KONSEP DIGITAL

1

KONSEP DIGITALA.Besaran Analog dan Besaran Digital

Rangkaian elektronika dapat dikelompokkan dalam dua kategori, yaitu rangkaian analog dan rangkaian digital. Pengelompokan ini didasarkan pada jenis besaran yang dinyatakannya. Sinyal analog berhubungan dengan besaran kontinyu. Sementara sinyal digital berhubungan dengan besaran diskret.

Berikut adalah grafik data kontinyu (analog) dan diskret (digital).

Grafik SuhuGambar 1. Grafik data kontinyu (analog)

Grafik Suhu

Gambar 2. Grafik data diskret (digital)B.Angka Biner, Taraf Logika dan Bentuk Gelombang Digital Angka Biner

Dua angka dalam system biner, 0 dan 1 disebut bit . Bit adalah kependekan dari binary digit. 1 dinyatakan oleh taraf tegangan yang lebih tinggi (high/tinggi) dan 0 dinyatakan oleh taraf tegangan yang lebih rendah (low/rendah). Taraf-taraf Logika

Taraf logika (logic level )merupakan tegangan yang digunakan untuk menyatakan 1 dan 0. Idealnya satu taraf tegangan menyatakan tinggi dan sati taraf tegangan menyatakan rendah. Tetapi, dalam prekteknya tidak demikian. Logika tinggi mempunyai beberapa harga tegangan yang tertentu batas atas dan batas bawahnya. Demikian juga logika rendah. Bentuk Gelombang DigitalBentuk gelombang digital berisi taraf tegangan yang berubah bergantian dari kondisi tinggi ke kondisi rendah secara terus menerus. Gambar 3(a) menunjukkan satu pulsa (bentuk gelombang) positive-going yang terjadi bilataraf tegangan berubah dari rendah ke tinggi kemudian kembali ke rendah lagi. Sementara gambar 3(b) menunjukkan satu pulsa negative-going yang terjadi bila taraf tegangan berubah dari tinggi ke rendah kemudian sebaliknya.

Gambar 3.2

SISTEM BILANGAN, OPERASI DAN KODE

A.Bilangan Desimal

Bilangan decimal terdiri dari 10 angka (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) yang setiap angkanya menyatakan suatu harga tertentu. Posisi setiap angka dalam bilangan decimal mempunyai bobot pengali yang berbeda-beda.B.Bilangan Biner

Sistem bilangan biner tidak selengkap bilangan decimal, karena dalam bilangan biner hanya mengenal dua angka yaitu 0 dan 1. Bilangan decimal dengan jumlah angka sepuluh dikenal dengan istilah system bilangan basis-10, sedangkan bilangan biner dengan jumlah angka dua mempunyai istilah system bilangan basis-2. Setiap posisi angka mempunyai bobot yang berbeda.

Contoh :

-10110110-01111000

-110.1101-1111.001

-11110000-10101010

B.1.Menghitung Dalam Biner

Berikut adalah table pembandingan menghitung dengan decimal dan biner.

Tabel.2.1B.2.Aritmatika Biner

PenjumlahanEmpat aturan dasar dalam penjumlahan biner adalah :

0+

0

=0; Sum=

0,Carry=00+

1

=1; Sum=

1,Carry=0

1+

0

=1; Sum=

1,Carry=0

1+

1

=0; Sum=

0,Carry=1

Contoh :

CarryCarry

1

1

0

1

1+0

0

1

1

0

0Pengurangan BinerDalam pengurangan biner juga terdapat empat aturan, yaitu :

0-

0

=01-

1

=0

1-

0

=1

0-

1

=1;0 - 1

dengan borrow = 1

Contoh :

0

1

1

0

1

-0

1

1

0

1

0

Perkalian BinerEmpat aturan dalam perkalian biner adalah :

0x

0

=0

0x

1

=0

1x

0

=0

1x

1

=1

Contoh :

111

x101

111

000

+111

100011

Pembagian BinerPembagian biner memiliki prosedur yang sama dengan pembagian dalam decimal.

Contoh :

10

1

1

110

11

000

B.3.Bilangan Biner BertandaBit TandaBit tanda (sign bit) merupakan bit paling kiri dari bilangan biner bertanda. Bit tanda berharga 0 jika bilangan positif dan 1 jika bilangan negative.

