Permutasi & Kombinasi

Debrina Puspita Andriani www.debrina.lecture.ub.ac.id

E-mail : debrina.ub@gmail.com / debrina@ub.ac.id

4

Outline

Permutasi

Kombinasi

19/01/19 www.debrina.lecture.ub.ac.id

2

19/01/19 www.debrina.lecture.ub.ac.id

3

Permutasi Penyusunan obyek dalam suatu urutan yang

teratur/urutan tertentu. AB ≠ BA

19/01/19 www.debrina.lecture.ub.ac.id

4

Permutasi

19/01/19

¡ Permutasi r unsur dari n unsur yang

tersedia (ditulis Pr

n atau nPr)

¡  banyak cara menyusun r unsur yang berbeda

diambil dari sekumpulan n unsur yang tersedia.

www.debrina.lecture.ub.ac.id

5

Permutasi Menyeluruh Peyusunan semua objek ke dalam suatu urutan tertentu

Contoh:

¡  Cara menyusun 3 kalkulator A,B dan C secara teratur di atas

sebuah meja

nP

r = n! = 3! = 6 cara

19/01/19

nPr = n!

www.debrina.lecture.ub.ac.id

6

Permutasi Menyeluruh

Metode permutasi

menyeluruh

Metode ruang

Diagram Pohon

ABC BAC CAB

ACB BCA CBA

pohon

A B C ABC

C B ACB

B A C BAC

C A BCA

C A B CAB

B A CBA

19/01/19 www.debrina.lecture.ub.ac.id

7

Permutasi Sebagian Penyusunan sebagian objek ke dalam suatu urutan tertentu

Contoh:

¡  Banyak cara menyusun pengurus yang terdiri dari Ketua, Sekretaris,

dan Bendahara yang diambil dari 5 orang calon adalah….

¡  banyak calon pengurus 5 → n = 5

banyak pengurus yang akan dipilih 3 → r = 3

nPr = =

5P3 = =

= 60 cara

nPr =

19/01/19

)!rn(

!n

−

)!rn(

!n

− )!35(

!5

−

!2

!5 2!.3.4.5

2!

www.debrina.lecture.ub.ac.id

8

Permutasi Keliling Permutasi suatu kelompok objek yang membentuk suatu

lingkaran

Contoh:

¡  Misalkan ada 4 orang duduk di kursi dengan meja berbentuk lingkaran,

berapa jumlah komposisi yang mungkin?

19/01/19

( n – 1)!

www.debrina.lecture.ub.ac.id

9

Jawab :

(4 -1)! = 3! = 6

A

B

C

D

A

C

D

B

A

D

C

B

A

B

D

C

A

C

B

D

A

D

B

C

19/01/19 www.debrina.lecture.ub.ac.id

10

Permutasi Data Berkelompok

Apabila suatu data kelompok yang terdiri dari n obyek di mana n1 merupakan kumpulan objek yang sama (tidak dapat

dibedakan), n2 adalah kumpulan objek lain yang sama, dst,

Contoh:

¡  Ada berapa carakah kata “televisi” dapat dipermutasikan?

19/01/19

!,...,!!

!

,...,,2121 kk

nnn

n

nnn

n=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

www.debrina.lecture.ub.ac.id

11

Jawab :

Kata “televisi” terdiri dari 8 huruf yaitu 1t, 2e, 1l, 1v, 2i, dan 1s.

Dengan demikian n1 = 1, n2 = 2, n3 = 1, n4 = 1, n5 = 2 dan n6 = 1

dan permutasi dari ke-8 huruf akan menghasilkan:

cara080.10!1!2!1!1!2!1

!8

1,2,1,1,2,1

8==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

19/01/19 www.debrina.lecture.ub.ac.id

12

Kombinasi Penyusunan obyek tanpa memperhatikan suatu

urutan yang teratur/urutan tertentu. AB = BA

19/01/19 www.debrina.lecture.ub.ac.id

13

Kombinasi

19/01/19

¡  Kombinasi r unsur dari n unsur yang tersedia

(ditulis Cr

n atau nCr) adalah banyak cara

mengelompokan r unsur yang diambil dari

sekumpulan n unsur yang tersedia.

¡  Kombinasi tidak menghiraukan urutan

www.debrina.lecture.ub.ac.id

14

Kombinasi Menyeluruh Penyusunan semua obyek ke dalam suatu tempat dan urutan

tidak diperhatikan

19/01/19

nCn = 1

Kombinasi Sebagian Penyusunan sebagian obyek ke dalam suatu tempat dan urutan

tidak diperhatikan dan tanpa pengulangan.

!)!(

!

rrn

nnCr

−=

www.debrina.lecture.ub.ac.id

15

Contoh

Seorang siswa diharuskan mengerjakan 6 dari 8 soal,

tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan .

Banyak pilihan yang dapat

diambil oleh siswa adalah…

¡  Penyelesaian:

¡  mengerjakan 6 dari 8 soal,

tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan

¡  berarti tinggal memilih 2 soal lagi

dari soal nomor 5 sampai 8

¡  r = 2 dan n = 4

¡  4C2 = 6 pilihan

19/01/19

=−

2)!(42!

4!=

2!.2!

4!

www.debrina.lecture.ub.ac.id

16