I. Sistem Koordinat

Sistem koordinat adalah suatu cara/metode untuk menentukan letak suatu titik. Ada

beberapa macam system koordinat: Sistem Koordinat Cartesius, Sistem Koordinat Kutub,

Sistem Koordinat Tabung, dan Sistem Koordinat Bola. Pada bagian ini hanya akan

dibicarakan Sistem Koordinat Cartesius.

A. Mengenal Sistem Koordinat Cartesius

a. Geometri Analitik

Geometri analitik adalah suatu cabang ilmu matematika yang merupakan

kombinasi antara aljabar dan geometri. Sebagai contoh, panjang suatu segmen garis atau

sudut antara dua garis. Jika garis dan titik secara geometrik diketahui, maka bilangan

yang menyatakan panjang atau besar sudut antara dua garis pada hakekatnya hanyalah

nilai pendekatan dari suatu pengukuran. Tetapi metoda aljabar memandang bilangan itu

sebagai perhitungan yang eksak (bukan pendekatan).

b. Garis Bilangan

Persekutuan antara aljabar dan geometri adalah membuat pengaitan antara

bilangan dalam aljabar dengan titik dalam geometri. Misalkan kita perhatikan pengaitan

bilangan dengan titik pada sebuah garis yang tidak terbatas pada kedua arahnya. Pertama-

tama, kita pilih pasangan titik O dan P pada garis seperti terlihat pada gambar 1.1.

Titik O disebut pusat, yaitu dikaitkan dengan bilangan nol, dan titik P yang terletak

di sebelah kanan O dikaitkan dengan bilangan satuan.

c. Koordinat Cartesius

Titik-titik pada sebuah garis (pada ruang dimensi satu) dinyatakan dengan bilangan

tunggal.

1

0 1 2 3-1-2

Berjarak 2 Panjang satuan

Berjarak3

Misalkan diberikan sebuah titik P pada bidang yang diberi sumbu koordinat, maka

terdapat korespondensi dengan titik Px pada sumbu x. Ini adalah titik potong antara sumbu x

dengan garis yang sejajar sumbu y yang memuat titik P (jika P berada pada sumbu y maka garis

ini berimpit dengan sumbu y). Sebagai contoh P1(x1,y1) atau P(a, b).

Pada bidang koordinat, biasanya disepakati aturan sebagai berikut:

(1) sumbu-sumbu koordinat diambil yang tegak lurus satu sama lain;

(2) sumbu x adalah garis mendatar (horisontal) dengan koordinat positif arah kanan dari titik

pusat, dan sumbu y adalah garis vertikal dengan koordinat positif ke arah atas dari titik pusat

koordinat;

(3) digunakan skala yang sama pada kedua sumbu koordinat.

Sumbu-sumbu koordinat memisahkan bidang ke dalam empat daerah, yang disebut

kuadran. Biasanya kuadran diidentifikasi dengan angka romawi sebagaimana ditunjukkan dalam

gambar 1.3. Titik-titik pada sumbu-sumbu koordinat tidak masuk pada sembarang kuadran.

Urutan tanda dari absis dan ordinat (x, y) ditunjukkan dalam gambar 1.3.

2

Y

PyP(a,b)

b

a PxX

d. Plotting

Proses lokalisasi dan pemberian tanda sebuah titik yang koordinatnya diberikan

disebut plotting titik. Untuk melakukan plotting telah banyak disediakan kertas grafik

yang berupa kertas berpetak persegi kecil-kecil.

B. Grafik Fungsi Linier

Bentuk umum fungsi linier adalah sebagai berikut : dan

. Grafik fungsi linier berupa garis lurus. Untuk menggambar grafik fungsi linier

dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu dengan menggunakan table dan dengan menentukan

titik potong sumbu-x dan sumbu-y.

Contoh:

Gambarlah grafik fungsi linier

Penyelesaian:

- Dengan membuat table

x -1 0 1

y 1 3 5

3

Kuadran 2

(-,+)

Kuadran 1

(+,+)

Kuadran 3

(-,-)

Kuadran 4

(+,-)

Dari table di atas diperoleh titik-titik berupa pasangan koordinat, kita gambar titik

tersebut dalam bidang Kartesius kemudian dihubungkan sehingga tampak membentuk

garis lurus. Lihat gambar 1.4.

- Dengan menetukan titik-titik potong sumbu-x dan sumbu-y

Titik potong grafik dengan sumbu-x

Sehingga titik potong terhadap sumbu-x adalah

Titik potong grafik dengan sumbu-y

4

Sehingga titik potong terhadap sumbu-y adalah

Kedua titik potong tersebut digambar dalam bidang kartesius kemudian dihubungkan

sehingga membentuk garis lurus. Lihat gambar 1.5

a. Gradien

5

Gradient atau koefisien arah (m) konstanta yang menunjukan tingkat kemiringan

suatu garis.

