Model Regresi COM-Poisson untuk Data Tersensor

Kanan ..................................................................................................... 22

4.2.1 Distribusi COM-Poisson untuk Data Tersensor Kanan................. 22

4.2.2 Estimasi Parameter Model Regresi COM-Pisson untuk Data

Tersensor Kanan ............................................................................ 23

4.3 Contoh Kasus ......................................................................................... 28

4.3.1 Model Regresi Poisson untuk Tersensor Kanan pada Data Pasien

Diabetes Mellitus ........................................................................ 30

4.3.2 Pendeteksian Overdispersi atau Underdispersi ......................... 33

4.3.3 Model Regresi COM-Poisson untuk Variabel Dependen

Tersensor Kanan dengan Seluruh Variabel Independen ............. 34

4.3.4 Uji Signifikansi Parameter .......................................................... 35

4.3.5 Model Regresi COM-Poisson untuk Data Tersensor Kanan

dengan Variabel Independen Berpengaruh ................................ 38

V. PENUTUP 40

5.1 Kesimpulan ............................................................................................. 40

5.2 Saran ....................................................................................................... 40

DAFTAR PUSTAKA 41

LAMPIRAN 43

Page 10: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

x

DAFTAR TABEL

4.1 Pengkodean Kategori Variabel Dummy ...................................................... 30

4.2 Nilai Estimasi Parameter Regresi Poisson ................................................... 31

4.3 Nilai Estimasi Parameter Model Regresi Poisson dengan Uji Wald ........... 32

4.4 Estimasi Parameter Model Regresi Poisson dengan Variabel Independen

yang Berpengaruh ........................................................................................ 33

4.5 Nilai Mean dan Variansi Data Diabetes Mellitus di Surakarta.................... 33

4.6 Nilai Statistik Deviansi ................................................................................ 34

4.7 Nilai Estimasi Parameter Model Regresi COM-Poisson ............................ 35

4.8 Estimasi Parameter Model Regresi COM-Poisson dengan Uji Wald .......... 36

4.9 Nilai Estimasi Parameter Regresi COM-Poisson untuk Data Tersensor

Kanan dengan Variabel Independen yang Berpengaruh ............................. 38

Page 11: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Analisis regresi menyatakan hubungan antara variabel dependen dan

variabel independen. Variabel independen merupakan variabel yang nilainya tidak

dipengaruhi oleh variabel lain, sedangkan variabel dependen merupakan variabel

yang nilainya dipengaruhi oleh variabel independen. Variabel dependen dapat

berupa data cacah maupun data kontinu.

Dalam aplikasinya banyak penelitian menggunakan variabel dependen

yang berupa data cacah, termasuk pada pembahasan skripsi ini. Salah satu model

regresi yang dapat digunakan untuk menganalisis variabel dependen berupa data

cacah adalah model regresi Poisson. Model regresi Poisson menjelaskan

hubungan antara variabel independen dengan variabel dependen dari suatu data

cacah. Model regresi memiliki asumsi mean sampel dan variansi sampel sama

(equidispersi). Menurut Shmueli et al. (2005), pada kasus nyata seringkali data

cacah memperlihatkan variansi sampel lebih besar dari mean sampel

(overdispersi) atau variansi sampel lebih kecil dari mean sampel (underdispersi).

Untuk mengatasi masalah overdispersi atau underdispersi, Sellers dan Shmueli

(2010a) memberikan alternatif model yaitu dengan model regresi COM-Poisson.

Model regresi COM-Poisson merupakan perluasan dari model regresi

Poisson. Sellers dan Shmueli (2010a) menyatakan bahwa proses pembentukan

dari model regresi COM-Poisson berdasarkan pada distribusi COM-Poisson.

Model regresi COM-Poisson memiliki dua parameter yaitu parameter regresi ( )

dan parameter dispersi ( . Parameter dari model tersebut belum diketahui

sehingga harus diestimasi.

Berbagai kajian mengenai model regresi COM-Poisson telah dilakukan.

Dwicahyono (2012) telah mengkaji estimasi parameter model regresi COM-

Poisson menggunakan metode maksimum likelihood. Estimasi parameter model

regresi COM-Poisson menggunakan metode quasi likelihood juga telah dikaji

oleh Mardina (2012), dan estimasi parameter distribusi COM-Poisson

Page 12: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

2

menggunakan metode Bayesian sedang dikaji oleh Sari (2012). Pada kajian yang

dilakukan kadang-kadang untuk mencapai tujuan yang diinginkan dibutuhkan

asumsi data dependen tersensor. Pada model regresi COM-Poisson yang dikaji

oleh Dwicahyono (2012), Mardina (2012) dan Sari (2012), variabel dependennya

tidak disensor. Sedangkan asumsi untuk mencapai tujuan skripsi adalah variabel

dependen dibatasi nilainya atau disebut variabel dependen tersensor. Penyensoran

dapat dibedakan menjadi tiga macam yaitu tersensor kanan, tersensor kiri dan

tersensor dalam selang interval. Jenis sensor yang dikaji dalam penelitian ini ialah

sensor kanan (right censoring) karena hanya ingin mengkaji batas bawah dari data

variabel dependen. Lee dan Wang (1992) mengatakan bahwa observasi dikatakan

tersensor kanan jika objek masih hidup atau masih beroperasi ketika masa

observasi telah selesai. Misalnya, jumlah pasien yang telah datang di klinik,

jumlah pelanggan yang datang ke restoran selama periode waktu tertentu, atau

jumlah mobil yang diparkir. Meskipun jumlah kedatangan untuk masing-masing

kasus dapat melebihi kapasitas tempat yang tersedia dalam waktu tertentu, namun

obyek meninggalkan fasilitas karena keterbatasan kapasitas.

