A.Judul Penelitian: Optimasi Pemotongan Stok Satu Dimensi dengan Menggunakan Metode Branch and Bound B. Bidang Studi C. Pendahuluan Pada umumnya pemotongan stok dilakukan oleh industri pengolahan kayu yang memproduksi bahan dengan ukuran standar. Selanjutnya bahan ini akan dipotong menjadi beberapa bagian sesuai dengan ukuran permintaan. Dalam prakteknya suatu pesanan dipenuhi dengan menyetel pisau pemotong sesuai dengan ukuran yang diminta. Optimasi ini dilakukan untuk mengoptimalkan penggunaan kayu ukuran standar dengan cara meminimumkan sisa pemotongan. Misalkan sebuah perusahaan kayu memproduksi kayu berukuran standar dengan panjang 13 m. Pesanan khusus dengan panjang yang berbeda-beda dipenuhi dengan memotong panjang standar. Banyaknya pesanan dapat dilihat pada Tabel 1. : Operasi Riset

Tabel 1. Contoh pesanan pada persoalan pemotongan stok Pesanan (i) 1 2 3 Panjang yang diinginkan (meter) 2 3 4 Jumlah yang dipesan (batang) 25 20 15

Untuk menentukan solusi optimal persoalan pemotongan stok ini, langkah pertama yang perlu dilakukan adalah menentukan semua pola yang mungkin dan kemudian menentukan semua kombinasi yang layak. Untuk menentukan semua kombinasi yang layak inilah Program Linear memiliki peran dan teknik pendekatan yang sistematis. Semua pola pemotongan yang mungkin dapat dilihat pada Tabel 2 berikut :

1

Tabel 2 Pola pemotongan stok yang mungkin Pola (j) Jumlah Panjang 2m (batang) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 5 4 3 3 2 2 1 1 0 0 0 Jumlah Panjang 3m (batang) 0 1 0 2 1 3 0 2 1 4 3 0 Jumlah Panjang 4m (batang) 0 0 1 0 1 0 2 1 2 0 1 3 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 Sisa (m)

Semua pola pada Tabel 2 diatas memungkinkan untuk memenuhi pesanan, namun disini untuk sebagai contoh hanya digunakan sebagian pola pemotongan panjang standar, misalkan disini terdapat 6 pola pemotongan stok seperti pada Gambar 1.2m 2m 2m 3m 3m 1m

Pola 12m 2m 2m 3m 4m

2

Pola 2

2m

2m

3m

3m

3m

Pola 32m m 2m 4m 4m 1

Pola 42m 1m 3m 3m 4 m

Pola 5 2m Pola 6 Gambar 1. Pola pemotongan Satu Dimensi Semua pola diatas dapat digunakan untuk memotong kayu dengan ukuran standar, sehingga pola pesanan dapat terpenuhi. Disini kita akan mencari pola mana yang terbaik. Untuk menentukan pola mana yang terbaik dapat ditentukan dengan 3m 4m 4m

mempertimbangkan sisa pemotongan. Untuk memenuhi pesanan dengan panjang 2 m, 3 m, dan 4 m, semua pola diatas dapat dikombinasikan sedemikian cara. Berikut adalah sebagian dari kombinasi yang layak digunakan : 1. Potong panjang standar sebanyak 6 batang dengan menggunakan pola 1 dan 8 batang dengan pola 6, 2. Potong panjang standar sebanyak 7 batang dengan menggunakan pola 3 dan 8 batang dengan pola 4, dan