Komplemen 1 dan komplemen 2Komplemen 1 bilangan biner diperoleh dengan mengkomplemenkan semua bit. Contoh :

10

1

10010

bilangan biner

01

0

01101

komplemen-1

Untuk memperoleh komplemen-2 digunakan rumus dibawah ini :

Komplemen-2=komplemen-1+ 1C.

Bilangan Heksadesimal

Bilangan heksadesimal mempunyai basis enam belas (16), tersusun atas 10 angka (09) dan 6 huruf (AF). Tabel bilangan decimal, biner, dan heksa.

DesimalBinerHeksa

000000

100011

200102

300113

401004

501015

601106

701117

810008

910019

101010A

111011B

121100C

131101D

141110E

151111F

Tabel.2.2Setelah F maka perhitungan selanjutnya adalah : 10,11,12,13,,1A,1B,1C,,1F,20,21,22,

Konversi Biner ke HeksaKonversi dilakukan dengan mengelompokkan bit-bit biner masing-masing 4-bit, dimulai dari sebelah kanan. Kelompok bit terakhir (paling kiri) bias jadi tidak genap 4-bit. Untuk mengkonversi kelompok bit paling kiri tidak harus 4-bit, atau bias ditambah 0.

Contoh :

1. Konversikan 1101101001110101

Jawab :

1101101001110101

D

A 7 5

Konversi Heksa ke BinerUntuk mengkonversi dari bilangan heksadesimal ke biner adalah dengan membalik proses konversi dari biner ke heksadesimal.

Contoh :

1. Konversikan ke biner bilangan heksadesimal berikut : 4A01

Jawab :

4

A

0

1

01

00101000000001

Konversi Heksa ke DesimalCaranya adalah dengan mengkonversi bilangan heksadesimal tersebut ke biner dahulu, selanjutnya mengkonversi biner tersebut ke decimal.Contoh :

1. Konversi bilangan heksadesimal berikut ke decimal : 2B

Jawab :

2

B

00

101011

=25+23+21+20

=32+8+2+1

=43

Konversi Desimal ke HeksaCaranya adalah dengan motode pembagian dengan 16 berulang.

Contoh :

1.Ubah decimal 460 ke heksadesimal!

Jawab :

460/16= 28sisa 12 = B

28/16 = 1

sisa 12 = B

1/16 = 0

sisa 1 = 1

1 B B

(MSB) (LSB)

Pembagian akan berhenti, setelah hasil baginya 0.

D.Kode-Kode Bilangan

D.1.

BCD(Decimal Terkode Biner)

BCD adalah satu cara untuk mengekspresikan setiap angka decimal dengan kode biner. Dalam BCD hanya mengenal 10 angka dari 09. Masing-masing terdiri atas 4 bit. Berikut adalah table konversi dari decimal ke BCD :DesimalBCD

00000

10001

20010

30011

40100

50101

60110

70111

81000

91001

Tabel 2.3D.2.

Kode Gray

Kode gray merupakan kode tidak berbobot dan bukan suatu aritmatika. Pada kode gray hanya satu bit yang berubah (dari 0 ke 1, atau sebaliknya) pada setiap perubahan dari satu kode gray ke kode berikutnya. Berikut adalah table kesetaraan antara bilangan decimal, biner, dan kode gray.DesimalBinerKode Gray

000000000

100010001

200100011

300110010

401000110

501010111

601100101

701110100

810001100

910011101

1010101111

1110111110

1211001010

1311011011

1411101001

1511111000

Tabel 2.4

3GERBANG-GERBANG LOGIKAA.Gerbang Logika Dasar

A.1

Gerbang AND

Gerbang AND akan menghasilkan keluaran (X) berlogika 1, jika semua masukan (A dan B) berlogika 1.

A

BGambar 3.1. Simbol gerbang AND 2-masukan

Berikut adalah table kebenaran gerbang AND 2-masukan.

MasukanKeluaran

ABX

000

010

100

111

Tabel 3.1 Tabel Kebenaran gerbang AND 2-masukanJumlah kombinasi yang terjadi tergantung pada jumlah masukan gerbang AND yang digunakan. Jumlah kombinasi mengikuti aturan :

N = 2nDengan N adalah jumlah kombinasi dan n adalah jumlah masukan.

A.2

Gerbang OR

Gerbang OR mempunyai dua tau lebih masukan dan satu keluaran.

Gambar 3.2. Simbol gerbang OR 2-masukanBerikut adalah table kebenaran gerbang OR 2-masukan.