Sellers dan Shmueli (2010b) memperkenalkan metode estimasi maksimum

likelihood untuk mengestimasi parameter model regresi COM-Poisson pada data

tersensor kanan. Pada skripsi ini akan dikaji ulang estimasi parameter model

regresi COM-Poisson pada data tersensor kanan menggunakan estimasi

maksimum likelihood. Metode maksimum likelihood diperoleh dengan

memaksimalkan fungsi likelihood dari fungsi densitas probabilitasnya.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian latar belakang masalah, dapat dirumuskan

permasalahan sebagai berikut.

1. Bagaimana kajian ulang estimasi parameter model regresi COM-Poisson untuk

data tersensor kanan dengan metode maksimum likelihood?

Page 13: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

3

2. Bagaimana penerapan model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan

pada faktor-faktor yang mempengaruhi banyaknya komplikasi penderita

diabetes mellitus?

1.3 Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah, maka tujuan dari penelitian ini adalah

sebagai berikut.

1. Mengkaji ulang estimasi parameter model regresi COM-Poisson untuk data

tersensor kanan dengan metode maksimum likelihood.

2. Menerapkan model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan pada

faktor-faktor yang mempengaruhi banyaknya komplikasi penderita diabetes

mellitus.

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah

1. Secara teoritis dapat menambah wawasan dan pengetahuan para statistikawan

tentang model regresi khususnya model regresi COM-Poisson untuk data

tersensor kanan.

2. Secara praktis pembahasan ini dapat menganalisa data yang mengalami

overdispersi, underdispersi maupun equidispersi.

Page 14: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

4

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Tinjauan Pustaka

Pada bagian ini terdiri dari tinjauan pustaka dan kerangka pemikiran.

Tinjauan pustaka berisi penelitian terdahulu dan teori penunjang. Teori penunjang

dalam kajian ini antara lain keluarga distribusi eksponensial, distribusi Poisson,

model regresi Poisson, variabel tersensor kanan, metode maksimum likelihood,

metode Newton, dan uji signifikansi parameter. Sedangkan kerangka pemikiran

berupa alur pikir untuk menjawab perumusan masalah pada kajian ini.

Model regresi Poisson digunakan untuk menganalisis hubungan antara

variabel dependen dan variabel independen dari suatu data cacah. Seringkali data

cacah memperlihatkan overdispersi atau underdispersi, sehingga penggunaan

model regresi Poisson tidak sesuai. Untuk mengatasi permasalahan tersebut dapat

dilakukan pendekatan model regresi Binomial Negatif yang dikaji oleh Yuniarti

(2006) dan model regresi ZIP yang dikaji oleh Putri (2007). Salah satu alternatif

model regresi lain yang dapat digunakan ialah model regresi yang didasarkan pada

distribusi COM-Poisson.

Shmueli et al. (2005) menyatakan distribusi COM-Poisson yang diusulkan

pertama kali oleh Conway dan Maxwell pada tahun 1962 untuk mengatasi sistem

antrian. Kemudian Shmueli et al. (2005) memperkenalkan metode estimasi

parameter pada distribusi ini dengan maksimum likelihood, weighted least

squares (WLS), dan metode Bayesian. Jowaheer dan Khan (2009) menggunakan

metode estimasi maksimum likelihood dan quasi likelihood dengan iterasi metode

Newton untuk mengestimasi parameter model regresi COM-Poisson. Sellers dan

Shmueli (2010a) dalam papernya memperkenalkan model regresi yang

berdasarkan distribusi COM-Poisson untuk mengatasi masalah overdispersi dan

underdispers dengan metode Bayesian. Selain itu, Sellers dan Shmueli (2010b)

juga memaparkan model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan.

Sehingga pada skripsi ini akan dikaji ulang model regresi COM-Poisson untuk

Page 15: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

5

data tersensor kanan dan estimasi parameternya menggunakan metode maksimum

likelihood.

2.1.1 Konsep Dasar Statisik

Definisi konsep dasar statistik yang digunakan sebagai pendukung dalam

penulisan skripsi diambil dari Bain & Engelhardt (1992).

Definisi 2.1. Ruang sampel adalah himpunan dari semua kejadian yang mungkin

dari suatu percobaan dan dinotasikan S.

Definisi 2.2. Variabel random X adalah suatu fungsi yang memetakan setiap hasil

yang mungkin pada ruang sampel S ke bilangan real , sedemikian sehingga

.

Definisi 2.3. Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari variabel random X

adalah himpunan berhingga atau dengan bilangan

positif maka X disebut variabel random diskrit. Fungsi dengan

yang menyatakan probabilitas dari masing-masing nilai

yang mungkin disebut fungsi densitas probabilitas untuk variabel random diskrit.

Definisi 2.4. Suatu fungsi distribusi kumulatif dari suatu variabel random

diskrit didefinisikan untuk setiap bilangan real .

Definisi 2.5. Jika adalah suatu variabel random diskrit dengan fungsi densitas

probabilitas , maka harga harapan dari X dinyatakan sebagai

Definisi 2.6. Jika adalah suatu variabel random berukuran , maka variansi

dinyatakan sebagai .

