KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : KOMBINASI MATEMATIKA DISKRIT

IlustrasiMisal ada 2 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m) dan hijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng.

Ilustrasi (Cont.)Jumlah cara memasukkan kelereng ke dalam kaleng

Definisi Kombinasi r elemen dari n elemen adalah :jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemenKombinasi merupakan bentuk khusus dari permutasiPerbedaan permutasi dengan kombinasi :Permutasi : urutan kemunculan diperhitungkanKombinasi : urutan kemunculan diabaikanJumlah pemilihan yang tidak terurut dari r elemen yang diambil dari n elemen disebut dengan kombinasi-r :C(n,r) dibaca n diambil r r objek diambil dari n buah objek

Interpretasi Kombinasi Persoalan kombinasi sama dengan menghitung banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen. Dua atau lebih elemen-elemen yang sama dianggap sebagai himpunan yang sama meskipun urutan elemen-elemennya berbedaContoh :Misal A = {1,2,3}Jumlah himpunan bagian dengan 2 elemen yang dibentuk dari himpunan A :{1,2} = {2,1}{1,3} = {3,1}3 buah{2,3} = {3,2}

Interpretasi Kombinasi (Cont.) Persoalan kombinasi dapat dipandang sebagai cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada, tetapi urutan elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak pentingContoh :Misal sebuah kelompok memiliki 20 orang anggota, kemudian dipilih 5 orang sebagai panitia, dimana panitia merupakan kelompok yang tidak terurut (artinya setiap anggota di dalam panitia kedudukannya sama).Sehingga banyaknya cara memilih anggota panitia yang terdiri dari 5 anggota panitia yang terdiri dari 5 orang anggota adalah :

Contoh 1Ada berapa cara dapat memilih 3 dari 4 elemen himpunan A = {a,b,c,d} ?

SolusiMerupakan persoalan kombinasi karena urutan kemunculan ketiga elemen tersebut tidak penting{a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} dan {b,c,d}Sehingga :

Contoh 2Berapa cara menyusun menu nasi goreng 3 kali seminggu untuk sarapan pagi ?

Solusi Diketahui: Nasi goreng = r = 3 kaliHari dalam 1 minggu = n = 7 hariMaka :

Contoh 3Sebuah karakter dalam sistem ASCII berukuran 1 byte atau 8 bit (1 atau 0)Berapa banyak pola bit yang terbentuk ?Berapa banyak pola bit yang mempunyai 3 bit 1 ?Berapa banyak pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap ?

Solusi 1 byte = 8 bit (posisi 0 .. 7)1 bit terdiri dari 1 atau 0Maka :Posisi bit dalam 1 byte : 7 6 5 4 3 2 1 0Posisi 0 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)Posisi 1 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)::Posisi 7 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)Semua posisi harus diisi sehingga jumlah pola bit yang terbentuk :(2)(2)(2)(2) (2)(2)(2)(2) = 28b)Banyaknya pola bit yang mempunyai 3 bit 1 :

c) Banyaknya pola bit yang mempunyai 0 buah bit 1 = C(8,0)Banyaknya pola bit yang mempunyai 2 buah bit 1 = C(8,2)Banyaknya pola bit yang mempunyai 4 buah bit 1 = C(8,4)Banyaknya pola bit yang mempunyai 6 buah bit 1 = C(8,6)Banyaknya pola bit yang mempunyai 8 buah bit 1 = C(8,8)Sehingga banyaknya pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap :C(8,0) + C(8,2) + C(8,4) + C(8,6) + C(8,8) = 1 + 28 + 70 + 28 + 1 = 128

Contoh 4Sebuah klub beranggotakan 7 pria dan 5 wanita. Berapa banyak cara memilih panitia yang terdiri dari 4 orang dengan jumlah pria lebih banyak daripada jumlah wanita ?

Solusi Pria = 7 orangWanita = 5 orangPanitia = 4 orang, jumlah pria lebih banyak daripada jumlah wanitaMaka :Panitia terdiri dari 4 orang pria dan 0 orang wanita C(7,4) x C(5,0) = 35 x 1 = 35Panitia terdiri dari 3 orang pria dan 1 orang wanita C(7,3) x C(5,1) = 35 x 5 = 175Sehingga jumlah cara pembentukan panitia seluruhnya : C(7,4) x C(5,0) + C(7,3) x C(5,1) = 35 + 175 = 210 cara

Contoh 5Sebuah rumah penginapan ada 3 buah kamar A, B dan C. Tiap kamar dapat menampung 3 atau 4 orang. Berapa jumlah cara pengisian kamar untuk 10 orang ?

