proses poisson
-
Upload
narwan-ginanjar -
Category
Education
-
view
1.350 -
download
5
Transcript of proses poisson
{ }0),( ≥ttNProstok-4-firda2
Proses stokastik ( ){ }0, ≥ttN dikatakan prosesmenghitung (counting process) jika ( ) atau tN t Nmenyatakan banyaknya kejadian yang terjadiselama waktu t (S.Osaki,1992).
Contoh:
1. ( )tN adalah banyaknya bayi yang lahir selamawaktu t. Maka { }0),( ≥ttN proses menghitung.
2. ( )tN adalah banyaknya orang yang datang keToserba Grya dalam waktu [0, ].tMaka proses menghitung.
Definisi :
4.1 Proses Menghitung
Prostok-4-firda3
Proses menghitung ( ){ }0, ≥ttN memenuhi sifat:
(i) ( ) 0≥tN
(ii)
(iii) Jika
( )tN adalah bilangan bulat
,ts < maka ( )tNsN ≤)(
(iv) Untuk ( ) ( )sNtNts −< , menyatakan
banyaknya kejadian yang terjadi pada interval .],( tswaktu
Prostok-4-firda4
Proses menghitung disebut proses dengan kenaikan bebas (independent increments) jika banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu terpisah adalah saling bebas.
artinya, banyaknya kejadian yang terjadi pdwaktu t, (yaitu N(t)), bebas dari banyaknyakejadian yang terjadi pd waktu antara t dan t+s,(yaitu N(t+s)-N(t)).
Prostok-4-firda5
Proses menghitung disebut proses dengan kenaikan stasioner (stationary increments) jika distribusi dari banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu tertentu hanya tergantung pada panjang dari interval tersebut, tidak bergantung pada letak interval tersebut.
Artinya, banyaknya kejadian pada interval waktu
]( stst ++ 21 , ( ) ( ))12 stNstN +−+(yaitu
mempunyai distribusi yang sama dengan banyaknya kejadian pada interval waktu ]( 21 , tt(yaitu ( ) ( ) ,)12 tNtN − untuk semua .0,21 >< stt
)(1 hohe h +=− − λλ
Prostok-4-firda6
Definisi:
Fungsi( )
.0lim0
=→ h
hfh
)(hf dikatakan )(ho jika
Contoh:
Untuk interval waktu yang kecil (h >0),
he λ− =
)(1 hohe h +−=− λλ (tidak ada kejadian pada interval waktu
yg kecil h>0)
(peluang ada kejadian pada interval waktu
yg kecil h>0)
2 3
0
( ) ( ) ( )1 ...
! 2! 3!
n
n
h h hh
n
λ λ λλ∞
=
− = − + − +∑
Prostok-4-firda7 7
Definisi 1:Suatu proses menghitung { }( ), 0N t t ≥ dikatakan proses Poisson dengan laju (parameter) 0λ >jika memenuhi:
(i) (0) 0N =(ii) Proses mempunyai kenaikan bebas stasioner (stationary independent increments)
(iii) ( ( ) 1) ( )P N h h o hλ= = +
( ( ) 2) ( )P N h o h≥ =(iv)
(S. Osaki,1992)
4.2 Definisi Proses Poisson
Prostok-4-firda8 8
Dari definisi ini, untuk berlaku,0t ≥
(menyatakan peluang bahwa ada k kejadian yang terjadipada interval (0,t].
0
( ) 1kk
P t∞
=
=∑Karena proses Poisson stasioner,maka
( ) ( ( ) | (0) 0) , 0,1, 2,...kP t P N t k N k= = = =
( ( ) ( ) ) ( ( ) | (0) 0) ( )
untuk sebarang 0, 0.kP N s t N s k P N t k N P t
s t
+ − = = = = =≥ ≥
hukum peluang total
Prostok-4-firda9 9
Definisi 2:Suatu proses menghitung { }( ), 0N t t ≥ dikatakan
proses Poisson dengan laju (parameter) 0λ >jika memenuhi:
(i) (0) 0N =
(ii) Proses mempunyai kenaikan bebas (independent increments)(iii) Peluang ada k kejadian dalam interval waktu t:
, 0. ( ) ( ) ( ).s t N s t N s POI tλ∀ ≥ ⇒ + − :
(S. Osaki,1992)
( ) ( )( ) ( ) ( ) , 0,1,...