Page 16: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

6

2.1.2 Keluarga Distribusi Eksponensial

Menurut Mc Cullagh dan Nelder (1983), suatu fungsi probabilitas dengan

parameter dari suatu variabel random dikatakan anggota distribusi keluarga

eksponensial apabila dapat dituliskan sebagai

dengan adalah parameter kanonik dan adalah parameter dispersi serta

dan merupakan suatu fungsi yang diketahui. Mean sampel dan variansi sampel

dari distribusi keluarga eksponensial dapat diperoleh dengan mendefinisikan

fungsi sebagai

dimana . Dari persamaan (2.2) diperoleh

sehingga,

Pada persamaan (2.1), diperoleh persamaan dan terhadap adalah

Page 17: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

7

Oleh karena itu, dari persamaan (2.3) dan (2.4) diperoleh mean sebagai berikut,

Serta dari persamaan (2.3), (2.4) dan (2.5) dapat dicari variansi sebagai berikut,

Page 18: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

8

Jadi diperoleh mean sampel dan variansi sampel dari distribusi keluarga

eksponensial ialah,

dan

dengan dan merupakan turunan dari .

2.1.3 Distribusi Poisson

Distribusi Poisson merupakan distribusi probabilitas diskrit yang

menyatakan jumlah kemunculan dari suatu kejadian, seperti jumlah bencana alam

pada suatu daerah setiap tahun. Menurut Bain and Engelhardt (1992), variabel

random dikatakan berdistribusi Poisson dengan parameter jika

mempunyai fungsi densitas sebagai berikut

, untuk . (2.8)

Distribusi Poisson termasuk dalam keluarga distribusi eksponensial, hal ini

dapat ditunjukkan dengan menyatakan bentuk fungsi dalam persamaan ke

persamaan

dengan , , dan .

Karena distribusi Poisson termasuk dalam keluarga distribusi eksponensial, maka

sesuai dengan persamaan dan dapat ditentukan mean dan variansinya

yaitu,

Oleh karena itu, pada distribusi Poisson berlaku

yaitu mean dan variansi sampel sama.

Page 19: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

9

2.1.4 Model Regresi Poisson

Model regresi Poisson digunakan untuk memodelkan jumlah kemunculan

dari suatu kejadian dalam interval waktu tertentu, seperti jumlah korban bunuh

diri pada suatu daerah dalam setahun. Model regresi Poisson diturunkan dari

distribusi Poisson dengan parameter yang bergantung pada variabel dependen.

Misalkan merupakan variabel dependen yang menyatakan banyaknya kejadian

yang berupa data cacah berdasarkan distribusi Poisson dan dipengaruhi variabel

independen yang saling linier. Menurut Fahrmeir & Tuts (1994)

hubungan kedua variabel dapat dituliskan

atau dalam bentuk sederhana

dengan

Secara matriks persamaan dapat dinyatakan sebagai

dimana adalah parameter yang tidak diketahui.

Mean dari variabel random pada model regresi Poisson yang merupakan

kombinasi linear dapat diasumsikan dengan sembarang nilai sehingga akan

menghasilkan nilai real, sedangkan mean yang merupakan ekspektasi data cacah

dari distribusi Poisson harus bernilai positif. Oleh karena itu, untuk mengatasinya

perlu dilakukan transformasi sehingga hubungan dan sesuai, yaitu dengan

menggunakan mean dengan model linear sebagai

Page 20: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

10

Model regresi Poisson merupakan perluasan dari model linier. Menurut

Fahrmeir dan Tuts (1994) perluasan tersebut terbentuk melalui asumsi sebagai

berikut.

1. Yi observasi yang independen untuk setiap i dan berdistribusi Poisson

dengan fungsi densitas probabilitas

dengan

2. dihubungkan pada model linier (2.3) oleh fungsi link logaritma natural

sehingga diperoleh model regresi Poisson

2.1.5 Variabel Tersensor Kanan

Pengamatan untuk beberapa kumpulan data variabel dependen

terkadang tidak ada pembatasan atau penyensoran, tetapi nilai dapat disensor

untuk asumsi dalam tujuan tertentu. Variabel penyensoran yang digunakan dalam

penelitian ini ialah sensor kanan.

Sensor kanan merupakan batas bawah dari data variabel yang akan

disensor. Jika ada penyensoran untuk pengamatan ke , maka . Variabel

indikator sensor dapat didefinisikan sebagai

Menurut Famoye dan Wang (2004) fungsi densitas untuk data tersensor adalah

Page 21: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

11

2.1.6 Metode Maksimum Likelihood

Variabel random memiliki distribusi dengan fungsi densitas probabilitas

dimana . Parameter merupakan parameter yang tidak diketahui

dengan adalah ruang parameter. Karena sampel random, maka

fungsi densitas probabilitas bersama dari adalah

.

Menurut Bain dan Engelhardt (1992), fungsi likelihood didefinisikan

sebagai fungsi densitas probabilitas bersama dari yang saling

independen. Fungsi likelihood dianggap sebagai fungsi dari yang dituliskan

Pada metode maksimum likelihood, estimasi parameter dari diperoleh

dengan menentukan nilai yaitu dengan memaksimumkan fungsi likelihoodnya.

Nilai yang diperoleh disebut estimasi maksimum likelihood (MLE) dari .

Memaksimumkan akan memberikan hasil yang sama dengan

memaksimumkan , yang dituliskan sebagai

Estimasi maksimum likelihood dari dapat diperoleh dengan

menyelesaikan persamaan

Jika pada proses estimasi parameter didapatkan persamaan yang non-

linear, maka tidak mudah untuk memperoleh estimasi tersebut. Sehingga

diperlukan metode Newton untuk menyelesaikan persamaan non-linear tersebut.

Page 22: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

12

2.1.7 Metode Newton

Misalkan terdapat system persamaan dari dua persamaan non-linear

Jain et al. (2004) menyatakan untuk mencari penyelesaian sistem non-linear dua

variabel pada persamaan digunakan iterasi Newton sebagai berikut

dimana

merupakan matrik Jacobian dari dan .

