proses poisson

40
Prostok-4-firda 1 4. PROSES POISSON

Transcript of proses poisson

Prostok-4-firda1

4. PROSES POISSON

{ }0),( ≥ttNProstok-4-firda2

Proses stokastik ( ){ }0, ≥ttN dikatakan prosesmenghitung (counting process) jika ( ) atau tN t Nmenyatakan banyaknya kejadian yang terjadiselama waktu t (S.Osaki,1992).

Contoh:

1. ( )tN adalah banyaknya bayi yang lahir selamawaktu t. Maka { }0),( ≥ttN proses menghitung.

2. ( )tN adalah banyaknya orang yang datang keToserba Grya dalam waktu [0, ].tMaka proses menghitung.

Definisi :

4.1 Proses Menghitung

Prostok-4-firda3

Proses menghitung ( ){ }0, ≥ttN memenuhi sifat:

(i) ( ) 0≥tN

(ii)

(iii) Jika

( )tN adalah bilangan bulat

,ts < maka ( )tNsN ≤)(

(iv) Untuk ( ) ( )sNtNts −< , menyatakan

banyaknya kejadian yang terjadi pada interval .],( tswaktu

Prostok-4-firda4

Proses menghitung disebut proses dengan kenaikan bebas (independent increments) jika banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu terpisah adalah saling bebas.

artinya, banyaknya kejadian yang terjadi pdwaktu t, (yaitu N(t)), bebas dari banyaknyakejadian yang terjadi pd waktu antara t dan t+s,(yaitu N(t+s)-N(t)).

Prostok-4-firda5

Proses menghitung disebut proses dengan kenaikan stasioner (stationary increments) jika distribusi dari banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu tertentu hanya tergantung pada panjang dari interval tersebut, tidak bergantung pada letak interval tersebut.

Artinya, banyaknya kejadian pada interval waktu

]( stst ++ 21 , ( ) ( ))12 stNstN +−+(yaitu

mempunyai distribusi yang sama dengan banyaknya kejadian pada interval waktu ]( 21 , tt(yaitu ( ) ( ) ,)12 tNtN − untuk semua .0,21 >< stt

)(1 hohe h +=− − λλ

Prostok-4-firda6

Definisi:

Fungsi( )

.0lim0

=→ h

hfh

)(hf dikatakan )(ho jika

Contoh:

Untuk interval waktu yang kecil (h >0),

he λ− =

)(1 hohe h +−=− λλ (tidak ada kejadian pada interval waktu

yg kecil h>0)

(peluang ada kejadian pada interval waktu

yg kecil h>0)

2 3

0

( ) ( ) ( )1 ...

! 2! 3!

n

n

h h hh

n

λ λ λλ∞

=

− = − + − +∑

Prostok-4-firda7 7

Definisi 1:Suatu proses menghitung { }( ), 0N t t ≥ dikatakan proses Poisson dengan laju (parameter) 0λ >jika memenuhi:

(i) (0) 0N =(ii) Proses mempunyai kenaikan bebas stasioner (stationary independent increments)

(iii) ( ( ) 1) ( )P N h h o hλ= = +

( ( ) 2) ( )P N h o h≥ =(iv)

(S. Osaki,1992)

4.2 Definisi Proses Poisson

Prostok-4-firda8 8

Dari definisi ini, untuk berlaku,0t ≥

(menyatakan peluang bahwa ada k kejadian yang terjadipada interval (0,t].

0

( ) 1kk

P t∞

=

=∑Karena proses Poisson stasioner,maka

( ) ( ( ) | (0) 0) , 0,1, 2,...kP t P N t k N k= = = =

( ( ) ( ) ) ( ( ) | (0) 0) ( )

untuk sebarang 0, 0.kP N s t N s k P N t k N P t

s t

+ − = = = = =≥ ≥

hukum peluang total

Prostok-4-firda9 9

Definisi 2:Suatu proses menghitung { }( ), 0N t t ≥ dikatakan

proses Poisson dengan laju (parameter) 0λ >jika memenuhi:

(i) (0) 0N =

(ii) Proses mempunyai kenaikan bebas (independent increments)(iii) Peluang ada k kejadian dalam interval waktu t:

, 0. ( ) ( ) ( ).s t N s t N s POI tλ∀ ≥ ⇒ + − :

(S. Osaki,1992)

( ) ( )( ) ( ) ( ) , 0,1,...