!
kt
k
tP t P N t s N s k e k
kλλ −= + − = = =
Prostok-4-firda10
( ) ,][ ttNE λ=
( )[ ]E N t
tλ = = rate (laju dari proses)
= rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi per waktu t.
Maka
( )[ ] ,Var N t tλ=
Prostok-4-firda11
Definisi 1 dan Definisi 2 ekivalen
Bukti:
(a) Definisi 1 Definisi 2
Sifat (i), (ii) jelas
Selanjutnya, tulis
( )( ) ( )kP t P N t k= =
Prostok-4-firda12
( )0)()(,0)( =−+== tNhtNtNP
( ) ( )0)(0 =+=+ htNPhtP
( ) ( )0)()(0)( =−+== tNhtNPtNP
)()( 00 hPtP=
))(1)((0 hohtP +−= λ
kenaikanbebas
kenaikanstasioner
Sifat (iii),(iv)
0 0( ) ( ) ( )P t hP t o hλ= − +
Untuk k = 0,
Prostok-4-firda13
Dari bentuk
( )0 0 0( ) ( ) ( )P t h P t hP t o hλ+ == − +
( ) 0 00
0
( ) ( )' lim
h
P t h P tP t
h→
+ −=
diperoleh :
00
( )lim ( )h
o hP t
hλ
→= − +
0 0'( ) ( )P t P tλ=−
0 (0) 1P =Dengan syarat awal
0 ( ) .tP t Ce λ−⇒ =
0 ( ) .tP t e λ−⇒ =
Prostok-4-firda14
( )( )( )
( ) , ( ) ( ) 0
( ) 1, ( ) ( ) 1
( ) 2, ( ) ( ) 2
P N t k N t h N t
P N t k N t h N t
P N t k N t h N t
= = + − =
+ = − + − =
+ ≤ − + − ≥
( ) ( )khtNPhtPk =+=+ )(
1( )(1 ( )) ( )( ( )) ( )k kP t h o h P t h o h o hλ λ−= − + + + +
)()()()()( 110 hohPtPhPtP kk ++= −
( ( ) ) ( ( ) 0) ( ( ) 1) ( ( ) 1)
( ( ) 2) ( ( ) 2)
P N t k P N h P N t k P N h
P N t k P N h
= = = + = − =+ ≤ − ≥
Untuk 1,k ≥
Prostok-4-firda15
( )0
( ) ( )' lim k kk
h
P t h P tP t
h→
+ −=
( ) 1(1 ) ( ) ( ) ( )k k kP t h h P t hP t o hλ λ −+ = − + +
atau
Dari sini diperoleh :
1( ) ( )k kP t P tλ λ −= − +
)()()(' 1 tPtPtP kkk −=+ λλ
Atau ditulis, PDB linear
tk
k ek
ttP λλ −=
!
)()(
Prostok-4-firda16
{ }1( ) ( )t tk kP t e e P t dtλ λ λ−
−= ∫Untuk k =1,
ttetP λλ −=)(1
Dengan induksi matematik diperoleh:
Dengan syarat awal P1(0)=0, diperoleh:
{ }1 0( ) ( )t tP t e e P t dtλ λ λ−⇒ = ∫
Hal ini menunjukkan
( ) ( )( ) ( )
!
ktt
P N t s N s k ek
λλ −+ − = = (Sifat (iii) Definisi 2).
Prostok-4-firda17
(b) Definisi 2 Definisi 1
Sifat (i) jelas
Dari sifat (iii) definisi 2, ( ) ( )N t s N s+ −mempunyai distribusi yang sama dengan ( ),N t
Artinya, punya kenaikan stasioner (sifat (ii) definisi 1).
Selanjutnya, dari sifat (iii) definisi 2,
( ( ) 1) hP N h he λλ −= =2 3 4( ) ( ) ( )
1 ...2! 3! 4!
h h hh h
λ λ λλ λ
= − + − + −
18
3 4 52 ( ) ( ) ( )
( ( ) 1) ( ) ...2! 3! 4!
h h hP N h h h
λ λ λλ λ
= = + − + − + − ( )h o hλ= +
(memenuhi sifat (iii) definisi 1).
