MAKALAHMatematika Diskrit Dalam Ilmu

Komputer

Di susun oleh :

1. Andres Fendynata (2009-53-062)2. Eric Aulia A (2009-53-063)3. Nilam Adennia (2009-53-078)4. Hirmawan Arianto (2009-53-085)5. Sri Astutik (2009-53-090)

FAKULTAS TEKNIKSISTEM INFORMASI

UNIVERSITAS MURIA KUDUS1

KATA PENGANTAR

Segala puji syukur kami ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena berkat,

rahmat dan karunia-Nya kami dapat menyelesaikan penyusunan makalah Matematika

Diskrit yang bertemakan tentang “Aplikasi Matematika Diskrit dalam Ilmu Komputer”.

Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Matematika Diskrit. Terima

kasih juga kami ucapkan kepada Ibu Diana yang telah membimbing kami dalam

penyusunan makalah ini.

Apabila terdapat kesalahan dalam penyusunan dan pembuatan makalah ini kami

mohon maaf karena kesempurnaan hanyalah milik-Nya. Semoga makalah ini dapat

bermanfaat bagi kita semua.

2

DAFTAR ISI :Halaman Judul ………………………………………………………................. 1

Kata Pengantar …………………………………………………………………. 2

Daftar Isi …………………………………………………..……….................... 3

I. Pendahuluan Latar Belakang……………………………………………...................... 4 Rumusan Masalah ………………………………………………...…… 4 Metodologi Penelitian ………………………………………………….. 5

II. Pembahasan Landasan Teori ………………………………….………………......… 6 Contoh Aplikasi ………….………………………………………..….. 14 Penjelasan Aplikasi……………………………….................................. 14

III. Penutup ………………………………………………………………… 20

3

PENDAHULUAN

LATAR BELAKANG

Ilmu komputer dikembangkan diatas dasar logika, teori komputasi, dan beberapa bidang yang terkait di matematika. Ilmuwan computer secara umum sudah sangat familiar dengan ide bahwa logika menyediakan teknik untuk menganalisis sifat dari bahasa, dengan pembedaan antara analisis logik bahasa tingkat tinggi dari masalah penalaran dan implementasinya. Logika dapat menyediakan spesifikasi untuk sebuah bahasa pemrograman dengan cara mengkarakterisasi sebuah pemetaan dari program ke dalam sistem komputasi. Materi Matematika Diskrit di dalam buku ini dimulai dari pokok bahasan logika. Logika merupakan studi penalaran (reasoning). Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia disebutkan definisi penalaran, yaitu cara berpikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi dan bukan dengan perasaan atau pengalaman. Pelajaran logika difokuskan pada hubungan antara pernyataanpernyataan(statements)

Di dalam matematika, hukum-hukum logika menspesifikasikan makna dari pernyataan matematis. Hukum-hukum logika tersebut membantu kita untuk membedakan antara argumen yang valid dan tidak valid. Logika juga digunakan untuk membuktikan teorema-teorema di dalam matematika. Logika pertama kali dikembangkan oleh filusuf Yunani, Aristoteles, sekitar 2300 tahun yang lalu. Saat ini, logika mempunyai aplikasi yang luas di dalam ilmu komputer, misalnya dalam bidang pemrograman, analisis kebenaran algoritma, kecerdasan buatan (artificial intelligence), perancangan komputer, dan sebagainya.

4

RUMUSAN MASALAH

1. Pengertian Logika2. Penjelasan tentang Logika3. Contoh-contoh dan Penjelasan Aplikasi yang berhubungan dengan logika

METODOLOGI PENELITIAN

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode pengumpulan data. Pengumpulan data yang diperlukan menggunakan metode :

Mencari referensi dan mbahan melalui media internet.

5

PEMBAHASAN

A. Landasan Teori

Materi Matematika Diskrit di dalam buku ini dimulai dari pokok bahasan logika. Logika merupakan studi penalaran (reasoning). Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia disebutkan definisi penalaran, yaitu cara berpikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi dan bukan dengan perasaan atau pengalaman. Pelajaran logika difokuskan pada hubungan antara pernyataan-pernyataan (statements). Tinjau argumen berikut:

Semua pengendara sepeda motor memakai helm.Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa.Jadi, semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa.

