PERANGKAT PEMBELAJARAN - · PDF fileKONTRAK PEMBELAJARAN MATEMATIKA DISKRIT ... C. Deskripsi...
Transcript of PERANGKAT PEMBELAJARAN - · PDF fileKONTRAK PEMBELAJARAN MATEMATIKA DISKRIT ... C. Deskripsi...
PERANGKAT PEMBELAJARAN
MATA KULIAH : MATEMATIKA DISKRIT
KODE : MKK629515
DOSEN : EDY MULYONO, M.Pd.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA
SUKOHARJO
KONTRAK PEMBELAJARAN
MATEMATIKA DISKRIT MKK629515
Semester VI / 3 SKS
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
EDY MULYONO, M.Pd.
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA
SUKOHARJO
A. Identitas Mata Kuliah
Mata Kuliah : MATEMATIKA DISKRIT
Semester / SKS : III / 3 SKS
Pengampu Mata Kuliah : EDY MULYONO, M.Pd.
Kode Mata Kuliah : MKK629515
B. Manfaat Mata Kuliah
Setelah mengikuti kuliah ini diharapkan mahasiswa dapat :
1. Menggunakan induksi matematika dan proses berfikirnya dalam pembuktian pernyataan.
2. Memahami tetang aturan penghitungan yaitu mengenai aturan penjumlahan dan perkalian.
3. Memahami konsep dasar perumusan permutasi dan kombinasi.
4. Menggunakan konsep relasi rekurensi dalam pemecahan masalah.
C. Deskripsi Mata Kuliah
Matematika Diskrit akan diawali denngan dengan sifat-sifat dasar integer (bilangan bulat). Enumerasi
atau pencacahan merupakan bahasan selanjutnya dari matematika diskrit yang digunakan sebagai
alat dasar untuk mempelajari materi-materi lainnya yang umumnya bersifat kombinatorik. Disamping
itu ia juga mempunyai aplikasi di banyak area seperti: teori peluang, statistika, teori graf, teori koding,
kriptogra dan analisis algoritma. Materinya selanjutnya ditekankan pada bahasan relasi rekurensi.
D. Kompetensi Dasar dan Indikator
Kompetensi Dasar Indikator
1. Menggunakan logika dan
induksi matematika pada
pembuktian sebuah
pernyataan
1.1 Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan
menggunakan hukum-hukum logika.
1.2 Menggunakan induksi matematika untuk membuktikan
kebenaran suatu pernyataan.
2. Memahami beberapa metode
penghitungan (Counting
Methods)
2.1 Menggunakan aturan perkalian dan penjumlahan secara
tepat dalam pemecahan masalah.
2.2 Menggunakan prinsip Inklusi Eksklusi dalam pemecahan
masalah dengan kejadian majemuk.
2.3 Menurunkan rumus permutasi berdasarkan definisi dan
menggunakannya.
2.4 Menurunkan rumus kombinasi berdasarkan definisi dan
menggunakannya.
2.5 Melakukan ekspansi binomial.
3. Menggunakan konsep relasi
rekurensi dalam pemecahan
masalah
3.1 Menyusun Relasi Rekurensi dari suatu permasalahan.
3.2 Menyusun bentuk eksplisit dari suatu relasi rekurensi
dengan metode Iterasi
3.3 Menentukan solusi dari relasi rekurensi linear homogen
koefisien konstan dengan persamaan karakteristik
E. Organisasi Materi
F. Pendekatan Dan Strategi Pembelajaran
Strategi pembelajaran yang digunakan mengarah pada Active Learning. Metode-metode yang
digunakan adalah sebagai berikut :
KD 1 KD 2
KD 3
1. Practice Rehearsal Pairs
2. Kelompok Belajar (The Study Group)
3. Two stay two stray
4. Gallery of Learning
5. The Learning Cell
G. Sumber Belajar
[1] Rinaldi Munir. 2010. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika
[2] Drs. Jong Jek Siang, M.Sc. 2009. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Andi offset
[3] Modul Kuliah
H. Penilaian Dan Kriteria Pembelajaran 1. Presensi dan Keaktifan : 30 %
2. Tugas Terstruktur : 20 %
3. UTS : 20 %
4. UAS : 30 %
100 %
I. Jadwal Perkuliahan
Pertemuan P E M B E L A J A R A N
1 Materi :
Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan menggunakan hukum-
hukum logika.
2 Materi :
Menggunakan induksi matematika untuk membuktikan kebenaran suatu
pernyataan.
3 Pendalaman Materi :
Menggunakan induksi matematika untuk membuktikan kebenaran suatu
pernyataan
4 Materi :
Menggunakan aturan perkalian dan penjumlahan secara tepat dalam
pemecahan masalah.
5 Materi :
Menggunakan prinsip Inklusi Eksklusi dalam pemecahan masalah dengan
kejadian majemuk.
6 Materi :
Menurunkan rumus permutasi berdasarkan definisi dan menggunakannya.
7 Materi :
Menurunkan rumus kombinasi berdasarkan definisi dan menggunakannya.
8 Materi :
Melakukan ekspansi binomial.
9 Ujian Tengah Semester
10 Materi :
Menyusun Relasi Rekurensi dari suatu permasalahan.
11 Materi :
Menyusun bentuk eksplisit dari suatu relasi rekurensi dengan metode Iterasi
12 Materi :
Menentukan solusi dari relasi rekurensi linear homogen koefisien konstan
dengan persamaan karakteristik jika semua akar yang ditemukan berbeda.
13 Materi :
Menentukan solusi dari relasi rekurensi linear homogen koefisien konstan
dengan persamaan karakteristik jika ditemukan ada akar yang sama.
14 QUIZ
15 REVIEW:
Persiapan Ujian Semester
16 Ujian Akhir Semester
UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
SILABUS
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Kode Mata Kuliah : MKK629515
Mata Kuliah : MATEMATIKA DISKRIT
Bobot : 3 SKS
Semester : VI
Mata Kuliah Prasyarat : Logika dan Himpunan, Teori Bilangan, dan Aljabar.
Standar Kompetensi : Melakukan pembuktikan secara logis, menggunakan kaidah pencacahan dalam melakukan enumerasi, dan menyusun relasi
rekurensi serta menentukan penyelesainanya.
Kompetensi Dasar Indikator Pengalaman Belajar Materi Pokok
Alokasi
Waktu
(menit)
Sumber/ Bahan/
Alat
Penilaian/
Evaluasi
1. Menggunakan
logika dan
induksi
matematika
pada
pembuktian
sebuah
pernyataan
1.1 Menentukan nilai kebenaran dari
suatu pernyataan menggunakan
hukum-hukum logika.
1.2 Menggunakan induksi matematika
untuk membuktikan kebenaran
suatu pernyataan.
Tatap muka
Mengulas kembali hukum-hukum logika
Memberikan penjelasan tentang induksi
matematika
Memberikan pernyataan dan meminta
mahasiswa menentukan nilai
kebenarannya dengan induksi matematika
Kegiatan terstruktur
Mendiskusikan berbagai permasalahan
pembuktian
Post-test
Logika dan Pembuktian
Induksi Matematika
3 150 Sumber :
Buku panduan
mata kuliah
matematika
diskrit
Alat :
Laptop, LCD,
Whiteboard
Bentuk
evaluasi :
Pre-test
Post-test
Instrumen :
Lembar
Kerja
Individu
Lembar
Kegiatan
kelompok
2. Memahami
beberapa
metode
penghitungan
(Counting
Methods)
2.1 Menggunakan aturan perkalian dan
penjumlahan secara tepat dalam
pemecahan masalah.
2.2 Menggunakan prinsip Inklusi
Eksklusi dalam pemecahan
masalah dengan kejadian
majemuk.
2.3 Menurunkan rumus permutasi
berdasarkan definisi dan
menggunakannya.
Tatap muka
Mendefinisikan aturan perkalian dan
aturan penjumlahan sebagai teknik dalam
enumerasi.
Memanfaatkan konsep himpunan dalam
menyelesaikan permasalahan
kombinatorik yaitu prinsip inklusi
ekskulusi.
Menurunkan rumus permutasi dari aturan
perkalian.
Counting Methods 6 150 Sumber :
Buku panduan
mata kuliah
matematika
diskrit
Alat :
Laptop, LCD,
Whiteboard
Bentuk
evaluasi :
Pre-test
Post-test
Instrumen :
Lembar
Kerja
Individu
Lembar
2.4 Menurunkan rumus kombinasi
berdasarkan definisi dan
menggunakannya.
2.5 Melakukan ekspansi binomial.
Menurunkan rumus permutasi dari rumus
kombinasi.
Menurunkan rumus ekspansi binomial.
Kegiatan terstruktur
Mendiskusikan berbagai permasalahan
tentang enumerasi.
Post-test
Kegiatan
kelompok
3. Menggunakan
konsep relasi
rekurensi dalam
pemecahan
masalah
3.1 Menyusun Relasi Rekurensi dari
suatu permasalahan.
3.2 Menyusun bentuk eksplisit dari
suatu relasi rekurensi dengan
metode Iterasi
3.3 Menentukan solusi dari relasi
rekurensi linear homogen koefisien
konstan dengan persamaan
karakteristik
Tatap muka
Menjelaskan tentang cara menyusun
Relasi Rekurensi dari suatu
permasalahan.