MasukanKeluaran

ABX

000

011

101

111

Tabel 3.2 Tabel kebenaran gerbang OR 2-masukanA.3

Gerbang NOT

Gerbang NOT atau pembalik (inverter), mempunyai satu masukan dan satu keluaran.

Gambar 3.3. Simbol gerbang NOT

Berikut adalah table kebenaran gerbang NOT.MasukanKeluaran

AX

01

10

Tabel 3.3 Tabel Kebenaran gerbang NOTB.Gerbang-Gerbang Logika GabunganB.1

Gerbang NAND

Istilah NAND adalah kependekan dari NOT-AND. Sesuai namanya, gerbang NAND merupakan gabungan dari sebuah AND dan sebuah NOT.

Gambar 3.4 Simbol gerbang NAND

Berikut adalah table kebenaran gerbang NAND.MasukanKeluaran

ABX

001

011

101

110

Tabel 3.4 Tabel kebenaran gerbang NANDB.2

Gerbang NOR

Istilah NOR adalah kependekan dari NOT-OR. Nama tersebut menunjukkan elemen pembentuknya, yaitu gerbang OR dan gerbang NOT.

Gambar 3.5 Simbol gerbang NOR

Berikut adalah table kebenaran gerbang NOR.

MasukanKeluaran

ABX

001

010

100

110

Tabel 3.5 Tabel kebenaran gerbang NOR

B.3

Gerbang XOR (EXOR)

Gerbang EXOR hanya memiliki dua masukan.

Gambar 3.6 Simbol gerbang XOR

Berikut adalah table kebenaran gerbang XOR.

MasukanKeluaran

ABX

000

011

101

110

Tabel 3.6 Tabel kebenaran gerbang XOR

B.4

Gerbang EXNOR

Gerbang EXNOR akan menghasilkan input HIGH jika kedua masukan mempunyai level yang sama.

Gambar 3.7 Simbol gerbang EXNOR

Berikut adalah table kebenaran gerbang EXNOR.

MasukanKeluaran

ABX

001

010

100

111

Tabel 3.8 Tabel kebenaran gerbang EXNOR

4

ALJABAR BOOLEAN DAN SIMPLIFIKASI LOGIKAA.Ekspresi Dan Operasi BooleanA.1

Penjumlahan Boolean

Penjumlahan Boolean ekivalen dengan operasi OR, yaitu :

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

A.2

Perkalian Boolean

Perkalian Boolean ekivalen dengan operasi AND, yaitu :

0 . 0 = 0

0 . 1 = 0

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

B.Hukum dan Aturan Aljabar BooleanB.1

Hukum Aljabar BooleanHukum Komutatif

Hukum komutatif penjumlahan adalah :

A + B = B + A

Hukum komutatif perkalian adalah :

AB = BAHukum Asosiatif

Hukum asosiatif penjumlahan (3 variabel) adalah :

A + (B + C) = (A + B) + C

Hukum asosiatif perkalian (3 variabel) adalah :

A(BC) =(AB)CHukum Distributif

Hukum distributive 3 variabel aturan penulisannya adalah :

A (BC) = (AB) CB.2

Aturan Aljabar Boolean

1.

A +0=A

2.

A+1=1

3.

A.0=0

4.

A.1=A

5.

A+A=A

6.

A+=1

7.

A.A=A

8.

A.=0

9.

=

A=A

10.A+AB=A

11.A+B=A+B

12.(A + B) (A + C) = A + BC

C.Teorema Demorgan

Teorema demorgan ada 2, yaitu :

1. Komplemen dari dua atau lebih variable yang di-AND-kan ekivalen dengan OR dari komplemen masing-masing variable.

2. Komplemen dari dua atau lebih variable yang di-OR-kan ekivalen dengan AND dari komplemen masing-masing variable.

Teorema demorgan untuk 2 variabel yaitu :

XY = X + Y

X + Y = XY

D.Simplifikasi Dengan Aljabar Boolean

Contoh simplifikasi ekspresi Boolean langkah demi langkah :Contoh :Gunakan teknik aljabar Boolean untuk menyederhanakan ekspresi berikut :

AB + A(B + C) + B(B + C)

Jawab :Langkah 1:Terapkan hukum distributive pada term kedua dan ketiga pada ekspresi tersebut, sehingga diperoleh :

AB + AB + AC + BB + BC

Lankag 2

:Terapkan aturan 5 (AB + AB = AB) :AB + AC + BB + BC

Langkah 3:Terapkan aturan 7 (BB = B) :