Perhatikan gambar berikut:

Persamaan garis , dengan , dalam hal ini m,c adalah konstanta,

dengan m adalah gradient atau koefisien arah garis lurus.

Pada gamabar misalkan α adalah sudut antara garis horizontal (sejajar dengan

sumbu-x) dan grafik fungsi linier dengan arah putaran berlawanan dengan arah jarum

jam maka gradient dapat pula di definisikan sebagai,

Jadi

Catatan:

- Jika m=0 maka grafik sejajar dengan sumbu-x dan ini sering disebut dengan fungsi

konstan

- Jika m>0 maka grafik miring ke kanan

- Jika m<0 maka grafik miring ke kiri

b. Menentukan persamaan garis melalui satu titik dan bergradien m

6

Misalkan garis y=mx+c melalui titik P(x1,y1), setelah koordinat titip P

disubstitusikan ke persamaan garis tersebut diperoleh,

Jadi rumus persamaan garis melalui titip P(x1,x2) dan bergradien m adalah

y-y1=m(x-x1)

c. Menentukan persamaan garis melalui dua titik

Persamaan garis melalui titik A (x1,y1) dan B (x2,y2) dapat dicari dengan langkah

sebagai berikut:

Persamaan garis melalui titik A (x1,y1) dengan memisalkan gradiennya adalam m

adalah

y-y1=m(x-x1)………………………… (i)

karena garis ini juga melalui titik B (x2,y2), maka y2-y1=m(x2-x1) sehingga

diperoleh gradiennya

………………. (ii)

Persamaan (ii) di substitusi ke persamaan (i) diperoleh

Jadi persamaan garis melalui dua titik A (x1,y1) dan B (x2,y2) adalah

II. Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi f pada domain R yang ditentukan oleh

; dengan a,b,c ϵ R serta . Fungsi kuadrat tersebut memiliki

7

y=mx+c

y1=mx1+c

y-y1=m(x-x1)

persamaan dan kurvanya berbentuk parabola. Dimana nilai-nilai a, b

dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam

ruang xy.

a. menentukan seberapa cekung atau cembung parabola yang dibentuk oleh fungsi

kuadrat.

b. menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva

yang dibentuk. Posisi tepatnya adalah .

c. menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat x =

0.

Sifat – Sifat Fungsi kuadrat

d. Jika a > 0, maka parabola terbuka keatas, dan jika a < 0 parabola terbuka kebawah

e. Memotong sumbu X jika y = 0 atau ax2 + bx + c = 0, memotong sumbu Y jika x = 0

atau y = a.02 + b.0 + c

f. Titik potong dengan sumbu X ditentukan oleh nilai Diskriminan (D = b2 – 4.a.c)

a. Bila D>0 → ada dua akar yaitu x1 dan x2. Kurva parabola tersebut memotong

sumbu x di dua titik yaitu pada x1 dan x2

b. Bila D=0 → ada dua akar yaitu x1 dan x2 dengan x1= x2. Kurva parabola

(fungsikuadrat) tersebut menyinggung sumbu x di satu titik yaitu pada x1= x2

c. Bila D<0 →x1,2 imaginer .kurva parabola (fungsikuadrat ) tidak memotong

sumbu x

8

Ada 6 macam grafik parabola fungsi kuadrat :

9

g. Bila c > 0 → kurva parabola memotong sumbu y positif di titik (c,0)

h. Bila c < 0 → kurva parabola memotong sumbu y negatif di titik (-c,0)

i. Bila c = 0 →kurva parabola melalui titik (0,0)

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat :

1. Mencari titik potong pada sumbu X ( y=0)

2. Mencari titik potong pada sumbu Y (x=0)

3. Mencari sumbu simetri

10

a> 0

D < 0

a< 0

D < 0

a> 0

D = 0

a< 0

D = 0

a< 0

D > 0

a> 0

D > 0

4. MencariTitik balik fungsi

III. Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat bentuk adalah suatu fungsi f pada domain R dan

ditentukan oleh dimana a ≠ 0 dan a, b, c bilangan real. Adapun nilai –

nilai a, b, c menentukan bagaimana bentuk parabola pada fungsi persamaan kuadrat

dalam ruang xy.

a. menentukan seberapa cekung atau cembung parabola yang dibentuk oleh fungsi

kuadrat.

b. menentukan posisi y puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang

dibentuk.

c. menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu x atau saat y =

0

Sifat–Sifat Fungsi kuadrat

a. Bila maka parabola terbuka kekanan dan bila maka parabola terbuka kekiri.