Langkah-langkah dari metode Newton sebagai berikut,

1. menentukan estimasi awal yaitu dan ,

2. melakukan proses iterasi seperti pada persamaan ,

3. jika dan maka iterasi dihentikan.

2.1.8 Pendekteksian Overdispersi dan Underdispersi

Pengujian yang digunakan untuk mendeteksi adanya overdispersi dan

underdispersi adalah nilai deviansi atau Pearson chi-square yang dibagi dengan

derajat bebasnya. Bentuk statistik deviansi adalah

dan bentuk dari statistik Pearson chi-square adalah

Jika hasil bagi antara nilai statistik terhadap derajat bebasnya atau

statistik terhadap derajat bebasnya lebih besar dari 1, maka terdapat indikasi

Page 23: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

13

bahwa telah terjadi overdispersi pada model regresi Poisson. Sedangkan nilai

hasil bagi yang lebih kecil dari 1 mengindikasikan adanya underdispersi.

2.1.9 Uji Signifikansi Parameter

Uji signifikansi parameter dilakukan setelah diperoleh estimasi model

regresi, yang bertujuan untuk mengetahui variabel-variabel independen yang

memiliki pengaruh signifikan terhadap model. Agresti (1990), menggunakan uji

Wald untuk menguji signifikansi dari masing-masing variabel independen.

Langkah-langkah untuk menguji signifikansi dari setiap parameter terhadap model

adalah sebagai berikut,

1. menentukan hipotesis

(tidak terdapat pengaruh yang signifikan dari variabel

independen terhadap model)

(terdapat pengaruh yang signifikan dari variabel independen

terhadap model)

dengan ,

2. menentukan tingkat signifikansi ,

3. daerah kritis:

ditolak jika ,

4. menghitung nilai statistik uji.

Statistik uji yang digunakan adalah uji Wald yang diperoleh dari hasil

kuadrat taksiran parameter dibagi dengan taksiran sesatan standar, yang

dituliskan dengan

, dan ,

5. mengambil kesimpulan.

Page 24: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

14

2.2 KERANGKA PEMIKIRAN

Kerangka pemikiran dalam pemikiran ini adalah berawal dari konsep dasar

model regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson merupakan salah satu

alternatif untuk mengatasi hubungan antara variabel independen dengan variabel

dependen yang bersifat overdispersi maupun underdispersi. Model regresi COM-

Poisson didasarkan pada distribusi COM-Poisson. Distribusi COM-Poisson

memiliki parameter dispersi yang tidak dimiliki oleh distribusi Poisson. Variabel

dependen berupa data cacah sering tidak menggunakan pembatasan. Tetapi pada

kenyataanya, variabel dependen dapat mengalami pembatasan nilai atau sering

disebut sebagai variabel dependen tersensor.

Jurnal dari Sellers & Shmueli (2010a), Sellers & Shmueli (2010b) dan

Shmueli et al. (2005) yang membahas tentang distribusi COM-Poisson dan model

regresi COM-Poisson menjadi ketertarikan penulis untuk melakukan kajian dalam

penulisan skripsi ini. Distribusi COM-Poisson dapat digunakan dalam mengatasi

masalah overdispersi, underdispersi maupun equidispersi pada data cacah.

Variabel dependen berupa data cacah sering tidak menggunakan pembatasan atau

tersensor. Tetapi banyak kasus nyata yang menunjukkan variabel dependen

tersensor. Estimasi parameter model regresi COM-Poisson dilakukan dengan

menggunakan metode makimum likelihood (MLE) untuk data tersensor kanan.

Selanjutnya model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan diterapkan

pada faktor-faktor yang mempengaruhi banyaknya komplikasi penderita diabetes

mellitus.

Page 25: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

15

BAB III

METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur dengan

mempelajari buku–buku referensi dan karya ilmiah yang meliputi hasil-hasil

penelitian dan jurnal yang berkaitan dengan model regresi COM-Poisson dan

metode maksimum likelihood.

Adapun langkah-langkah dalam penulisan skripsi ini sebagai berikut.

1. Menurunkan ulang model regresi berdasarkan distribusi COM-Poisson,

dengan langkah-langkah sebagai berikut

(a) menunjukkan bahwa distribusi COM-Poisson termasuk dalam keluarga

distribusi eksponensial,

(b) menentukan nilai mean dan variansi dari distribusi COM-Poisson,

(c) membentuk model regresi COM-Poisson berdasarkan mean distribusi

COM-Poisson.

2. Mengestimasi parameter model regresi COM-Poisson untuk data tersensor

kanan dengan menggunakan metode maksimum likelihood, dengan langkah-

langkah sebagai berikut,

(a) menentukan probabilitas fungsi distribusi COM-Poisson untuk data

tersensor kanan,

(b) menentukan fungsi likelihood dari model regresi COM-Poisson untuk

data tersensor kanan,

(c) menentukan fungsi log-likelihood dari model regresi COM-Poisson

untuk data tersensor kanan,

(d) mencari turunan pertama dari fungsi log-likelihoodnya, yaitu diturunkan

terhadap dan kemudian disamadengankan dengan nol,

(e) mengestimasi parameter dan dengan menggunakan metode Newton

apabila hasil dari persamaan (d) diperoleh non-linier.

Page 26: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

16

3. Menerapkan model regresi COM-Poisson pada faktor-faktor yang

mempengaruhi banyaknya komplikasi penyakit pada penderita diabetes

mellitus.

Page 27: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

17

BAB IV

PEMBAHASAN

Pada bab ini dibahas tentang model regresi COM-Poisson yang meliputi

distribusi Poisson, model regresi COM-Poisson, estimasi parameter model regresi

COM-Poisson untuk data tersensor serta contoh kasus untuk data penyakit

Diabetes Mellitus di Surakarta.