3

3. Potong panjang standar sebanyak 6 batang dengan menggunakan pola 2 dan 9 batang dengan pola 5 Dari tiga kombinasi diatas, dapat ditentukan pola mana yang terbaik dengan mempertimbangkan sisa pemotongan. Sisa pemotongan yang dihasilkan dari ketiga kombinasi diatas adalah : Kombinasi 1 : 6 x 1 m = 6 m Kombinasi 2 : 8 x 1 m = 8 m Kombinasi 3 : 9 x 1 m = 9 m Selanjutnya setiap produksi surplus dengan panjang 2, 3, dan 4 m harus dipertimbangkan dalam perhitungan sebagai sisa pemotongan. Sisa pemotongan dari panjang 2, 3 dan 4 m adalah sebagai berikut: Kombinasi 1: produksi surplus (1 x 2 m)+(1 x 4 m) = 6 m. Kombinasi 2: produksi surplus (5 x 2 m)+(1 x 3 m)+(1 x4 m) = 17 m. Kombinasi 3: produksi surplus (2 x 2 m)+(4 x 3 m) = 16 m Total sisa pemotongan Kombinasi 1: 6 + 6 = 12 m Kombinasi 2 : 8 + 17 = 25 m Kombinasi 3 : 9 + 16 = 25 m Jadi kombinasi 1 lebih baik karena menghasilkan sisa pemotongan lebih sedikit. Untuk menentukan semua pola yang mungkin tidak begitu sulit, namun menentukan semua kombinasi yang layak merupakan suatu pekerjaan yang berat. Disinilah model Program Linear memegang peranan dan teknik pendekatan yang sistematis. Pola pemotongan stok pada Tabel 2 dapat dinyatakan dalam Program Linear, namun rumusan persoalan pemotongan stok ini tidak praktis karena j pola pemotongan stok sangat besar dan i pesanan juga berukuran besar [1:h.851] . Oleh karena itu untuk mengatasi masalah pola pemotongan stok yang sangat besar ini dapat dilakukan dengan menggunakan metode pembangkit kolom dengan terlebih dahulu mengabaikan syarat pembatas bilangan bulat. Kemudian solusi yang diperoleh dibulatkan keatas kebilangan bulat terdekat. Dengan teknik ini akan diperoleh pola-

4

pola yang paling layak, yaitu pola yang menghasilkan sisa pemotongan paling minimum. Penyelesaian dengan teknik ini, iterasinya akan menghasilkan suatu subpersoalan yang dinamakan persoalan knapsack dan digunakan metode Branch and Bound untuk menyelesaikannya. D. Perumusan Masalah Adapun masalah yang dibahas dalam penelitian ini adalah menentukan solusi optimal dari persoalan pemotongan stok satu dimensi dimana pola dari pemotongan stok pada Tabel 2 dapat dinyatakan bentuk Program Linear berikut: Min z = Terhadap pembatas

Kemudian

Program Linear diatas diselesaikan dengan menggunakan teknik

pembangkit kolom, dimana teknik pembangkit kolom ini ekuivalen dalam menyelesaikan subpersoalan knapsack (Program Linear dengan satu pembatas). Solusi dari persoalan knapsack tersebut diperoleh dengan menggunakan metode Branch and Bound. E. Tinjauan Pustaka Berikut ini akan digunakan beberapa definisi yang mendukung penelitian ini : 1. Metode Simpleks yang direvisi

5

Metode simplek yang direvisi merupakan suatu metode yang digunakan untuk melakukan satu iterasi ke iterasi berikutnya dalam Program Linear. Dari permasalahan pemotongan stok diatas, misalkan n = banyaknya pola pemotongan yang mungkin, panjang standar, panjang jumlah panjang standar yang dipotong menurut pola j, L = = jumlah pesanan untuk panjang i, = jumlah potongan untuk . Maka dari

dengan pola j,

= banyaknya pesanan untuk panjang

persoalan pemotongan stok dalam upaya meminimumkan sisa dapat diperoleh bentuk umum Program Linear berikut : Min Terhadap pembatas ...(1.1)

. . . , i = 1, 2, ,m

2. Bentuk Hasil Kali Invers Untuk menyelesaikan bentuk umum program linier diatas dengan m kendala. Misalkan r. Kolom masuk basis dan uji rasio untuk menentukan bahwa pada tabel kini adalah: [ (2.1) Definisikan matriks berukuran x ] masuk basis pada

6

1 0 . . . 0 . . . 0 . . .

0 ... 1 ... . . . 0 ... . . . . . .