Selanjutnya,( )
2
( ( ) 2)!
k
h
k
hP N h e
kλ λ∞
−
=
≥ = ∑2 3 4( ) ( ) ( )
...2! 3! 4!
h h h he λ λ λ λ−
= + + +
( )2
2 ( )1...
2! 3! 4!h hh
h e λ λλλ − = + + +
( ) ( ) 22
2 !
k
h
k
hh e
kλ λ
λ−∞
−
=
= ∑( )o h=
(memenuhi sifat (iv) definisi 1.
Prostok-4-firda19
Contoh:
1. Pelanggan tiba di toko mengikuti proses Poisson
dengan laju 2 orang per jam selama jam kerja dari
pukul 10.00 (t=0) sampai pukul 18.00.
a. Tentukan peluang bahwa k pelanggan (k = 0,1,2)
datang pada pukul 13.00 – 15.00.
b. Tentukan mean dan variansi dari kedatangan
pelanggan selama jam kerja.
Prostok-4-firda20
22.2 4
2
(2.2)2 (2) ( (2) 2) 8 0,147
2!k P P N e e− −= → = = = = =
12.2 4
1
(2.2)1 (2) ( (2) 1) 4 0,073
1!k P P N e e− −= → = = = = =
Jawab: 2;)(~)( =λλtPOItN
a. waktu: 13.00 – 15.00 t =2.
tk
k ek
tktNPtP λλ −===
!
)())(()(
02.2 4
0
(2.2)0 (2) ( (2) 0) 0,018
0!k P P N e e− −= → = = = = =
Prostok-4-firda21
168.2))8(( ==NVar
168.2)]8([ ==NE
b. Selama jam kerja ( 10.00 – 18.00 ) t = 8
[ ( )] ;E N t tλ=
2. Panggilan telepon mengikuti proses Poisson dengan
laju 10/jam.
a. Tentukan peluang bahwa ada 8 panggilan teleponterjadi pada satu jam pertama.
b. Tentukan peluang terdapat 3 panggilan telepon pada setengah jam pertama dan 6 panggilan telepon
pada setengah jam kedua.
( ( ))Var N t tλ=
( )( ) ( )( )65,0)1(35,0 =−== NNPNP
( ) ( ) ( ) ( ) 02,0!6
)5,0.(10.
!3
)5,0.(10 5,0106
5,0103
== −− ee
( )( ) ( )( )65,035,0 === NPNP
Prostok-4-firda22
10=λJawab:
a. 8 (1) ( (1) 8)P P N= = =
b. ( ) ( )( )65,0)1(,35,0 =−= NNNPkenaikan bebas
kenaikan stasioner
81010
0,1138!e− =
Waktu antar kedatangan
23
Berdasarkan proses menghitung { } ,0),( ≥ttNN(t) menyatakan banyaknya kejadian sampai waktu t.
Perhatikan bahwa kejadian-kejadian tersebut dapat terjadi kapan saja dalam interval (0,t].
Misalkan kejadian pertama terjadi pada saat disini
1 ,t1 1( ) 1dan ( ) 0 untuk .N t N t t t= = <
Kejadian kedua terjadi pada saat dan
2 2,maka ( ) 2t N t =1 2( ) 1untuk .N t t t t= ≤ <
Disini, adalah panjang waktu terjadinya kejadian ke k+1 setelah kejadian ke k.
_ 1k kt t+ −
Panjang selang ini disebut dengan waktu antar kedatangan/waktu antar kejadian.
Ilustrasi
Prostok-4-firda24
1t 2t 3t 1it − it
1i i iX t t −= −
1( ) 1N t =
2( ) 2N t =
1X 2X
Waktu antar kedatangan
2 1 2( ) 2, ( ) 1 untukN t N t t t t→ = = ≤ <
1 1( ) 1, ( ) 0 untukN t N t t t→ = = <
Prostok-4-firda25
Definisi:
Berdasarkan proses menghitung { } ,0),( ≥ttN
Misalkan 1X adalah waktu dari kejadian pertama.