AB + AC + B + BC

Langkah 4:Terapkan aturan 10 (B + BC = B) :

AB + AC + B

Langkah 5:Terapkan aturan 10 (AB + B = B) :

B + AC

Jadi bentuk ekspresi yang paling sederhana dari (AB + AB + AC + BB + BC) adalah B + AC

E.Bentuk Standar Ekspresi BooleanE.1

Sum Of Product (SOP)

SOP merupakan penjumlahan (OR) dari perkalian (AND), maksudnya veriabel-variabel yang bersangkutan di-AND-kan dahulu, kemudian di-OR-kan.

Bentuk SOP StandarSOP standar adalah dimana seluruh term harus menampilkan semua variable dengan lengkap. Contohnya :X=AB + ABC

X=ABC + CDE + BCD

X=AB + ABC + ACE.2

Product Of Sum

POS, variable-variabel yang bersangkutan dikenai operasi OR, kemudian operasi AND. Bentuo POS tidak mengijinkan ada lebih dari satu variable dalam satu bar.

Bentuk POS Standar

Dalam POS standar variable-variabel juga harus dituliskan secara lengkap pada semua term. Contoh :X=(A+B).(A+B+C)

X=(A+B+C).(C+D+E).(B+C+D)

X=(A+B).(A+B+C).(A+C)F.Ekspresi Boolean Ke Tabel KebenaranF.1

Konversi SOP Ke Tabel Kebenaran

Ekspresi SOP sama dengan 1, jika dan hanya jika paling sedikit satu term-nya berharga 1. Jumlah kombinasi mengikuti aturan 2n, dengan n=jumlah variable.Contoh :

Buatlah table kebenaran dari ekspresi SOP (AB)C + A(BC) + ABC.

Penyelesaian : Ada tiga variable dalam domain, sehingga ada 8 kombinasi biner yang mungkin. Harga-harga biner yang membuat ekspresi berharga 1, adalah : (AB)C=001; A(BC)=100; ABC = 111.

MasukanKeluaran

ABCX

0000

0011

0100

0110

1001

1010

1100

1111

F.2

Konversi POS ke Tabel Kebenaran

Ekspresi POS akan menghasilkan 0, jika dan hanya jika paling sedikit satu term sama dengan 0.Contoh :

Buatlah table kebenaran untuk ekspresi P(A+B+C+D). (A+B+C+D). (A+B+C+D). (A+B+C+D).

Penyelesaian :

MasukanKeluaran

ABCDX

00001

00011

00101

00111

01000

01010

01100

01111

10001

10011

10101

10111

11001

11010

11101

11111

5LOGIKA KOMBINATORIALA.Rangkaian Logika Kombinatorial

Rangkaian logika kombinatorial merupakan rangkaian logika yang dibangun dari gerbang-gerbang logika (dasar maupun gabungan), sehingga membentuk suatu fungsi tertentu.B.Penjumlahan (Adder)

Adder ada dua macam, yaitu half-adder dan full-adder.

B.1

Half Adder

Rangkaian half_adder disusun berdasarkan operasi penjumlahan 2 bilangan 1-bit.

InputOutput

ABCarrySum (()

0000

0101

1001

1110

Tabel 5.1. Tabel penjumlahan 2 bilangan 1-bit

Implementasi ke gerbang adalah :

Gambar 5.1. Gerbang Half Adder

Simbol Half Adder adalah :

Gambar 5.2. Simbol Half AdderB.2

Full Adder

Sebuah Full-adder adalah gabungan dari 2 buah half-adder. Prinsip penyusunannya adalah penjumlahan 3 bilangan 1-bit.InputOutput

ABCinCoutSum(()

00000

00101

01001

01110

10001

10110

11010

11111

Tabel 5.2. Tabel Penjumlahan 3 bilangan 1-bit

Implementasi gabungan dari dua half-adder adalah :

Gambar 5.3. gabungan 2 half-adder

Gambar 5.4. Simbol full-adder

Berdasarkan jumlah bit bilangan yang dijumlahkan, maka kebutuhan full-adder-nya ada sebanyak 4 buah. Cara penyusunannya adalah :

Gambar 5.5. Adder parallel 4-bitC.Komparator

Fungsi komparator adalah untuk membandingkan besaran dari dua bilangan biner untuk menentukan hubungan antar keduanya (>, B dan A