... 0 ... 0 . . . ... 0 . . . ... 0

0 ...

adalah matriks identitas berukuran vektor kolom [ (2.2)

dengan kolom ke

ditukar dengan

]

Definisi 2.1 [6:h.560] Suatu matriks ( seperti E) yang berbeda satu kolom dengan matriks identitas dinamakan matriks elementer. Selanjutnya sebagai matriks elementer E yang berkaitan dengan iterasi simpleks ke

i. Bentuk hasil kali invers secara umum dapat ditulis [6:h.561] :

(2.3) 3. Hubungan Primal Dual

7

Teorema 3.1(Teorema Dualitas)[4:h.68] Jika suatu solusi untuk persoalan primal, dan sama dan:

suatu solusi fisibel

suatu solusi fisibel untuk dual dari persoalan yang

...(3.1) Maka adalah solusi optimal untuk primal dan solusi optimal untuk dual.

Pada persoalan pemotongan stok ini Primal-Dual digunakan untuk mendapatkan nilai Dual (Dual Price). Berdasarkan teorema dual, jika VB adalah basis optimal untuk persoalan primal adalah solusi optimal untuk persoalan dual. Nilai Dual yang dilambangkan dengan . Dalam

untuk persamaan ke-i dari perkalian

persoalan pemotongan stok digunakan teknik pembangkit kolom, yaitu suatu teknik untuk memperoleh kolom yang menguntungkan,kolom yang dapat memberikan nilai terbaik (nilai positif pada persoalan minimisasi). 4. Metode Branch and Bound Setelah digunakan teknik pembangkit kolom pada persoalan pemotongan stok akan diperoleh satu bentuk Program Linear dengan satu pembatas yaitu persoalan knapsack. Selanjutnya persoalan knapsack ini akan diselesaikan dengan metode Branch and Bound. Definisi 4.1 [5:h.61] : Branch ( Cabang ) merupakan metode aproksimasi pertama yang memiliki variabel yang tidak bulat, misalkan dan , maka dimana

merupakan bilangan bulat tak negatif yang berurutan.

Dari definisi 4.1 dapat dibentuk dua program bilangan bulat baru dengan cara memperluas program bilangan bulat semula, dengan kendala atau .

Proses ini mempunyai tujuan untuk mempersempit daerah layak sehingga mengeliminasi pemecahan bilangan tak bulat bagi .

8

Bound ( Batas ) merupakan metode aproksimasi pertama yang memuat nilai dari obyektif pemecahan bilangan bulat yang pertama yang akan dijadikan sebagai batas terbawah dari persoalan. 5. Metode Branch and Bound untuk menyelesaikan permasalahan pemotongan stok Metode Cabang dan batas digunakan untuk mendapatkan bilangan bulat dalam menyelesaikan subpersoalan knapsack, yaitu persoalan program linier dengan satu pembatas. Misalkan persoalan knapsack yang dihasilkan adalah : Maks Terhadap pembatas ...(5.1) dan bilangan bulat Langkah awal ( subproblem 1) dari metode cabang dan batas adalah menentukan nilai . Selanjutnya nilai perbandingan yang terbesar dicari dengan memasukkan

kedalam fungsi pembatas dan nilai variabel lainnya adalah 0. Nilai optimal z didapat dengan memasukkan nilai masing-masing variabel ke fungsi tujuan. Untuk subproblem selanjutnya dapat diselesaikan dengan menggunakan metode simplek dan dual simplek dengan menambahkan masing-masing subproblem dengan pembatas yang baru. Nilai optimal untuk satu persoalan knapsack didapat jika nilai masing-masing variabel adalah bilangan bulat. Untuk nilai optimal pada persoalan pemotongan stok didapat jika nilai variabelnya adalah bilangan bulat dan nilai z = 0. Apabila z =0, ini berarti bahwa tidak ada lagi suatu pola yang menguntungkan bila dimasukkan kedalam basis. Untuk persoalan pemotongan stok satu dimensi secara umum persoalan knapsack yang dihasilkan berbentuk :