Menjelaskan cara menyusun bentuk
eksplisit dari suatu relasi rekurensi
dengan metode Iterasi
Menjelaskan cara menentukan solusi dari
relasi rekurensi linear homogen koefisien
konstan dengan persamaan karakteristik
Kegiatan terstruktur
Mendiskusikan berbagai permasalahan
jaringan
Post-test
Relasi Rekurensi 5 150 Sumber :
Buku panduan
mata kuliah
matematika
diskrit
Alat :
Laptop, LCD,
Whiteboard
Bentuk
evaluasi :
Pre-test
Post-test
Instrumen :
Lembar
Kerja
Individu
Lembar
Kegiatan
kelompok
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : EDY MULYONO, M.Pd.
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : MATEMATIKA DISKRIT
Kode Mata Kuliah : MKK629515
Bobot : 3 SKS
Semester : VI
Pertemuan ke- : 1 s.d 3
Standart Kompetensi : Melakukan pembuktikan secara logis, menggunakan kaidah pencacahan dalam
melakukan enumerasi, dan menyusun relasi rekurensi serta menentukan
penyelesainanya
Kompetensi Dasar : 1. Menggunakan logika dan induksi matematika pada pembuktian sebuah
pernyataan
Indikator : 1.1 Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan menggunakan
hukum-hukum logika.
1.2 Menggunakan induksi matematika untuk membuktikan kebenaran suatu
pernyataan.
Tujuan : 1.1 Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan menggunakan
hukum-hukum logika.
1.2 Menggunakan induksi matematika untuk membuktikan kebenaran suatu
pernyataan.
MATERI
LOGIKA DAN PEMBUKTIAN
Logika adalah pembelajaran mengenai penalaran, khususnya mengenai apakah penalaran anda benar.
Logika memfokuskan pada hubungan antara pernyataan-pernyataan yang bertentangan dengan isi dari
pernyataan tertentu. Pandang, sebagai contoh argumen ini.
Semua mahasiswa memakai sepatu.
Siapa saja yang memakai sepatu adalah seorang ahli aljabar.
Oleh karena itu, semua mahasiswa adalah ahli aljabar.
Secara teknis, logika tidak membantu dalam menentukan apakah masing-masing pernyataan
tersebut benar, namun, jika dua pernyataan pertama benar, logika menyakinkan kita bahwa pernyataan.
Semua mahasiswa adalah ahli aljabar. Adalah bernilai benar. Metode logis digunakan dalam matematika
untuk membuktikan teorema dan dalam ilmu komputer untuk membuktikan bahwa program melakukan
apa yang diharapkan akan dilakukan.
PROPOSISI
Yang mana dari kalimat-kalimat berikut bernilai benar atau salah (tapi tidak keduanya)?
1. Bilangan bulat positif yang membagi habis bilangan 7 adalah 1 dan 7 itu sendiri.
2. Untuk setiap bilangan bulat positif n, terdapat sebuah bilangan prima positif lebih besar daripada n.
3. Bumi adalah satu-satunya planet di alam semesta yang mempunyai kehidupan.
4. Belilah dua tiket pertandingan sepakbola Persis vs Persik nanti malam.
Kalimat 1, bernilai benar.
Kalimat 2, bernilai benar.
Kalimat 3, bisa bernilai benar atau salah karena tidak ada yang tahu keadaan sebenarnya.
Kalimat 4, tidak benar dan tidak salah, karena merupakan kalimat perintah.
Sebuah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya, disebut sebuah proposisi.
Kalimat 1 -3 adalah proposisi, sementara kalimat 4, bukan.
Definisi. Pandang p dan q sebagai proposisi.
Konjungsi dari p dan q dengan notasi p q adalah proposisi “p dan q”
Disjungsi dari p dan q dengan notasi p q adalah proposisi “p atau q”
Definisi. Tabel kebenaran dari proposisi p q adalah
p Q p q
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
Definisi. Tabel kebenaran dari proposisi p q adalah
p Q p q
T
T
F
F
T
F
T
F
T
T
T
F
Definisi. Negasi p dinotasikan dengan p adalah proposisi “tidak p”
Definisi. Tabel kebenaran dari proposisi p adalah
P p
T
F
F
T
Contoh 1.
Jika diketahui
p : Blaire Pascal menciptakan beberapa mesin hitung.
q : Komputer digital all-electronic pertama dibangun pada abad ke duapuluh.
r : π dihitung sampai 1,000,000 angka decimal pada tahun 1954.
Representasikan proposisi berikut secara simbolik dan tentukan bernilai benar atau salah.
Blaire Pascal menciptakan beberapa mesin hitung dan bukan kasus komputer digital all-electronic
pertama dibangun pada abad keduapuluh, atau π dihitung sampai 1,000,000 angka decimal pada tahun
1954.
Proposisi tersebut dapat dituliskan secara simbolis sebagai
(p q r).
Pertama-tama, perhatikan bahwa p dan q bernilai benar dan r bernilai salah. (Karena π dihitung sampai
1,000,000 angka decimal pada tahun 1973. Perhitungan sampai 1,000,000,000 baru saja dilakukan).
Jika kita mengganti setiap simbol dengan tabel kebenarannya, maka diperoleh
(p q ) r = (T T ) F
= (T F) F
= F F
= F
Jadi proposisi bernilai salah.
PROPOSISI BERSYARAT DAN LOGIKA EKUIVALENSI
Definisi. Jika p dan q adalah proposisi, maka
jika p maka q
disebut proposisi bersyarat (conditional proposition) dan dinotasikan dengan
p → q
Proposisi p disebut hipotesis (asteseden) dan proposisi q disebut kesimpulan (konsekuen).
Definisi. Tabel kebenaran dari proposisi bersyarat p → q adalah
p Q p → q
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
Contoh 2. Diandaikan bahwa p benar, q salah, dan r benar, carilah nilai kebenaran dari tiap-tiap proposisi
berikut:
(a) qp r
(b) qp r
(c) p rq
(d) p rq
Setiap simbol p, q dan r digantikan dengan nilai kebenarannya untuk memperoleh nilai kebenaran dari
proposisi.
Jawab:
(a) (T F) T = F T = Benar.
(b) (T F) T = T F = Salah.
(c) T (F T) = T T = Benar.
(d) T (F T) = T T = Benar.
Definisi. Jika p dan q adalah proposisi, maka
p jika dan hanya jika q
disebut proposisi bikondisional (biconditional proposition) atau biimplikasi dan dinotasikan dengan
p q
Tabel kebenaran dari proposisi biimplikasi p q adalah
p Q p q
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
Definisi. Andaikan proposisi P dan Q terdiri dai proposisi . Maka dikatakan P dan Q adalah
“ekuivalen logis: atau “ekuivalen” dan ditulis
P ≡ Q
yang berarti bahwa jika diberikan sebarang nilai kebenaran dari maka keduanya P dan Q
bernilai benar, atau keduanya bernilai salah.
Contoh 3. Dalil De Morgan untuk Logika
a. qp = qp ,
b. b. qp = qp
Bukti a. ditunjukkan dengan tabel kebenaran
p q qp qp
T
T
F
F
T
F
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA
Definisi. Andaikan untuk setiap bilangan bulat positif n, S(n) adalah pernyataan yang bisa benar atau
salah. Dan andaikan
(a) S(1) benar;
(b) S(n) diandaikan benar,
maka S(n + 1) dapat dibuktikan kebenarannya. Dengan demikian S(n) terbukti benar untuk semua
bilangan bulat positif n.
Syarat (a) sering disebut Langkah Dasar dan syarat (b) sering disebut Langkah Induksi.
Contoh 4. Gunakan induksi matematika untuk menunjukkan bahwa
n! ≥ untuk n = 1,2,… (1)
Langkah Dasar. [Syarat (a)]. Kita harus menunjukkan bahwa persamaan (1) benar untuk n = 1. Ini
mudah, karena
1! = 1 ≥ (2)
Langkah Induksi. [Syarat (b)]. Harus diperlihatkan bahwa jika i! ≥ untuk i = 1,… n, maka
(n + 1)! ≥ (3)
Asumsikan bahwa i! 2i–1 benar untuk i = 1,…,n. Maka untuk i = n, berlaku
n! ≥ (4)
Kita dapat menghubungkan persamaan (3) dan (4) dengan mengamati bahwa
(n + 1)! = (n + 1)(n!)
Dengan demikian
(n + 1)! = (n + 1)(n!)
(n + 1) 2n–1 2. 2n–1 karena n + 1 ≥ 2
2 Terbukti
Jadi, persamaan (3) benar
Karena Langkah Dasar dari Langkah Induksi telah terbukti, Prinsip Induksi Matematika menunjukkan
bahwa persamaan (2) benar untuk setiap bilangan bulat positif n
METODE PEMBELAJARAN
Learning Cell
LANGKAH PEMBELAJARAN
PERTEMUAN 1
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Mengulas kembali hukum-hukum logika.
10 menit
2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan permasalahan pembuktian pernyataan dengan
menggunakan hukum-hukum logika.
b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok
Elaborasi a. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi
contoh permasalahan.
b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup
menuliskan permasalahan transportasi.
c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan
grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II
bertanya, dan grup I menjawab.
Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan
hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.
35 menit
10 menit
5 menit
10 menit
30 menit
25 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuktikan pernyataan
menggunakan hukum-hukum logika
30 menit
PERTEMUAN 2
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan a. Apersepsi
Mengulas tentang hukum-hukum logika.
b. Motivasi
Memberikan gambaran tentang pembuktian pernyataan dengan
induksi matematika.