Untuk ,1≥n misalkan nX adalah waktu antara
kejadian ke (n-1) dan kejadian ke n.
Maka { }1, ≥nX n disebut barisan waktu antar
kedatangan/waktu antar kejadian.
Prostok-4-firda26
Teorema
Waktu antar kedatangan ,...2,1, =nX n dari suatu proses Poisson adalah saling bebas dan berdistribusi eksponensial dengan parameter
Bukti:
Catat bahwa, terjadi jika tidak ada kejadiandari proses Poisson yang terjadi pada interval [0,t].
{ }tX >1
Akan ditunjukkan )(~,...,,, 321 λEXPXXXX n
Ini identik dengan { }( ) 0 .N t =
4.3 Distribusi Waktu Antar Kedatangan
.λ
0 t X1
Prostok-4-firda27
maka
tetNPtXPtXP λ−−==−=>−=≤ 1)0)((1)(1)( 11
Jadi )(~1 λEXPX
Untuk ,2X
)|(1)|( 1212 sXtXPsXtXP =>−==≤
kita dapatkan distribusi bersyarat dengan kejadian pertama terjadi pada waktu s.
11 ( ( ) ( ) 0 | )P N t s N s X s= − + − = =
)0)()((1 =−+−= sNstNP
)0)((1 =−= tNP
te λ−−=1
kenaikan bebas
kenaikan stasioner
)(~2 λEXPX⇒
Prostok-4-firda28
Dengan induksi matematika, kita dapatkan,tiap waktu antar kedatangan adalah saling bebas dan berdistribusi eksponensial dengan parameter . (terbukti)
nX
Contoh
Jika kedatangan pasien ke sebuah rumah sakit mengikutiproses Poisson dengan laju 5/jam, tentukan distribusi peluangdari waktu antar kedatangan pasien ke 10 dan ke 11.
Jawab:Berdasarkan teorema, waktu antar kedatangan pasien berdistribusi eksponensial dengan parameter 5/jam.
λ
2
1 1, 1, 2,..., ~ ( ) [ ] , [ ] .k k kX k n EXP E X Var Xλ
λ λ= → = =
Prostok-4-firda29
Soal
1. Toko buka dari pukul 9.00 sampai 18.00. Pelanggan datang mengikuti proses Poisson dengan laju 10 orang per jam selama jam kerja. a. Tentukan mean dan variansi kedatangan pelanggan selama jam kerja. b. Tentukan peluang tidak ada pelanggan yang datang dalam waktu setengah jam.
2. Toko buka dari pukul 9.00 sampai 18.00. Pelanggan datang mengikuti proses Poisson dengan mean dari waktu antar kedatangan adalah 6 menit. a. Tentukan peluang ada k pelanggan (k=0,1,2) datang dalam waktu setengah jam b. Tentukan mean dan variansi kedatangan pelanggan selama jam kerja.
Prostok-4-firda30
3. Banyaknya panggilan telepon di suatu kantor mengikuti proses Poisson dengan laju 2 kali per menit. Tentukan peluang bahwa selang waktu antara 2 panggilan berturutan tidak lebih dari 4 menit.
4. Jika { }0),( ≥ttN adalah suatu proses Poisson,
Tunjukkan bahwa
knk
t
s
t
s
k
nntNksNP
−
−
=== 1))(|)((
nk ,...,2,1,0= untuk .ts <
Prostok-4-firda31
Jika nS adalah waktu tunggu sampai kejadian ke n, maka
,...2,1,...21 =+++= nXXXS nn
Realisasi dari waktu antar kedatangan dan waktu tunggu
1X 2X nX
1S 2S 3S 1nS − nS
nS
Waktu menunggu dan distribusinya
Waktu menunggu sampai kejadian ke n adalah :
1 2 1 3 2 1( ) ( ) ... ( )n nt t t t t t t −+ − + − + + −
Prostok-4-firda32
Untuk proses Poisson,
( ) ( ) dan ( ) , ( 1, 2,...)kN t POI t X EXP kλ λ =: :
01
, 0.n
n kk
S X S=
= =∑Perhatikan waktu tunggu,
Karena adalah bebas dan , 1, 2,...nX n = ( ),nX EXP λ:
maka ( , ),nS GAM nλ:
( ) 1
0
( )( 1)!