b. Sumbu simetri adalah garis

c. Titik puncak / titik extrim kurva adalah

d. Titik potong kurva sumbu , diperoleh bila , sehingga titik potongnya

e. Titik potong dengan kurva sumbu y, diperoleh bila x = 0, sehingga ,

Banyaknya akar – akar dari persamaan ditentukan oleh nilai diskriminan

a. Bila D > 0

dan

ada dua akar yaitu y dan y kurva parabola memotong sumbu y di dua titik yaitu

pada y dan y

b. Bila D = 0

11

, ada dua akar yaitu y dan y dengan y dan y kurva parabola

menyinggung sumbu y disatu titik yaitu pada y dan y

c. Bila D < 0

, y dan y imaginair . Kurva parabola tidak memotong sumbu y.

Ada 6 macam grafik parabola fungsi kuadrat

d. Bila c> 0 → kurva parabola memotong sumbux positif di titik (c,0).

e. Bila c< 0 → kurva parabola memotong sumbu x negatif di titik (-c,0).

f. Bila c = 0 → kurva parabola melalui titik (0,0)

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat

1. Mencari titik potong dengan sumbu

2. Mencari titik potong dengan sumbu

3. Mencari titik stasioner (titikpuncak)

12

D < 0

a> 0

D = 0

a> 0

D > 0

a> 0

D<0

a<0

D=0

a<0

D>0

a<0

D<0

a<0

D=0

a<0

D>0

a<0

D<0

a<0

D=0

a<0

D>0

a<0

D<0

a<0

D=0

a<0

D>0

a<0

4. Mencari sumbu simetrinya

IV. Grafik Fungsi Pecah

Fungsi pecah yang paling sederhana adalah fungsi linear dengan bentuk umum:

; dengan dan

Untuk menggambar grafik fungsi ini, perlu diketahui beberapa sifat yang

dimilikinya, antaralain :

1. Titik potong fungsi dengan sumbu x, sehingga

2. Jadi, titik potong fungsi dengan sumbu x adalah

3. Titik potong sumbu dengan sumbu y, Sehingga

Jadi titik potong fungsi dengan sumbu y adalah

Asimtut

Asimtut sebuah garis lengkung adalah sebuah garis (lurus) yang makin lama makin

dekat pada garis lengkung itu sehingga berjarak sekecil-kcilnya, tetapi jaraknya tidak

menjadi nol.

a. Asimtut Datar

Asimtut datar adalah sebuah garis yang sejajar atau berimpit dengan sumbu x dan

akan terpotong oleh garis lengkung (kurvafungsipecah) pada x tak berhingga.

, sehingga

b. Asimtut Tegak

13

Asimtut tegak adalah sebuah garis yang sejajar atau berimpit dengansumbu y dan

akan terpotong oleh garis lengkung (kurvafungsipecah) pada y tak berhingga.

Asimtut tegak bila

Suatu pecahan menjadi ( tak berhingga) apabila penyebutnya nol.

Jadi

V. Fungsi Pecah

A. Definisi Fungsi Pecah

Fungsi pecah sering disebut sebagai fungsi rasional. Fungsi pecah adalah

fungsi yang memiliki bentuk umum , dimana P (x) dan Q (x)

merupakan suku banyak dalam x dan Q (x) ≠ 0 pada domainnya.

B. Fungsi Pecah Pembilang Linear Penyebut Kuadrat

Bentuk umum : , p ≠ 0.

a. Asimtut

Asimtut adalah sebuah garis yang menyinggung suatu garis lengkung

( kurva) di suatu titik tak hingga jauhnya. Asimtut dibedakan menjadi 3 yaitu

Asimtut datar, Asimtut tegak, dan Asimtut miring. Ada pun syarat masing –

masing Asimtut adalah sebagai berikut.

a). Asimtut tegak diperoleh bila penyebut bernilai nol

b). Asimtut datar diperoleh bila ~

c). Asimtut miring hanya untuk jenis fungsi rasional yang pembilangnya

memiliki derajat lebih tinggi satu derajat daripada penyebutnya.

14

d). Atau jika fungsi maka;

Jika n < m maka garis y = 0 adalah asimtot datar.

Jika n = m maka garis y = adalah asimtot datar.

Jika n > m maka fungsi tidak mempunyai asimtot datar.

C. Grafik Fungsi Pecah

Menggambar fungsi pecah dapat dilakukan dengan

menggunakan langkah – langkah berikut.

a. Menentukan titik potong terhadap sumbu x

Syarat : y = 0 dan P(x) = 0.

Jadi sehingga .