5 menit
5 menit
2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan pernyataan kemudian menjelaskan cara pembuktian
dengan induksi matematika.
b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok
Elaborasi a. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi
beberapa pernyataan yang harus diselidiki nilai kebenarannya.
b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup
mendapatkan tugas yang berbeda..
c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan
grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II
bertanya, dan grup I menjawab.
Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan
hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.
35 menit
10 menit
5 menit
5 menit
30 menit
25 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuktikan pernyataan
menggunakan induksi matematika
30 menit
PERTEMUAN 3
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi Mengulas tentang hukum-hukum logika dan induksi matematika.
10 menit
2. Penyajian Eksplorasi
a. Memberikan bpa eberpernyataan kemudian meminta mahasiswa
membuktikan dengan hukum logika dan induksi matematika
b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok
Elaborasi a. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi
beberapa pernyataan yang harus diselidiki nilai kebenarannya.
b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup
mendapatkan tugas yang berbeda..
c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan
grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II
bertanya, dan grup I menjawab.
Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan
hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.
35 menit
10 menit
5 menit
5 menit
30 menit
25 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuktikan pernyataan
menggunakanhukum-hukum logika dan induksi matematika.
30 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Rinaldi Munir. 2010. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika
[2] Drs. Jong Jek Siang, M.Sc. 2009. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Andi offset
[3] Modul Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
SOAL 1
Evaluasi setiap proposisi berikut jika diketahui
p = F, q = T, r = F
1. qp rp
2. rp prrq
3. qp rq
Tulislah tabel kebenaran dari setiap proposisi berikut.
4. qp p
5. qp p
6. qp qp
7. qp pr
8. qp qp qp qp
Dalam soal-soal berikut, representasikan pernyataan secara simbolis dengan memperhatikan bahwa
p : 5 < 9, q : 9 < 7, r : 5 < 7
Tentukan apakah setiap pernyataan bernilai benar atau salah
9. 5 < 9 dan 9 < 7.
10. Bukan merupakan kasus bahwa (5 < 9 dan 9 < 7)
11. 5 < 9 atau bukan merupakan kasus bahwa (9 < 7 dan 5 < 7)
Pada soal-soal berikut, ubahlah ekspresi simbolik ke dalam kata-kata menggunakan:
p: Hari ini Senin
q: Hari hujan
r: Hari panas
12. p (q r).
13. qp r.
14. qp pr
15. rqp pqr
16. Buat tabel kebenaran untuk exclusive-or dari p dan q dimana p exor q bernilai benar jika salah satu
p atau q benar, tetapi tidak keduanya.
SOAL 2
1. Gunakan induksi matematika untuk memperlihatkan bahwa jika α ≠ 1, untuk n = 0.1,… berlaku:
1α
1αααα1
1nn2
2. Gunakan induksi matematika untuk memperlihatkan bahwa 5n–1 habis dibagi oleh 4 untuk n = 1, 2,
3…
3. Buktikan bahwa persamaan di bawah ini benar
(a) 2n642
12n531
2n
1
, n = 1, 2, 3, ....
(b) 2n n2, n = 4, 5, ...
(c) 6.7n – 2.3n habis dibagi oleh 4, untuk n = 1,2,…
4. Carilah rumus umum dan buktikan kebenarannya dengan induksi
1nn
1
2.3
1
1.2
1
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : EDY MULYONO, M.Pd.
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : MATEMATIKA DISKRIT
Kode Mata Kuliah : MKK629515
Bobot : 3 SKS
Semester : VI
Pertemuan ke- : 4 s.d 8
Standart Kompetensi : Melakukan pembuktikan secara logis, menggunakan kaidah pencacahan dalam
melakukan enumerasi, dan menyusun relasi rekurensi serta menentukan
penyelesainanya
Kompetensi Dasar : 2. Memahami beberapa metode penghitungan (Counting Methods)
Indikator : 2.1 Menggunakan aturan perkalian dan penjumlahan secara tepat dalam
pemecahan masalah.
2.2 Menggunakan prinsip Inklusi Eksklusi dalam pemecahan masalah
dengan kejadian majemuk.
2.3 Menurunkan rumus permutasi berdasarkan definisi dan
menggunakannya.
2.4 Menurunkan rumus kombinasi berdasarkan definisi dan
menggunakannya.
2.5 Melakukan ekspansi binomial.
Tujuan : Melakukan pemilihan penggunaan aturan perkalian dan penjumlahan secara
tepat dalam pemecahan masalah secara tepat.
Menentukan pemecahan masalah dengan kejadian majemuk menggunakan
prinsip Inklusi Eksklusi.
Memecahkan permasalahan permutasi.
Memecahkan permasalahan kombinasi.
Menentukan suku ke-i dari penjabaran (a+b)n dengan ekspansi binomial.
MATERI
BASIC PRINCIPLES
PRINSIP PERHITUNGAN PERTAMA (MULTIPLICATION PRINCIPLE) →PP2:
Bila suatu aktivitas dapat dikonstruksikan dalam t langkah dan langkah ke i dapat dilakukan
dalam ni cara i = 1,2,…,t, maka banyaknya aktivitas yang mungkin adalah n1, n2, ..., nt.
CONTOH
Gunakan PP1 untuk memperlihatkan bahwa sebuah himpunan n321 x,,x,x, x yang memuat n
elemen mempunyai 2n subset
Jawab :
Sebuah subset dapat dikonstruksikan dalam n langkah ambil atau tidak x1 ambil atau tidak x2, ambil atau
tidak xn. Masing-masing langkah dapat dilakukan dalam dua cara. Jadi banyaknya subset yang mungkin
adalah 2 2 2 … 2 = 2n.
(please see more examples in the text book!)
PRINSIP PERHITUNGAN KEDUA (ADDITION PRINCIPLE) →PP2:
Misal bahwa X1, X2, ..., Xt adalah sejumlah himpunan dan himpunan Xi mempunyai ni elemen , i =
1, 2, …, t. Bila t21 X..., , X,X adalah family pasangan saling asing (pairwise disjoint family), maka
banyaknya elemen-elemen yang mungkin yang dapat dipilih dari X1, atau X2, ..., Xt adalah X1 + X2 + ... + Xt
CONTOH
Berapa banyak string 8 bit yang mulai dengan 101 atau 111 ?
Jawab:
Sebuah string 8 bit yang mulai dengan 101 dapat dikonstruksikan dalam lima langkah berturut-
turut pilih n bit keempat, pilih bit kelima,… pilih bit kedelapan. Karena masing-masing dari lima bit dapat
dipilih dalam dua cara, dengan PP1 terdapat 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25 = 32 string 8 bit yang mulai dengan 101.
Dengan alasan yang sama terdapat 32 string 8 bit yang mulai dengan 111. Karena terdapat 32 string 8 bit
yang mulai dengan 101 dan 32 string 8 bit yang mulai dengan 111, maka ada 32 + 32 = 64 string 8 bit
yang mulai dengan 101 atau 111.
CONTOH
Dalam berapa cara dapat dipilih dua buku dari subyek yang berbeda di antara lima buku komputer yang
berbeda, tiga buku matematika yang berbeda dan dua buku seni yang berbeda ?
Jawab :
Dengan PP1 pilih dua buku dengan kemungkinan
1 buku komputer dan 1 buku matematika ada 5 . 3 = 15 cara
1 buku komputer dan 1 buku seni ada 5 . 2 = 10 cara
1 buku matematika dan 1 buku seni ada 3 . 2 = 6 cara
Karena himpunan pemilihan adalah pairwise disjoint, maka dengan PP2 ada 15 + 10 + 6 = 31 cara untuk
menjawab persoalan di atas.
CONTOH
Ada enam orang komite A, B, C. D, E dan F yang akan dipilih menjadi ketua, sekretaris dan bendahara
(1) Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan ?
(2) Sama dengan (1) jika A atau B harus menjadi ketua ?
(3) Sama dengan (1) jika E harus memegang salah satu jabatan ?
(4) Sama dengan (1) jika baik D maupun F harus memegang jabatan?
Jawab :
(1) Dengan PP1 ada 6 . 5 . 4 = 120 cara
(2) Jika A menjadi ketua, maka untuk memilih jabatan sisanya ada 5 . 4 = 20 cara, jika B menjadi
ketua, maka untuk memilih jabatan sisanya ada 5 . 4 = 20 cara. Karena kedua kasus ini disjoint
maka dengan PP2 ada 20 + 20 = 40 cara
(3) [CARA 1] jika E jadi ketua, ada 20 cara untuk memilih jabatan sisanya. Dengan cara yang sama
jika F jadi sekretaris, maka ada 20 cara untuk memilih jabatan sisanya. Jika F jadi bendahara,
maka ada 20 cara untuk memilih jabatan sisanya. Karena ketiga kasus ini adalah pairwise
disjoint, maka dengan PP2 ada 20 + 20 + 20 = 60 cara
[CARA 2] ada tiga aktivitas yang ada, yaitu (a) beri E jabatan, (b) isi jabatan tertinggi sisanya, (c) isi
jabatan terakhir. Pada aktivitas (a) ada 3 cara, (b) ada 5 cara, (c) ada 4 cara. Dengan PP2 ada 3 .
5. 4 = 60 cara
(4) Ada tiga kegiatan (a) beri jabatan D, (b) beri jabatan F, (c) isi jabatan sisanya. Pada aktivitas (a)
ada 3 cara, (b) ada 2 cara, (c) ada 4 cara. Dengan PP2 ada 3 . 2 . 4 = 24 cara yang mungkin.