Meskipun logika tidak membantu menentukan apakah pernyataan-pernyataan tersebut benar atau salah, tetapi jika kedua pernyataan tersebut benar, maka penalaran dengan menggunakan logika membawa kita pada kesimpulan bahwa Pernyataan Semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa juga benar. Dimulai dengan definisi proposisi dan notasi yang digunakan untuk melambangkan proposisi. Selanjutnya dijelaskan pula cara mengkombinasikan proposisi majemuk dan membentuk table kebenarannya. Proposisi majemuk yang lain seperti implikasi dan bi-implikasi dibahas pada bagian akhir buku.

ProposisiProposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false),

tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah Kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value).

Contoh :Pernyataan-pernyataan berikut ini,(a) 6 adalah bilangan genap.(b) Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama.(c) 2 + 2 = 4.(d) Ibukota Provinsi Jawa Barat adalah Semarang.Semuanya merupakan proposisi. Proposisi a, b, dan c bernilai benar, tetapi proposisi d salah karena ibukota Jawa Barat seharusnya adalah Bandung.

6

Mengkombinasikan Proposisi

Catatan:1. Beberapa literatur menggunakan notasi “Øp”, “ p ”, atau “not p” untuk menyatakan ingkaran.2. Kata “tidak” dapat dituliskan di tengah pernyataan. Jika kata “tidak” diberikan di awal pernyataan maka ia biasanya disambungkan dengan kata “benar” menjadi “tidak benar”. Kata “tidak” dapat juga diganti dengan “bukan” bergantung pada rasa bahasa yang tepat untuk pernyataan tersebut.Contoh-contoh proposisi majemuk dan notasi simboliknya. Ekspresi proposisi majemuk dalam notasi simbolik disebut juga ekspresi logika.Contoh :Diketahui proposisi-proposisi berikut:p : Hari ini hujanq : Murid-murid diliburkan dari sekolahmakap q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolahp q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolahp : Tidak benar hari ini hujan(atau dalam kalimat lain yang lebih lazim: Hari ini tidak hujan)

Tabel KebenaranNilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi atomiknya dan cara mereka dihubungkan oleh operator logika.

Contoh :

7

Misalkanp : 17 adalah bilangan primaq : bilangan prima selalu ganjiljelas bahwa p bernilai benar dan q bernilai salah sehingga konjungsi : 17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil adalah salah.

ContohJika p, q, dan r adalah proposisi. Bentuklah tabel kebenaran dari ekspresi logika(p q) (~q r).

Penyelesaian:Ada 3 buah proposisi atomik di dalam ekspresi logika dan setiap proposisi hanya mempunyai 2 kemungkinan nilai, sehingga jumlah kombinasi dari semua proposisi tersebut adalah 2 2 2 = 8 buah. Tabel kebenaran dari proposisi (p q) (~q r) ditunjukkan pada Tabel 1.2.

Sebuah proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus, sebaliknya disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus.

Contoh :

8

Disjungsi Eksklusif

Kata “atau” (or) dalam operasi logika digunakan dalam dua cara. Cara pertama, “atau” digunakan secara inklusif (inclusive or) yaitu dalam bentuk “p atau q atau keduanya”. Artinya, disjungsi dengan operator “atau” bernilai benar jika salah satu dari proposisi atomiknya benar atau keduanya benar.

Operator “atau” yang sudah kita bahas pada contoh-contoh di atas adalah yang dari jenis inklusif ini. Sebagai contoh, pernyataan “Tenaga IT yang dibutuhkan harus menguasai Bahasa C++ atau Java”. diartikan bahwa tenaga IT (Information Technology) yang diterima harus mempunyai kemampuan penguasaan salah satu dari Bahasa Java atau Bahasa C++ atau kedua-duanya. Tabel kebenaran untuk “atau” secara inklusif adalah seperti pada tabel 1.1 yang sudah dijelaskan di atas. Cara kedua, “atau” digunakan secara eksklusif (exclusive or) yaitu dalam bentuk “p atau q tetapi bukan keduanya”. Artinya, disjungsi p dengan q bernilai benar hanya jika salah satu proposisi atomiknya benar (tapi bukan keduanya). Sebagai contoh, pada sebuah ajang perlombaan pemenang dijanjikan mendapat hadiah. Hadiahnya adalah sebuah pesawat televisi 20 inchi. Jika pemenang tidak menginginkan membawa TV, panitia menggantinya dengan senilai uang.. Proposisi

9

untuk masalah ini ditulis sebagai berikut: “Pemenang lomba mendapat hadiah berupa TV atau uang”

Misalkan p dan q adalah proposisi. Exclusive or p dan q, dinyatakandengan notasi p q, adalah proposisi yang bernilai benar bila hanya salah satu dari p dan q benar, selain itu nilainya salah. Tabel kebenaran untuk operasi exclusive or ditunjukkan pada Tabel 1.6. Dari tabel tersebut dapat dibaca proposisi p q hanya benar jika salah satu, tapi tidak keduanya, dari proposisi atomiknya benar.