4.1 Model Regresi COM-Poisson

4.1.1 Distribusi COM-Poisson

Distribusi COM-Poisson (Conway Maxwell Poisson) merupakan perluasan

dari distribusi Poisson. Variabel random berdistribusi COM-Poisson memiliki

fungsi densitas probabilitas

dengan . Parameter merupakan nilai mean dari distribusi

COM-Poisson, sedangkan merupakan parameter dispersi. Oleh Shmueli et al.

(2005) fungsi didekati dengan

Distribusi COM-Poisson termasuk dalam distribusi keluarga Eksponensial

sehingga untuk memperoleh nilai mean dan variansi ditunjukkan dengan

menggunakan sifat distribusi keluarga Eksponensial (Shmueli et al., 2005). Untuk

menunjukkan dalam keluarga distribusi eksponensial yaitu menyatakan bentuk

fungsi persamaan ke persamaan , diperoleh

Page 28: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

18

sehingga dapat disimpulkan

.

Dengan demikian terbukti bahwa distribusi COM-Poisson termasuk dalam

keluarga eksponensial sehingga dapat ditentukan mean distribusi COM-Poisson

seperti pada persamaan , yaitu

Page 29: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

19

,

dan variansi distribusi COM-Poisson seperti pada (2.7), yaitu

Page 30: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

20

Jadi, mean dan variansi distribusi COM-Poisson ialah

.

4.1.2 Model Regresi COM-Poisson

Sellers & Shmueli (2010) memperkenalkan model regresi COM-Poisson

sebagai analisis hubungan antara variabel random dependen yang berupa data

cacah dengan satu atau lebih variabel independen .

Pada distribusi COM-Poisson telah dijelaskan bahwa parameter

merupakan harga harapan dalam distribusi Poisson yang bernilai positif.

Sedangkan bernilai real, artinya dapat bernilai positif atau negatif, sehingga

diperlukan fungsi link untuk menghubungkan nilai dengan . Hubungan

harga harapan dapat dituliskan sebagai berikut,

sehingga diperoleh

Sellers dan Shmueli (2010a) memaparkan bahwa hubungan antara variabel

dependen dan variabel independen dalam regresi COM-Poisson dapat

dinyatakan melalui harga harapan dari variabel dependennya. Model regresi

COM-Poisson dapat dituliskan

dimana parameter merupakan parameter yang mengkondisikan keadaan disperse

data, menurut Jowaheer dan Khan (2009),

1. jika nilai , model regresi COM-Poisson mempresentasikan sifat

equidispersi sehingga model regresi COM-Poisson sama dengan model

regresi Poisson

Page 31: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

21

2. jika nilai , model regresi COM-Poisson mempresentasikan sifat

overdispersi

3. jika nilai , model regresi COM-Poisson mempresentasikan sifat

underdispersi.

Pada model regresi COM-Poisson diasumsikan bahwa variabel dependen

menyatakan jumlah (cacah) kejadian berdistribusi COM-Poisson. Diberikan

sejumlah variabel independen . Fungsi densitas distribusi COM-

Poisson adalah

dengan

dan

Dengan mensubtitusikan persamaan dan ke dalam persamaan

diperoleh

dengan dan merupakan parameter yang tidak diketahui dalam model sehingga

harus diestimasi.

Page 32: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

22

4.2 Estimasi Parameter Model Regresi COM-Poisson untuk Data

Tersensor Kanan

4.2.1 Distribusi COM-Poisson untuk Data Tersensor Kanan

Sensor kanan terjadi apabila individu diketahui masih hidup sampai hilang

dari pengamatan atau sampai penelitian berakhir. Jadi hanya diketahui batas atas

(waktu awal) dari suatu kejadian.

Fungsi densitas probabilitas untuk data tersensor kanan seperti pada

persamaan ), dengan

persamaan ke dalam persamaan diperoleh

Persamaan telah diketahui bahwa , sehingga diperoleh

Persamaan dan persamaan disubtitusikan ke dalam persamaan

, maka diperoleh fungsi densitas probabilitas untuk data tersensor kanan

ialah

Page 33: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

23

4.2.2 Estimasi Parameter Model Regresi COM-Pisson untuk Data

Tersensor Kanan

Parameter dan yang tidak diketahui dapat diestimasi menggunakan

metode maksimum likelihood. Metode maksimum likelihood merupakan suatu

metode estimasi parameter yang memaksimumkan fungsi likelihood, . Fungsi

likelihood dari model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan adalah

sehingga fungsi log-likelihoodnya adalah

Page 34: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

24

dengan , maka diperoleh

(4.7)

Page 35: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

25

Persamaan (4.7) diturunkan terhadap dan , sehingga diperoleh

(4.8)

(4.9)

Kemudian persamaan (4.8) dan (4.9) disamadengankan nol, sehingga

diperoleh persamaan

Page 36: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

26

Persamaan dan merupakan persamaan non-linear. Pada

persamaan merupakan hasil dari turunan fungsi log-likelihood terhadap

dimana turunannya masih menggandung parameter lain yang belum diketahui

yaitu dan perlu diestimasi, begitu juga dengan persaman yang masih

menggandung parameter . Oleh karena itu, sulit untuk dicari penyelesaian

estimasi kedua persamaan tersebut. Untuk mengestimasi kedua parameter ini

dilakukan secara bersamaan dengan menggunakan suatu metode iterasi yang

disebut metode Newton.