Titik potong .

b. Menentukan titik potong terhadap sumbu y

Syarat : x = 0

Jadi

Titik potong

c. Menentukan jenis Asimtutnya

Asimtut tegak

Syarat Q(x) = 0, sehingga

Maka Asimtut dari tergantung dari diskriminannya

( ).

Jika D > 0 maka ada 2 Asimtut tegak

Jika D = 0 maka ada 1 Asimtut tegak

15

Jika D < 0 maka tidak ada Asimtut tegak.

Asimtut datar

Syarat maka

Jadi Asimtutnya adalah y = 0

Asimtut miring ( bila ada ) biasanya diperoleh dari hasil bagi ruas kanan.

d. Membuat tabel untuk menentukan dimana letak fungsi bernilai positif (grafik

berada di atas sumbu x) dan negatif ( grafik berada di bawah sumbu x ).

e. Mencari harga ekstrem

Menentukan titik bantu (bila diperlukan)

VI. Grafik Fungsi Pecah

Fungsi pecah adalah fungsi yang memiliki bentuk umum , dimana P

(x) dan Q (x) merupakan suku banyak dalam x dan Q (x) ≠ 0 pada domainnya.

Bentuk umum dari fungsi pecah pembilang dan penyebut kuadrat

Asimptot adalah sebuah garis yang menyinggung suatu garis lengkung ( kurva) di

suatu titik tak hingga jauhnya.

Langkah- langkah dalam menggambar grafik fungsi:

a. Menentukan titik potong terhadap sumbu x

b. Menentukan titik potong terhadap sumbu y

c. Menentukan jenis asimptotnya

d. Mencari harga ekstrem

e. Menentukan titik bantu (bila diperlukan).

16

VII. Grafik Fungsi Dengan Uji Turunan Pertama

Berdasarkan hasil pembahasan di atas dapat kami simpulkan hal-hal sebagai

berikut.

a. Uji Turunan Pertama.

Definisi (kemonotonan)

Misalkan f terdefinisi pada interval I (terbuka, tertutup, atau tak satupun), kita

katakan bahwa :

1. f naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I dimana x1 < x2,

maka f (x1) < f (x2).

2. f turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I dimana x1 <

x2, maka f (x1) > f (x2).

3. f monoton pada I jika ia naik atau turun pada I.

Teorema (uji turunan pertama untuk kemonotonan)

Misalkan f kontinu pada I dan punya turunan pada setiap titik dalam dari I.

1. Jika f ’(x) > 0 untuk setiap x I, maka f naik pada I.

2. Jika f ’(x) < 0 untuk setiap x I, maka f turun pada I.

b. Grafik Fungsi Dengan Uji Turunan Kedua

Uji Turunan Kedua

Misalkan f (x) punya turunan pada interval terbuka, I = (a, b), jika f ’(x) naik pada I

maka f dan grafiknya cekung keatas disana, dan jika f ’(x) turun pada I maka f dan

grafiknya cekung kebawah pada I.

Teorema (uji turunan kedua untuk kecekungan)

Misalkan f terdiferensialkan dua kali (punya turunan kedua) pada interval terbuka I =

(a,b), oleh karenanya :

1. Jika f ’’(x) > 0 untuk semua x I, maka grafik f (x) cekung ke atas pada I

17

2. Jika f ’’(x) < 0 untuk semua x I, maka grafik f (x) cekung ke bawah pada I

Definisi (titik belok / titik balik)

Andaikan fungsi f (x) kontinu di titik c, kita sebut (c, f(c)) suatu titik balik dari grafik

fungsi f (x) jika f (x) cekung keatas pada suatu sisi dan cekung ke bawah pada sisi

lainnya dari titik c. Dalam pencarian titik-titik balik, kita mulai dengan mengenali

titik-titik x dimana f ’’(x) = 0 dan dimana f ’’(x) tidak ada, kemudian kita periksa

apakah ianya benar-benar merupakan titik balik.

VIII. Fungsi Trigonometri

Perbandingan trigonometri untuk sudut α masing-masing adalah

Sin α=

cos α=

tan α=

Fungsi sinus, kosinus, dan tangen disebut juga fungsi trigonometri. Adapun nilai

sin, cos, dan tan suatu sudut dapat bernilai positif, nol, atau negatif sesuai dengan letak

sudut di kuadrannya.Grafik fungsi trigonometri terdiri dari grafik fungsi sinus, cosines,

dan tangen.

Untuk menggambarkan fungsi dengan amplitude dan periode berbeda, terlebih

dahulu gunakan bantuan fungsi utama, misalnya ƒ(x)= , ƒ(x) = , maupun ƒ(x) =

.

18

Y

X

19