Solusi Diketahui :Kamar = r = 3 buah (A, B dan C)Penghuni = n = 10 orangMisalkan :Masing-masing kamar dihuni 4, 3 dan 3 orang. Jumlah cara : C(10,4)xC(6,3)xC(3,3) = C(10,4)xC(6,3)Masing-masing kamar dihuni 3, 4 dan 3 orang. Jumlah cara : C(10,3)xC(7,4)xC(3,3) = C(10,3)xC(7,4)Masing-masing kamar dihuni 3, 3 dan 4 orang. Jumlah cara : C(10,3)xC(7,3)xC(4,4) = C(10,3)xC(7,3)Sehingga total jumlah cara pengisian kamar : C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) = 210 x 20 + 120 x 35 + 120 x 35 = 12600atau C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) = 3 C(10,4) x C(6,3) = 3 x 210 x 20 = 12600

Permutasi dan Kombinasi Bentuk UmumMisal n buah bola tidak seluruhnya berbeda warna (ada beberapa bola yang warnanya sama)n1 bola diantaranya berwarna 1n2 bola diantaranya berwarna 2 nk bola diantaranya berwarna kSehingga n1 + n2 + + nk = n. Bola-bola tersebut dimasukkan ke dalam n buah kotak, masing-masing kotak berisi paling banyak 1 buah bola. Berapa banyak jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut ?

Jika n buah bola dianggap berbeda semua, maka jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah : P(n,n) = n ! Karena tidak seluruh bola berbeda maka pengaturan n buah bola :n1! cara memasukkan bola berwarna 1n2! cara memasukkan bola berwarna 2 nk! cara memasukkan bola berwarna kSehingga permutasi n buah bola dikenal dengan permutasi bentuk umum :

Mula-mula menempatkan bola-bola berwarna 1 ke dalam n buah kotak ada C(n,n) cara n1 buah bola berwarna 1Bola berkurang n1 sehingga sisa n - n1 kotak ada C(n-n1, n2) cara buah bola berwarna 2Bola berkurang (n1 + n2 )sehingga sisa n - n1- n2 kotak ada C(n-n1- n2, n3) cara buah bola berwarna 3Dan seterusnya sampai bola berwarna k ditempatkan dalam kotakSehingga jumlah cara pengaturan seluruh bola ke dalam kotak dikenal dengan kombinasi bentuk umum adalah :

Jika S adalah himpunan ganda dengan n buah objek yang di dalamnya terdiri dari k jenis objek berbeda dan tiap objek memiliki multiplisitas n1, n2, ,nk (jumlah objek seluruhnya n1 + n2 + + nk = n) maka jumlah cara menyusun seluruh objek adalah :

Contoh 6Berapa banyak string yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI ?

SolusiS = {M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I}Huruf M = 1 buahHuruf I = 4 buahHuruf S = 4 buahHuruf P = 2 buahSehingga n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah jumlah elemen himpunan SAda 2 cara :Permutasi :Jumlah string = P(n; n1,n2,n3,n4) = P(11; 1,4,4,2) = 34650 buahKombinasi :Jumlah string = C(11,1) C(10,4) C(6,4) C(2,2) = 34650 buah

Contoh 7Ada 12 lembar karton akan diwarnai sehingga ada 3 diantaranya berwarna merah, 2 berwarna jingga, 2 berwarna ungu dan sisanya berwarna coklat. Berapa jumlah cara pewarnaan ?

Solusi Diketahui :n1 = 3n2 = 2 n3 = 2n4 = 5 Jumlah cara pewarnaan :n = 12

Kombinasi PengulanganMisalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotakJika masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :C(n,r)Jika masing-masing kotak boleh lebih dari 1 buah bola, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :C(n+r-1, r)

C(n+r-1, r) adalah membolehkan adanya pengulangan elemen n buah objek akan diambil r buah objek dengan pengulangan diperbolehkan

Contoh 8Ada 20 buah apel dan 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1 buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali. Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilakukan ?