CONTOH 1.6
Berapa banyak string 8 bit dimulai dengan 101 atau mempunyai bit keempat 1 ?
Jawab :
Ada 25 = 32 string 8 bit yang dimulai dengan 101. Analog terdapat 27= 128 string 8 bit yang bit
keempatnya adalah bilangan 1. Jumlah total kemungkinannya adalah bukan penjumlahan, sebab
keduanya tidak disjoint (sebuah string 8 bit dapat dimulai dengan 1011). Untuk menyelesaikan masalah
ini dikomposisikan kemungkinan-kemungkinan ke dalam himpunan yang saling asing berikut
X1 = {x : x adalah sebuah string 8 bit yang bit keempatnya adalah 1 dan dumulai dengan 101}
X2 = {x : x adalah sebuah string 8 bit yang bit keempatnya adalah 1 dan tidak dimulai dengan 101}
X3 = {x : x adalah sebuah string 8 bit yang bit keempatnya adalah 0 dan dimulai dengan 101}
Union X1 X2 X3 terdiri dari string 8 bit yang akan dihitung.
Jelas bahwa X1 dan X3 mempunyai 24 = 16 string 8 bit masing-masing dimulai dengan 1011 dan 1010.
Karena ada 27 = 128 string 8 bit yang bit keempatnya adalah 1 dan 16 diantaranya dimulai dengan 101,
maka terdapat 128 – 16 = 112 elemen dalam X2. Dengan PP2 terdapat 16 + 112 + 16 = 144 string 8 bit
yang dimulai dengan 101 atau mempunyai bit keempat 1.
PERMUTATIONS AND COMBINATIONS
DEFINISI
Bila diberikan sebuah himpunan yang terdiri dari n elemen yang berbeda X = n321 x,,x,x, x maka
a. Sebuah permutasi dari X adalah sebuah cara menguraikan n elemen x1, x2, ..., xn.
b. Sebuah permutasi r dari X, dengan r ≤ n, adalah sebuah cara mengurutkan subset r elemen dari X
c. Banyaknya permutasi r dari suatu himpunan dengan n elemen yang berbeda diberi notasi P(n.r)
d. Sebuah kombinasi r dari X adalah pemilihan r elemen dari X tanpa memperhatikan urutan
e. Banyaknya kombinasi r elemen dari sebuah himpunan dari n elemen diberi notasi C(n.r) atau
r
n
CONTOH
Contoh permutasi dari X = {a, b, c} adalah abc, acb, bca
Contoh permutasi 2 elemen dari X adalah ab, ba, ac, bc, cb
Contoh kombinasi 2 elemen dari X adalah {a, b} , {a , c} , {b , c}
TEOREMA
Terdapat n! himpunan dari n elemen
Bukti. Gunakan PP1
TEOREMA
Banyaknya permutasi r dari suatu himpunan n obyek yang berbeda adalah n . (n – 1)(n – 2)…(n – r + 1)
cara, r ≤ n
Bukti :
Elemen pertama dapat dipilih dalam n cara, elemen kedua dapat dipilih dalam n – 1 cara, dan
seterusnya sampai elemen ke r yang dapat dipilih dalam n – r – 1 cara. Dengan PP1 diperoleh n.(n-1).(n-
2)…(n-r+1) cara
CONTOH
Banyak permutasi dari huruf-huruf ABCDEF yang memuat substring DEF?
Jawab : 4! = 24
CONTOH
Berapa banyak permutasi dari huruf-huruf ABCDEF yang memuat substring DEF bersama-sama dalam
sebarang urutan?
Jawab : 3! . 4! = 6 . 24 = 144
CONTOH
Berapa banyak 2-permutasi dari X = {a, b, c} ? Tuliskan semua !
Jawab :
Menurut TEOREMA 2.2 ada P(3, 2) = 3 . 2 = 6, yaitu ab, ac, ba, bc, ca, cb
Cara lain penulisan P(n, r) adalah :
P(n, r) = n(n – 1)…(n – r + 1)
=
...3.2.1rn
...3.2.1rn1rn...2n1nn
= !rn
n!
TEOREMA
Banyaknya r-kombinasi dari suatu himpunan dengan n obyek yang berbeda adalah
C(n,r) = r!
r n,P= !rn
n!
=
r!
1
!rn
n!
=
r! !rn
n!
, dengan r n
Bukti : Konstruksikan r-permutasi dari suatu himpunan X dengan n elemen dalam dua langkah berturut-
turut : pilih suatu r-kombinasi dari X (subset tak terurut dari r item), kemudian urutkan. Sehingga P(n,r) =
C(n,r) r!. Terbukti
CONTOH
Dalam berapa cara dapat dipilih suatu panitia yang terdiri dua wanita dan tiga laki-laki dari sekelompok
lima wanita yang saling berbeda dan enam laki-laki yang berbeda ?
Jawab :
Dua wanita dapat dipilih dalam C(5, 2) = 10 cara dan tiga laki-laki dapat dipilih dalam C(6, 3) = 20 cara.
Panitia dapat dikonstruksikan dalam dua langkah berturut-turut : pilih wanita, pilih laki-laki. Dengan PP!
jumlah total panitia adalah 10 . 20 = 200
GENERALIZED PERMUTATIONS AND COMBINATIONS
CONTOH
Berapa banyak string yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf berikut ?
M I S S I S S I P P I
Jawab :
Karena adanya huruf yang sama, jawabannya adalah bukan 11!, tetapi suatu bilangan yang kurang dari
11! Pandang problem untuk 11 tempat kosong berikut ini
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __
dengan huruf-huruf yang diberikan. Ada C(11,2) cara untuk memilih posisi untuk memilih dua P. Sesudah
itu terdapat C(9, 4) cara untuk memilih posisi untuk ke empat S. Setelah itu terdapat C(5, 4) cara untuk
memilih posisi bagi empat 1. Yang terakhir, terdapat satu posisi yang tersisa bagi M. Dengan
menggunakan PP1, banyaknya cara untuk mengurutkan huruf-huruf itu adalah :
C(11,2)C(9,4)C(5,4) =
1!4!
5!
5!4!
9!
9!2!
11!
TEOREMA
Andaikan bahwa sebuah sequence S dari n elemen mempunyai n1 elemen identik tipe 1. n2 elemen identik
tipe 2, … nt elemen identik tipe t. Maka banyaknya urutan dari S adalah !n!n!n
n!
t21
CONTOH
Dalam berapa cara delapan buku yang berbeda dapat dibagikan kepada tiga orang mahasiswa A, B dan C
bila A memperoleh empat buku. B dan C masing-masing memperoleh dua buku ?
Jawab :
Susun buku dalam urutan tertentu. Sekarang pandang urutan dari empat A, dua B dan dua C. Sebuah
contoh adalah AAABCACB. Dengan Teorema 3.1, banyaknya urutan seperti contoh adalah 2!2!4!
8! = 420
CONTOH
Pandang tiga buah buku Komputer, Fisika dan Matematika. Andaikan perpustakaan mempunyai paling
tidak enam buah duplikat dari masing-masing buku, dalam berapa cara dapat dipilih enam buku ?
Jawab :
Masalahnya adalah memilih enam pilihan elemen dari himpunan buku {komputer, fisika, matematika}
dengan pengulangan diperbolehkan. Pilihan ditentukan secara tunggal (unique) dengan jumlah dari
masing-masing tipe buku terpilih. Pandang pilihan tertentu sebagai
K F M
x x x │ x x │ x
Di sini pilihan terdiri dari 3 buku komputer, 2 buku fisika dan satu matematika.
Contoh lain lagi adalah
K F M
│ x x x x │ x x
Nampak bahwa pilihan selalu terdiri dari enam x dan dua │ , sehingga masalahnya adalah menghitung
banyaknya urutan sedemikian, yaitu C(8, 2) = 28, yang merupakan pemilihan dua posisi │ dari delapan
posisi yang mungkin. Jadi terdapat 28 cara untuk memilih buku tersebut
TEOREMA
Bila X adalah sebuah himpunan yang memuat t elemen, maka banyaknya k elemen pilihan tak berurutan
(unordered) dari X dengan pengulangan diperbolehkan adalah
C(k + t – 1, t – 1) = C(k + t – 1,k)
Bukti : Ambil X = {a1, a2, ..., at } Pandang petak sejumlah k + t – 1
__ __ __ ....... __ __ __
Dan k + t – 1 simbol terdiri dari sejumlah k dari x dan (t – 1) tanda │ . Setiap penempatan simbol-simbol
ini ke dalam petak menentukan sebuah pilihan. Jumlah nt dari x sampai dengan tanda │ pertama
mewakili pilihan n1a1, jumlah n2 dari x sampai dengan tanda │ pertama mewakili pilihan n2a2 dan
seterusnya. Karena terdapat sejumlah C(k + t – 1, t – 1) cara untuk memilih posisi tanda │, maka terdapat
C(k + t – 1, t – 1) pilihan Analog untuk posisi bagi x, yaitu sejumlah C(k + t – 1, k) cara. Dengan demikian
terdapat C(k + t -1, t – 1) = C(k + t – 1, k) pilihan k elemen tak beraturan dari X dengan pengulangan
diperbolehkan
CONTOH
Andaikan bahwa terdapat tumpukan bola merah, biru dan hijau masing-masing tumpukan memuat paling
tidak delapan bola.
(a) Dalam berapa cara dapat dipilih delapan bola?
(b) Dalam berapa cara dapat dipilih delapan bola jika paling tidak terdapat satu bola dari masing-masing
warna?