Proposisi Bersyarat (Implikasi)

10

Selain dalam bentuk konjungsi, disjungsi, dan negasi, proposisi majemuk juga dapat muncul berbentuk “jika p, maka q”, seperti pada contoh-contoh berikut:a. Jika adik lulus ujian, maka ia mendapat hadiah dari ayah.b. Jika suhu mencapai 80C, maka alarm berbunyi.c. Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diriPernyataan berbentuk “jika p, maka q” semacam itu disebut proposisi bersyarat atau kondisional atau implikasi.

Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “jika p, maka q” disebut proposisi bersyarat (implikasi) dan dilambangkan dengan p q

Proposisi p disebut hipotesis (atau antesenden atau premis atau kondisi) dan proposisi q disebut konklusi (atau konsekuen).

Varian Proposisi BersyaratTerdapat bentuk implikasi lain yang berkaitan dengan p q, yaitu proposisi

sederhana yang merupakan varian dari implikasi. Ketiga variasi proposisi bersyarat tersebut adalah konvers, invers, dan kontraposisi dari proposisi asal p q.Konvers (kebalikan) : q pInvers : ~ p ~ qKontraposisi : ~ q ~ p

Tabel 1.11 memperlihatkan tabel kebenaran dari ketiga varian proposisi bersyarat tersebut. Dari tabel tersebut terlihat bahwa proposisi bersyarat p q ekuivalen secara logika dengan dengan kontraposisinya, ~ q ~ p.

Bikondisional (Bi-implikasi)

11

Proposisi bersyarat penting lainnya adalah berbentuk “p jika dan hanya jika q” yang dinamakan bikondisional atau bi-implikasi. Definisi bikondisional dikemukakan sebagai berikut.

Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “p jika dan hanya jika q” disebut bikondisional (bi-implikasi) dan dilambangkan dengan pq.

Inferensi

1. Modus Ponen atau law of detachmentKaidah ini didasarkan pada tautologi (p (p q)) q, yang dalam hal ini, p dan p q adalah hipotesis, sedangkan q adalah konklusi. Kaidah modus ponen dapat ditulis dengan cara:

12

13

Contoh Aplikasi Yang Menggunakan Logika

Aplikasi yang menggunakan logika antara lain yaitu :

1. Bahasa Pemrograman2. Operasi Bit3. Mesin Pencarian ( Search Engine )4. Intelejensi Buatan

Untuk penjelasannya seperti di bawah ini :

1. Bahasa pemrograman

Bahasa pemrograman umumnya menyediakan tipe data boolean untuk data yang bertipe logika, misalnya tipe boolean dalam Bahasa Pascal, logical dalam Bahasa Fortran, dan sebagainya. Tipe data boolean hanya mempunyai dua buah konstanta nilai saja, yaitu true dan false. Peubah yang bertipe boolean disebut peubah boolean (boolean variable). Nilai peubah tersebut hanya true atau false. Operasi boolean sering dibutuhkan dalam pemrograman. Operasi Boolean dinyatakan dalam ekspresi logika (atau dinamakan juga ekspresi boolean). Operator boolean yang digunakan adalah AND, OR, XOR, dan NOT. Ekspresi booelan tersebut hanya menghasilkan salah satu dari dua nilai, true atau false. Misalkan x1, x2, x3, dan x4 adalah peubah booelan dalam Bahasa Pascal, maka ekspresi boolean di bawah ini adalah valid:x1 and x2x1 or (not(x2 and x3))yang bersesuaian dengan ekspresi logikax1 x2

x1 ~(x2 x3)