Metode Newton membutuhkan turunan pertama dan kedua dari fungsi log-

likelihoodnya. Misalkan didefinisikan

(4.12)

dimana fungsi dan dinyatakan sebagai matriks . Matriks adalah matriks

gradien, sehingga

Turunan pertama dari fungsi log-likelihood yang dinyatakan dalam matriks

diperoleh sebagai berikut,

Page 37: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

27

Turunan kedua dari fungsi log-likelihood diperoleh sebagai berikut,

(4.13)

Page 38: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

28

iterasi Newton pada persamaan ( ) terdapat matriks Jacobian. Oleh karena itu

dibentuk matriks Jacobian sebagai berikut

Karena fungsi dan dinyatakan pada persamaan (4.12) serta dan

, sehingga diperoleh

Matriks merupakan matriks Hessian. Estimasi parameter dan

menggunakan metode iterasi Newton sesuai persamaan (2.10) ialah,

Proses persamaan berulang hingga diperoleh nilai parameter dan

yang konvergen, yaitu jika nilai mendekati nilai , begitu juga dengan

nilai mendekati . Apabila tidak dipenuhi konvergen, sehingga nilai

parameter dapat diperoleh jika nilai dan

bernilai sangat kecil.

4.3 Contoh Kasus

Pada contoh kasus ini akan dimodelkan pola hubungan antara banyaknya

komplikasi penyakit yang diderita oleh seorang pasien diabetes mellitus terhadap

faktor-faktor yang diduga berpengaruh terhadap timbulnya komplikasi penyakit

tersebut. Data yang digunakan adalah data sekunder dari pasien diabetes mellitus

di RS Dr Moewardi dan RS Panti Waluyo Surakarta dari tahun 2006-2011 yang

disajikan dalam Lampiran 1. Variabel dependen yang akan digunakan mengalami

Page 39: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

29

sensor kanan, dengan variabel dependennya adalah banyaknya komplikasi

penyakit (BK). Sedangkan faktor-faktor yang berpengaruh terhadap timbulnya

komplikasi penyakit adalah variabel independen, variabel independen yang diduga

berpengaruh adalah

1. Usia pasien (USIA)

2. Jenis kelamin pasien (JK)

3. Obesitas (OBES)

4. Riwayat penyakit diabetes mellitus dari pasien (RDM)

5. Tipe diabetes mellitus yang diderita pasien (TPDM)

6. Gula darah (GD)

Variabel independen dibagi menjadi beberapa kategori karena variabel ini

berupa data kualitatif. Pada penyakit diabetes mellitus, pasien sering disertai

obesitas. Oleh karena itu variabel obesitas (OBES) dibagi menjadi 2 kategori yaitu

pasien yang mengalami obesitas (ya) dan pasien yang tidak mengalami obesitas

(tidak). Variabel riwayat diabetes mellitus (RDM) juga dibagi 2 kategori yaitu

pasien yang sebelumnya pernah dinyatakan positif terkena diabetes mellitus (ya)

dan pasien yang belum pernah positif terkena diabetes mellitus. Sedangkan

variabel tipe penyakit diabetes mellitus (TPDM) dibagi menjadi 2 kategori yaitu

tipe 1 dan tipe 2.

Menurut Watts (1984), penyakit diabetes mellitus dibedakan menjadi 2

golongan yaitu tipe 1 yang tergantung pada insulin dan tipe 2 yang tidak

tergantung pada insulin. Pembagian kategori pada variabel bebas disajikan pada

Tabel 4.1.

Page 40: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

30

Tabel 4.1. Pengkodean Kategori Variabel Dummy

Variabel Keterangan Variabel dummy

Jenis kelamin

Perempuan

Laki-laki

Obesitas

Ya

Tidak

Riwayat diabetes mellitus

Ya

Tidak

Tipe penyakit diabetes

mellitus

Tipe 1

Tipe 2

Jenis penyensoran yang digunakan ialah sensor kanan pada variabel

dependennya dengan pembatasan variabel dependen . Variabel dependen

tersensor berarti banyaknya komplikasi (BK) dalam variabel dependen

menggunakan nilai pembatasan dengan asumsi banyaknya komplikasi

penyakit yang diderita oleh seorang pasien sebanyak 1 dapat memperburuk

kondisi pasien tersebut. Analisis dalam penerapan kasus ini menggunakan

Software R 2.15.0 .

4.3.1 Model Regresi Poisson untuk Tersensor Kanan pada Data Pasien

Diabetes Mellitus

Sebelum dilakukan estimasi parameter model regresi COM-Poisson,

terlebih dahulu dicari estimasi parameter model regresi Poisson yang akan

digunakan sebagai nilai awal untuk estimasi parameter model regresi COM-

Poisson. Model regresi Poisson adalah

Page 41: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

31

Pada contoh kasus ini variabel independennya adalah USIA, JK, OBES, RDM,

TPDM, dan GD. Sehingga model regresi Poissonnya adalah

(4.21)

Tabel 4.2. Nilai Estimasi Parameter Regresi Poisson

Variabel Estimasi

Intercept 0.67663

USIA

D.JK

D.OBES

D.RDM

D.TPDM

GD

Estimasi parameter model regresi Poisson untuk data tersensor kanan

dengan metode maksimum likelihood tersajikan pada Tabel 4.2. Hasil estimasi

pada Tabel 4.2 dimasukkan ke persamaan (4.21), diperoleh model regresi Poisson

untuk data tersensor kanan adalah

Setelah diperoleh estimasi model regresi Poisson dengan seluruh variabel

independen, selanjutnya dilakukan uji signifikansi setiap parameter untuk

mengetahui variabel-variabel independen yang berpengaruh signifikan terhadap

model digunakan uji Wald. Tingkat signifikansi yang digunakan adalah 5%,

sehingga akan ditolak jika nilai statistik

Page 42: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

32

Estimasi variabel yang berpengaruh pada data komplikasi banyaknya

penyakit dari seorang pasien diabetes mellitus dengan variabel dependen tersensor

kanan disajikan dalam Tabel 4.3.