Solusi Diketahui :n = 5 orang anakr1 = 20 buah apelr1 = 15 buah jeruk20 buah apel dibagikan kepada 5 orang anak C(n+r-1,r) = C(5+20-1,20) = C(24,20)15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak C(n+r-1,r) = C(5+15-1,15) = C(19,15)Jika setiap anak boleh mendapat apel dan jeruk maka jumlah cara pembagian kedua buah tersebut adalah :C(24,20) C(19,15) = 23 x 22 x 21 x 19 x 17 x 4 x 3 = 41.186.376 cara

Contoh 9Toko roti Lezat menjual 8 macam roti. Berapa jumlah cara mengambil 1 lusin roti ? (1 lusin = 12 buah)

Solusi Diketahui :n = 8 macam rotir = 1 lusin = 12 buah rotiMisalkan macam-macam roti dianalogikan sebagai kotak. Setiap kotak mungkin berisi lebih dari 1 buah roti.Sehingga jumlah cara memilih 1 lusin roti (sama dengan jumlah cara memasukkan 1 lusin roti ke dalam 8 macam roti) yaitu :C(n+r-1,r) = C(8+12-1,12) = C(19,12)

Contoh 10Ada 3 buah dadu dilempar secara bersama-sama. Berapa banyaknya hasil berbeda yang mungkin terjadi ?

Solusi Diketahui :n = 6 6 buah mata dadur = 3 3 dadu dilemparkan bersamaanSehingga banyaknya hasil berbeda yang mungkin terjadi adalah :C(n+r-1,r) = C(6+3-1,3) = C(8,3) = 56 cara

Latihan Ada 6 orang mahasiswa jurusan Teknik Informatika dan 8 orang mahasiswa jurusan Teknik Elektro. Berapa banyak cara membentuk panitia yang terdiri dari 4 orang jika :Tidak ada batasan jurusanSemua anggota panitia harus dari jurusan Teknik InformatikaSemua anggota panitia harus dari jurusan Teknik ElektroSemua anggota panita harus dari jurusan yang sama2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakiliBerapa banyak cara membagikan 7 buah kartu remi yang diambil dari tumpukan kartu ke masing-masing dari 4 orang ? (tumpukan kartu = 52 buah)Di ruang baca Teknik Informatika terdapat 4 buah jenis buku yaitu buku Basis Data, buku Matematika Diskrit dan buku Pemograman dengan Visual Basic. Ruang baca memiliki paling sedikit 6 buah buku untuk masing-masing jenis. Berapa banyak cara memilih 6 buah buku ?

Latihan (cont.)Carilah jumlah himpunan bagian dari A = {a,b,c,d,e} bila diletakkan ke himpunan B dengan 2 elemen ?Di dalam sebuah kelas terdapat 100 mahasiswa, 40 orang diantaranya pria.Berapa banyak cara dapat dibentuk sebuah panitia 10 orang ? Ulangi pertanyaan (a) jika banyaknya pria harus sama dengan banyaknya wanitaUlangi pertanyaan (a) jika panitia harus terdiri dari 6 pria dan 4 wanita atau 4 pria dan 6 wanitaBerapakah jumlah himpunan bagian dari himpunan B = {1, 2, , 10} yang mempunyai anggota paling sedikit 6?

Latihan (Cont.)Sebuah klub mobil antik branggotakan 6 orang pria dan 5 orang wanita. Mereka akan membentuk panitia yang terdiri dari 5 orang. Berapa banyak jumlah panitia yang dapat dibentuk jika panitianya terdiri dari paling sedikit 1 pria dan 1 wqanita ?Sebuah kelompok terdiri dari 7 orang waita dan 4 orang pria. Berapa banyak perwakilan 4 orang yang dapat dibentuk dari kelompok itu jika paling sedikit harus ada 2 orang wanita di dalamnya ?Tersedia 6 huruf : a, b, c, d, e dan f. berapa jumlah pengurutan 4 huruf jika :Tidak ada huruf pengulanganBoleh ada huruf pengulanganTidak boleh ada huruf yang diulang tetapi huruf d harus adaBoleh ada huruf yang berulang, huruf d harus ada

Latihan (Cont.)Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari huruf-huruf kata WEAKNESS sedemikian sehingga 2 buah huruf S tidak terletak berdampingan ?