Jawab :
(a) Dengan TEOREMA 3.2 banyaknya cara untuk memilih delapan bola adalah
C(8 + 3 – 1, 3 – 1) = C(10, 2) = 45
Untuk menyelesaikan bagian (b) dapat juga digunakan TEOREMA 3.2. Bila pertama-tama dipilih
sebuah bola dari masing-masing warna. Untuk melengkapi pemilihan harus dipilih lima bola tambahan
lagi. Hal ini dapat dilakukan dalam
C(5 + 3 – 1, 3 – 1) = C(7, 2) = 21 cara
CONTOH
Dalam berapa cara 12 buku matematika identik didistribusikan di antara mahasiswa A, B, C dan D ?
Jawab :
Gunakan TEOREMA 3.2 untuk menyelesaikan masalah ini, yaitu masalahnya menjadi pelabelan tiap buku
dengan nama mahasiswa-mahasiswa yang menerimanya. Hal ini sama seperti memilih 12 item (nama-
nama mahasiswa-mahasiswa) dari himpunan {A, B, C, D}, pengulangan diperbolehkan. Dengan TEOREMA
3.2, banyaknya cara untuk mengerjakan hal ini adalah
C(12 + 4 – 1, 4 – 1) = C(15, 3) = 455
BINOMIAL COEFFICIENTS AND COMBINATORIAL IDENTITIES
Pandang ekspansi dari
(a + b)n = (a + b) (a + b) … (a + b) (4.1)
n faktor
Ekspansi di atas merupakan hasil dari memilih baik a atau b dari tiap n faktor, mengalikan pemilihan itu
bersama-sama, dan kemudian menjumlahkan semua hasil kali yang diperoleh.
Sebagai contoh :
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)
= aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb
= a3+3a2b+3ab2+b3
Dalam (4.1). sebuah suku berbentuk an–k.bk muncul dari pemilihan b dari k faktor dan a dari (n – k) faktor
yang lain. Hal ini dapat dilakukan dalam C(n, k) cara, karena C(n, k) menghitung banyaknya cara memilih
k obyek dari n item. Jadi an–k.bk muncul sebanyak C(n, k) kali. Oleh karena itu
(a + b)n = C(n, 0)an.b0 + C(n, 1)an–1.b1 + ... + C(n, k)an–k .bk + ...
+ C(n, n-1)a1.bn–1 + C(n, n)a0.bn (4.2)
Hasil ini dikenal sebagai Binomial Theorem.
THEOREM: Binomial Theorem
Jika a dan b bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka\
n
0k
kknnbakn,Cba
Bukti. Lihat pernyataan sebelum theorem !
Bilangan C(n,r) dikenal sebagai binomial coefficient.
CONTOH
Dengan mengambil n = 3 dalam teorema di atas diperoleh
3
0k
kk33bak3,Cba
= C(3, 0) a3b0 + C(3, 1) a2b1 + C(3, 2) a1b2 + C(3, 3) a0b3
= a3+3a2b+3ab2+b3
CONTOH
Ekspansikan (3x – 2y)4 dengan menggunakan Binomial Theorem ! (Exercise)
CONTOH
Cari koefisien dari a5b4 dalam ekspansi !
Jawab :
Suku yang melibatkan a muncul dalam Binomial Theorem dengan mengambil n = 9 dan k = 4
C(n, k) an–k.bk = C(9, 4) a5.b4 =126 a5.b4 .
Jadi koefisien dari a5.b4 adalah 126
CONTOH
Carilah koefisien dari x2 y3 z4 dalam ekspansi (x + y + z)9 !
Jawab :
Karena (x + y + z)9 = (x + y + z) (x + y + z) … (x + y + z) (sembilan suku), maka x2 y3 z4 diperoleh tiap kali
mengalikan bersama-sama x yang dipilih dari dua dalam sembilan suku, y dipilih dari tiga dalam sembilan
suku dan z dipilih dari empat dalam sembilan suku. Dua suku dari x dapat dipilih dalam C(9,2) cara.
Dengan telah membuat pemilihan ini, maka tiga suku dari y dapat dipilih dalam C(7,3) cara. Akhirnya,
empat suku dari z dapat dipilih dalam C(4,4) cara. Sehingga koefisien yang dicari adalah :
C(9,2)C(7,3)C(4,4) = 1260. Koefisien-koefisien binomial dapat ditulis dalam bentuk segitiga yang dikenal
dengan Pascal’s triangle. Suatu identitas yang merupakan hasil dari suatu proses perhitungan disebut
combinatorial identity dan argument yang menghasilkan formulanya disebut combinatorial argument.
THEOREM
C(n + 1, k) = C(n, k – 1) + C(n, k) untuk 1 ≤ k ≤ n
Bukti : Exercise !
CONTOH
Gunakan Binomial theorem untuk menurunkan persamaan
n
0k
kn,C = 2n
Jawab :
Perhatikan teorema binomial berikut:
n
0k
kknnbakn,Cba
Ambil a = b = 1 dalam Binomial theorem, diperoleh
2n =
n
0k
kknn11kn,C11 =
n
0k
kn,C (terbukti)
CONTOH
Gunakan Theorem 4.2 untuk menunjukkan bahwa
n
ki
ki,C = C(n+1, k+1)
CONTOH
Gunakan hasil Contoh 4.6 untuk mencari jumlah dari 1 + 2 +…+ n
Jawab :
1 + 2 +…+ n = C(1,1) + C(2,1) +…+ C(n,1)
= C(n+1, 2)
= 1nn2
1
METODE PEMBELAJARAN
Two Stay Two Stray dan Gallery of Learning
LANGKAH PEMBELAJARAN
PERTEMUAN 4
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Mengulas tentang berbagai permasalahan sehari-hari yang akan
diseleaikan dengan aturan penjumlahan dan perkalian.
10 menit
2. Penyajian Eksplorasi Memberi perbedaan mendasar pada aturan penjumlahan dan
perkalian.
Elaborasi a. Memberikan permaslahan enumerasi yang menggunakan konsep
aturan penjumlahan dan perkalian.
b. Kegiatan Kelompok
Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan
penyelesaiannya.
Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat
yang telah disediakan.
c. Diskusi antar kelompok
3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di
posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan
atau koreksi yang nantinya diberikan kelompok lain.
3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu
kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan
bertanya pekerjaan kelompok lain.
Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang
sudah dibuat dan dikerjakan mahasiswa.
35 menit
5 menit
30 menit
5 menit
40 menit
20 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai aturan perkalian dan
penjumlahan.
5 menit
PERTEMUAN 5
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi Mengulas aturan penjumlahan dan perkalian
Motivasi Memberikan permasalahan yang sulit dikerjakan dengan aturan
penjumlahan dan pengurangan, dan akan diselesaikan dengan
konsep inklusi eksklusi.
15 menit
2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang prinsip inklusi-eksklusi dalam
enumerasi.
Elaborasi a. Memberikan beberapa permaslahan enumerasi yang
membutuhkan konsep inklusi eksklusi.
b. Kegiatan Kelompok
Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan
penyelesaiannya.
30 menit
5 menit
30 menit
Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat
yang telah disediakan.
c. Diskusi antar kelompok
3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di
posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan
atau koreksi yang nantinya diberikan kelompok lain.
3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu
kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan
bertanya pekerjaan kelompok lain.
Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang
sudah dibuat dan dikerjakan mahasiswa.
5 menit
40 menit
20 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai ciri kasus yang yang dapat
diselesaikan dengan prinsip inklusi-eksklusi.
5 menit
PERTEMUAN 6
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi Mengulas aturan penjumlahan dan perkalian
Motivasi Memberikan permasalahan yang sulit dikerjakan dengan aturan
penjumlahan dan perkalian, dan akan diselesaikan dengan
permutasi.
15 menit
2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang definisi dan penurunan rumus
permutasi dari aturan perkalian.
Elaborasi a. Memberikan beberapa permaslahan enumerasi yang berkonsep
permutasi yang menyangkut:
Permutasi dengan unsur yang sama
Permutasi siklis
b. Kegiatan Kelompok
Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan
penyelesaiannya.
Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat
yang telah disediakan.
c. Diskusi antar kelompok
3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di
posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan
atau koreksi yang nantinya diberikan kelompok lain.
3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu
kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan
bertanya pekerjaan kelompok lain.
Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang
sudah dibuat dan dikerjakan mahasiswa.
30 menit
5 menit
30 menit
5 menit
40 menit
20 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai ciri kasus yang yang dapat
diselesaikan dengan permutasi.
5 menit
PERTEMUAN 7
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi Mengulas kembali tentang permutasi
Motivasi Memberikan permasalahan yang sulit dikerjakan dengan aturan
penjumlahan dan pengurangan, dan akan diselesaikan dengan
permutasi.
15 menit
2. Penyajian Eksplorasi
15 menit
Memberi penjelasan tentang definisi dan penurunan rumus
kombinasi dari permutasi
Memberi penjelasan tentang kombinasi yang diperumum.
Elaborasi a. Memberikan beberapa permaslahan enumerasi yang berkonsep
kombinasi.
b. Kegiatan Kelompok
Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan
penyelesaiannya.
Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat
yang telah disediakan.
c. Diskusi antar kelompok
3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di
posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan
atau koreksi yang nantinya diberikan kelompok lain.
3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu
kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan
bertanya pekerjaan kelompok lain.
Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang
sudah dibuat dan dikerjakan mahasiswa.