!

kt

k

tP t P N t s N s k e k

kλλ −= + − = = =

Prostok-4-firda10

( ) ,][ ttNE λ=

( )[ ]E N t

tλ = = rate (laju dari proses)

= rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi per waktu t.

Maka

( )[ ] ,Var N t tλ=

Prostok-4-firda11

Definisi 1 dan Definisi 2 ekivalen

Bukti:

(a) Definisi 1 Definisi 2

Sifat (i), (ii) jelas

Selanjutnya, tulis

( )( ) ( )kP t P N t k= =

Prostok-4-firda12

( )0)()(,0)( =−+== tNhtNtNP

( ) ( )0)(0 =+=+ htNPhtP

( ) ( )0)()(0)( =−+== tNhtNPtNP

)()( 00 hPtP=

))(1)((0 hohtP +−= λ

kenaikanbebas

kenaikanstasioner

Sifat (iii),(iv)

0 0( ) ( ) ( )P t hP t o hλ= − +

Untuk k = 0,

Prostok-4-firda13

Dari bentuk

( )0 0 0( ) ( ) ( )P t h P t hP t o hλ+ == − +

( ) 0 00

0

( ) ( )' lim

h

P t h P tP t

h→

+ −=

diperoleh :

00

( )lim ( )h

o hP t

→= − +

0 0'( ) ( )P t P tλ=−

0 (0) 1P =Dengan syarat awal

0 ( ) .tP t Ce λ−⇒ =

0 ( ) .tP t e λ−⇒ =

Prostok-4-firda14

( )( )( )

( ) , ( ) ( ) 0

( ) 1, ( ) ( ) 1

( ) 2, ( ) ( ) 2

P N t k N t h N t

P N t k N t h N t

P N t k N t h N t

= = + − =

+ = − + − =

+ ≤ − + − ≥

( ) ( )khtNPhtPk =+=+ )(

1( )(1 ( )) ( )( ( )) ( )k kP t h o h P t h o h o hλ λ−= − + + + +

)()()()()( 110 hohPtPhPtP kk ++= −

( ( ) ) ( ( ) 0) ( ( ) 1) ( ( ) 1)

( ( ) 2) ( ( ) 2)

P N t k P N h P N t k P N h

P N t k P N h

= = = + = − =+ ≤ − ≥

Untuk 1,k ≥

Prostok-4-firda15

( )0

( ) ( )' lim k kk

h

P t h P tP t

h→

+ −=

( ) 1(1 ) ( ) ( ) ( )k k kP t h h P t hP t o hλ λ −+ = − + +

atau

Dari sini diperoleh :

1( ) ( )k kP t P tλ λ −= − +

)()()(' 1 tPtPtP kkk −=+ λλ

Atau ditulis, PDB linear

tk

k ek

ttP λλ −=

!

)()(

Prostok-4-firda16

{ }1( ) ( )t tk kP t e e P t dtλ λ λ−

−= ∫Untuk k =1,

ttetP λλ −=)(1

Dengan induksi matematik diperoleh:

Dengan syarat awal P1(0)=0, diperoleh:

{ }1 0( ) ( )t tP t e e P t dtλ λ λ−⇒ = ∫

Hal ini menunjukkan

( ) ( )( ) ( )

!

ktt

P N t s N s k ek

λλ −+ − = = (Sifat (iii) Definisi 2).

Prostok-4-firda17

(b) Definisi 2 Definisi 1

Sifat (i) jelas

Dari sifat (iii) definisi 2, ( ) ( )N t s N s+ −mempunyai distribusi yang sama dengan ( ),N t

Artinya, punya kenaikan stasioner (sifat (ii) definisi 1).

Selanjutnya, dari sifat (iii) definisi 2,

( ( ) 1) hP N h he λλ −= =2 3 4( ) ( ) ( )

1 ...2! 3! 4!

h h hh h

λ λ λλ λ

= − + − + −

18

3 4 52 ( ) ( ) ( )

( ( ) 1) ( ) ...2! 3! 4!

h h hP N h h h

λ λ λλ λ

= = + − + − + − ( )h o hλ= +

(memenuhi sifat (iii) definisi 1).