2. Operasi Bit

Komputer merepresentasikan informasi dengan menggunakan bit. Sebuah bit hanya mempunyai dua nilai, yaitu 1 atau 0. Sebuah bit dapat digunakan untuk merepresentasikan nilai kebenaran, yaitu kita menyatakan 1 untuk merepresentasikan true (T) dan 0 untuk merepresentasikan false (F). Kita menggunakan notasi ~, , , dan masing-masing untuk melambangkan operator NOT, AND, OR, dan XOR. Dengan demikian, operasi bit~ 01 0

14

0 01 0bersesuaian dengan operasi logika~ FT FF FT FOperasi bit dapat diperluas untuk rangkaian bit yang panjangnya tetap, misalnya 10011011 dioperasikan dengan 01010101. Operasi ini dinamakan bitwise, dan operasi semacam ini diguanakan untuk memanipulasi informasi.

3. Mesin Pencarian ( Search Engine)Salah satu mesin pencarian yang terkenal dan banyak digunakan orang

adalah Google (www.google.com). Tersedia juga Google versi Bahasa Indonesia (www.google.co.id). Antarmuka Google diperlihatkan pada Gambar 1.1. Mesin pencarian adalah aplikasi yang sangat penting di internet, karena mesin pencarian mampu menampilkan semua informasi yang kita butuhkan dalam waktu yang cepat. Hasil pencarian adalah halaman web yang berkaitan dengan term yang kita ketikkan.

15

Operator logika AND, OR, dan NOT dapat digunakan sebagai kata hubung logika di antara term-term yang dicari. Misalkan kita ingin mencari semua halaman web yang berkaitan dengan “aljabar” atau “boolean”, maka term yang kita cari ditulis sebagai aljabar OR booleanHasilnya adalah semua halaman yang mengandung salah satu kata “aljabar”, “boolean”, atau kedua-duanya. Bila kita ingin mencari semua halaman web yang tepat mengandung kata “aljabar” dan “boolean” sekaligus, maka term yang kita ketikkan di dalam mesin pencarian ditulis sebagai aljabar AND Boolean Hasilnya adalah semua halaman yang mengandung dua kata “aljabar” dan “boolean” sekaligus. (catatan: beberapa mesin pencarian tidak memerlukan penulisan AND secara eksplisit).

Bila kita ingin mencari semua halaman web yang berkaitan dengan dengan topic “aljabar” atau “boolean” dan untuk setiap topik tersebut harus berkaitan dengan “matematika”, maka term dituliskan sebagai (aljabar OR boolean) AND matematika

Hasilnya adalah semua halaman yang mengandung tepat kata “aljabar” dan “matematika”, atau yang mengandung tepat kata “boolean” dan “matematika”, atau yang sekaligus mengandung “aljabar”, “boolean”, dan “matematika”. Gambar 1.2 memperlihatkan hasil pencarian untuk term di atas (pencarian dilakukan pada Tanggal 22 Juni 2005 pukul 11.00 WIB. Perhatikan bahwa informasi di internet dapat berubah setiap saat (up to date), jadi mungkin saja pada hari ini hasil pencarian sangat berbeda dengan hasil pencarian pada tanggal 22 Juni 2005).

16

4. Intelejensi Buatan

Intelejensia buatan atau kecerdasan buatan adalah suatu ilmu pengetahuan dan teknologi yang berdasarkan pada disiplin ilmu seperti ilmu kompouter, biologi, psikologi, ilmu bahasa, matematika dan teknik. Intelejensia buatan memiliki tujuan untuk menciptakan komputer-komputer yang dapat berfikir (dan juga) dapat melihat, mendengar, berjalan, berbicara, dan merasakan. Dorongan utama dari intelejensia buatan adalah pengembangan fungsi normal komputer yang digabungkan dengan kecerdasan manusia, seperti memberi alasan, menarik kesimpulan, belajar dan memecahkan masalah.

Peran logika dalam aplikasi intelejensia buatan bisa bervariasi mulai dari penggunaan secara lemah dimana logika menginformasikan proses implementasi dari sudut pandang analisis, hingga penggunaan yang kuat dimana algoritma implementasi dapat kita butikan benar dan mangkus.