15 menit
5 menit
30 menit
5 menit
40 menit
20 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai ciri kasus yang yang dapat
diselesaikan dengan kombinasi.
5 menit
PERTEMUAN 8
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi Mengulas kembali tentang kombinasi
Motivasi Memberikan gambaran permasalahan yang akan diselesaikan
dengan ekspansi binomial.
15 menit
2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang ekspansi binomial
Memberi penjelasan tentang cara mencari suku ke-i dari penjabaran
bentuk (a+b)n.
Elaborasi a. Memberikan permasalahan ekspansi binomial sebagai berikut.
(a+b+c)n
(a+b+c+d)n
b. Kegiatan Kelompok
Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan
penyelesaiannya.
Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat
yang telah disediakan.
c. Diskusi antar kelompok
3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di
posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan
atau koreksi yang nantinya diberikan kelompok lain.
3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu
kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan
bertanya pekerjaan kelompok lain.
Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang
sudah dibuat dan dikerjakan mahasiswa.
15 menit
15 menit
5 menit
30 menit
5 menit
40 menit
20 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai ciri kasus yang yang dapat
diselesaikan dengan kombinasi.
5 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Rinaldi Munir. 2010. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika
[2] Drs. Jong Jek Siang, M.Sc. 2009. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Andi offset
[3] Modul Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
3. Contoh Instrumen : Terlampir
SOAL 1
1. Sebuah klub penggemar mobil antik terdiri atas 8 pria dan 6 wanita. Terdapat sepasang suami istri
didalamnya. Akan dibentuk panitia yang terdiri atas 3 pria dan 3 wanita. Salah satu dari suami atau
istri tersebut harus menjadi panitia, tetapi tidak boleh keduanya. Tentukan banyak cara pemilihan
panita tersebut!
2. Tentukan banyaknya bilangan ribuan yang habis dibagi 5 atau bilangan ribuan yang tidak memuat
pengulangan angka!
3. Ada enam orang komite A, B, C. D, E dan F yang akan dipilih menjadi ketua, sekretaris dan
bendahara. Berapa cara yang dapat dilakukan jika A atau B harus menjadi ketua ?
4. Terdapat 15 pasangan suami isteri Tentukan banyaknya cara memilih seorang wanita dan seorang
laki-laki pada pesta tersebut sedemikian sehingga
a. keduanya adalah pasangan suami isteri dan
b. keduanya bukan pasangan suami isteri
SOAL 2
1. Sebuah kelompok terdiri atas 7 orang wanita dan 4 orang pria. Berapa banyak perwakilan 4 orang
yang dapat dibentuk dari kelompok itu, jika paling sedikit harus ada dua wanita di dalmnya?
2. Dalam berapa macam cara, 6 orang dapat duduk dalam meja bundak jika ada 2 orang yang saling
membenci sehingga keduanya tidak mau duduk bersebelahan?
3. Dari kata HULLABALOO,
a. Berapa macam cara berbeda untuk mengatur huruf-hurufnya?
b. Berapa macam cara untuk mengatur huruf-hurufnya jika harus dimulai huruf U dan berakhir
huruf L?
c. Berapa macam cara untuk mengatur huruf-hurufnya jika dalam pengaturan tersebut harus
memuat huruf HU yang bersebalahan satu sama lain?
4. Tentukan banyak string 28 bit dari angka 0 dan 1 yang terdiri dari 8 bit berangka 1 atau 9 bit
berangka 0!
5. Di sebuah meja terdapat tumpukan buku Aljabar, Kalkulus, dan Geometri yang masing-masing
banyaknya tidak kurang dari 10. Tentukan banyak cara mengambil 10 buku secara acak dari ketiga
tumpukan tersebut!
SOAL 3
1. Ekspansikan berikut dengan menggunakan Binomial Theorem
a. (x + y)5 b. (2c – 3d)5
2. Carilah koefisien suku berikut bila ekspresi diekspansikan
a. x4y7 dari (x + y)11
b. s6t6 dari (2s – t)12
c. x2y3z5 dari (x + y + z)10
d. w2x3y2z5 dari (2w + x + 3y + z)12
e. a2x3 dari (a + ax + x)(a + x)4
3. Carilah barisan berikutnya dari segitiga Pascal berikut
1 7 21 35 35 21 7 1
4. Gunakan Binomial theorem untuk membuktikan bahwa
n
0k
kkn,C2 = 3n
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : EDY MULYONO, M.Pd.
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : MATEMATIKA DISKRIT
Kode Mata Kuliah : MKK629515
Bobot : 3 SKS
Semester : VI
Pertemuan ke- : 10 s.d 13
Standart Kompetensi : Melakukan pembuktikan secara logis, menggunakan kaidah pencacahan dalam
melakukan enumerasi, dan menyusun relasi rekurensi serta menentukan
penyelesainanya
Kompetensi Dasar : 3. Menggunakan konsep relasi rekurensi dalam pemecahan masalah
Indikator : 3.1 Menyusun Relasi Rekurensi dari suatu permasalahan.
3.2 Menyusun bentuk eksplisit dari suatu relasi rekurensi dengan metode
Iterasi.
3.3 Menentukan solusi dari relasi rekurensi linear homogen koefisien
konstan dengan persamaan karakteristik.
Tujuan : Menyusun Relasi Rekurensi dari suatu permasalahan.
Menyusun bentuk eksplisit dari suatu relasi rekurensi dengan metode Iterasi.
Menentukan solusi dari relasi rekurensi linear homogen koefisien konstan
dengan persamaan karakteristik.
MATERI
PENDAHULUAN
Seringkali dimungkinkan untuk mengembangkan hubungan di antara elemen-elemen dari sebuah
sequence yang disebut sebagai relasi rekurensi. Relasi rekurensi menghubungkan elemen ke n dari suatu
sequence ke suku-suku sebelumnya.
CONTOH
Seseorang menginvestasikan uangnya Rp 1.000, dengan bunga 12% per tahun. Bila An adalah
jumlah pada akhir tahun ke-n, tentukan hubungan yang terdapat di antara An dan An-1.
Jawab : Pada akhir tahun ke n – 1, jumlahnya adalah An-1. Sesudah satu tahun, maka akan diperoleh
jumlah An-1 ditambah dengan bunga. Jadi :
An = An-1 + (0,12)An-1
= (1,12)An-1 (1.1)
Nilai awal
A0= 1.000 (1.2)
Dari persamaan (1.1) dapat dihitung nilai An untuk sebarang n.
Sebagai contoh :
A3= (1,12)A2
= (1,12)(1,12)A1
= (1,12)(1,12)(1,12)A0
= (1,12)3(1.000) = 1.404,93 (1.3)
Jadi pada akhir tahun ketiga, jumlahnya adalah Rp. 1.404,93
Perhitungan (1.3) dapat dipakai untuk harga n yang berubah-ubah, sehingga diperoleh
An = (1,12)An-1
= (1,12)n(1.000) (1.4)
DEFINISI
Sebuah relasi rekurensi untuk sequence a0, a1, … , adalah sebuah persamaan yang menghubungkan an
dengan suku-suku pendahulunya a0, a1, … ,an-1
Problem : Sesudah satu tahun berapa banyak pasangan kelinci akan diperoleh apabila pada awal tahun
terdapat sepasang kelinci dan pada setiap bulan setiap pasangan melahirkan pasangan baru yang
menjadi pasangan produktif sesudah satu bulan ? Diasumsikan lebih jauh bahwa tidak terjadi kematian
dalam tahun tersebut.
Misal fi adalah jumlah pasangan kelinci pada akhir bulan ke-i. maka :
f0 = 1 (1.5)
Sesudah satu bulan, masih terdapat sepasang kelinci karena pasangan itu belum produktif di bawah usia
satu bulan. Sehingga ;
f1 = 1 (1.6)
Persamaan (1.5) dan (1.6) adalah syarat awal untuk Fibonacci sequence. Pertambahan pasangan kelinci
fn – fn-1 dari bulan ke n – 1 ke bulan ke n adalah dengan memandang bahwa tiap pasangan yang hidup
dalam bulan ke n – 2 menghasilkan tambahan sepasang kelinci. Yaitu :
fn – fn-1 = fn-2 atau
fn = fn-1 + fn-2 (1.7)
Relasi rekurensi (1.7) bersama-sama syarat awal (1.5) dan (1.6) mendefinisikan Fibonacce sequence.
Sehingga solusi terhadap pertanyaan Fibonacci adalah f12 = 233
CONTOH : TOWER OF HANOI
Menara Hanoi adalah sebuah puzzle yang terdiri dari tiga buah tongkat yang terpancang pada suatu papan
dan n disk dari bermacam ukuran dengan lubang pada pusatnya. (Gambarkan !)
Diasumsikan bahwa bila sebuah disk ditempatkan pada tongkat, maka hanya disk dengan diameter yang
lebih kecil yang boleh ditempatkan di atas disk pertama. Apabila diketahui semua disk ditempatkan pada
tongkat pertama, maka masalahnya adalah memindahkan disk ke tongkat yang lain satu demi satu.
Bila Cn adalah jumlah perpindahan yang menyelesaikan puzzle n disk ini, cari relasi rekurensi dan syarat
awal untuk sequence C1, C2, …
Jawab :
Andaikan bahwa dipunyai n disk pada tongkat 1 (Refer to Gambar !). Maka dalam perpindahan Cn-1, dapat
dipindahkan n – 1 disk pada tiang ke dua (Gambarkan !). Selama perpindahan ini, disk paling bawah pada
tongkat 1 tetap di tempat. Berikutnya, dipindahkan disk yang tersisa pada tongkat 1 ke tongkat 3.