Selanjutnya,( )

2

( ( ) 2)!

k

h

k

hP N h e

kλ λ∞

=

≥ = ∑2 3 4( ) ( ) ( )

...2! 3! 4!

h h h he λ λ λ λ−

= + + +

( )2

2 ( )1...

2! 3! 4!h hh

h e λ λλλ − = + + +

( ) ( ) 22

2 !

k

h

k

hh e

kλ λ

λ−∞

=

= ∑( )o h=

(memenuhi sifat (iv) definisi 1.

Prostok-4-firda19

Contoh:

1. Pelanggan tiba di toko mengikuti proses Poisson

dengan laju 2 orang per jam selama jam kerja dari

pukul 10.00 (t=0) sampai pukul 18.00.

a. Tentukan peluang bahwa k pelanggan (k = 0,1,2)

datang pada pukul 13.00 – 15.00.

b. Tentukan mean dan variansi dari kedatangan

pelanggan selama jam kerja.

Prostok-4-firda20

22.2 4

2

(2.2)2 (2) ( (2) 2) 8 0,147

2!k P P N e e− −= → = = = = =

12.2 4

1

(2.2)1 (2) ( (2) 1) 4 0,073

1!k P P N e e− −= → = = = = =

Jawab: 2;)(~)( =λλtPOItN

a. waktu: 13.00 – 15.00 t =2.

tk

k ek

tktNPtP λλ −===

!

)())(()(

02.2 4

0

(2.2)0 (2) ( (2) 0) 0,018

0!k P P N e e− −= → = = = = =

Prostok-4-firda21

168.2))8(( ==NVar

168.2)]8([ ==NE

b. Selama jam kerja ( 10.00 – 18.00 ) t = 8

[ ( )] ;E N t tλ=

2. Panggilan telepon mengikuti proses Poisson dengan

laju 10/jam.

a. Tentukan peluang bahwa ada 8 panggilan teleponterjadi pada satu jam pertama.

b. Tentukan peluang terdapat 3 panggilan telepon pada setengah jam pertama dan 6 panggilan telepon

pada setengah jam kedua.

( ( ))Var N t tλ=

( )( ) ( )( )65,0)1(35,0 =−== NNPNP

( ) ( ) ( ) ( ) 02,0!6

)5,0.(10.

!3

)5,0.(10 5,0106

5,0103

== −− ee

( )( ) ( )( )65,035,0 === NPNP

Prostok-4-firda22

10=λJawab:

a. 8 (1) ( (1) 8)P P N= = =

b. ( ) ( )( )65,0)1(,35,0 =−= NNNPkenaikan bebas

kenaikan stasioner

81010

0,1138!e− =

Waktu antar kedatangan

23

Berdasarkan proses menghitung { } ,0),( ≥ttNN(t) menyatakan banyaknya kejadian sampai waktu t.

Perhatikan bahwa kejadian-kejadian tersebut dapat terjadi kapan saja dalam interval (0,t].

Misalkan kejadian pertama terjadi pada saat disini

1 ,t1 1( ) 1dan ( ) 0 untuk .N t N t t t= = <

Kejadian kedua terjadi pada saat dan

2 2,maka ( ) 2t N t =1 2( ) 1untuk .N t t t t= ≤ <

Disini, adalah panjang waktu terjadinya kejadian ke k+1 setelah kejadian ke k.

_ 1k kt t+ −

Panjang selang ini disebut dengan waktu antar kedatangan/waktu antar kejadian.

Ilustrasi

Prostok-4-firda24

1t 2t 3t 1it − it

1i i iX t t −= −

1( ) 1N t =

2( ) 2N t =

1X 2X

Waktu antar kedatangan

2 1 2( ) 2, ( ) 1 untukN t N t t t t→ = = ≤ <

1 1( ) 1, ( ) 0 untukN t N t t t→ = = <

Prostok-4-firda25

Definisi:

Berdasarkan proses menghitung { } ,0),( ≥ttN

Misalkan 1X adalah waktu dari kejadian pertama.