Tabel 4.3. Nilai Estimasi Parameter Model Regresi Poisson dengan Uji Wald

Variabel Estimasi Std. Error uji Wald chi-kuadrat keputusan

Intercept

USIA tidak ditolak

D.JK tidak ditolak

D.OBES tidak ditolak

D.RDM ditolak

D.TPDM ditolak

GD tidak ditolak

Dari Tabel 4.3 terlihat jelas bahwa hanya variabel dan

yang memiliki pengaruh signifikan terhadap model. Sehingga, variabel yang

masuk ke dalam model regresi Poisson untuk data tersensor kanan hanya

dan . Selanjutnya akan dilakukan estimasi parameter model regresi

Poisson untuk variabel independen yang berpengaruh saja. Hasil estimasi

parameter model regresi Poisson untuk data tersensor kanan dengan variabel

independen yang berpengaruh pada Lampiran disajikan pada Tabel 4.4.

Page 43: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

33

Tabel 4.4. Estimasi Parameter Model Regresi Poisson dengan Variabel

Independen yang Berpengaruh.

Variabel Estimasi Parameter

Intercept

D.RDM

D.TPDM

Nilai estimasi yang ditunjukkan pada Tabel 4.4 dapat dibentuk model

regresi Poissonnya sebagai berikut,

4.3.2 Pendekteksian Overdispersi atau Underdispersi

Tahap awal dalam menentukan model regresi COM-Poisson adalah

dengan mendeteksi adanya overdispersi atau underdispersi. Nilai mean dan

variansi dari data diabetes mellitus di Surakarta yang disajikan pada Tabel 4.5.

Tabel 4.5. Nilai Mean dan Variansi Data Diabetes Mellitus di Surakarta

Mean

Variansi

Berdasarkan Tabel 4.5 diperoleh bahwa nilai variansi lebih besar dari

mean sampel. Oleh karena itu data banyaknya komplikasi penyakit diabetes

mellitus untuk data tersensor kanan bersifat overdispersi. Untuk memperkuat

dugaan ini, dilakukan uji dispersi dengan melihat nilai deviansi pada regresi

Poisson disajikan pada Tabel 4.6.

Page 44: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

34

Tabel 4.6. Nilai Statistik Deviansi.

Value DF Value / DF

Deviance

Dari Tabel 4.6 terlihat bahwa perhitungan nilai deviansi dibagi dengan

derajat bebasnya diperoleh yang menunjukkan lebih dari 1. Hal ini

berarti bahwa data banyaknya komplikasi dari pasien diabetes mellitus untuk data

tersensor kanan bersifat overdispersi.

4.3.3 Model Regresi COM-Poisson untuk Variabel Dependen Tersensor

Kanan dengan Seluruh Variabel Independen

Nilai estimasi parameter yang diperoleh dari perhitungan regresi Poisson

digunakan sebagai estimasi awal untuk menentukan koefisien parameter dalam

regresi COM-Poisson. Hasil estimasi awal parameter pada regresi COM-

Poisson digunakan untuk mencari nilai estimasi parameter . Nilai estimasi awal

parameter merupakan perhitungan nilai deviance dibagi dengan derajat bebas

pada regresi Poisson yaitu .

Nilai estimasi awal parameter dan parameter pada regresi Poisson yang telah

diperoleh pada Tabel 4.2 dan Tabel 4.6 digunakan untuk menentukan estimasi

parameter model regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson adalah

Estimasi parameter model regresi COM-Poisson menyajikan nilai yang

ditampilkan pada Tabel 4.7.

Page 45: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

35

Tabel 4.7. Nilai Estimasi Parameter Regresi COM-Poisson

Variabel Estimasi

Intercept

USIA

D.JK

D.OBES

D.RDM

D.TPDM

GD

Berdasarkan nilai estimasi parameter pada Tabel 4.7, maka model regresi

COM-Poisson adalah

4.3.4 Uji Signifikansi Parameter

Uji signifikansi parameter dilakukan untuk mengetahui variabel-variabel

independen yang memiliki pengaruh signifikan terhadap model. Pada model

regresi COM-Poisson untuk menguji signifikansi parameter digunakan uji statistik

Wald. Hipotesisnya adalah

Page 46: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

36

: , (tidak terdapat pengaruh yang signifikan dari variabel

dependen terhadap model)

: (terdapat pengaruh yang signifikan dari variabel

dependen terhadap model),

Tingkat signifikansi yang digunakan adalah 5%, sehingga akan ditolak

jika nilai statistik Estimasi parameter untuk variabel

yang berpengaruh pada data komplikasi banyaknya penyakit dari seorang pasien

diabetes mellitus untuk tersensor kanan disajikan dalam Tabel 4.8.