Akhirnya, dalam Cn-1 perpindahan, dapat dipindahkan n – 1 disk pada tongkat 2 ke tongkat 3. Oleh karena
itu, relasi rekurensi yang diinginkan adalah
Cn = 2Cn-1 + 1 (1.8)
Syarat awal adalah
C1 = 1
CONTOH : DERANGEMENTS
Pada suatu pertemuan, n orang menitipkan mantelnya. Sewaktu mereka pulang, mantel dikembalikan
secara acak dan, malangnya, tidak ada seorangpun yang menerima mantelnya secara benar. Bila Dn dalah
jumlah cara n orang menerima mantel yang salah, maka perlihatkan bahwa sequence D1, D2, … memenuhi
relasi rekurensi.
Dn = (n – 1)(Dn-1 + Dn – 2) (1.9)
Jawab : Nampak bahwa Dn adalah jumlah permutasi
m1, m2, … , mn
dari 1, 2, …, n, dengan m1 ≠ i untuk i = 1, 2, …, n. Permutasi semacam ini disebut derangement.
Andaikan terdapat C derangement dari 1, 2, …, n dengan bentuk
2, m2, …, mn
Dengan saling mengganti 2 dan 3, terlihat bahwa terdapat juga C derangement dari 1, 2, …,n dalam
bentuk
3, m2, … , mn
Dapat diturunkan bahwa C derangement dari 1, 2, …,n dengan bentuk
k, m2, …,mn
Dengan k adalah integer tertentu di antara 2 dan n
Karena terdapat n – 1 kemungkinan : 2, …, n, untuk suku pertama, maka
Dn = (n-1)C (1.10)
Sekarang dibagi derangement 1, 2, …,n
2, m2, …,mn
Ke dalam bentuk-bentuk
2, 1, m3, …,mn (1.11)
Dan
2, m2, m3, …,mn (1.12)
Dengan m2 ≠ 1. Dalam (1.11) jumlah n – 2 dari m3, …,mn semuanya tidak tepat pada posisinya,
sedemikian sehingga (1.11) terdiri dari 2, 1 diikuti dengan sebuah derangement 3, …,n, yaitu sejumlah Dn-
2. Dalam (1.12), jumlah dari m2, m3, …,mn semuanya tidak pada posisinya sedemikian sehingga (1.12)
terdiri dari 2 diikuti dengan derangement 1, 3, 4, …,n, yaitu sejumlah Dn-1. Dengan demikian
C = Dn-1 + Dn-2
Dengan mengkombinasikan persamaan di atas dengan persamaan (1.10) diperoleh relasi rekurensi
Dn = (n-1)(Dn-1 + Dn-2)
CONTOH : ACKERMANN FUNCTION
Fungsi Ackermann dapat didefinisikan dengan relasi rekurensi
A(m,0) = A(m-1, 1), m = 1,2,… (1.13)
A(m,n) = A(m-1 , A(m,n-1), m = 1,2,…
m = 1,2,… (1.14)
dan syarat awal
A(0,n) = n + 1, n = 0,1,… (1.15)
Fungsi Ackermann secara teoritis adalah penting karena angka pertumbuhannya yang cepat.
Perhitungannya
A(1,1) = A(0,A(1,0)) dengan (1.14)
= A(0,A(0,1)) dengan (1.13)
= A(0,2) dengan (1.15)
= 3 dengan (1.15)
Menunjukkan penggunaan persamaan (1.13) – (1.15).
SOLVING RECURRENCE RELATION
Untuk menyelesaikan relasi rekurensi yang melibatkan sequence a0, a1,… adalah mencari formula
eksplisit untuk suku umum an. Dalam bagian ini akan dibahas dua metode penyelesaian relasi rekurensi
iterasi dan metoda khusus yang diaplikasikan terhadap relasi rekurensi homogen linear dengan koefisien
konstan.
Untuk menyelesaikan relasi rekurensi yang melibatkan a0, a1, … dengan iterasi, digunakan relasi
rekurensi untuk menuliskan suku ke n an dalam hubungannya dengan suku-suku sebelumnya an-1, … , a0.
Kemudian digunakan relasi rekurensi untuk menggantikan tiap an-1, dengan memandang suku
sebelumnya. Demikian seterusnya sehingga diperoleh formula eksplisit. Metoda iterative digunakan untuk
menyelesaikan relasi rekurensi dari CONTOH 1.1.
CONTOH
Pandang relasi rekurensi Sn = 2Sn-1 dengan syarat awal S0 = 1. Dengan metoda iterasi diperoleh
Sn = 2Sn-1 = 2(2Sn-2) = … = 2nS0 = 2n
CONTOH
Cari sebuah formula eksplisit untuk Cn, jumlah perpindahan untuk menyelesaikan n disk dalam puzzle
Tower of Hanoi.
Dari Contoh 1.3 diperoleh relasi rekurensi
Cn = 2Cn-1 + 1 dan syarat awal C1 = 1 (2.1)
Dengan menggunakan metoda iterasi terhadap persamaan (2.1) diperoleh
Cn = 2Cn-1 + 1
= 2(2Cn-2 + 1) + 1
= 22Cn-2 + 2 + 1
= 22(2Cn-3 + 1) + 2 + 1
= 23Cn-3 + 22 + 2 + 1
= 2n-1C1 + 2n-2 + 2n-3 + … + 2 + 1
= 2n-1 + 2n-2 + 2n-3 + … + 2 + 1
= 2n – 1
Langkah terakhir adalah formula untuk jumlah deret geometri.
DEFINISI
Sebuah relasi rekurensi homogen linear berorder k dengan koefisien konstan adalah relasi rekurensi
dengan bentuk
an = c1an-1 + c2an-2 + … = ckan-k
Perhatikan bahwa sebuah relasi rekurensi homogen linear berorder k(2,2), bersama-sama dengan k syarat
awal
a0 = C0 , a1 = C1 , … , ak-1 = Ck-1,
mendefinisikan secara tunggal sebuah sequence a0, a1, …
CONTOH
Relasi rekurensi
An = (1,12)An-1 (2.3)
Dari CONTOH barisan fibonacci, dan
fn = fn-1 + fn-2 (2.4)
dari CONTOH Fibonacci sequence kedua-duanya merupakan relasi rekurensi homogen linear dengan
koefisien konstan. Relasi (2.3) berorder 1 dan (2.4) berorder 2.
Akan diilustrasikan metoda umum untuk menyelesaikan relasi rekurensi homogen linear dengan
koefisien konstan dengan mencari formula eksplisit untuk Fibonacci sequence.
Solusi dari (2.3) adalah berbentuk
An = Ctn
Kemudian akan dicari solusi dari relasi rekurensi Fibonacci (2.4) dalam bentuk tn. Diperoleh
tn = tn-1 + tn-2
atau tn - tn-1 - tn-2 = 0
atau t2 – t – 1 = 0 (2.5)
Solusi dari (2.5) adalah
t = 512
1
Sampai di sini dipunyai dua solusi dari (2.4), yaitu:
Sn = n
512
1
, Tn =
n
512
1
(2.6)
Dengan Teorema 2.1 berikut bahwa apabila Sn dan Tn adalah solusi-solusi dari (2.4), maka bSn + dTn
adalah juga solusi dari (2.4) . Oleh karena itu
Un = bSn + dTn
= b n
512
1
n + d
n
512
1
Adalah juga merupakan solusi dari (2.4)
Untuk memenuhi syarat awal f0 = 1 = f1 dari Fibonacci sequence, haruslah dipunyai
U0 = 1 = U1
Atau
bS0 + dT0 = b + d = 1
bS1 + dT1 = b
51
2
1+ d
51
2
1 = 1
Dengan menyelesaikan persamaan-persamaan di atas untuk b dan d, diperoleh
b =
51
2
1
5
1 dan d=
51
2
1
5
1
oleh karena itu,
fn = 1n
512
1
5
1
1n
512
1
5
1
TEOREMA
Misal : an = c1an-1 + c2an-2 (2.7)
Sebagai sebuah relasi rekurensi homogen linear order dua dengan koefisien konstan.