Dalam beberapa kasus sebuah system yang bekerja berkembang dari ide-ide yang berasal dari logika, seiring perjalanan system tersebut juga mendapat fitur-fitur yang Nampak bermasalah secara secara logika naming belakangan dapat kita jelaskan dengan cara mengembangkan ide-ide baru dalam teori logika. Hal-hal seperti ini terjadi, misalnya, terjadi dalam pemrograman logik. Secara khusus, teori logika dalam intelejensia buatan bebas dari implementasi. Teori-teori tersebut bisa digunakan untuk melongok kedalam suatu permaslahan tanpa perlu memberitahu secara langsung kepada system implementasi itu sendiri. Implementasi langsung ide-ide dari logika—teknik pembuktian teorema dan teknik pembangunan model—digunakan secara luas dalam intelejensia buatan, tetapi para pakar intelejensia buatan yang bergantung pada logika untuk memodelkan masalah mereka bebas untuk menggunakan teknik-teknik implementasi lainnya.

Didalam Moore 1995b(Bab 1), Robert C. Moore membedakan 3 penggunaan logika dalam intelejensia buatan: sebagai alat untuk menganalisa, sebagai dasar untuk representasi ilmu, dan sebagai bahasa pemrograman.

Sebagian besar usaha dalam mengembangkan sistem penalaran objektif-terbatas dihabisakan dalam mengatur isi (body) dari informasi deklaratif yang besar dan kompleks. Penting bagi kita untuk mengurus representasi informasi ini, dan penalaran yang ikut besertanya, sebagai tugas yang terpisah-pisah, dengan masalah yang memerlukan riset masing-masing. Evolusi dari sistem ahli dapat mengilustrasikannya dengan baik. Salah satu sistem ahli yang pertama, seperti

17

MYCIN(sebuah program yang menalarkan infeksi bakteri), dibuat dengan dasar aturanaturan prosedural yang membentuk sistem besar, tanpa representasi terpisah dari ilmu yang mendasarinya—misalnya, taksonomi dari organisme penginfeksi tidak direpresentasikan dalam sistem tersebut.

Sistem ahli pada masa kini memiliki modulmodul raksasa dalam desainnya. Representasi ilmu yang terpisah berguna untuk tujuan rekayasa perangkat lunak—lebih baik kita memiliki representasi tunggal dari fakta umum yang dapat memiliki banyak kegunaan, karena hal tersebu t memudahkan kita dalam membangun dan memodifikasi sistem yang sudah ada. Dan desain ini kini menjadi penting dalam membuat sistem mampu memberikan penjelasan selain hanya memberikan kesimpulan.

18

PENUTUP

Kesimpulan

Kesimpulan yang dapat diambil dari makalah di atas adalah :Logika merupakan studi penalaran (reasoning). Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia disebutkan definisi penalaran, yaitu cara berpikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi dan bukan dengan perasaan atau pengalaman. Pelajaran logika difokuskan pada hubungan antara pernyataan-pernyataan (statements).Logika dalam ilmu computer dapat digunakan sebagai Bahasa Pemrograman, Operasi Bit, Mesin Pencarian ( Search Engine ), dan Intelejensi Buatan.

Bahasa pemrograman umumnya menyediakan tipe data boolean untuk data yang bertipe logika, misalnya tipe boolean dalam Bahasa Pascal, logical dalam Bahasa Fortran,

dan sebagainya.

Komputer merepresentasikan informasi dengan menggunakan bit. Sebuah bit hanya mempunyai dua nilai, yaitu 1 atau 0. Sebuah bit dapat digunakan untuk merepresentasikan nilai kebenaran, yaitu kita menyatakan 1 untuk merepresentasikan true (T) dan 0 untuk merepresentasikan false (F).

Salah satu mesin pencarian yang terkenal dan banyak digunakan orang adalah Google (www.google.com). Tersedia juga Google versi Bahasa Indonesia (www.google.co.id).

Intelejensia buatan atau kecerdasan buatan adalah suatu ilmu pengetahuan dan teknologi yang berdasarkan pada disiplin ilmu seperti ilmu kompouter, biologi, psikologi, ilmu bahasa, matematika dan teknik.

19

1. Andres Fendynata (2009-53-062)Mencari : Logika Matematika, Aplikasi Graf Dalam Topologi Jaringan

2. Eric Aulia A (2009-53-063)Mencari : Logika Matematika yang disampaikan pada Diklat Intrukstur Jenjang SMA

3. Nilam Adennia (2009-53-078)Mencari : Logika edisi 3,

4. Hirmawan Arianto (2009-53-085)Mencari : Silabus,Logika,dan Himpunan

5. Sri Astutik (2009-53-090)Mencari : Logika Dalam Intelejensi Buatan

20