Tabel 4.8. Estimasi Parameter Model Regresi COM-Poisson dengan Uji Wald

Variabel Estimate Std. Error uji Wald chi-kuadrat keputusan

(Intercept) - -

USIA tidak ditolak

D.JK tidak ditolak

D.OBES tidak ditolak

D.RDM ditolak

D.TPDM ditolak

GD tidak ditolak

Dari Tabel 4.8 diperoleh bahwa pengaruh variabel bebas USIA dan gula

darah (GD) tidak signifikan terhadap rata-rata banyaknya komplikasi yang muncul

dari penyakit diabetes mellitus. Hal ini disebabkan pada uji signifikansi parameter

dengan statistik uji Wald terlihat nilainya kurang dari nilai statistik chi-kuadrat

yang berarti bahwa tidak ditolak (variabel bebas USIA dan GD tidak

berpengaruh secara statistika). Akan tetapi nilai dari koefisien parameternya

adalah positif, yang berarti bahwa terdapat hubungan positif antara USIA dan GD

Page 47: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

37

terhadap rata-rata banyaknya komplikasi yang muncul. Semakin banyak usia

seseorang maka semakin besar rata-rata banyaknya komplikasi penyakit,

sebaliknya semakin rendah usia seseorang maka rata-rata banyaknya komplikasi

yang muncul semakin kecil. Dan semakin tinggi tingkat gula darah (GD) yang

dimiliki maka semakin tinggi rata-rata banyaknya komplikasi yang muncul,

sebaliknya semakin rendah tingkat gula darah (GD) maka rata-rata banyaknya

komplikasi yang muncul semakin kecil.

Variabel bebas jenis kelamin (JK) dan obesitas (OBES) yang berupa

variabel dummy juga tidak signifikan. Ini berarti bahwa tidak ada perbedaan

antara jenis kelamin (JK) dan obesitas (OBES) terhadap rata-rata banyaknya

komplikasi yang muncul dari penyakit diabetes mellitus. Hal ini karena setelah di

uji signifikansi parameter dengan statistik uji Wald terlihat nilainya kurang dari

nilai statistik chi-kuadrat yang berarti bahwa tidak ditolak (variabel bebas

jenis kelamin (JK) dan obesitas (OBES) tidak berpengaruh).

Variabel bebas riwayat diabetes mellitus (RDM) dan tipe penyakit

diabetes mellitus (TPDM) yang berupa variabel dummy signifikan terhadap rata-

rata banyaknya komplikasi penyakit diabetes mellitus. Ini berarti bahwa ada

perbedaan antara riwayat diabetes mellitus (RDM) dan tipe penyakit diabetes

mellitus (TPDM) terhadap rata-rata banyaknya komplikasi yang muncul dari

penyakit diabetes mellitus. Hal ini disebabkan karena nilai statistik uji Wald kedua

variabel tersebut lebih besar dari statistik chi-kuadrat yang berarti bahwa

ditolak (variabel bebas riwayat diabetes mellitus (RDM) dan tipe penyakit

diabetes mellitus (TPDM) berpengaruh terhadap banyaknya komplikasi pada

penyakit diabetes mellitus). Sehingga, variabel yang masuk ke dalam model

regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan hanya dan .

Selanjutnya akan dilakukan estimasi parameter model regresi COM-Poisson untuk

variabel independen yang berpengaruh saja. Hasil estimasi parameter model

regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan dengan variabel independen

yang berpengaruh pada Lampiran disajikan pada Tabel 4.9.

Page 48: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

38

4.3.5 Model Regresi COM-Poisson untuk Data Tersensor Kanan dengan

Variabel Independen Berpengaruh

Berdasarkan Tabel 4.8 telah diketahui bahwa variabel independen yang

berpengaruh dalam model hanya dan . Kemudian, dilakukan

estimasi parameter model yang mengandung variabel yang berpengaruh saja.

Estimasi parameter model untuk variabel independen yang berpengaruh disajikan

dalam Tabel 4.9.

Tabel 4.9. Nilai Estimasi Parameter Regresi COM-Poisson untuk Data Tersensor

Kanan dengan Variabel Independen yang Berpengaruh.

Variabel Estimasi Parameter

Intercept

Berdasarkan estimasi parameter pada Tabel 4.9, maka model regresi

COM-Poisson untuk data tersensor kanan adalah

(4.23)

Berdasarkan persamaan dapat dilihat bahwa besarnya pengaruh

riwayat diabetes mellitus (RDM) sebesar dan tipe diabetes

mellitus (TPDM) sebesar . Hal ini berarti bahwa rata-rata

banyaknya komplikasi yang diderita oleh pasien yang mempunyai riwayat

diabetes mellitus dengan paling sedikit memiliki banyak komplikasi adalah

Page 49: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

39

sebesar pe-

nyakit. Sedangkan rata-rata banyaknya komplikasi yang diderita oleh pasien yang

tergantung pada insulin sebesar

penyakit. Jika pasien belum pernah dinyatakan positif terkena

diabetes mellitus dan mempunyai tipe diabetes mellitus yang tidak tergantung

pada insulin maka rata-rata banyaknya komplikasi penyakit yang muncul sebesar

penyakit.

Page 50: perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ESTIMASI .../Estimasi...regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

40

BAB V

PENUTUP

5.1. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil pembahasan yang telah dilakukan, diperoleh

kesimpulan.

1. Estimasi parameter model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan

menggunakan metode maksimum likelihood menghasilkan persamaan non

linear, sehingga untuk menyelesaikan estimasi parameter digunakan metode

iterasi Newton.

2. Berdasarkan contoh kasus yang digunakan, banyaknya komplikasi penyakit

diabetes mellitus di Surakarta dipengaruhi oleh faktor riwayat diabetes

mellitus (RDM) serta tipe diabetes mellitus (TPDM) dengan model regresinya

5.2. SARAN

Pada kajian ini hanya dibahas tentang estimasi parameter model regresi

COM-Poisson sebagai alternatif untuk mengatasi masalah data cacah yang

bersifat overdispersi maupun underdispersi dengan menggunakan metode

maksimum likelihood khususnya untuk data dependen tersensor kanan. Bagi

pembaca yang tertarik untuk mengembangkan skripsi ini, disarankan untuk

meneliti estimasi parameter model regresi COM-Poisson menggunakan metode

lain seperti metode Bayesian atau Autoregressive serta dengan mengambil jenis

data yang lain sebagai bahan perbandingan.