n xt
n
x eP S T dx
n
λλ λ − −
≤ =−∫
,0>λ
1
0
( ) ( )
( 1)! !
t n x it
i n
x e tdx e
n i
λλλ λ λ− − ∞
−
=
=− ∑∫
Prostok-4-firda34
Teorema
Untuk proses Poisson dengan laju
))(()( ntNPtSP n ≥=≤
yakni
Ekivalen dengan ))(()( ntNPtSP n <=>
yakni1 1
0
( ) ( )
( 1)! !
n x int
it
x e tdx e
n i
λλλ λ λ∞ − − −
−
=
=− ∑∫
Prostok-4-firda35
4.4 Distribusi bersyarat waktu antar kedatangan
1( | ( ) 1)P X s N t≤ = =
Distribusi bersyarat dari waktu antar kedatangan pertama diberikan ada kejadian pada waktu [0,t],,1X
Untuk ,ts ≤
)1)((
)0)()(()1)((
==−==
tNP
sNtNPsNP
)1)((
)0)(()1)((
==−==
tNP
stNPsNP
t
s
te
eset
sts
== −
−−−
λ
λλ
λλ )(.
1( , ( ) 1)
( ( ) 1)
P X s N t
P N t
≤ ==
Prostok-4-firda36
Superposisi proses Poisson
Misalkan proses
{ }0),()( 21 ≥+ ttNtN
{ }0),(1 ≥ttN
Maka
{ }0),(2 ≥ttN
proses Poison dengan laju
adalah proses Poisson dengan laju
juga merupakan
dan
λ dan µ
.µλ +
Bukti: Cobakan…
{ }0),( ≥ttN
Prostok-4-firda37
4.5 Proses Poisson Nonhomogen
Definisi:
Proses menghitung dikatakan
proses Poisson Nonhomogen atau nonstasionerdengan fungsi intensitas )(tλ jika memenuhi:
(i) N(0) = 0
(ii) Proses mempunyai kenaikan bebas
(iii) )()()1)()(( hohttNhtNP +==−+ λ)()2)()(( hotNhtNP =≥−+(iv)
Prostok-4-firda38
Proses Poisson homogen mempunyai parameter ( ).tλ
,λProses Poisson nonhomogen mempunyai parameter
Yakni,
0
( ) ( ) .t
m t x dxλ= ∫Maka kita punyai,
( ) ( ( ) | (0) 0)kP t P N t k N= = =
[ ] ( )( )
!
k m tm t e
k
−
= [ ( )] ( )E N t m t→ =
( )tλ disebut fungsi intensitas.
Prostok-4-firda39
1. Banyaknya pelanggan yang datang ke suatu toko mengikuti proses Poisson dengan laju 3 orang perjam. a. Tentukan nilai harapan jumlah pelanggan yang datang antara pukul 8.00 dan 10.00 di suatu pagi. b. Tentukan peluang bahwa untuk menunggu datangnya 7 pelanggan dibutuhkan waktu lebih dari 2 jam. 2. Banyaknya kecelakaan pada jalan tol mengikuti proses Poisson dengan laju 13 kali perbulan. a. Tentukan peluang bahwa selang waktu antara 2 kecelakaan berturut-turut tidak lebih dari 2 hari.
Soal
Prostok-4-firda40
b. Tentukan nilai harapan jumlah kecelakaan yang terjadi antara bulan Maret 2011 dan bulan Juli 2011. (catat bahwa 1 bulan = 30 hari).3. Supermarket buka dari pukul 10.00 sampai pukul 20.00 Pelanggan datang mengikuti proses Poisson non homogen dengan fungsi intensitas:
≤≤−<≤
<≤+<≤
=
108;40400
86;80
62;2010
20;20
)(
tt
t
tt
tt
tλ
a. Hitung rataan dan variansi dari kedatangan pelanggan pada waktu kerja dari 10.00 – 20.00.b. Hitung rataan dan variansi dari kedatangan pelanggan pada pukul 16.00 – 18.00.