9

Maksimum ...(5.2) Terhadap Pembatas menyatakan nilai dual untuk pembatas pada pemotongan panjang dan i menyatakan banyaknya ukuran stok yang akan dipotong. F. Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk memperlihatkan kemampuan teknik pembangkit kolom dalam menyelesaikan persoalan pemotongan stok satu dimensi dengan menggunakan metode Branch and Bound dalam bentuk knapsack yaitu Program Linear dengan satu pembatas. G.Metodologi Penelitian Penelitian ini dilakukan dalam bentuk studi literatur dengan mempelajari buku teks dan jurnal yang berkaitan dengan masalah ini. Pada penelitian ini lebih ditekankan teknik untuk mencari solusi . Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan persoalan ini adalah sebagai berikut: 1. Tentukan pola pemotongan stok yang mungkin dari kayu berukuran standar 2. Ubah pola pemotongan stok yang telah diperoleh kedalam bentuk umum Program Linear 3. Tentukan basis awal dari bentuk umum Program Linear tersebut dengan menggunakan teknik pembangkit kolom 4. Cari dari Basis awal tersebut, kemudian ubah kedalam bentuk dual

sehingga diperoleh satu sub persoalan knapsack (Program Linear dengan satu pembatas)

10

5. Selesaikan persoalan knapsack tersebut dengan menggunakan metode Branch and Bound. Sebagai Langkah awal ( subproblem 1) dari metode Branch and Bound adalah menentukan nilai . Selanjutnya nilai perbandingan yang

terbesar dicari dengan memasukkan kedalam fungsi pembatas dan nilai variabel lainnya adalah 0. 6. Apabila nilai z belum optimal maka selesaikan Program Linier tersebut dan

dengan metode simpleks yang direvisi dengan memperbaharui

nantinya akan diperoleh bentuk knapsack yang baru dan kemudian diselesaikan dengan metode Branch and Bound. 7. Nilai optimal z didapat dengan memasukkan nilai masing-masing variabel ke fungsi tujuan. Untuk nilai optimal pada persoalan pemotongan stok didapat jika nilai variabelnya adalah bilangan bulat dan nilai z = 0.

H.Tabel Kerja Tugas Akhir

Adapun jadwal kegiatan setelah seminar proposal ini diterima atau disetujui untuk dilanjutkan sebagai tugas akhir sebagai berikut :Bulan No Kegiatan 5 1 2 3 4 6 1 2 3 4 7 1 2 3 4 8 1 2 3 4 9 1 2

3

4

1

Persiapan Bahan

11

2

Analisa dan menulis draf skripsi

3

Konsultasi dengan pembimbing

4

Seminar Hasil

5

RevisiRevisi

6

Ujian Skripsi

I. [1].

Daftar Pustaka Gilmore,P.C dan R.E.Gomory.1961. A Linear Programming Approach to the Cutting-Stock Problem.Operations Research 9:849-859.

[2]. Gamal, M.D.H dan Zaiful Bahri. 2003. Pendekatan Program Linear Untuk Persoalan Pemotongan Stok (Pola pemotongan satu dimensi). Jurnal Natur Indonesia 5(2):113-118.

12

[3].

Hillier,F.S dan G.J.Lieberman. 1995. Pengantar Riset Operasi Edisi Kelima: Jilid 1.Terj. dari Introduction to Operation Research, Fifth Edition, Oleh Gunawan, E. & A.W.Mulia. Penerbit Erlangga,Jakarta.

[4].

Gamal, M.D.H 2007. Program Linear dan Integer. Pusat Pengembangan

Universitas Riau, Pekanbaru. [5]. Bronson, R. 1996. Teori dan Soal-soal Operation Research Edisi Keempat. Terj.dari Theory and Problems of Operations Research, oleh Wospakrik, H.J. Penerbit Erlangga, Jakarta. [6]. Winston, W.L. 1991. Operation Research: Applications and Algorithms, PWS

KENT Publishing Company, Belmont, California.

13