Untuk ,1≥n misalkan nX adalah waktu antara

kejadian ke (n-1) dan kejadian ke n.

Maka { }1, ≥nX n disebut barisan waktu antar

kedatangan/waktu antar kejadian.

Prostok-4-firda26

Teorema

Waktu antar kedatangan ,...2,1, =nX n dari suatu proses Poisson adalah saling bebas dan berdistribusi eksponensial dengan parameter

Bukti:

Catat bahwa, terjadi jika tidak ada kejadiandari proses Poisson yang terjadi pada interval [0,t].

{ }tX >1

Akan ditunjukkan )(~,...,,, 321 λEXPXXXX n

Ini identik dengan { }( ) 0 .N t =

4.3 Distribusi Waktu Antar Kedatangan

0 t X1

Prostok-4-firda27

maka

tetNPtXPtXP λ−−==−=>−=≤ 1)0)((1)(1)( 11

Jadi )(~1 λEXPX

Untuk ,2X

)|(1)|( 1212 sXtXPsXtXP =>−==≤

kita dapatkan distribusi bersyarat dengan kejadian pertama terjadi pada waktu s.

11 ( ( ) ( ) 0 | )P N t s N s X s= − + − = =

)0)()((1 =−+−= sNstNP

)0)((1 =−= tNP

te λ−−=1

kenaikan bebas

kenaikan stasioner

)(~2 λEXPX⇒

Prostok-4-firda28

Dengan induksi matematika, kita dapatkan,tiap waktu antar kedatangan adalah saling bebas dan berdistribusi eksponensial dengan parameter . (terbukti)

nX

Contoh

Jika kedatangan pasien ke sebuah rumah sakit mengikutiproses Poisson dengan laju 5/jam, tentukan distribusi peluangdari waktu antar kedatangan pasien ke 10 dan ke 11.

Jawab:Berdasarkan teorema, waktu antar kedatangan pasien berdistribusi eksponensial dengan parameter 5/jam.

λ

2

1 1, 1, 2,..., ~ ( ) [ ] , [ ] .k k kX k n EXP E X Var Xλ

λ λ= → = =

Prostok-4-firda29

Soal

1. Toko buka dari pukul 9.00 sampai 18.00. Pelanggan datang mengikuti proses Poisson dengan laju 10 orang per jam selama jam kerja. a. Tentukan mean dan variansi kedatangan pelanggan selama jam kerja. b. Tentukan peluang tidak ada pelanggan yang datang dalam waktu setengah jam.

2. Toko buka dari pukul 9.00 sampai 18.00. Pelanggan datang mengikuti proses Poisson dengan mean dari waktu antar kedatangan adalah 6 menit. a. Tentukan peluang ada k pelanggan (k=0,1,2) datang dalam waktu setengah jam b. Tentukan mean dan variansi kedatangan pelanggan selama jam kerja.

Prostok-4-firda30

3. Banyaknya panggilan telepon di suatu kantor mengikuti proses Poisson dengan laju 2 kali per menit. Tentukan peluang bahwa selang waktu antara 2 panggilan berturutan tidak lebih dari 4 menit.

4. Jika { }0),( ≥ttN adalah suatu proses Poisson,

Tunjukkan bahwa

knk

t

s

t

s

k

nntNksNP

=== 1))(|)((

nk ,...,2,1,0= untuk .ts <

Prostok-4-firda31

Jika nS adalah waktu tunggu sampai kejadian ke n, maka

,...2,1,...21 =+++= nXXXS nn

Realisasi dari waktu antar kedatangan dan waktu tunggu

1X 2X nX

1S 2S 3S 1nS − nS

nS

Waktu menunggu dan distribusinya

Waktu menunggu sampai kejadian ke n adalah :

1 2 1 3 2 1( ) ( ) ... ( )n nt t t t t t t −+ − + − + + −

Prostok-4-firda32

Untuk proses Poisson,

( ) ( ) dan ( ) , ( 1, 2,...)kN t POI t X EXP kλ λ =: :

01

, 0.n

n kk

S X S=

= =∑Perhatikan waktu tunggu,

Karena adalah bebas dan , 1, 2,...nX n = ( ),nX EXP λ:

maka ( , ),nS GAM nλ:

( ) 1

0

( )( 1)!

n xt

n

x eP S T dx

n

λλ λ − −

≤ =−∫

Prostok-4-firda33

ntNtSn ≥≤ )(dan

Hubungan antara ;)(dan tNSn

ntNtSn ≥⇔≤ )(

Hubungan antara

,0>λ

1

0

( ) ( )

( 1)! !

t n x it

i n

x e tdx e

n i

λλλ λ λ− − ∞

=

=− ∑∫

Prostok-4-firda34

Teorema

Untuk proses Poisson dengan laju

))(()( ntNPtSP n ≥=≤

yakni

Ekivalen dengan ))(()( ntNPtSP n <=>

yakni1 1

0

( ) ( )

( 1)! !

n x int

it

x e tdx e

n i

λλλ λ λ∞ − − −

=

=− ∑∫

Prostok-4-firda35

4.4 Distribusi bersyarat waktu antar kedatangan

1( | ( ) 1)P X s N t≤ = =

Distribusi bersyarat dari waktu antar kedatangan pertama diberikan ada kejadian pada waktu [0,t],,1X

Untuk ,ts ≤

)1)((

)0)()(()1)((

==−==

tNP

sNtNPsNP

)1)((

)0)(()1)((

==−==

tNP

stNPsNP

t

s

te

eset

sts

== −

−−−

λ

λλ

λλ )(.

1( , ( ) 1)

( ( ) 1)

P X s N t

P N t

≤ ==

Prostok-4-firda36

Superposisi proses Poisson

Misalkan proses

{ }0),()( 21 ≥+ ttNtN

{ }0),(1 ≥ttN

Maka

{ }0),(2 ≥ttN

proses Poison dengan laju

adalah proses Poisson dengan laju

juga merupakan

dan

λ dan µ

.µλ +

Bukti: Cobakan…

{ }0),( ≥ttN

Prostok-4-firda37

4.5 Proses Poisson Nonhomogen

Definisi:

Proses menghitung dikatakan

proses Poisson Nonhomogen atau nonstasionerdengan fungsi intensitas )(tλ jika memenuhi:

(i) N(0) = 0

(ii) Proses mempunyai kenaikan bebas

(iii) )()()1)()(( hohttNhtNP +==−+ λ)()2)()(( hotNhtNP =≥−+(iv)

Prostok-4-firda38

Proses Poisson homogen mempunyai parameter ( ).tλ

,λProses Poisson nonhomogen mempunyai parameter

Yakni,

0

( ) ( ) .t

m t x dxλ= ∫Maka kita punyai,

( ) ( ( ) | (0) 0)kP t P N t k N= = =

[ ] ( )( )

!

k m tm t e

k

= [ ( )] ( )E N t m t→ =

( )tλ disebut fungsi intensitas.

Prostok-4-firda39

1. Banyaknya pelanggan yang datang ke suatu toko mengikuti proses Poisson dengan laju 3 orang perjam. a. Tentukan nilai harapan jumlah pelanggan yang datang antara pukul 8.00 dan 10.00 di suatu pagi. b. Tentukan peluang bahwa untuk menunggu datangnya 7 pelanggan dibutuhkan waktu lebih dari 2 jam. 2. Banyaknya kecelakaan pada jalan tol mengikuti proses Poisson dengan laju 13 kali perbulan. a. Tentukan peluang bahwa selang waktu antara 2 kecelakaan berturut-turut tidak lebih dari 2 hari.

Soal

Prostok-4-firda40

b. Tentukan nilai harapan jumlah kecelakaan yang terjadi antara bulan Maret 2011 dan bulan Juli 2011. (catat bahwa 1 bulan = 30 hari).3. Supermarket buka dari pukul 10.00 sampai pukul 20.00 Pelanggan datang mengikuti proses Poisson non homogen dengan fungsi intensitas:

≤≤−<≤

<≤+<≤

=

108;40400

86;80

62;2010

20;20

)(

tt

t

tt

tt

a. Hitung rataan dan variansi dari kedatangan pelanggan pada waktu kerja dari 10.00 – 20.00.b. Hitung rataan dan variansi dari kedatangan pelanggan pada pukul 16.00 – 18.00.