Jika Sn dan Tn adalah solusi dari (2.7), maka Un = bSn + dTn adalah juga solusi dari (2.7)
Jika r adalah akar dari
t2 – c1t – c2 = 0, (2.8)
Maka rn adalah solusi dari (2.7)
Misal an solusi dari (2.8) yang memenuhi
a0 = C0, a1 = C1 (2.9)
Jika r1 dan r2 akar-akar dari (2.8) dan r1 ≠ r2, maka terdapat konstan b dan d sedemikian sehingga
an = br1n + dr2
n , n = 0, 1, …
THEOREM
Misal : an = c1an-1 + c2an-2 (2.10)
Adalah relasi rekurensi homogen linear order dua dengan koefisien konstan
Misal an solusi dari (2.10) yang memenuhi
a0 = C0 , a1 = C1
Jika kedua akar dari
t2 – c1t – c2 = 0 (2.11)
sama dengan r, maka terdapat konstanta b dan d sedemikian sehingga
an = brn + dnrn , n = 0, 1, …
CONTOH
Selesaikan relasi rekurensi : dn = 4(dn-1 – dn-2) (2.12)
Dengan syarat awal : d0 = 1 = d1
Jawab :
Menurut THEOREM 2.1, Sn = rn adalah solusi dari (2.12) dimana r adalah solusi dari
t2 – 4t + 4 = 0 (2.13)
Jadi diperoleh solusi
Sn = 2n
Dari (2.12). karena 2 adalah satu-satunya solusi dari (2.13), dengan THEOREM 2.2
Tn = n2n
Adalah juga solusi dari (2.12). Sehingga solusi umum dari (2.12) berbentuk
Un = aSn + bTn
Harus dipunyai juga : U0 = 1 = U1
Sehingga aS0 + bT0 = a + 0b = 1
aS1 + bT1 = 2a + 2b = 1
dengan menyelesaikan untuk a dan b diperoleh: a = 1, b = -1/2
oleh karena itu solusi dari (2.12) adalah
dn = 2n – n2n-1
NOTE : Untuk relasi rekurensi berorder k dengan koefisien konstan (2,2), jika r adalah akar dari
tk – c1tk-1 – c2tk-2 - … - ck = 0
dengan multisiplitas m, dapat ditunjukkan bahwa
rn, nrn, …, nm-1rn
adalah juga solusi dari (2.2)
METODE PEMBELAJARAN
Practice Rehearsal Pairs
LANGKAH PEMBELAJARAN
PERTEMUAN 10
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan a. Apersepsi
Mengulas kembali tentang enumerasi.
b. Motivasi
Memberikan permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan
relasi rekurensi
5 menit
10 menit
2. Penyajian Eksplorasi
Memberi penjelasan tentang cara membentuk relasi rekurensi.
Elaborasi
a. Meminta mahasiswa berkelompok.
b. Memberikan mahasiswa permasalahan penyusunan relasi
rekurensi.
c. Setiap kelompok dibagi menjadi dua tim, dan setiap tim harus
menyelesaiakan permassalahan yang ada pada LKM.
d. Setelah selesai, salah satu tim diminta menjelaskan kepada tim
yang lain. Pada tahap berikutnya kedua tim bertukar peran.
Eksplanasi
Dosen memberikan beberapa pertanyaan kepada mahasiswa
tentang penyusunan relasi rekurensi.
10 menit
5 menit
5 menit
30 menit
30 menit
15 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi
Menyimpulkan tentang penyusunan relasi rekurensi.
10 menit
PERTEMUAN 11
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan a. Apersepsi
Mengulas kembali tentang relasi rekurensi.
b. Motivasi
1. Memberikan permasalahan relasi rekurensi dan meminta
mahasiswa menentukan suku ke-n dari suatu rumus relasi
rekurensi.
2. Mengungkapkan kesulitan yang dialami pada saat
menentukan suku ke-n
5 menit
10 menit
2. Penyajian Eksplorasi
Memberi penjelasan tetang penyusunan bentuk eksplisit dari
suatu relasi rekurensi dengan relasi metode iterasi
a. Meminta mahasiswa berkelompok, dan memberikan mahasiswa
permasalahan tetang penyusunan bentuk eksplisit dari suatu
relasi rekurensi berderajad 1 dengan relasi rekurensi.
b. Setiap kelompok dibagi menjadi dua tim, dan setiap tim harus
menyelesaiakan permassalahan yang ada pada LKM.
c. Setelah selesai, salah satu tim diminta menjelaskan kepada tim
yang lain. Pada tahap berikutnya kedua tim bertukar peran.
Eksplanasi
Dosen memberikan beberapa pertanyaan kepada mahasiswa
tentang penjelasan tetang penyusunan bentuk eksplisit dari suatu
relasi rekurensi dengan relasi rekurensi.
20 menit
5 menit
20 menit
25 menit
15 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi
Memberikan sebuah relasi rekurensi dan meminta mahasiswa secara
individu untuk menentukan bentuk eksplisitnya dengan metode
iterasi.
20 menit
PERTEMUAN 12
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan a. Apersepsi
Mengulas kembali tentang membentuk bentuk eksplisit relasi
rekurensi dengan metode iterasi.
5 menit
b. Motivasi
1. Memberikan permasalahan relasi rekurensi linear homogen
koefisien konstan dan meminta mahasiswa menentukan
bentuk eksplisitnya.
2. Mengungkapkan kesulitan yang dialami pada saat
menentukan bentuk eksplisitnya.
10 menit
2. Penyajian Eksplorasi
Memberi penjelasan tetang penyusunan bentuk eksplisit dari
suatu relasi rekurensi linear homogen koefisien konstan dengan
persamaan karakteristik yang semua akarnya tidak sama.
Elaborasi
a. Meminta mahasiswa berkelompok, dan memberikan mahasiswa
permasalahan tetang penyusunan bentuk eksplisit dari suatu
relasi rekurensi linear homogen koefisien konstan dengan
persamaan karakteristik yang semua akarnya tidak sama.
b. Setiap kelompok dibagi menjadi dua tim, dan setiap tim harus
menyelesaiakan permassalahan yang ada pada LKM.
c. Setelah selesai, salah satu tim diminta menjelaskan kepada tim
yang lain. Pada tahap berikutnya kedua tim bertukar peran.
Eksplanasi
Dosen memberikan beberapa pertanyaan kepada mahasiswa
tentang penjelasan tetang penyusunan bentuk eksplisit dari suatu
relasi rekurensi linear homogen dengan persamaan karakteristik.
20 menit
5 menit
20 menit
25 menit
15 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi
Memberikan sebuah relasi rekurensi linear homogen dengan
persamaan karakteristik.
20 menit
PERTEMUAN 13
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan a. Apersepsi
Mengulas kembali tentang membentuk bentuk eksplisit relasi
rekurensi liear homogen koefisien konstan.
b. Motivasi
1. Memberikan permasalahan relasi rekurensi linear homogen
koefisien konstan yang memiliki akar sama dan meminta
mahasiswa menentukan bentuk eksplisitnya.
2. Mengungkapkan kesulitan yang dialami pada saat
menentukan bentuk eksplisitnya.
5 menit
10 menit
2. Penyajian Eksplorasi
Memberi penjelasan tetang penyusunan bentuk eksplisit dari
suatu relasi rekurensi linear homogen koefisien konstan dengan
persamaan karakteristik yang memiliki akar sama.
Elaborasi
a. Meminta mahasiswa berkelompok, dan memberikan mahasiswa
permasalahan tetang penyusunan bentuk eksplisit dari suatu
relasi rekurensi linear homogen koefisien konstan dengan
persamaan karakteristik yang memiliki akar sama.
b. Setiap kelompok dibagi menjadi dua tim, dan setiap tim harus
menyelesaiakan permassalahan yang ada pada LKM.
c. Setelah selesai, salah satu tim diminta menjelaskan kepada tim
yang lain. Pada tahap berikutnya kedua tim bertukar peran.
Eksplanasi
Dosen memberikan beberapa pertanyaan kepada mahasiswa
tentang penjelasan tetang penyusunan bentuk eksplisit dari suatu
relasi rekurensi linear homogen dengan persamaan karakteristik.
20 menit
5 menit
20 menit
25 menit
15 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi
Memberikan sebuah relasi rekurensi linear homogen dengan
persamaan karakteristik.
20 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Rinaldi Munir. 2010. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika
[2] Drs. Jong Jek Siang, M.Sc. 2009. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Andi offset
[3] Modul Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
3. Contoh Instrumen : Terlampir
SOAL 1
1. a. Seorang menginvestasikan $2000 dengan bunga 14% per tahun. Jika An menyatakan jumlah pada
akhir n tahun, carilah relasi rekurensi dan syarat awal untuk sequence A0,A1,…
b. Berikan rumus eksplisit untuk An
2. Jika Pn menyatakan banyaknya permutasi dari n objek yang berbeda, carilah relasi rekurensi dan syarat
awal untuk sequence P1, P2,…
3. Misal dipunyai n dolar dan tiap hari dibelikan salah satu dari orange juice ($1), milk ($2) atau tea ($2).
Jika Cn adalah banyaknya cara membelanjakan semua uang tersebut, tunjukkan bahwa
Cn = Cn-1 + Cn-2
4. Carilah A(2,2)
SOAL 2
Katakan apakah relasi rekurensi dalam exercise 1-10 berikut merupakan relasi rekurensi homogen
dengan koefisien konstan atau tidak. Berikan ordernya bila ya
1. an = -3an-1 6. an = an-1 + 1 + 2n-1
2. an = 2nan-1 7. an = (log 2n)an-1 – [log(n-1)]an-2
3. an = 2nan-2 – an-1 8. an = 6an-1 – 9an-2
4. an = an-1 + n 9. an = -an-1 – an-2
5. an = 7an-2 – 6an-3 10. an = -an-1 + 5an-2 – 3an-3
Dalam exercises 11-18, selesaikan relasi rekurensi yang diberikan dengan syarat awal yang diberikan
11. Exercise 1, a0 = 2
12. Exercise 2, a0 = 1
13. Exercise 4, a0 = 0
SOAL 3
Dalam exercises 11-18, selesaikan relasi rekurensi yang diberikan dengan syarat awal yang diberikan
1. an = 6an-1 – 8an-2 ; a0 = 1, a1 = 0
2. an = 7an-1 – 10an-2 ; a0 = 5, a1 = 16
3. an = 2an-1 + 8an-2 ; a0 = 4, a1 = 10
4. 2an = 7an-1 – 3an-2 ; a0 = a1 = 0
5. 2n1nn a2aa dengan a0 = a1 = 1
(Gunakan substitusi bn = na )